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系统辨识实验报告

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. .. . .. .s.. .. . .. 一、相关分析法 (1)实验原理

)1)(1()s(11sTsTKG相关分析法u(k)Z(k)

)(ˆkg)(0kg

)(~kg 图1 实验原理图 本实验的原理图如图1。过程传递函数()Gs中12120,8.3,6.2KTSecTSec；

输入变量()uk，输出变量()zk，噪声服从2(0,)vN，0()gk为过程的脉冲响应理论值，ˆ()gk为过程脉冲响应估计值，()gk为过程脉冲响应估计误差。 过程输入()uk采用M序列，其输出数据加白噪声()vk得到输出数据()zk。利用相关分析法估计出过程的脉冲响应值ˆ()gk，并与过程脉冲响应理论值0()gk

比较，得到过程脉冲响应估计误差值()gk。 M序列阶次选择说明：首先粗略估计系统的过渡过程时间TS (通过简单阶跃响应)、截止频率fM (给系统施加不同周期的正弦信号或方波信号，观察输出)。

本次为验证试验，已知系统模型，经计算HzTTfM14.0121，sTS30。根据

式Mft3.0及式STtN)1(，则t取值为1，此时31N，由于t与N选择时要求完全覆盖，则选择六阶M移位寄存器，即N=63。 . .. . ..

.s.. .. . .. (2)编程说明

图2 程序流程图 (3)分步说明 ① 生成M序列： M序列的循环周期63126N，时钟节拍1tSec，幅度1a，移位寄存器中第5、6位的内容按“模二相加”，反馈到第一位作为输入。其中初始数据设为{1,0,1,0,0,0}。程序如下：

过程仿真 得到理论输出数据()zk

计算脉冲响应估计值 计算互相关函数，得到脉冲响应估计值

计算脉冲响应估计误差 计算脉冲响应理论值，得到脉冲响应估计误差

人机对话 噪声标准差：sigma；生成数据周期数：r

生成数据 生成M序列()uk；生成白噪声序列()vk . .. . ..

.s.. .. . .. ② 生成白噪声序列： 程序如下：

③ 过程仿真得到输出数据： 如图2所示的过程传递函数串联，可以写成形如121211()1/1/KGsTTsTsT，

其中112KKTT。

图2 过程仿真方框图 程序如下：

④ 计算脉冲响应估计值： 互相关函数采用公式)()(1)(10kiyixNrkRNrixy，互相关函数所用的数据是从第二个周期开始的，其中r为周期数，取1-3之间。则脉冲响应估计值为：])([1)(ˆckRkkgxy，taNNk2)1(。补偿量)1(NRcxy。

程序如下： . .. . ..

.s.. .. . .. ⑤ 计算脉冲响应估计值： 脉冲响应的理论值由式12//012()[]ktTktTKgkeeTT可计算得到。这时可得

到过程脉冲相应估计误差0ˆ()()()gkgkgk。脉冲响应估计误差为：



NkNkgkgkg120

1

2))(())(~(

程序如下：

(4)数据记录 ①当噪声标准差sigma=0.1，生成数据周期r为2时：脉冲响应估计误差为0.0121。脉冲响应估计曲线为图3所示。 ②当噪声标准差sigma=0.5，生成数据周期r为1时：脉冲响应估计误差为 0.0347。脉冲响应估计曲线为图4所示。 ③当噪声标准差sigma=0.5，生成数据周期r为3时：脉冲响应估计误差为 0.0258。脉冲响应估计曲线为图5所示。 ④当噪声标准差sigma=1，生成数据周期r为3时：脉冲响应估计误差为 0.0279。脉冲响应估计曲线为图6所示。 . .. . .. .s.. .. . .. 图3 sigma=0.1，r=2时脉冲响应估计曲线 图4 sigma=0.5，r=1时脉冲响应估计曲线 图5 sigma=0.5，r=3时脉冲响应估计曲线 图6 sigma=1，r=3时脉冲响应估计曲线 (5)结果分析 实验中可以看到脉冲响应估计的曲线与理论曲线的重合度还是比较高的，脉冲响应估计误差也比较小，实验证明相关分析法的估计效果还是不错的。 同时，经过实验可以得出结论：固定数据周期r，给定不同的噪声标准差sigma可以发现，噪声的方差越大，也就是信噪比越大，估计的效果越不好；固定噪声标准差sigma，选择不同的数据生成周期r可以发现，数据周期越大，估计的周期越多，估计的效果越好。 . .. . ..

