数学专题讲义---数列(完整资料)

数列知识点归纳总结讲义数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。

正如其名称所示，数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。

在学习和应用数列时，我们需要了解一些基本概念和常见的数列类型。

本文将对数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握相关概念。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一组数，用字母表示为{a₁，a₂，a₃，...}。

2. 项与序号：数列中的每个数称为项，对应的位置称为序号。

第一项为a₁，第二项为a₂，以此类推。

3. 通项公式：数列中每个项与它所在的序号之间存在着一定的关系，这种关系用通项公式来表示，通常用aₙ表示第n个项的值。

4. 数列的有穷与无穷：当数列中的项有限个时，称其为有穷数列；当数列中的项无限多时，称其为无穷数列。

二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是一种最为常见的数列类型，其特点是每个项之间的差值相等。

通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。

例如：2，5，8，11，14...就是一个以3为公差的等差数列。

2. 等比数列：等比数列是指数列中每个项与它前一项的比值相等的数列。

通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。

例如：1，2，4，8，16...就是一个以2为公比的等比数列。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第3项开始，每个项都是前两项的和。

通项公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁其中，a₁和a₂为斐波那契数列的前两项。

例如：1，1，2，3，5，8，13...就是一个斐波那契数列。

4. 平方数列：平方数列是指数列中每个项都是某个整数的平方。

通项公式：aₙ = n²其中，n表示项数。

例如：1，4，9，16，25...就是一个平方数列。

5. 等差数列与等比数列混合：有时数列中既存在等差关系，又存在等比关系，称其为等差数列与等比数列混合数列。

数列数列的概念与简单表示法一、数列的概念按一定顺序排列的一列数，叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.所以 数列的一般形式可以写成，⋯⋯n a a a a ,,,321简记为{}n a 注：①项与项之间用“,”隔开；②{}n a 与n a 是两个不同的概念：{}n a 表示数列，⋯⋯n a a a a ,,,321而n a 只表示数列{}n a 的第n 项; ③数列与数集是两个不同的概念:数列中的数是有顺序的,且同一个数在一个数列中可以重复出现；数集中的元素具有无序性和互异性； 二、数列的表示1.列举法：将每一项按一定顺序一一列举出来表示数列的方法．2.图象法：在坐标系中描出(n ，an) 这些孤立的点．3.通项公式法：a n ＝f(n) ．n ∈N *. 4.递推公式法：给出数列{a n }的第1项(或前几项)及之后各项与它相邻的前一项(或前几项) 之间的关系式来表示数列．四、数列的通项公式 1.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{}n ⋯,2,1）为定义域的函数a n ＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)（i=1,2,3,…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…，f(n),… ①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想来解题；②数列的特殊性：由于它的定义域是*N或它的有限子集，所以数列的图像是一系列孤立的点；2.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.①数列的的通项公式即第n 项的表达式； ②并不是所有的数列都有通项公式，如π的不足近似值组成的数列1，1.4，1.41，1.414，……就没有通项公式．③若一个数列有通项公式，它的形式可能不唯一，如数列：－1，1，－1，1，……的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋1，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 （n 为奇数），1 （n 为偶数）.④由通项公式可以写出数列中的每一项； 五、数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前n 项)，且从第2项（或某一项）开始的任一项a n 与它的前一项1-n a （或前几项）简的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的递推公式， 如一阶递推a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)； 二阶递推a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n .①并不是所有的数列都有递推公式；②递推公式反应的是项与项之间的关系，通项公式反应的是项与项数之间的关系，它们之间可以互相转化；六、 数列单调性的判定 1.作差比较法:①若a n1－a n >0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n ＋1－a n <0恒成立，则数列{a n }是递减数列． 2.作商比较法：①若a n >0，则当a n ＋1a n >1时，数列{a n }是递增数列，当a n ＋1a n <1时，数列{a n }是递减数列；②若a n <0，则当a n ＋1a n <1时，数列{a n }是递增数列，当a n ＋1a n>1时，数列{a n }是递减数列．3.函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性． 七、求数列的最大（小）项的方法 1.不等式组法 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.得数列的最大项a n ； 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.得数列的最小项a n ； 当解不唯一时，比较各解大小即可 2.函数法将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n ∈N ＋这一条件． 八、由数列的递推公式求通项公式 1.形如：)(1n f a a n n +=+累加法：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 2.形如：)(1n f a a n n =+累乘法：九、前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n nn等差数列一、 等差数列的定义1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2.