高中数学数列综合专项练习讲义

数列求和、数列的综合应用【学习目标】1．掌握数列的常用求和方法；2．注意数列的函数性，能分析解决数列和函数与方程、向量、不等式、平面几何等相结合的数列综合题；3．能够用数列知识解决数列综合题及实际应用题． 【要点梳理】要点一：求数列前n 项和的几种常用方法1. 常用方法 ⑴ 公式法：如果一个数列是等差或者等比数列，求其前n 项和可直接利用等差数列或等比数列的前n 项和公式求和； ⑵ 倒序相加法：等差数列前n 项和的推导方法，即将n S 倒写 后再与n S 相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和. ⑶ 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为1(1)n a n n =+的数列求和. ⑷ 分解求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和. 例如对通项公式为23n n a n =+的数列求和. ⑸ 错位相减法：如果一个数列{}n a 的通项是由一个非常数列的等差数列{}n b 与等比数列{}n c 的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为n n n a b c =⋅（其中{}n b 是公差d≠0的等差数列，{}n c 是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前n 项和n S .例如对通项公式为(21)2n n a n =-⋅的数列求和. 一般步骤：① 展开n S ： 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++⋯++② 展开n qS ：1211nn n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++③ 作差： 11231(1)().n n n n q S b c c c c d b c +-=+++⋯⋯- 要点诠释：① 注意事项：作差后的式子中，最后一个符号是负号“–”；23n c c c ++⋯⋯是以2c 为首项的前1n 项和；② 在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1，若q =1，错位相减法会不成立.2. 常见数列的前n 项和 (1) (1)1232n n n +++++=； (2) 2135(21)n n ++++-=；(3) 246(1)n n n ++++=+；(4) 2222(1)(21)1236n n n n ++++++=；(5) 23333(1)123.2n n n +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便. 3. 常见的拆项公式 (1)1111()()n n k k n n k•=-++；(2)若{}n a 为等差数列，且公差d 不为0，首项也不为0，则111111()n n n n a a d a a •++=-；(3)若{}n a 的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则1111()()()n a An B An C C B An B An C==-++-++.(4)=1k=. 要点二：数列的综合问题数列综合题，即考察同学们基础知识，又需要良好的思维能力和分析、解决问题的能力，综合题较强，解决起来比较困难. 解答这类问题的关键，在于要审清题目，充分运用观察、归纳、猜想的手段，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略. 1. 解决一个应用题，重点过三关：⑴ 事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力；⑵ 文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系； ⑶ 事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力 2. 解决数列综合题的常用方法：(1) 利用数列与函数的关系解决数列综合题； (2) 利用等差（等比）数列中n a 和n S 的关系； (3) 利用等差（等比）数列的递推性；(4) 利用等差（等比）数列的单调性，解决有关最值问题； (5) 利用转化与化归思想，解决数列综合问题； (6) 利用不等式的放缩技巧证明数列；(7) 利用不等式的基本思想，解决有关数列问题； (8) 利用平面几何思想，解决数列综合问题.要点诠释：数列的综合题一般比较难，又没有通法通则，而由于它在中学数学体系及考试中的重要性，这一部分即难掌握又必须掌握. 同学们平时要熟悉数列规律，牢记公式，做题时多观察解法，总结规律.要点三：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的基本步骤：① 审题——认真阅读题目，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题； 弄清题目中的主要已知事项； 明确所求的结论是什么.② 建模——将已知关系翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清楚该数列的结构和特征；③ 求解——求出该问题的数学解； ④ 还原——将所求结果还原到实际问题中.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量. 【典型例题】 类型一：数列求和 1. 公式法例1．设数列{}n a 的通项为*27(),n a n n =-∈N 则1215||||||a a a ++⋯⋯+= .【思路点拨】用公式法求和. 对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和. 【答案】153【解析】由0,n a >得7,2n ≥取4,n ≥ 则1215||||||a a a ++⋯⋯+1234515()()(135)(1352319123122153a a a a a a =-++++++=+++++++=++⨯=）（）【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看n a 的符号.举一反三：【变式】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369,S S =则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 【答案】3116由题意知，显然1q ≠∵123123456,9()a a a a a a a a a ++=+++++ ∴123456,8()a a a a a a ++=++31231238()()a a a a a a q ++=++∴12,2n n q a -== ∴01412511111131++16222a a a ++=++=………… 2. 错位相减法例2．设0a ≠，求数列：a ，22a ，33a ，…， n na ，…的前n 项和n S .【思路点拨】数列{}n na 是由等差数列{}n 与等比数列{}n a 对应项相乘构成的差比数列. 当1a =时，用公式法求和；当1a ≠时，用错位相减法求和. 【解析】当1a =时，(1)123 (2)n n n S n +=++++=当1a ≠时，2323...n n S a a a na =++++ …… ① 则234123...n n a S a a a na +⋅=++++ …… ②由①-②可得：23111(1)(1)1n n n n n n a a a S a a a aa nana a-++--=+++++-=--，∴a na a a a S n n n ----=++1)1(121. 【总结升华】1.一般地，如果等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的对应项相乘形成的数列{}n n a b （也称为“差比数列”）都用错位相减的办法来求前n 项之和n S .2. 错项相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以等比数列的公比()01q q q ≠≠且；3. 在使用分类讨论时，要做到不重不漏. 在等比数列求和中，我们经常对其公比q 是否为1进行讨论. 举一反三：【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题3】 【变式1】求和2311234...n n S x x x nx -=+++++（x R ∈）. 【解析】①当0x =时，1n S =.②当1x =时，2)1(321+=++++=n n n S n .③当0x ≠且1x ≠时，2311234...n n S x x x nx -=+++++ ① 234234...n n xS x x x x nx =+++++ ②①–②得 1211(1)1(1)(1)1...11n n n n nnn x nx n x x S x x xnx nx x x+--+-+-=++++-=-=--， ∴21)1()1(1x x n nx S nn n -+-+=+. 【变式2】求数列1234,,,,,,248162n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的前n 项和n S .【解析】用错位相减法求和.1234248162n n n S =++++⋅⋅⋅+ 11123424816322n n n S +=++++⋅⋅⋅+ ∴11111111(1)122482222n n n n n n n S ++⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+-=--⎪⎝⎭ 11222n n nn S -∴=--3. 裂项相消法例3．求数列 )1(1431321211+⨯⨯⨯n n ，，，，的前n 项的和n S .【思路点拨】观察数列通项1(1)n a n n =+，各项是由分式构成，故可考虑使用裂项法： 先对通项变形，111(1)1n a n n n n ==-++，于是每一项都可变为两个数的差，即111122=-⨯，111111,23233434=-=-⨯⨯，…，且每项拆裂出作差的两数，被减数恰是前项裂出的减数，它的减数又是它后项裂出的被减数，正好可以消去. 【解析】∵111)1(1+-=+=n n n n a n ，∴1111122334(1)n S n n =++++⨯⨯⨯+1111111(1)()()()223341n n =-+-+-++-+ 111111112233411111n n n n n =-+-+-++-+=-+=+【总结升华】1. 本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.2. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如： ①)11(1)(1kn n k k n n +-=+•；②若{}n a 为等差数列，公差为d ，则111111()n n n n a a d a a •++=-；③n n nn -+=++111，)(11n k n knk n -+=++. 举一反三： 【变式1，……的前n 项和n S .【解析】∵11++=n n a n n n -+=1∴11231321211+++++++++=n n S nn n -+++-+-+-=132231211-+=n【变式2】求和:)(21132112111+∈++++++++++N n n （*n N∈） 【解析】∵)111(2)1(22)1(1211+-=+=+=+++=k k k k k k k a k ，∴ )1(2432322212+++⨯+⨯+⨯=n n S n111111112[()()()()]1223341122(1)11n n nn n =-+-+-++-+=-=++4. 分组求和【高清课堂：数列的求和问题381055典型例题1】例4．已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n N ∈，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .【思路点拨】由题意列方程组求,p q 的值；数列{}n x 是由等差数列{}n q ⋅和等比数列{}2n p ⋅对应相加构成的新数列，故采用分组求和，即等差数列{}n q ⋅的前n 项和与等比数列{}2n p ⋅前n 项和相加即可. 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+【总结升华】1.一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的对应项相加而形成的数列{}n n a b +都用分组求和的办法来求前n 项之和n S . 举一反三：【变式1】求和23(21)(21)(21)...(21)n n S =++++++++ 【答案】231(222...2)22n n n S n n +=+++++=+-【变式2】已知数列{}n a 中，12114,422...2(2)n n a a n -==++++≥，求前n 项和n S 【解析】∵121(122...2)3(21)322n n n n a -=+++++=-+=+，∴231(222...2)2222n n n S n n +=+++++=+- 5. 并项法例5．已知数列{}n a 的前n 项和1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，求15S ，22S 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】方法一：由1(1)(43)n n a n -=--∴158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-方法二：由1(1)(43)n n a n -=--∴当n 为奇数，*n ∈N 时， 1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-，当n 为偶数，*n N ∈时， 1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=，∴151(59)(1317)(2125)...(5357)17429S =+-++-++-+++-+=+⨯=， 22(15)(913)(1721)...(8185)11(4)44S =-+-+-++-=⨯-=- 【总结升华】1.对通项公式中含有n )1(-或1n )1(+-的一类数列，在求n S 时要注意讨论n 的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有更简洁的运算结果. 举一反三：【变式】求21-，22，23-，24，…，2(1)n n •-，…的前50项之和50S 以及前n 项之和n S . 【解析】（1）设22(21)(2)41k b k k k =--+=-，则数列{}k b 为等差数列，且50S 是{}k b 的前25项之和25T ，所以502525[3(4251)]12752S T +⨯-===.（2）当n 为偶数即*2()n k k N =∈时，(341)2n k k k S T +-==1(21)(1)2k k n n =+=+.当n 为奇数即*21()n k k N =+∈时，2221(1)(21)(1)22n k n n S T n k k n n n n +=-=+-=--=-.类型二：数列与函数的综合运用例7. 已知函数()log a f x x =，若数列{}n a 使得2，1()f a ，2()f a ，3()f a ，…，()n f a ，24n +(*)n ∈N 成等差数列.（1）求{}n a 的通项n a ；（2）设(),n n n b a f a =⋅ 求{}n b 的前n 项和是n S .【思路点拨】观察数列特征，利用等差数列的有关公式，得出数列的通项，从而利用错位相减法求和.【解析】设数列：2，1()f a ，2()f a ，3()f a ，…，()n f a ，24n +的公差为d ，则242(21)n n d +=++－解得2d =.∴()2(11)222n f a n d nd n =++-=+=+，即log 22a n a n =+， 可得22n n a a +=.（2）222222()log (22)n n n n n n a b a f a a a n a +++=⋅=⋅=+，()01a a ≠≠且，所以 46222462(22)n n n S a a n a n a +=+++⋅++ ① 2682222446(22)2(22)n n n n a S a a n a n a n a ++=+++-⋅+⋅++ ② ①-②得 2462224(1)42[](22)n n n a S a a a n a ++-=+++-+∴42424422222222(1)2(22)21[1(1)(1)111n n nn n a a a n a a a S n a a a a a+--+-=+=+-+----. 【总结升华】本题是数列与函数的综合题目，考查对数函数、等差等比数列的性质、数列的求和，有一定的综合性. 解决这类题目的主旨是运用函数的有关概念与性质，找出数列的递推关系式，从而转化为纯粹的数列问题. 举一反三：【变式】设函数()142xf x =+ .（1）证明：对一切x ∈R ，()()1f x f x +-是常数；（2）记()()()1210......1,n n a f f f f f n n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，求n a ，并求出数列{n a }的前n项和.【解析】（1） ∵()142x f x =+， ∴()(1)f x f x +- =1114242x x -+++1142421.(42)(42)2x x x x --+++==++ （2） ()()()1210......1,n n a f f f f f n n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N()()()12211......0,n n n a f f f f f f n n n n n +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ∴2n a =12n + 即n a =14n + ∴111()442n n n S +++==(3).8n n +类型三：数列与不等式的综合应用例8. 已知数列{}n a 满足11a =，*121().n n a a n +=+∈N （I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：*122311...()232n n a a a n nn a a a +-<+++<∈N . 【思路点拨】由递推式可知，通过构造等比数列{}1n a +可以得到{}n a 的通项公式；通过放缩法解决关于证明数列和的不等式问题.【解析】（I ）*121()n n a a n +=+∈N 可变形为： 112(1),n n a a ++=+∴ {}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列∴12.n n a +=即 2*21().n a n =-∈N（II ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=--∴12231 (2)n n a a a na a a ++++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+- ∴1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a ++++≥-+++=-->- ∴*122311...().232n n a a a n nn a a a +-<+++<∈N 【总结升华】用放缩法处理数列和不等式问题的常用方法：1.先求和后放缩：若数列和可求得，一般先求和，再放缩处理；2.先放缩后求和：若数列直接求和方法不易解决，则将数列放缩为常见形式，再求和.常见的放缩方法为：（1）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭； （2）11115(1)112132(1)2n nn n +<+++++<⨯⨯-； （3）1112(21)212n n n n=---；（4（5）<<；（62)n ≥；（7）12111121232(21)2(23)2nn n n n n n -⎛⎫-⋅=-⎪+++⋅+⋅⎝⎭； （8）11111111,(1)11(1)11k n k n k kn n n k kn n k ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪+-+-++++++⎝⎭⎝⎭； （9<==（10）1211222211(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n n n n ---=<==----------.举一反三：【变式1】 已知数列{}n a 满足：11a =，1(1)(1,2,3)2n n n n a a n +=+=．求证：11132n n n n a a +-+>≥-. 【解析】（1）先证明1n n a a +>.1(1)=22n n n n n n nn na a a a a +-=+- ∵1(1)2n n n na a +=+，∴1n a +与n a 同号，又∵110a =>，所以0n a >. ∴ 10n n a a +->，即1n n a a +>． ∴数列{}n a 为递增数列. （2）再证明1132n n n a -+≥-. 