.s.. .. . .. 二、最小二乘法 1. 基本最小二乘（离线辨识）

baUYY][

残差为： )(ˆ)()(kykyke 最小二乘目标：残差平方和最小（一阶导为0，二阶导>0）。 正定，且TTTLSY1ˆ

从上式看出，逆存在才有解，满足条件的u(k)：(1) 伪随机；(2) 白噪声；(3)有色随机信号。 程序如下：

结果如下： result1 =[ -0.8287; 0.1275; -0.0024; 1.9884; -1.2723]

2. 递推最小二乘（在线辨识）

RLS )1()]()([)()()1()(1)()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆkPkkKIkPkkPk

kkPkK

kkkykKkk

TTT



修正项老估值新估值NNˆ)(ˆ)(1

为了启动RLS，需给初值：IcP20,0ˆ。

计算框图见书P66。 程序如下： . .. . .. .s.. .. . .. 结果如下： result2 =[ -0.8284; 0.1274; -0.0024; 1.9883; -1.2717]

图7 递推最小二乘法参数过渡过程 数据饱和：（1）原因：01NK，不再起修正作用，引起误差变大。 （2）为了克服数据饱和现象，可以用降低老的数据影响的方法： ①渐消记忆法（遗忘因子法） ②限定记忆法（固定窗法） 当)(k为不相关序列，最小二乘有一致性与无偏性，但)(k往往为相关序列，为克服最小二乘有偏估计的缺点，引入辅助变量法和广义最小二乘法，增广最小二乘法等。 . .. . .. .s.. .. . .. 3. 渐消记忆法（遗忘因子法）



)1()]()([)()()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆkPkkKIkP

kkPkkkPkK

kkkykKkk

TTT

一般99.0~95.0 程序如下：

结果如下： result3 =[ -0.6862; 0.1114; 0.0640; 2.0356; -0.9429]

图8 渐消记忆法参数过渡过程 4. 限定记忆法（固定窗法） 程序如下： . .. . .. .s.. .. . .. 结果如下：（较前三种方法偏差较大） result4 =[ -1.0190; 0.1725; -0.4531; 2.1092; -1.3724]

5. 辅助变量法（IV） (1).辅助变量Z

YZZZZYZZZZYZZQQZEZETTTTTTTTTTT111)(ˆ)()()(噪声不相关Z,0)(其中，辅助变量估计值由强烈相关与为非奇异阵，，与

(2).计算步骤： ①先根据实测数据最小二乘求粗略ˆ（为有偏估计） ②)(ˆ)()(ˆ)(ˆ)(ˆ11kykuzbkyza，得到辅助变量代入 ③n)()(ˆ)(),(Zkukykuky构造，用构造用 ④nTnTYZZ (3).递推：

RIV )1()]()([)()()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆkPkzkKIkPkzkPk

kzkPkK

kkkykKkk

TTT

 . .. . .. .s.. .. . .. 初始条件：IcP20,0ˆ

缺点: P0的选择非常敏感，一个改进方法是，用递推最小二乘辨识算法作为启动方法，然后转换到辅助变量法。 程序如下：

结果如下： result5 =[ -0.9369; 0.1207; -0.0254; 1.9781; -1.5331]

图9 辅助变量法参数过渡过程

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《系统建模与及辨识》课程实验报告

《系统建模与及辨识》课程实验报告

《系统建模与及辨识》课程上机实验报告专业名称 ： 控制工程 上机题目 ： 用极大似然法进行参数估计一 实验目的通过实验掌握极大似然法在系统参数辨识中的原理和应用。

二 实验原理1 极大似然原理设有离散随机过程}{k V 与未知参数θ有关，假定已知概率分布密度)(θk V f 。

如果我们得到n 个独立的观测值,21,V V …n V ,，则可得分布密度)(1θV f ，)(2θV f ，…,)(θn V f 。

要求根据这些观测值来估计未知参数θ，估计的准则是观测值{}{k V }的出现概率为最大。

为此，定义一个似然函数)()()(),,,(2121θθθθn n V f V f V f V V V L = （1.1）上式的右边是n 个概率密度函数的连乘，似然函数L 是θ的函数。