数学语言：a n －a n －1＝d (n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，其中d 为常数①从第二项起；②同一个常数；③公差d 为后一项减前一项；④定义法可以判断一个数列是否为等差数列；二、 等差中项1.若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且2b a A +=．2.推论：{a n }是等差数列⇔112+-+=n n n a a a (n ∈N *)①任何两个数都有等差中项；②等差中项必唯一； ③等差中项法可以判断一个数列是否为等差数列；三、等差数列的通项公式1.通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d （n ∈N *）； 首项a 1、公差d 、项数n 和第n 项a n ，知三求一 2.通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)．⇔d=a m －a nm －n(m ≠n ) ①已知等差数列中的任意两项就可确定等差数列中的任意一项； ②上式通常用来求等差数列的公差；3. 通项公式的结构特征：a n ＝dn ＋(a 1－d ),①d ≠0时，a n 为关于n 的一次函数；②d>0时,数列{a n }是递增数列；d=0时，数列{a n }是常数列；d<0时，数列{a n }是递减数列．③通项公式法法可以判断一个数列是否为等差数列；四、等差数列的性质若{a n }为等差数列，公差为d ，则： 1.m ＋n ＝p ＋q ⇔a m ＋a n ＝a p ＋a q （d ≠0）；m ＋n=2p ⇔a m ＋a n ＝2a p （d ≠0）；其中m ，n ，p ，q ∈N*2.下标成等差数列的项仍为等差数列：a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，a k ＋3m ，……成等差数列，且公差为md.3.若{a n }是公差为d 的等差数列，则{λa n +b}为等差数列．公差为d λ；4.若{a n }、{b n }分别是公差为21d d 、的等差数列，则{λa n ＋μb n }为等差数列．公差为21d d μλ+；5.等差数列的设项方法：（1）通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d （n ∈N *） （2）对称法：当等差数列{a n }中n 为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项： …，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项： …，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．五、 等差数列的前n 项和公式1.等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则等差数列的前n 项和公式为：2)(1n n a a n S +=dn n na ·2)1(1-+=, （在等差数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1、d 、n 、a n 、S n 五个量，知三求二） 2..常见等差数列的前n 项和公式：()()nn n n n n n n +=+++=-++++=++++2226421253121321 3.公式的结构特征：（1）2)(1n n a a n S +=：形似梯形面积公式；（2） （d ≠0时，S n为关于n 的常数项为0的二次函数）4..S n 的最值：d>0时，S n 有最小值；d<0时，S n 有最大值； n 取与对称轴较近的正整数时，S n 取得最值；5.判断等差数列的方法（1）定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)（d 为常数）⇔{a n }为等差数列 （2）等差中项法：112+-+=n n n a a a (n ∈N *)⇔{a n }为等差数列 （3）通项公式法：a n 为关于n 的一次函数⇔{a n }为等差数列 （4）前n 项和公式法：S n 为关于n 的常数项为0的二次函数 六、等差数列及前n 项和的性质等差数列{a n }的首项是a 1、公差是d 、第n 项为a n 、前n 项的和为S n 1.n 为奇数时，21+==n n na na S 中；或()n n a n S 121-2-=;2.n n T S 、分别为等差数列n n b a 、的前n 项和，则n 为奇数时，2121++=n n n n b a T S 或1-21-2m m n m T S a a =3.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，公差为⎭⎬⎫⎩⎨⎧2d （原公差的一半）； 4.连续n 项求和仍成等差数列：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列．公差是d n 2； 5.若()p m S S p m ≠=，则0=+p m S ；6.若()p m m S p S p m ≠==,，则()p m S p m +-=+；Bn An n d a n d S n +=⎪⎭⎫⎝⎛-+=212227.奇偶问题：（1）若等差数列的项数为2n(n ∈N *)，记S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1，则S 偶－S 奇＝nd ，nn a a S S 1+=奇偶； （2）若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *)，记S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n－2，则S 奇－S 偶＝a n (中间项)，S 奇S 偶＝nn －1.8.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． （1）函数法：用求二次函数最值的方法来求其前n 项和的最值，需要注意：n ∈N*；n 取与对称轴较近的正整数时，S n 取得最值；（2）图像法：利用二次函数图像的对称性来确定n 的值使S n 取最值； （3）通项法：当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值：由0≥m a 得m n ≤，若m 为正数，则S n 最大值为S m =S m-1 若m 为分数，则S n 最大值为[]m S 当a 1<0，d ＞0时，S n 有最小值：由0≤m a 得m n ≤，若m 为正数，则S n 最小值为S m =S m-1 若m 为分数，则S n 最小值为[]m S 9.