由（1）可知，11n a a ≥=，即122n n nn n n na a a +-=≥. ()()()1-11-22121121=++222n n n n n n n a a a a a a a a ------≥+++ ． 令 21121222n n n S --=+++① 2311212222n n n S -=+++② 两式相减得：231111111222222n n n n S --=++++-， ∴1122n n n S -+=-，即11122n n n a a -+-≥-， ∴1132n n n a -+≥-. 综上，11132n n n n a a +-+>≥-． 【变式2】已知数列{}n a 满足:()113-2.n n a a a n ++==∈N ， （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若1,1n n a +=∈+N ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明. 【解析】( I ) 由题意可知，数列{}n a 是以2为公比、3为首项的等差数列，∴()32-121n a n n =+=+；（II）由11n a =+可知2211111=(1)(22)22123n n b a n n n ⎛⎫=<- ⎪++++⎝⎭，则 12311111111123525722123111111123557212311123231.6n nT c c c c n n n n n =+++⋯⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭< 类型四：探究题型与创新题型例9. 已知定义在R 上的函数()f x 满足1()12f =-，且对任意实数x y ，，恒有()()()1x y f x f y f xy --=-. 又数列{}n a 满足11221,21n n n a a a a +==+，设12111()()()n n b f a f a f a =++⋯+． （１）证明：{}()n f a 为等比数列；（２）是否存在自然数m ，使得对任意+n ∈N ，都有84n m b -<成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】题中条件较多，仔细审题，捋顺思路，分清主次：对于第（1）题，要证明一个数列为等比数列，应利用定义给予严格证明，即1()()n n f a f a +为定值；对于第（2）题，可假设存在自然数m ，使得84n m b -<恒成立，从而反客为主，探究84n m b -<成立时m 所需的条件. 【解析】（1）由()()()1x yf x f y f xy++=+可知， 122()()()()()2()11n n n n n n n n n n a a a f a f f f a f a f a a a a ++∴===+=++⋅，即1()2()n n f a f a +=， 又∵11()()12f a f ==-，∴{}()n f a 是以1-为首项，2为公比的等比数列，从而有()12n n f a -=-.（2）2111111112(1)21222212n n n n b ---=-+++⋯+=-=-+-，若84n m b -<恒成立（n +∈N ），则112224n m --+<-，即14.2n m -> ∵142n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，∴当1n =时，142n -有最大值4，故4m >．又∵m ∈N ， ∴m 的最小值为5.【总结升华】本小题是存在性问题（存在性问题指判断满足条件的事物是否存在的问题），这类问题知识覆盖面较广，综合性较高，对学生分析问题和解决问题能力要求较高. 由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行推理和计算，对基础知识、基本能力提出了较高要求，并具备较强的探索性. 是各地近几年考试的热点.存在性问题的一般思路是：假设存在 推理论证 得出结论. 举一反三：【变式】已知()x f x m ＝ (m 为常数，01m m >≠且)．设()()()12()n f a f a f a n *⋯⋯∈N ，，，是首项为2m ，公比为m 的等比数列．(1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若()()lg f n n n b f a a ⋅＝，问是否存在m ，使得数列{}n b 中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由题意()2111·na n n n n f a m m m m m －＋＋＝＝，＝，即.∴1n a n ＝＋，. ∵11n n a a ＋－＝∴数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列．(2) 由题意()()111·lg lg (1)lg n n n n n n b f a f a m m n m m ⋅⋅⋅＋＋＋＝＝＝＋， 假设存在m ，使得数列{}n b 中每一项恒小于它后面的项. 要使1n n b b <＋对一切*n ∈N 成立，只要12(1)lg (2)lg n n n m m n m m ⋅⋅<⋅⋅＋＋＋＋对一切n ∈N *成立， ① 当1m >时，lg 0m >， ∴12n m n >＋＋，只要max12n m n ⎛⎫> ⎪⎝⎭＋＋； ②当01m <<时，lg 0m <， ∴ 12n m n +<+，只要min12n m n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭.11122n n n +=++ 随着n 的增大而增大，故21132n n +≤<+，所以m 1>或203m <<.综上，当1m >或203m <<时，数列{}n b 中每一项恒小于它后面的项．例10. 定义在()()00-∞+∞，，上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在()()00-∞+∞，，上的如下函数：①()²f x x =；②()2x f x =；③()f x ()f x =ln x .则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【思路点拨】仔细审题，弄清“保等比数列函数”的概念含义，要判断一个数列是否是等比数列可利用等比数列的定义. 【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==，是常数，故①符合条件； 对于②，111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件；对于③，1()()n n f a f a += 对于④，11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件. 由“保等比数列函数”的定义知应选C.【总结升华】所谓创新题型（新定义型问题），主要是给出高中数学没有学过的新运算、新概念、新符号和新规则，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型，具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，考查学生的综合素质，挖掘学生的潜力，受到了命题者的青睐. 将新定义的阅读信息与所学知识进行有效结合是破解此类问题的关键. 举一反三：【变式1】在一个数列中，若每一项与其后一项的积为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积. 若数列{}n a 为等积数列，且10=2a ，公积为6，则1592013a a a a ⋅⋅⋅⋅等于（ ）A ．5042B ．5032C ．5043D ．5033 【答案】C【解析】由题意得 91099=2=6=3.a a a a ⋅，所以∴当n 为奇数时，3n a =；当n 为偶数时，2n a =.等差数列1，5，9，…，2013的通项公式为()14143n a n n =+-=-， 令432013n a n =-=，解得504n =. ∴数列1，5，9，…，2013共有504项. ∴5041592013504333333.a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=【变式2】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列12n a a a ，，，的“理想数”．已知数列12500a a a ，，，的“理想数”为2004，那么数列2，12500a a a ，，，的“理想数”为（ ）A. 2002B. 2004C. 2006D.2008 【答案】A【解析】数列12500a a a ，，，的“理想数”500T 为：12125005005004992004500500n S S S a a a T +++++===，可得12500500499=5002004a a a ++⨯，数列2，12500a a a ，，，的“理想数”为：()()()112125005011250022225005012500499501250120045005012002.a a a a a a T a a a +++++++++++=⨯+++=⨯+⨯==故选A.类型五：数列应用题例11. 假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【思路点拨】条件中有两个变量，新建住房面积和中低价房面积，为了更清晰的表明每年住房面积之间的变化，同学们可以建立一个表格：新建住房面积是以250为首项、以50为公差等差数列；中低价房面积是以为400首项、以1.08为公比的等比数列. 再由条件建立相应的不等式求解即可.【解析】（1）设中低价房面积形成数列{}n a ，由题意可知{}n a 是以250为首项、以50为公差等差数列.则{}n a 的前n 项和225225n S n n =+ 令2252254750n n +≥，即291900n n +-≥， ∵n 是正整数, ∴n ≥10.∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. （2）设新建住房面积形成数列{}n b ，由题意可知{}n b 是以为400首项、以1.08为公比的等比数列，则()1400 1.08n n b =⨯－. 由（1）可知，=25050(1)=200+50n a n n +－.令>0.85n n a b ，即()1200+50400 1.080.85.n n >⨯⨯－由计算器解得满足上述不等式的最小正整数6n =，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式. 