如果L 达到极大值，}{k V 的出现概率为最大。

因此，极大似然法的实质就是求出使L 达到极大值的θ的估值∧θ。

为了便于求∧θ，对式（1.1）等号两边取对数，则把连乘变成连加，即 ∑==ni iV f L 1)(ln ln θ （1.2）由于对数函数是单调递增函数，当L 取极大值时，lnL 也同时取极大值。

求式（1.2）对θ的偏导数，令偏导数为0，可得ln =∂∂θL（1.3）解上式可得θ的极大似然估计ML ∧θ。

2 系统参数的极大似然估计Newton-Raphson 法实际上就是一种递推算法，可以用于在线辨识。

不过它是一种依每L 次观测数据递推一次的算法，现在我们讨论的是每观测一次数据就递推计算一次参数估计值得算法。

本质上说，它只是一种近似的极大似然法。

设系统的差分方程为 )()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=-- （2.1） 式中111()1...nn a z a z a z ---=+++1101()...nn b z b b z b z---=+++因为)(k ξ是相关随机向量，故（2.1）可写成)()()()()()(111k z c k u z b k y z a ε---+= （2.2） 式中)()()(1k k z c ξε=- （2.3）nn z c z c z c ---+++= 1111)( （2.4）)(k ε是均值为0的高斯分布白噪声序列。

系统辨识及自适应控制实验..

系统辨识及自适应控制实验..

Harbin Institute of Technology系统辨识与自适应控制实验报告题目：渐消记忆最小二乘法、MIT方案与卫星振动抑制仿真实验专业：控制科学与工程姓名：学号： 15S******指导老师：日期： 2015.12.06哈尔滨工业大学2015年11月本实验第一部分是辨识部分，仿真了渐消记忆递推最小二乘辨识法，研究了这种方法对减缓数据饱和作用现象的作用；第二部分是自适应控制部分，对MIT 方案模型参考自适应系统作出了仿真，分别探究了改变系统增益、自适应参数的输出，并研究了输入信号对该系统稳定性的影响；第三部分探究自适应控制的实际应用情况，来自我本科毕设的课题，我从自适应控制角度重新考虑了这一问题并相应节选了一段实验。

针对挠性卫星姿态变化前后导致参数改变的特点，探究了用模糊自适应理论中的模糊PID 法对这种变参数系统挠性振动抑制效果，并与传统PID 法比较仿真。

一、系统辨识1. 最小二乘法的引出在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。

设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为：()()()()()101123n n x k a x k a k n b u k b u x k n k +-+⋯+-=+⋯+-=，，，， (1.1) 错误!未找到引用源。

式中:()u k 错误!未找到引用源。

为控制量；错误!未找到引用源。

为理论上的输出值。

错误!未找到引用源。

只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。

错误!未找到引用源。

的观测值错误!未找到引用源。

可表示为： 错误!未找到引用源。

(1.2)式中:()n k 为随机干扰。

由式(1.2)得错误!未找到引用源。

()()()x k y k n k =- (1.3)将式(1.3)带入式(1.1)得()()()()()()()101111()nn n i i y k a y k a y k n b u k b u k b u k n n k a k i n =+-+⋯+-=+-+⋯+-++-∑ (1.4)我们可能不知道()n k 错误!未找到引用源。

系统辨识试验

系统辨识试验

2、用普通最小二乘法(OLS)法辨识对象数学模型选择得仿真对象得数学模型如下)()2(5.0)1()2(7.0)1(5.1)(k v k u k u k z k z k z +-+-=-+--其中,)(k v 就是服从正态分布得白噪声N )1,0(。

输入信号采用4阶M 序列,幅度为1。

选择如下形式得辨识模型)()2()1()2()1()(2121k v k u b k u b k z a k z a k z +-+-=-+-+设输入信号得取值就是从k =1到k =16得M 序列,则待辨识参数LSθˆ为LS θˆ=L τL 1L τL z H )H H -(。