等差数列{a n }各项取绝对值后组成的数列{}n a 的前n 项和问题：（1）等差数列{a n }的各项都为非负数，这种情形下{}n a 就等价于数列{a n }，则数列{}n a 的前n 项和为数列{a n }的前n 项的和S n ；（2）等差数列{a n }的各项都为非正数，这种情形下{}n a 就等价于数列{-a n }，则数列{}n a 的前n 项和为数列{a n }的前n 项的和的相反数-S n ；（3）等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，这种数列只有前面有限项（m 项）为非负数，其余所有项都为负数，可把数列{a n }分成两段处理，{}n a 的前n 项和T n =S m -(S n -S m )=2S m -S n （4）等差数列{a n }中，a 1<0，d ＞0，这种数列只有前面有限项（m 项）为非正数，其余都为正数，同样可以把数列{a n }分成两段处理，{}n a 的前n 项和T n =-S m +(S n -S m )=S n -2S m 总之，解决此类问题关键是找到数列{a n }的正负分界点；等比数列一、 等比数列的定义1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示．①从第二项起；②同一个常数；③公比q 为后一项与前一项之比；2.数学语言：()21≥=-n q a a n n 或q a a nn =+1(n ∈N *)，其中q 为常数 ①0,0≠≠q a n ；q>0时，各项同号，q<0时，为正负交替的摆动数列；q=1时，为非零常数列(既是等差数列，又是等比数列)； q=-1时，各项的绝对值相等且S 2n =0;②定义法可以判断一个数列是否为等比数列；二、 等比中项1.若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a ，b 的等比中项，ab G =2，即ab G ±=． （同号的两个正数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数）2.推论：{a n }是等比数列⇔112·+-=n n n a a a (n ∈N *)等比中项法可以判断一个数列是否为等比数列；三、等比数列的通项公式1.通项公式：11-⋅=n n q a a （n ∈N *）； 首项a 1、公比q 、项数n 和第n 项a n ，知三求一 2.通项公式的推广：m n m n q a a -⋅=(m ，n ∈N *)⇔mnm n a a q =-(m ≠n ) ①已知等比数列中的任意两项就可确定等比数列中的任意一项； ②上式通常用来求等比数列的公比；3.通项公式的结构特征：nn n q qa q a a ⋅=⋅=-111 ①10≠>q q 且时，数列{a n }为关于n 的指数类函数；②a 1>0,q>1或a 1<0,0<q<1时,数列{a n }是递增数列；a 1>0,0<q<1或a 1<0,q>1时，数列{a n }是递减数列； q=1时，数列{a n }是常数列；q<0时，数列{a n }是摆动数列；③通项公式法法可以判断一个数列是否为等比数列；四、等比数列的性质若{a n }为等比数列，公比为q ，则： 1.ts n m a a a a t s n m ··=⇔+=+；2·2tn m a a a t n m =⇔=+；其中m ，n ，s ，t ∈N *；2.下标成等差数列的项成等差比数列：a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，a k ＋3m ，……为等比数列，且公比为m q .3.若{a n }是公比为q 的等比数列，则{}{}{}n n n n a a a a 、、、21⎭⎬⎫⎩⎨⎧λ也为等比数列，公比分别为q q qq 、、、21； 4.若{a n }、{b n }分别是公比为21q q 、的等比数列，则{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n b a b a 、·为等比数列，公比分别为2121·q qq q 、； 5.若{a n }是各项均为正数的公比为q 的等比数列，则{}n b a log 为等差数列，公比为q b log ； 6.若{a n }是公差为d 的等差数列，则{}n a b 为等比数列，公比为d b ； 7.等比数列的设项方法：（1）通项法：设数列的通项公式，即设11-⋅=n n q a a （n ∈N *）；（2）对称法：三个数成等比数列时，可设这三个数分别为aq a qa、、；注意：四个数成等比数列时，不能设为33aq aq qa qa 、、、，这样隐含了公比02>q 这一条件，可能会产生失根； （3）若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a ，b 的等比中项，此即为设项的理论依据； 五、 等比数列的前n 项和公式1.等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，其前n 项和公式为()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1,1111,111q q qa a qq a q na S n n nn①在运用等比数列的前n 项和公式时，一定要注意讨论公比q 是否为1.②在等差数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1、d 、n 、a n 、S n 五个量，知三求二；2. 公式的结构特征：()()11-111111≠-=--=--=q Aq A q qaq a q q a S n n n n ，（1≠q 时，n q 的系数与常数项互为相反数）3.判断等比数列的方法 （1）定义法：：()21≥=-n q a a n n 或q a a nn =+1(n ∈N *)，（q 为常数）⇔{a n }为等比数列； （2）等差中项法：112·+-=n n n a a a (n ∈N *)⇔{a n }为等比数列； （3）通项公式法：nn n q qa q a a ⋅=⋅=-111⇔{a n }为等比数列 （4）前n 项和公式法：()()1111≠-=--=q Aq A qq a S n n n ， 七、等比数列及前n 项和的性质等比数列{a n }的首项是a 1、公比是q 、第n 项为a n 、前n 项的和为S n 1. “片段和”性质：连续n 项的和仍成等差数列：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等比数列．公差是nq ；注：这连续m 项的和必须非零才能成立2.“相关和”性质：n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+；()n nn S q S +=12；n nnq S S +=12 3.项的个数的“奇偶”性质： 若等比数列{a n }的项数为n ，当n 为偶数时，;;1-3142n n a a a S a a a S ++=++=奇偶则q S S =奇偶； 当n 为奇数时，;;14231-++=++=n n a a a S a a a S 偶奇则()偶奇偶奇S a S q qS a S n =-+=;1；数列求和的6种方法方法一、公式法求和适用：已知数列类型，直接写出前n 项和；1、等差数列的前n 项和公式 ：S n ＝(a 1＋a n )n 2＝na 1＋n (n －1)2d ；2、等比数列的前n 项和公式 ：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，常用公式：1、1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；2、1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；3、12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.4、()2333321321⎪⎭⎫⎝⎛+=++++n n n例 1 . 