举一反三：【变式】 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.（Ⅰ）用d 表示1a ，2a ，并写出1n a +与n a 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过()3m m ≥年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-，2113(150%)2a a d a d =+-=-，13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132n n a a d -=-2233()22n a d d -=-- 233()22n a d d -=--=12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+. 由题意，134000,()(30003)24000,2n n a d d -=∴-+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--.故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+--时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为4000元.【巩固练习】 一、选择题1.某工厂生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长率为（ ） Ａ．12(1)p + B. 12(1)1p +- C. p D. 12p2.设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2q =，且123a a a ⋅⋅⋅……30302a = ，则258a a a 29a 等于（ ）Ａ．102 B. 202 C. 152 D. 1623．已知函数22()n n f n n n =-⎧⎨⎩当为奇数时当为偶数时，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则123100a a a a ⋯＋＋＋＋等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．102004．如果数列{}n a 满足12=2=1a a ，，且()11112n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于( )A.1012 B.912 C.110D.155．数列{}n a 中，1(1)n a n n =+，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n ＋＋＋＝在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9二、填空题6．已知函数()2log f x x ＝，若数列{}n a 的各项使得()()()1222+4n f a f a f a n ，，，，，成等差数列，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________.7．已知函数()232f x x x ＝－，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，n S )(n∈N *)均在函数f(x)的图象上，13n n n b a a +=，T n 是数列{}n b 的前n 项和，则使得20n mT <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m 等于________．8. 求等比数列1，13，19，…的前6项和6S = . 9. 已知数列{}n a 中22n n a =+，求前n 项和n S = . 10．求数列114⨯，147⨯，…，1(32)(31)n n -+，…的前n 项和n S = .三、解答题11. 求数列12，34，58，…，212nn -，…的前n 项和n S . 12.已知数列1，3a ，25a ，…，1(21)n n a --，求此数列前n 项和n S . 13．求222212...1(2)3(4)(1)n n S n -=+-++-++-的和.14. 设数列{}n a 满足2111232n n n a a a -⋅＋＝，－＝. （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b na ＝，求数列{b n }的前n 项和n S .15.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案与解析】 1.【答案】B【解析】设年增长率为q ，基数为a ，则12(1)(1),a p a q +=+ ∴12(1)1q p =+-2.【答案】A【解析】将数列{}n a 的前30项分成三组，设14728,a a a a x ⋅⋅⋅⋅=……则102025829369302,2a a a a x a a a a x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅…………，可求1x =，即10258292a a a a ⋅⋅⋅⋅=…….3. 【答案】B【解析】由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.4. 【答案】D 【解析】∵1111n n n n a a a a -+-=-，∴112n n n n a aa a -++=， 11211n n n a a a --=+，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12， 公差为12的等差数列，∴112n n a =，∴1015a =.5. 【答案】B【解析】数列{a n }的前n 项和为1111111111223(1)2231n n n n +++=-+-++-⨯⨯++ 1911110n n n =-==++，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0，所以其在y 轴上的截距为－9.6. 【答案】16(41)3n- 【解析】设等差数列的公差为d ，则由题意，得2n ＋4＝2＋(n ＋1)d ，解得d ＝2，于是log 2a 1＝4，log 2a 2＝6，log 2a 3＝8，…，从而a 1＝24，a 2＝26，a 3＝28，….易知数列{a n }是等比数列，其公比214a q a ==，所以424116(41)413n nn S -==--．7.【答案】10【解析】由S n ＝3n 2－2n ，得a n ＝6n －5， 又∵13111()26561n n n b a a n n -==--+， ∴111111111(1)()()(1)2771365612612Tn n n n ⎡⎤=-+-++-=-<⎢⎥-++⎣⎦， 要使11(1)26120mn -<+对所有n ∈N *成立， 只需1202m ≥，∴m≥10，故符合条件的正整数m ＝10.8.【答案】364243【解析】 ∵11a =，13q =，6n =，∴6611[1()]3643124313S ⨯-==-9. 【答案】1222n n ++-【解析】12121(22)(22)...(22)(22...2)2222n n n n S n n +=++++++=++++=+-10．【答案】31nn + 【解析】1111447(32)(31)n S n n =+++⨯⨯-+111111[(1)()()]34473231n n =-+-++--+ 11(1)33131nn n =-=++11. 【解析】∵135721248162n nn S -=+++++， 1113523212481622n n n n n S +--=+++++ ∴111112222211121122481622222n n n n n n n n S S +-+---=+++++-=+--， 故2121322n n nn S --=--.12. 【解析】21135(21)n n S a a n a -=++++-， ①当0a =时，1n S = 当1a =时，2[1(21)]135(21)2n n n S n n +-=++++-==. 当0a ≠且1a ≠时，23135(23)(21)n n n a S a a a n a n a -••=++++-+- ②由①-②得：2311(1)1(2222)(21)2(1)1(21)1n nn n na S a a a a n a a a n a a-••-•-=+++++---=+---∴22()1(21)(1)1n nn a a n a S a a•---=+--.13．【解析】 当n 为奇数时，2222222...(12)(34)[(2)(1)]n S n n n =-+-++---+ 2[3711...(23)]n n =-++++-+213(23)22n n n -+-=-⋅+ 22n n += 当n 为偶数时，222222...(12)(34)[(1)]n S n n =-+-++--[3711...(21)]n =-++++-3(21)22n n +-=-⋅22n n+=-.14．【解析】(1)由已知得，当n≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n-1＋22n-3＋…＋2)＋2＝22(n+1)-1， 而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n-1. (2)由b n ＝na n ＝n·22n-1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n-1 ① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n+1 ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n-1－n·22n+1. 即S n ＝19[(3n －1)22n+1＋2]．15. 【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =. 由条件可知0n a >，故13q =.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =.故数列{}n a 的通项式为n a =1()3n . （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-.故12112()(1)1n b n n n n =-=--++，12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++.所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+.。