其中,被辨识参数LSθˆ、观测矩阵z L 、H L 得表达式为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2121ˆb b a a LS θ , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)16()4()3(z z z L z , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=)14()2()1()15()3()2()14()2()1()15()3()2(u u u u u u z z z z z z L H 程序框图如下所示:参考程序:%olsM 序列z=zeros(1,16); %for k=3:16 z(k)=1、endsubplot(3,1,1) %stem(u) %subplot(3,1,2) %画三行一列图形窗口中得第二个图形i=1:1:16; %横坐标范围就是1到16,步长为1plot(i,z) %图形得横坐标就是采样时刻i, 纵坐标就是输出观测值z, 图形格式为连续曲线subplot(3,1,3) %画三行一列图形窗口中得第三个图形stem(z),grid on%画出输出观测值z得经线图形,并显示坐标网格u,z%显示输入信号与输出观测信号%L=14%数据长度HL=[-z(2) -z(1) u(2) u(1);-z(3) -z(2) u(3) u(2);-z(4) -z(3) u(4) u(3);-z(5) -z(4) u(5) u(4);-z(6) -z(5) u(6) u(5);-z(7) -z(6) u(7) u(6);-z(8) -z(7) u(8) u(7);-z(9) -z(8) u(9) u(8);-z(10) -z(9) u(10) u(9);-z(11) -z(10) u(11) u(10);-z(12) -z(11) u(12) u(11);-z(13) -z(12) u(13) u(12);-z(14) -z(13) u(14) u(13);-z(15) -z(14) u(15) u(14)] %给样本矩阵HL赋值ZL=[z(3);z(4);z(5);z(6);z(7);z(8);z(9);z(10);z(11);z(12);z(13);z(14);z(15);z(16)]% 给样本矩阵zL赋值%calculating parameters%计算参数c1=HL'*HL; c2=inv(c1); c3=HL'*ZL; c=c2*c3 %计算并显示%DISPLAY PARAMETERSa1=c(1), a2=c(2), b1=c(3), b2=c(4) %从中分离出并显示a1 、a2、 b1、 b2%End注:由于输出观测值没有任何噪音成分,所以辨识结果也无任何误差,同学们可以在输出观测值中添加噪音,观察ols得辨识效果。

系统辨识实验三

系统辨识实验三

《系统辨识》课程报告题目：最小二乘参数估计法班级：工控08.1姓名：学号：日期：2011.6.1成都信息工程学院控制工程学院最小二乘参数估计摘要：最小二乘法提供了一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。

最小二乘的一次性完成辨识算法，他的特点是直接利用已经获得的观测数据进行运算处理。

求出一个使各次实际观测和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和为最小的数值，求出带辨识参数。

最小二乘辩识方法在系统辩识领域中先应用上已相当普及，方法上相当完善，可以有效的用于系统的状态估计，参数估计以及自适应控制及其他方面。

关键词：最小二乘法，AIC 准则，M 序列1 引言：最小二乘法是 1795 年高斯在预测星体运行轨道最先提出的 , 它奠定了最小二乘估计理论的基础 . 到 20 世纪 60 年代瑞典学者 Austron 把这个方法用于动态系统的辨识中 , 在这种辨识方法中 , 首先给出模类型 , 在该类型下确定系统模型的最优参数 .这种具有格式规范的辨识方法可以演绎成递推形式 .递推最小二乘算法计算量小 , 可以用于在线辨识 , 即使辨识对象随时间发生化 , 模型也可以对其进行跟踪断地进行更新和修正辨识参数 , 从而成为一种被广泛采用的辨识方法，最小二乘法有一次完成算法和递推算法，其中 一次完成算法存在一定的局限性，工业系统辨识常采用递推算法进行系统辨识。

2 实验原理：由于运用最小二乘一次完成算法进行系统参数辨识的时候，存在一定的限定条件，并且需要用到全部的观测数据，每采样一次就需要增添一组新的观察数据，所以引入递推最小二乘法来辨识系统参数，递推最小二乘法是用旧的估计值加上修正值得到的新的估计值，用新的测量数据对上一次的估计结果进行修正，直到估计值达到需要的精度为止。

2.1根据汉格尔矩阵估计模型的阶次设一个可观可控的SISO 过程的脉冲响应序列为{个g(1),g(2),……g(L)},可以通过汉格尔（Hankel ）矩阵的秩来确定系统的阶次。