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n .解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75.即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)． ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n . 例2．求和S ＝1＋x ＋x 2＋x 3＋…＋x n . 解：当x ＝1时，S ＝1＋1＋…＋1＝n ＋1，当x ＝0时，S ＝1，当x ≠1且x ≠0时，S ＝1－x n ＋11－x.综上S ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ＝0n ＋1 x ＝11－x n ＋11－x x ≠1且x ≠0.方法二、分组求和适用：如果数列{c n }的通项公式可以写成c n ＝a n +b n 的形式，且数列{a n }、{b n }是等差数列或等比数列或能转化为可以求和的数列； 例3 等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n＋n .所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.例4数列{a n }的通项公式a n ＝n cosn π2，其前n 项和为S n ，求S 2016解：本题考查了数列求和中的分组求和思想方法．∵y ＝cosn π2的周期T ＝2ππ2＝4，∴可分四组求和． a 1＋a 5＋…＋a 2013＝0，a 2＋a 6＋…＋a 2014＝－2－6－…－2 014＝504·(－2－2 014)2＝－504×1 008，a 3＋a 7＋...＋a 2015＝0， a 4＋a 8＋...＋a 2016＝4＋8＋ (2016)504·(4＋2 016)2＝504×1 010，∴S 2016＝0－504×1 008＋504×1 010＝504·(－1 008＋1 010)＝1 008.方法三、错位相减法适用：如果数列{c n }的通项公式可以写成c n ＝a n ·b n 的形式，且数列{a n }是等差数列、{b n }是等比数列，可采取乘公比后错位相减法求和；步骤：第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q .第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对齐，然后两边同时作差． 第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n .例 5 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列{b n a n}的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n. (2)由题意知：S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋(12＋122＋…＋12n －1)－2n ＋12n ＋1＝32＋12[1－(12)n －1]1－12－2n ＋12n ＋1＝52－12n －1－2n ＋12n ＋1.所以T n ＝5－2n ＋52n .例 6 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当x ＝0时，1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1；当x ＝1时，1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当x ≠0且x ≠1时．记S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，则xS n ＝x ＋2x 2＋…＋(n －1)x n －1＋nx n 两式相减得：(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋xn－1－nx n＝1－x n1－x－nx n ∴S n ＝1－(1＋n )x n ＋nx n ＋1(1－x )2由2S n ＝3a n －1① 2S n －1＝3a n －1－1②(n ≥2) ①－②得2a n ＝3a n －3a n －1，∴a na n －1＝3(n ≥2)，又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.（2）由①得：b n＝n3n－1∴T n＝130＋231＋332＋…＋n3n－1，③13T n＝131＋232＋…＋n－13n－1＋n3n，④③－④得：23T n＝130＋131＋132＋…＋13n－1－n3n＝1－13n1－13－n3n＝32－2n＋32×3n∴T n＝94－6n＋94×3n.方法四、裂项相消法适用：如果数列{a n}的每一项都可以拆成两项或三项等，并使它们在相加时除了首位各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，可利用裂项相消法求和.1、等差型：1a n a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)，1a n a n＋2＝12d(1a n－1a n＋2)．其中{a n}是等差数列常见：()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+knnkknn1111；()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+1211-2121121-21nnnn其它:()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++211-1121211nnnnnnn()()()()nnnnnnn11211-21121-241-⋅⎪⎭⎫⎝⎛++=+⋅-()()⎪⎭⎫⎝⎛++=+121-1-21211121-242nnnnn2、无理型：1n＋k＋n=()nknk-+13、对数型：nanannaaaaalogloglog11-=++4、指数型：()()()babababaaannnnn+-+=++-++11111，因为()nnn aaaa-=-+115、三角函数型：()()βαβαβαtantan1tantantan⋅+-=-6、阶乘和组合数公式型：()!1!+=nnn；11-+=-mnmnmnCCC7、差比型：{}n a是等差数列，{}n b是等比数列，()()11111--+=⋅+=⋅=nnnnnqbbnkbqbbknbac设因为11bbnkb+是关于n的一次式，于是，设()()[]()()[]11111--+-+-=+--+=nnnnqABqnqAqBnAqBAnc①②和公式例 7 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .①求{a n }的通项公式； ②求数列{a n2n ＋1}的前n 项和．解：①因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2. 所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1(n ∈N *)．