数列、导数知识点一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n+1-a n =d(n∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则其通项公式为a n =a 1+(n-1)d.4.前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d(n∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m)d(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn(A,B 为常数).(5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值.二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,即a n a n -1=q(n≥2,n∈N *,q 为非零常数).2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则其通项公式为a n =a 1q n-1.4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有a k·a l=a m·a n.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为q n.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数) f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin x f'(x)=cos xf(x)=cos x f'(x)=-sin xf(x)=a x(a>0,且a≠1)f'(x)=a x ln af(x)=e x f'(x)=e xf(x)=log a x(a>0,且a≠1)f'(x)=1xlnaf(x)=ln x f'(x)=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x .四、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.函数的极值与导数条件 f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0x 0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值 f(x 0)为极大值 f(x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点x 0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。

一、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）A B C D递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。

数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。

③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。

数列的前n 项和： a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。

二.等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列综合讲义前言 (02)第1 讲数列通项 (06)1.1公式法 (07)1.2累加法 (07)1.3累乘法 (08)1.4差商法 (08)1.5构造辅助数列 (09)第2 讲数列求和 (10)2.1公式法 (12)2.2倒序相加 (12)2.3分组球和 (13)2.4裂项求和 (13)2.5错位相减 (15)2.6等差绝对值求和 (16)2.7奇偶幷项求和 (16)第3 讲数列的通项与求和综合 (17)第4 讲数列的性质 (21)4.1单调性 (22)4.2数列的最值 (24)4.3奇偶（性）幷项 (27)4.4周期性 (28)第5 讲简单的数列不等式证明 (29)第6 讲存在性问题（整除问题） (31)第7 讲创新型问题 (33)第8 讲数阵问题（数列群） (35)第9 讲数列与其他知识综合 (36)第10 讲(extra) 放缩法证明数列求和不等式 (38)前言【高考命题规律】纵观全国Ⅰ卷的数列试题，我们可以发现，全国Ⅰ卷的数列题注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点。

从2011 年至 2017 年，全国Ⅰ卷理科试题共考查了 12 道数列题，其中 9 道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n 项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。

而文科试题共考查了 11 道数列题，其中 9 道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。

【基础知识】一、等差等比对比二、等差等比补充等差数列篇：1、判定：① a n+1 -a n =d (n ≥ 1) ；a n -a n -1 =d (n ≥ 2) ；② a n+1 +a n-1 = 2a n (n ≥ 1) （等差中项法）③ a n =kn +b ，S n = a1+an2⋅n =ap+aq2⋅n =na1+n(n -1)d ，2S =An2 +Bn （可用于选择填空快速判断，不可用于证明）n1 n n nn +12、函数的观点看数列 （i ）a n = a 1 + (n - 1)d = d ⋅ n + a 1 - d ，所以该通项公式可看作 a n 关于 n 的一次函数， 从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

一、数列多选题1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=答案：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 2．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列C ．2020312a <<D ．2020314a << 答案：ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 3．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误； 对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ）A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >答案：ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.5．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.6．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列答案：AB 【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列中，即， .对于A 选项，，所以A 选项正确. 对于C 选项，，，所以，解析：AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误.对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.7．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥答案：AB 【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果. 【详解】 因为等差数列中， 所以， 又， 所以，所以，，故AB 正确，C 错误； 因为，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.8．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题. 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22答案：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ． 【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-答案：AC 【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与． 【详解】等差数列的前项和为．，， ， 解得，， ．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212nn n S n +-==故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。

