指数函数、对数函数及幂函数

指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。

指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=a x(a ＞0，a ≠1) y=log a x(a ＞0，a ≠1)定义域 (-∞，+∞) (0，+∞) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞)函 数 值 变 化 情 况当a ＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1x x x a x 当0＜a ＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1x x x a x 当a ＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0log x x x x a当0＜a ＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0log x x x x a单调性 当a ＞1时，a x是增函数；当0＜a ＜1时，a x是减函数.当a ＞1时，log a x 是增函数； 当0＜a ＜1时，log a x 是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x 的图像关于直线y=x 对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握ny x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<n<定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。

指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题指数函数、对数函数及幂函数知识总结一、知识框图二、知识要点梳理函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.常见性质n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.常见性质几个重要的对数恒等式，，.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.三、考题训练1.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ11）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是（ ）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 2.（2012·安徽高考文科·Ｔ3）（2log 9）·（3log 4）=（ ）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 3.（2012·天津高考文科·Ｔ6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（ ）2x （A ）y=cos ，x R ∈ 2||x （B ）y=log ， 0x R x ∈≠且 2x xe e --（C ）y=， x R ∈ 3+x （D ）y=1， x R ∈4.（2012·北京高考文科·Ｔ12）已知函数f （x ）=lgx ，若f （ab ）=1，则f （a 2）+f （b 2）=___________.5.（2012·江苏高考·Ｔ5）函数6()12log f x x=-的定义域为 .6.（2012·山东高考文科·Ｔ15）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝ .7.函数y=(31)x -2x 在区间[-1, 1]上的最大值为 .8.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g = A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-9.若函数f （x ）=log x a 在[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a=___ 10．函数y =的定义域是____________10．f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧〉〈-)1(log )1(281x x xx 则满足f （x ）=41的x 的值是_______________3 11．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f (a +b )的值为A. 1B. 2C. 3D. 3log 2 12．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. 1>a B. 1,0≠>a a C. 10<<a D. φ∈a . 13.方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________14.21-=a 是函数ax e x f x ++=)1ln()(为偶函数的c（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件15.已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a的范围是 .16.函数y=log 2(1-x)的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）16.已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值17.设函数,241)(+=xx f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++=K 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.。

(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0;
质
x>1时, y>0
x>1时, y<0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
x
小
x
指数函数的图象和性质 y a
图 象 性 值域:
y
x
(a 0且a 1)
a>1
y 1 o
0<a<1
1 o R (0,&#义域:
过定点: 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1, 当x<0时，y>1. 质 当x<0时，0<y<1. 单调性：是R上的增函数 单调性：是R上的减函数 奇偶性： 非奇非偶 奇偶性： 非奇非偶
1. 幂函数的图像
y x, y x , y x ,
2 3
y
y x , y x
的图象.
1 2
y x3 y x2 y x
1
yx
1
1 2
yx
1
O1
y x 2
x
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，
并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a＞0，则幂函数图象过原点， 并且在区间 [0,＋∞)上是增函数；
3、对数函数的图像
y log2 x y log0.5 x y lg x
y log0.1 x
1
对数函数的图象和性质
a>1 图 象
o y (1, 0) x
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)