② 记{a n 2n ＋1}的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1.例 8 已知数列{1n ＋n ＋1}的前n 项和S n ＝9，求n 解：记a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；则a 1＝2－1，a 2＝3－2，a 3＝4－3，…，a n ＝n ＋1－n .∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. 令n ＋1－1＝9，解得n ＝99.例 9 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1＋n －2.①求数列{a n }的通项公式； ②设b n ＝log 2(a n －1)，11+=n n n b b c ，求n c 的前n 项的和n T 解：①由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2n ＋1＋n －2S n －1＝2n＋(n －1)－2(n ≥2)，则a n ＝2n ＋1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，综上a n ＝2n ＋1.②由b n ＝log 2(a n －1)＝log 22n ＝n .得n c =1n (n ＋1)∴n T ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1例 10 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)∵d ＝2，∴S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2＝2(a 1＋1)，S 4＝4a 1＋12＝4(a 1＋3)∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 1·S 4＝S 22，即4a 1(a 1＋3)＝4(a 1＋1)2，，解得a 1＝1 ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎪⎭⎫⎝⎛++1211-21n n ③则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎪⎭⎫⎝⎛++--⎪⎭⎫⎝⎛-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211211213215131-311n n n n ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 当n 为奇数时，T n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+121121121321-5131-311n n n n ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1 ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，(n 为奇数)2n2n ＋1，(n 为偶数)或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1.例 11 求数列n n n a 3)12(⋅-=的前n 项的和n T解： 设()[]()()n n n n B A An B An B n A a 32323311⋅++=⋅+-⋅++=+由⎩⎨⎧-=+=12322B A A 得，⎩⎨⎧-==21B A∴()[]()()()n n n n n n n n n a 32-31-32-32-111⋅-⋅=⋅-⋅+=++()()()33132313233313230313301145342312+⋅-=⋅--⋅-++⋅-⋅+⋅-⋅+⋅+⋅++⋅=∴++n n n n n n n S方法五、倒序相加法 适用：与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解．例 12 设f (x )＝x 21＋x 2，求f (12 019)＋f (12 018)＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)解：∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (x )＋f (1x )＝1.令S ＝f (12 019)＋f (12 018)＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)．①则S ＝f (2 019)＋f (2 018)＋…＋f (1)＋f (12)＋…＋f (12 019)．②∴2S ＝4 037，∴S ＝4 0372注意：本题易错在项数异错得出错误结论2S ＝4 038. 方法六、并项求和法适用：若数列中相邻两项或几项的和是同一常数或者有规律可寻，可采取并项求和法； 例 13 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，求S 60 解：∵a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，∴a 3－a 1＝1，a 5－a 3＝1，a 7－a 5＝1，…，且a 4＋a 2＝1，a 6＋a 4＝1，a 8＋a 6＝1，…. ∴{a 2n －1}为等差数列，且a 2n －1＝1＋(n －1)×1＝n ，即a 1＝1，a 3＝2，a 5＝3，a 7＝4，…. ∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋1＋2＝4，S 8－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3＋4＋1＝8， S 12－S 8＝a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5＋6＋1＝12，….∴该数列构成以4为首项，4为公差的等差数列．∴S 60＝4×15＋15× 142×4＝480.例 14 若a n ＝(－1)n ·n 2，求数列{a n }的前n 项和S n ＝ 解：由题意知S n ＝－1＋22－32＋42－52＋62＋…＋(－1)n n 2当n 为偶数时S n ＝(－1＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[(－1)n －1(n －1)2＋(－1)n n 2]＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当n 为奇数时S n ＝(－1＋22)＋(－32＋42)＋…＋[(－1)n －2(n －2)2＋(－1)n －1(n －1)2]－n 2＝1＋2＋3＋…＋(n －1)－n 2＝－n (n ＋1)2综上可知S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2(n 为偶数)－n (n ＋1)2(n 为奇数).求数列通项公式的8种方法一、形如：)(1n f a a n n +=+累加法：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1所以数列的通项公式为。