[典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．[解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为12的等比数列{a n }，设等比数列的首项为a 1，则a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×12＝12，则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·1＋p [1－1＋p4]1－1＋p＝ap [(1＋p )5－(1＋p )] ＝ap[(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)ap [(1＋p )5－1－p ][方法技巧]1．数列与数学文化解题3步骤2.解答数列应用题需过好“四关”1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m m －1132＋97m ＋m m －1－0.52＝2×1 125，解得m 1＝9或m 2＝－40(舍去)，故选A.2．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )A ．11B ．13C ．15D ．17解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝40532a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.题型二 数列中的新定义问题[典例] 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”，已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝20 190，则b 2b 2 018的最大值是________． [解析] 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是“调和数列”，所以b n ＋1－b n ＝d ，即数列{b n }是等差数列，所以b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝2 019b 1＋b 2 0192＝2 019b 2＋b 2 0182＝20 190，所以b 2＋b 2 018＝20.又1b n >0，所以b 2>0，b 2 018>0， 所以b 2＋b 2 018＝20≥2b 2b 2 018，即b 2b 2 018≤100(当且仅当b 2＝b 2 018时等号成立)， 因此b 2b 2 018的最大值为100. [答案] 100 [方法技巧]新定义数列问题的特点及解题思路新定义数列题的特点是：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．[针对训练]1．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n ＋2)※2 019＝(2n )※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.解析：设a n ＝(2n )※2 019，则由运算性质(1)知a 1＝1， 由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3. 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 0252．定义各项为正数的数列{p n }的“美数”为np 1＋p 2＋…＋p n(n ∈N *)．若各项为正数的数列{a n }的“美数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝________.解析：因为各项为正数的数列{a n }的“美数”为12n ＋1，所以n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n (2n ＋1)，S n －1＝(n －1)[2(n －1)＋1]＝2n 2－3n ＋1(n ≥2)， 所以a n ＝S n －S n －1＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝13，所以a 1＝3，满足式子a n ＝4n －1， 所以a n ＝4n －1(n ∈N *)． 又b n ＝a n ＋14，所以b n ＝n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019＝1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019. 答案：2 0182 019题型三 数列与函数的综合问题[典例] (1)(2019·重庆模拟)已知f (x )＝x 2＋a ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为4x －y －3＝0，a n ＝12f ′(n )－n (n ≥1，n ∈N *)，{a n }的前n 项和为S n ，则下列选项正确的是( )A ．S 2 018－1<ln 2 018B ．S 2 018>ln 2 018＋1C ．ln 2 018<S 1 009－1D ．ln 2 018>S 2 017(2)(2019·昆明模拟)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________.[解析] (1)由题意得f ′(x )＝2x ＋a x ，∴f ′(1)＝2＋a ＝4，解得a ＝2.∴a n ＝12f ′(n )－n ＝12⎝⎛⎭⎫2n ＋2n －n ＝1n (n ≥1，n ∈N *)．设g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1<0，∴g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )<g (0)＝0，即ln(x ＋1)<x .令x ＝1n ，则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1＝ln n ＋1n <1n ，∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n <1＋12＋13＋…＋1n ，故ln(n ＋1)<S n .设h (x )＝ln x ＋1x －1，则当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＝1x －1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (1)＝0，即ln x >1－1x ，x ∈(1，＋∞)．令x ＝1＋1n ，则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1＝ln n ＋1n >1n ＋1，∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1，故ln(n ＋1)>S n ＋1－1.故选A. (2)因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (3－x )＝f (x )，所以f (3＋x )＝f (－x )＝－f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数．由a n ＝n (a n ＋1－a n )可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.a n －2a n －3.....a 2a 1.a 1＝n n －1.n －1n －2.n －2n －3.n －3n －4.. (2)1×1＝n ，即a n ＝n ，所以a 36＝36，a 37＝37，又因为f (－1)＝3，f (0)＝0，所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1)＝f (1)＝－f (－1)＝－3.[答案] (1)A (2)－3 [方法技巧]数列与函数综合问题的类型及注意点1．(2019·玉溪模拟)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝( )A ．18B ．21C ．24D ．30解析：选B ∵函数y ＝x 2(x >0)的导函数为y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．令y ＝0，可得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，∴数列{a n }为等比数列，a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.故选B.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋1解析：选D 因为点(n ，S n ＋3)在函数y ＝3×2x 的图象上， 所以S n ＋3＝3×2n ，即S n ＝3×2n －3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×2n －3－(3×2n －1－3)＝3×2n －1，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3×2n －1.设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，可得b 1＝1，q ＝2，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.由等比数列前n 项和公式可得T n ＝2n －1. 综合选项可知，只有D 正确．3．(2019·抚顺模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象经过(－1，0)点，且在x ＝－1处的切线斜率为－1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1前n 项的和T n .解：(1)函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象经过(－1,0)点， 则a －b ＝0，即a ＝b .①因为f ′(x )＝2ax ＋b ，函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝－1处的切线斜率为－1， 所以－2a ＋b ＝－1.② 由①②得a ＝1，b ＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )＝n 2＋n . 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)， 所以a n ＝S n －S n －1＝2n .当n ＝1时，a 1＝2符合上式，则a n ＝2n . (2)由于a n ＝2n ， 则1a n ·a n ＋1＝12n 2n ＋2＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，则T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4n ＋4.题型四 数列与不等式的综合问题[典例] (2019·福州八校联考)数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2(n ∈N *)． (1)求证：{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n ＋2，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，证明：对任意n ∈N *，都有15≤S n <45.[证明] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)．∵{a n ＋2}是以a 1＋2＝5为首项，公比q ＝2的等比数列，∴a n ＝5×2n －1－2.(2)由(1)可得b n ＝n5×2n －1，∴S n ＝15⎝⎛⎭⎫1＋22＋322＋…＋n 2n －1，① 12S n ＝15⎝⎛⎭⎫12＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②可得S n ＝25⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n1－12－n 2n＝25⎝⎛⎭⎫2－2＋n 2n<45.∴S n <45，又∵S n ＋1－S n ＝b n ＋1＝n ＋15×2n >0，∴数列{S n }单调递增，S n ≥S 1＝15，∴对任意n ∈N *，都有15≤S n <45.[方法技巧]数列中不等式证明问题的解题策略数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2<1k 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1. (2)1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )<1n<2(n －n －1)． [针对训练](2019·广安模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求满足不等式T n ≥1910的最小正整数n .解：(1)由S n ＋1＝S n ＋a n ＋n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，又a 1＝1， 所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝1＋n n2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋n n2. (2)由(1)知1a n＝21＋n n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝2[ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 令2n n ＋1≥1910，解得n ≥19， 所以满足不等式T n ≥1910的最小正整数n 为19.。

