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高中物理竞赛方法集锦等效法

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高中物理竞赛方法集锦等效法 在一些物理咨询题中，一个过程的进展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，假设某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，那么前一些因素与后一些因素是等效的，它们便能够互相代替，而对过程的进展或状态的确定，最后结果并不阻碍，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究咨询题的方法确实是等效法. 等效思维的实质是在成效相同的情形下，将较为复杂的实际咨询题变换为简单的熟悉咨询题，以便突出要紧因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使咨询题得到简化而便于求解.

赛题精讲 例1：如图4—1所示，水平面上，有两个竖直的光滑 墙壁A和B，相距为d，一个小球以初速度v0从两墙 之间的O点斜向上抛出，与A和B各发生一次弹性 碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ. 解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为 一个完整的斜抛运动〔见图〕.因此可用解斜抛运动的 方法求解.

由题意得：gvvtvdsin2coscos2000

可解得抛射角 202arcsin21vgd 例2：质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，质点在A点的速度为v0，加速度为a，假如将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度. 解析 从A到B的整个运动过程中，由于加速度平均增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但假设能将此运动用匀变速直线运动等效代替，那么此运动就能够求解. 因加速度随通过的距离平均增加，那么此运动中的平均加速度为

nannaannanaaaaa2)13(232)1(2末初

平

由匀变速运动的导出公式得2022vvLaB平

解得 naLnvvB)13(20 例3一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比， 当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为scmv/201，咨询当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小?2v老鼠从A点到达B点所用的时刻t=？ 解析 我们明白当汽车以恒定功率行驶时，其速度v与牵引力F成反比，即，v=P/F，由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动.

由此分析，可写出kxPFPv

当11,vvsx时

将其代入上式求解，得2211svPsvPk

因此老鼠到达B点时的速度scmvssv/1020211212 再依照外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，21222121ksksPt 代入有关量可得)(21212211sssvPPt

由此可解得svssst5.72.012122)(22112122 此题也能够用图像法、类比法求解. 例4 如图4—2所示，半径为r的铅球内有一半径为2r的 球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M.在铅球和空腔 的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球〔能够看成质点〕，求铅球对小球的引力. 解析 因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点. 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球△M，然后在关于小球m对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球△M，如此加入的两个小铅球对小球m的引力能够抵消，就如此将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的. 带空腔的铅球对m的引力等效于实心铅球与另一侧△M对m的引力之和. 设空腔铅球对m的引力为F，实心铅球与△M对m的引力分不为F1、F2. 那么 F=F1－F2 ①

经运算可知：MM71，因此

22178)(LGmML

MMmGF ②

222)2(7)2(rLGmMrLMmGF

 ③

图4—2

图4—3 将②、③代入①式，解得空腔铅球对小球的引力为 ])2(7178[2221rLLGmMFFF

例5 如图4-3所示，小球长为L的光滑斜面顶端自由下滑， 滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，假设每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的

54，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程.

解析 小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，讲明碰撞过程中缺失能量，每次反弹距离都不及上次大，小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处. 我们能够分不运算每次碰撞垢上升的距离L1、L2、……、Ln，那么小球总共通过的路程为

LLLLsn)(221

，然后用等比数列求和公式求出结果，然而这种解法专门苦

恼. 我们假设小球与挡板碰撞不缺失能量，其原先缺失的能量看做小球运动过程中克服阻力做功而消耗掉，最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就能够利用摩擦力做功求出路程.

设第一次碰撞前后小球的速度分不为v、1v，碰撞后反弹的距离为L1，那么

sin21sin211212mgLmvmgLmv

其中222111)54(,54vvLLvv所以 碰撞中缺失的动能为)25161(2121212212mvmvmvEk 依照等效性有kELLf)(1 解得等效摩擦力sin419mgf 通过那个结果能够看出等效摩擦力与下滑的长度无关，因此在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同. 以整个运动为研究过程，有sinmgLsf

解出小球总共通过的总路程为.941Ls 此题也能够通过递推法求解，读者可试试. 例6 如图4—4所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球， 设L和，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为 . 解析 此题是一个双线摆，而我们明白单摆的周期，假设将又线摆摆长等效为单摆摆长，那么双线摆的周期就能够求出来了. 将双线摆摆长等效为单摆摆长sinLL，那么此双线摆的周期为

glgLT/sin2/2 例8 如图4—5所示，由一根长为L的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅专门小的自由振动. 假如杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期.