《数列》讲义一、数列的定义在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。

例如，1，3，5，7，9 就是一个数列；再比如，2，4，6，8，10 也是一个数列。

数列中的每一个数都被称为这个数列的项。

我们可以用符号 a₁，a₂，a₃，…，aₙ 来表示数列中的各项，其中 n 表示项数。

比如在数列 1，3，5，7，9 中，a₁＝ 1，a₂＝ 3，a₃＝ 5 等等。

二、数列的分类数列有多种分类方式。

1、按照项数的多少，数列可以分为有限数列和无限数列。

有限数列的项数是有限的，比如1，2，3，4，5 就是一个有限数列，它只有 5 项。

无限数列的项数是无限的，例如 1，2，4，8，16，… 就是一个无限数列，它的项数没有尽头。

2、按照数列的单调性，数列可以分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

递增数列是指从第二项起，每一项都大于它前一项的数列，比如1，2，3，4，5 。

递减数列是指从第二项起，每一项都小于它前一项的数列，例如5，4，3，2，1 。

常数列是指各项都相等的数列，像 3，3，3，3，3 。

摆动数列则是指从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，比如 1，－1，1，－1，1，－1 。

三、数列的通项公式如果数列{aₙ}的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

例如，数列 2，4，6，8，10，… 的通项公式可以表示为 aₙ ＝ 2n 。

通过通项公式，我们可以很方便地求出数列中的任意一项。

但并不是所有的数列都有通项公式，有的数列的规律比较复杂，难以用一个简单的公式来表示。

四、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

例如，数列 3，5，7，9，11 就是一个公差为 2 的等差数列。

2、通项公式等差数列的通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d ，其中 a₁是首项，d是公差。