数列的综合应用考纲解读 1.以等差、等比数列为基础的混合问题；2.以等差、等比数列为模型的实际应用问题；3.数列与函数、不等式的综合问题．考点一 等差、等比数列的综合问题|方法突破[例1] 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解析] (1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3， 所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27. 所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…)．设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n (1＋2n －1)2＋1－3n1－3＝n 2＋3n －12. [方法提升][跟踪训练]1．(2018·贵州七校联考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，且b 3S 3＝36，b 2S 2＝8(n ∈N *)．(1)求a n 和b n ；(2)若a n <a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n . 解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧q 2(3＋3d )＝36，q (2＋d )＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－23，q ＝6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝13(5－2n )，b n ＝6n －1.(2)若a n <a n ＋1，由(1)知a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. 2．(2017·保定调研)在等差数列{a n }中，a 2＝4，其前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋λn (λ∈R )．(1)求实数λ的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋b n 是首项为λ，公比为2λ的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＝S 2－S 1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ，∴3＋λ＝4，∴λ＝1.∴a 1＝S 1＝12＋1×1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·2＝2n .(2)由(1)知λ＝1，∴1S n＋b n ＝1×2n －1＝2n －1， ∴b n ＝2n －1－1n (n ＋1)＝2n －1－⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝(1＋21＋…＋2n －1)－⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋ ⎝⎛⎭⎫12－13⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－2n 1－2－⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n －2n ＋1n ＋1.考点二 数列与函数的综合|方法突破[例2] (2018·桂林模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .[解析] (1)证明：由已知，b n ＝2a n >0.当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d . 所以数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n . 于是S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1.因此S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43. 所以S n ＝4－(1－3n )·4n ＋19. [方法提升][跟踪训练]设f (x )＝x a (x ＋2)，且f (x )＝x 有唯一解，f (x 1)＝11 003，x n ＋1＝f (x n )(n ∈N *)． (1)求实数a 的值；(2)求数列{x n }的通项公式；(3)若a n ＝4x n －4 009，数列b 1，b 2－b 1，b 3－b 2，…，b n －b n －1是首项为1，公比为13的等比数列，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解析：(1)由题意知x a (x ＋2)＝x 有唯一解， ∴方程ax 2＋(2a －1)x ＝0有唯一解，∴a ＝12. (2)由已知得x n ＋1＝2x n x n ＋2， ∴1x n ＋1＝1x n ＋12， 又f (x 1)＝11 003，即1x 1＝2 0052， ∴1x n ＝1x 1＋12(n －1)＝n ＋2 0042， ∴x n ＝2n ＋2 004. (3)由(2)可得a n ＝2n －1，又b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋…＋(b n －b n －1)＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ， ∴c n ＝a n b n ＝32⎝⎛⎭⎫2n －1－2n －13n ， ∵数列{2n －1}的前n 项和T 1＝1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n －13n 的前n 项和T 2＝13＋332＋…＋2n －13n ＝1－n ＋13n ， ∴S n ＝32⎝⎛⎭⎫n 2－1＋n ＋13n . 考点三 数列与不等式的综合|方法突破[例3] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)．则q 的取值范围为________．(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64.①求数列{a n }的通项公式；②证明：1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N )． [解析] (1)因为{a n }为等比数列，S n >0，可以得到a 1＝S 1＞0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1＞0，当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q＞0， 即1－q n1－q＞0(n ＝1,2,3，…)， 上式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q ＜0，1－q n ＜0，(n ＝1,2,3，…)，① 或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＞0，1－q n ＞0，(n ＝1,2,3，…)．② 解①式得q ＞1，解②式，由于n 可为奇数，可为偶数，得－1＜q ＜1.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)①设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得a 1＝1，d ＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.②证明：由①可知S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1(n －1)2＋1(n ＋1)2>2n 2， 只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2，只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2，只需证3n 2>1，而3n 2>1在n ≥1，n ∈N *时恒成立，并且以上每步均可逆．从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n恒成立． [答案] (1)(－1,0)∪(0，＋∞)[方法提升][跟踪训练]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 7＝－9，S 9＝－992. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n >－34. 解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋6d ＝－9，9a 1＋36d ＝－992， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－32，d ＝－1.所以a n ＝－2n ＋12. (2)证明：由(1)可知S n ＝－n (n ＋2)2. 故b n ＝－1n (n ＋2)＝－12(1n －1n ＋2)， T n ＝－12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n － ⎦⎤⎝⎛⎭⎫13＋14＋15＋…＋1n ＋2 ＝－12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 又因为32－1n ＋1－1n ＋2<32， 所以T n >－34.1.[考点一](2017·高考北京卷改编)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，求a 2b 2. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3， 由b 4＝b 1q 3得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2. ∴a 2b 2＝a 1＋d b 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1. 2.[考点一](2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)·d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3. ①(1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6. ②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.。

§6.6 数列中的综合问题考试要求 数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n 项和公式等．题型一 等差数列、等比数列的综合运算例1 (2023·厦门模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32n 2＋12n ，递增的等比数列{b n }满足b 1＋b 4＝18，b 2·b 3＝32.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若c n ＝a n ·b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n .________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．跟踪训练1 (2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n＋n ＝2a n ＋1. (1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二 数列与其他知识的交汇问题命题点1 数列与不等式的交汇例2 (1)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋ (1)a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，设数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫38，＋∞D.⎝⎛⎭⎫38，＋∞ 听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ,2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列． ①证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求{a n }的通项公式； ②记{a n }的前n 项和为S n ，求证：127⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n ≤S n <7528. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2 数列与函数的交汇例3 (1)(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋4x ，记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若f (a 1＋2)＝100，f (a 2 022＋2)＝－100，则S 2 022等于( )A ．－4 044B ．－2 022C ．2 022D ．4 044(2)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1,2]，且a 4＋λa 10＋a 16＝15，则实数λ的最大值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 (1)数列与不等式的综合问题及求解策略①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n 项和公式、求和方法等对式子化简变形．跟踪训练2 (1)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－x －2 023的两个零点是a 2，a 3，则a 1a 4等于( )A ．2 023B ．1C ．－1D ．－2 023(2)数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，S n为其前n项和．数列{b n}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.①求数列{a n}，{b n}的通项公式；②设c n＝1b n·log2a2n＋2，数列{c n }的前n项和为T n，证明：13≤T n<12.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

一、知识整合1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 二、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

高三数学二轮讲义：数列（1） 班级 姓名1．已知等差数列}{n a 的公差为1，且9999=S ，则99963a a a a ++++ 等于（ ）A ．77B ．66C ．33D ．02．已知f (x )是偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当-2≤x ≤0时，f (x )=2x ，若*N n ∈，)(n f a n =，则=2007a （ ）A ．2007B ．12C ．14D ．2 3．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为 ． 4．已知数列}{n a 的首项211=a ，n S 是其前n 项的和，且满足n n a n S 2=，则此数列}{n a 的通项公式为=n a ． 5．设数列}{n a 的前n 项和2n S n =，且n n n ab 3=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求证：n T <1．6．某地现有居民住房的总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半．当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房，计划10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番．（1）试问每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？（保留到小数点后第一位）？7．已知数列}{n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且)(52*1N n n S S n n ∈++=+．（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小．随堂练习11．已知-9，a 1, a 2,-1四个实数成差数列，-9，b 1, b 2, b 3,-1五个实数成等比数列，则b 2(a 2-a 1)的值等于…………………………………………………………………………………………………（ ）A ．-8B ．8C ．-89D ．89 2．已知数列{}n a 的前n 项和)(3为常数k k S n n +=，那么下述结论正确的是………………（ ）A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列B ．k = -1时，{}n a 是等比数列C ．k =0时，{}n a 是等比数列D ．{}n a 不可能是等比数列3．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ 等于…………（ ）A ．-1221B ．-21.5C ．-20.5D ．-204．设等差数列}{n a 中，931,,a a a 又成等比数列，则=++++1042931a a a a a a ． 5． 已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若m >1，且a m -1-a m 2+a m +1=0，S 2m -1=38，则m = ．6．设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设nn n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n ．7．某企业年初有资金1000万元，如该企业经过生产经营能使资金平均增产率达到50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金再投入生产，为实现5年资金达到2000万元（扣除消费资金后），那么每年应扣除消费基金多少万元？（精确到万元）8．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满足：)(,311*+∈+==N n b a b b n n n .（1）证明数列{a n }为等比数列；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ．高三数学二轮讲义：数列（2） 班级 姓名1．若数列{}n a 中，)1,0(log 1log 1≠>+=+a a a a n a n a ，若1001001=∑=i i a ，则=∑=200101i i a （ ） A ．100a B ．101a C ．101a 100 D ．100a 1002．某人为观看08年奥运会，从01年起，每年5月1日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p ，并约定每年到期存款均自动转为新一年定期，到08年5月1日将本金和利息取回的总数为（ ）A ．7)1(p a +B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p pa +-+ D ．)]1()1[(8p p p a +-+ 3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1401330101030=+=S S S S ，，则20S 的值为 ．4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且向量),(n S n =与)3,4(+=n 共线，则数列}1{n na 的前2007项和为 ． 5．数列}{n a 中，11=a ，当n ≥2时其前n 项和n S 满足)21(2-=n n n S a S ．（1）求n S 的表达式；（2）设12+=n S b n n ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 的前n 项和)2(212+-=n n S n ，数列}{n b 的首项11=b ，且)2(2111≥=---n b b n n n ． （1）求数列}{n a 与}{n b 的通项；（2）求证：存在自然数0n ，对一切不小于0n 的自然数n ，恒有n n b a 5>成立．7．设函数222)(+==x xx f y 上两点),(),(222111y x P y x P ，，若P 为21P P 、的中点，且P 点的横坐标为12．（1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若*1)(N n ni f S n i n ∈=∑=，，求n S ；（3）记n T 为数列{)2)(2(11+++n n S S }的前n 项和，若n T )2(2+⋅<+n S a 对一切*N n ∈都成立，求a 的取值范围．随堂练习21．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于…………………………………………………………………………………（ ）A ．22B ．21C ．19D ．182．已知数列{}n a 中1a =2，n a =1-n a +2n -1 (n ≥2)，则数列{}n a 的一个通项公式是……………（ ）A ．n a =n 2+1B ．n a =(n -1)2+2C ．n a =(n +1)2-2D ．n a =n 2-n +23．假设世界人口自1980年起，50年内每年增长率均固定，已知1987年世界人口达50亿，1999年第60亿个人诞生在赛拉佛耶．根据这些资料推测2023年世界人口数最接近下列哪一个数（ ）A ．92亿B ．86亿C ．80亿D ．75亿4．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．5．已知数列{n a }是公比不为1的等比数列，给出下列六个数列：①｛a n a n +1｝，②｛a n +a n +1｝，③｛a n +1-a n ｝，④｛a n 3｝，⑤｛na n ｝，⑥｛l ga n ｝．其中成等比数列的有 ．6．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且a 1 =1，S n +1= 4a n +2．（1） 设b n = a n +1-2a n ，求证｛b n ｝是等比数列；（2） 设c n = 2n na ，求证｛c n ｝是等差数列； （3） 求S n = a 1+a 2+…+a n -1+a n ．7．已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为S n ,n T ，如果n T >kS n ，对一切自然 数n 都成立，求实数k 的取值范围．8．已知数列n a a a a a n n n 69242}{1321-=++++- 满足．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设)3||log 3(2n n a n b -=，探求使∑=->n i im b 1611成立的m 的最大整数值．随堂练习11．A 2．B 3．C 4．13或1165．10 6．（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当 故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即 （2）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c ]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121n n n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得 ].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T 7．设每年应扣除消费资金x 万元，记n a 为n 年后的资金拥有量， 则x a -=15001 x a a n n -=-15.1 ∴)2(5.121x a x a n n -=-- ∴数列}2{x a n -是以首项x a -=15001，公比为1.5的等比数列 ∴15.1)21500(2-⋅-=-n n x x a 由20005=a 有45.1)21500(22000⋅-=-x x解得x =424万元． 答：（略）8．（1）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++ 01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知由，,21=∴+n n a a 由定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ∴ ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,2221213222112101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222121-+=+--n n n n随堂练习21．D 2．A 3．B 4．4 5．①③④6．提示：（1）由s n +1推出s n 并作差，可得b n = 2b n -1（n ≥2），结合b 1取值得到（1）的证明。