数列数列的概念及其表示1 数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N *或N *的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2 数列的表示方法3 数列的分类4 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).5 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．【例1】(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n ，则此数列的通项公式为a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，求S n .[解析] (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.(2)∵当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0，即1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2，∴1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， ∴S n ＝12n.【过关练习】1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.2.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).第2部分 等差数列及前n 项和1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.【例1】数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n ) ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5， …，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得 a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝n 2－2n ＋2.【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．【过关练习】1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.2.已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11，∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n (20－2n ＋22)2＝(21－n )n ；当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋(n －11)(2＋2n －22)2＝n 2－21n ＋220.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(21－n )n ，n ≤11n 2－21n ＋220，n >11.3．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4. (1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 解 (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.第3部分 等比数列及前n 项和1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －m .4 等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).5 等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 等比数列及其前n 项和的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． (6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n.【例2】已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．解 (1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ， 又b 1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．【过关练习】1．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，解得a ＝5， ∴b 3＝7－d ，b 4＝10，b 5＝18＋d . ∵b 3，b 4，b 5成等比数列，∴b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝102，化简，得d 2＋11d －26＝0，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，b 4＝10，b 5＝20， ∴数列{b n }的公比q ＝105＝2， 数列{b n }的通项公式为b n ＝b 3q n －3＝5×2n －3. (2)由b 3＝5，q ＝2，得b 1＝b 3q 2＝54，∴数列{b n }是首项为b 1＝54，公比为q ＝2的等比数列，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1(1－q n )1－q＝5×2n －2－54.2已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋3×2d2＝a 1＋3d ＋6.所以a 1＝3. 因为a 1，a 4，a 13成等比数列， 所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2.解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1. (2)由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1，c n ＋1c n ＝22(n ＋1)＋122n ＋1＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝8(1－4n )1－4＋n ＝22n ＋3－83＋n .第4部分 数列求和、数列的综合应用数列的求和方法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.③常见数列的前n 项和公式： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.(2)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2；③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(5)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．【例1】(1)已知等差数列{a n }，公差d >0，前n 项和为S n ，且满足a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14.①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； ②设b n ＝S nn ＋c ，若{b n }也是等差数列，试确定非零常数c ，并求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和T n . (2)数列{a n }的前n 项的和为S n ，对于任意的自然数a n >0,4S n ＝(a n ＋1)2. ①求证：数列{a n }是等差数列，并求通项公式； ②设b n ＝a n3n ，求和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .[解] (1)①依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5(舍去)，∴a n ＝4n －3，S n ＝2n 2－n . ②由①知b n ＝2n 2－n n ＋c.数列{b n }是等差数列，则2b 2＝b 1＋b 3，即 2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12，∴b n ＝2n .则1b n ·b n ＋1＝12n ·(2n ＋2)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1).(2)①证明：令n ＝1,4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2， 解得a 1＝1， 由4S n ＝(a n ＋1)2， 得4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，两式相减得4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2， 整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0， ∵a n >0， ∴a n ＋1－a n ＝2，则数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ②由①得b n ＝2n －13n，T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n ＋1，② ①－②得23T n ＝13＋2⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1 ＝13＋2×19⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13－2n －13n ＋1 ＝23－2n ＋23n ＋1， 所以T n ＝1－n ＋13n. 【例2】已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n－1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎨⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0， 得n (n ＋1)2n≤5·(5＋1)25<1. 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.【过关练习】1.在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. ①求数列{a n }的通项公式； ②令b n ＝2an－10，证明：数列{b n }为等比数列；③求数列{nb n }的前n 项和T n .[解] (1)①设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝2. 所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. ②证明：由①，得b n ＝2an －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，所以b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列．③由nb n ＝n ×4n ，得T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ×4n ①， 4T n ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1 ②，①－②，得－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ×4n ＋1＝4(1－4n )－3－n ×4n ＋1.所以T n ＝(3n －1)×4n ＋1＋49.2.已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －20042对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .[解] (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n＋23， ∴{a n }是以23为公差，首项a 1＝1的等差数列，∴a n ＝23n ＋13.(2)当n ≥2时， b n ＝1a n －1a n＝1⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝92⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 当n ＝1时，上式同样成立． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －20042，即92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<m －20042对一切n ∈N *成立， 又92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1随n 递增，且92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －20042，∴m ≥2013，∴m min ＝2013. 课后练习【补救练习】1.已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，12a 3,4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝( )A ．－1B ．1C ．52nD ．52n －1答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，解得q ＝－1或q ＝5.又q >0，因此q ＝5，所以a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n ＋a 2q 2na 1＋a 2＝q 2n ＝52n ，选C.2．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．1 答案 C解析 由题意可知a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数，故a n ＝0舍去)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，所以log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.3．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511 D ．1023 答案 B解析 ∵2a 4，a 6,48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，解得a 1＝1，∴S 8＝1×(1－28)1－2＝255.4．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于 ( )A ．126B ．130C ．132D ．134 答案 C解析 ∵b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n为常数， ∴{b n }为等差数列．设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负， ∴S 11，S 12最大且S 11＝S 12＝132.5.设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________.答案 －513解析 由S 7－S 5＝4(T 6－T 4)得，a 6＋a 7＝4(b 5＋b 6)， 又a 5＝b 5，a 6＝b 6，所以a 6＋a 7＝4(a 5＋a 6)， 所以6a 1＋25d ＝0，所以a 1＝－256d ， 又q ＝b 6b 5＝a 6a 5＝－256d ＋5d －25d6＋4d ＝－5，所以a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 6b 5(q 2＋1)＝2b 6b 5(q 2＋1)＝2q q 2＋1＝－513. 【巩固练习】1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝25－n，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋k ，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，a n ≤b n ，a n ，a n >b n ，若在数列{c n }中，c 5≤c n 对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案 [－5，－3]解析 c n 是取a n 和b n 中的较大值，又c 5是数列{c n }中的最小项，由于函数y ＝25－n 是减函数，函数y ＝n ＋k是增函数，所以b 5≤a 5≤b 6或a 5≤b 5≤a 4，即5＋k ≤25－5≤6＋k 或25－5≤5＋k ≤25－4，解得－5≤k ≤－4或－4≤k ≤－3，所以－5≤k ≤－3.2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4≥4，S 7≤28，则a 10的最大值为________． 答案 16解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4≥4，S 7≤28，∴⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ≥4，S 7＝7a 1＋7×62d ≤28，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥2，a 1＋3d ≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋3d ＋6d ≤4＋6d ，a 10＝a 1＋9d ＝12(2a 1＋3d )＋15d 2≥2＋15d2， ∴2＋15d 2≤a 10≤4＋6d ，∴2＋15d2≤4＋6d ，解得d ≤2， ∴a 10≤4＋6×2＝16.3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n . 解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d .由T 3＝15，即b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列可得(5－d ＋1)·(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d ＝2或d ＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正，∴d >0， ∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 4. 数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >n n ＋1.解 (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1， ∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.证法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 证法二：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>1，又∵1>n n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.【提高练习】1.设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 C解析 因为对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，所以令x ＝n ，y ＝1，得f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1a n＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝12，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以S n＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，则S n ∈⎣⎡⎭⎫12，1.故选C.2．已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2an )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性． 解 (1)由已知得log 22an －1log 22a n＝2n ， ∴a n －1a n ＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0，∴a n ＝n ±n 2＋1. ∵0<x <1，∴0<2a n <1，∴a n <0.∴a n ＝n －n 2＋1. (2)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1－(n －n 2＋1)＝1－2n ＋1(n ＋1)2＋1＋n 2＋1>1－2n ＋1(n ＋1)＋n ＝0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列．3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝lga n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意得1a n ＋1－1a n ＝1， 又因为a 1＝1，所以1a 1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n .(2)由(1)得b n ＝lg n －lg(n ＋2)，所以S n ＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n －2)－lg n ＋lg (n －1)－lg (n ＋1)＋lg n －lg (n ＋2)＝lg 1＋lg 2－lg (n ＋1)－lg (n ＋2)＝lg2(n ＋1)(n ＋2).。

⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。

其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。

定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。

定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

一． 等差、等比数列的基本理论 ⑴等差、等比数列：⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法： ①1(2,)n n a a q n q -=≥为非零常数②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) ③n n cq a =(q c ,为非零常数).⑷数列{n a }的前n 项和n S 与其通项n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn例1. 在等差数列{}n a 中，972S =。

求249?a a a ++= 解：法一：因为9119(91)9936722S a d a d -=+=+=所以148a d +=249113123(4)3824a a a a d a d ∴++=+=+=⨯=法二：因为91289...72S a a a a =++++= 而19285...2a a a a a +=+== 所以 5972a = 58a ∴=249533824a a a a ∴++==⨯=例2. 在等比数列{}n a 中，11a =，634S S =。

求4?a = 解：因为634S S =所以公比1q ≠（事实上，若1q =，则6166S a ==，3133S a ==此时显然不满足题设条件634S S =）于是有 6311(1)(1)411a q a q q q--=-- 6314(1)q q ⇒-=-又6331(1)(1)q q q -=+-314q ∴+= 33q ∴= 341133a a q ∴==⨯=例3. 在等差数列{}n a 中，535a a =。

求95?S S = 解：法一：19551513319(91)999(4)992595(51)5(2)55552a d S a a a d S a d a a a d -++====⋅=⋅=-++法二：因为95539,5S a S a == 所以95553399959555S a a S a a ==⋅=⋅= 例4. 设数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=， n *∈N 。

1 2012高一暑期补课数学讲义第三部分数列第一节等差与等比数列的性质的应用2课时知识梳理：一、等差数列、等比数列的基本性质等差数列等比数列定义a n+1－a n ＝d 1n na a ＝q通项公式a n ＝a 1+（n －1）d a n ＝a 1×qn-1中项a ，A ，b 成等差数列2a bA a ，A ，b 成等比数列G ab （ab ＞0）前n 项和11212n n n a a S n n na d 11,1,1;11nn n aqS q q S na q 二、等差数列、等比数列的性质条件等差数列等比数列1.m ≤n ，m ，n ∈N * a n ＝a m +（n －m ）d a n ＝a m ×q n-m2.m+n ＝p+q （四．个正整数）a n +a m ＝a p +a q a n ×a m ＝a p ×a q3.距首尾等距的两项a 1+a n ＝a 2+a n －1＝…（和相等）a 1×a n ＝a 2×a n －1＝…（积相等）4.子数列的足码成等差数列，则子数列成等差数列成等比数列5.倒序数列成等差数列成等比数列6.间隔相等的等长片断和成等差数列，如S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列成等比数列（片断和不能为零）典型例题：一、基本量运算[例1]（暑假15）已知等差数列{}n a 前三项的和为3，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和.[解析]（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d ，312a a d ，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d 解得12,3,a d 或14,3.a d 所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n ，或43(1)37n a n n .故35n a n ，或37n a n .（Ⅱ）当35n a n 时，2a ，3a ，1a 分别为1，4，2，不成等比数列；当37n a n 时，2a ，3a ，1a 分别为1，2，4，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n。