图4—4 解析 复摆这一物理模型属于大学一般物理学的内容，中学时期限于知识的局限，不能直截了当求解. 如能进行等效操作，将其转化成中学生熟悉的单摆模型，那么求解周期将变得简捷易行. 设想有一摆长为L0的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分不从摆角处从静止开始摆

动，摆动到与竖直方向夹角为时，具有相同的角速度，对两摆分不应用机械能守恒定

律，因此得22)2(21)(21)cos(cos21)cos(coslmlmmgmgl 对单摆，得 200)(21)cos(coslmmgl 联立两式求解，得ll650

故原复摆的周期为.65220glglT 例9 粗细平均的U形管内装有某种液体，开始静止在水平 面上，如图4—6所示，：L=10cm，当此U形管以4m/s2的 加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.〔g=10m/s2〕 解析 当U形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重

力场中，g的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向

平行，即与g方向垂直.

设g的方向与g的方向之间夹角为，那么4.0tanga 由图4—6可知液面与水平方向的夹角为， 因此，.04.044.010tanmcmLh 例10 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带

电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v，使小球沿轨道向上运动，假设小球刚好能做完整的圆周运动，求0v. 解析 小球同时受到重力和电场力作用，这时也能够认为小球处在等效重力场中.

小球受到的等效重力为mgmgmgG332)33()(22

等效重力加速度gmGg332 与竖直方向的夹角30，如图4—7甲所示.因此B点为等效重力场中轨道的最高点，

图4—6 图4—7 如图4—7，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到B点时的速度RgvB 在等效重力场中应用机械能守恒定律 22021)cos(21BmvRRgmmv

将g、Bv分不代入上式，解得给小球的初速度为 gRv)13(20 例11 空间某一体积为V的区域内的平均电场强度〔E〕的定义为



niiniiinnnVVEVVVVEVEVEE11212211

如图4—8所示，今有一半径为a原先不带电的金属球，现 使它处于电量为q的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外， 与球心的距离为R，试运算金属球表面的感应电荷所产生的电 场在此球内的平均电场强度. 解析 金属球表面的感应电荷产生的球内电场，由静电平稳知识可知等于电量为q的点电荷在金属球内产生的电场，其大小相等，方向相反，因此求金属球表面的感应电荷产生的电场，相当于求点电荷q在金属球内产生的电场. 由平均电场强度公式得



niniiiiniiiiniiniiiVVrkqVVEVEVVVEE11211

11

设金属球平均带电，带电量为q，其密度为Vq，那么有 niniiiiirqkrVkE11221

niiirqk12为带电球体在q所在点产生的场强，因而有2RkqE，方向从O指向q.

例11 质量为m的小球带电量为Q，在场强为E的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为0v. 假设忽略空气阻力和重力加速度g随高度的变化，求小球在运动过程中的最小速度.

图4—8

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方法18 等效思维法-高考物理选择题技法

方法18 等效思维法-高考物理选择题技法

由题意知： ，
所以边MLN所受安培力为： ，方向与MN边所受安培力的方向相同，
故有： ，故BLeabharlann 确，ACD错误。故选：B。
先由已知条件可知MLN边的有效长度与MN相同，等效后的电流方向也与MN相同，先根据并联电路的电阻关系得出电流关系，再由 即可分析MLN边所受安培力，由力的合成即可求得线框LMN所受安培力的大小。
A.小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电勢能最大
B小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M点
C小球过Q、P点受轨道弹力大小的差值为6mg
D.小球过Q、P点受轨道弹力大小的差值为7.5mg
例题5：如图所示，正方形线框由边长为L的粗细均匀的绝缘棒组成，O是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现在线框上侧中点A处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OA连线延长线向上移动 的距离到B点处，若线框的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，则此时O点的电场强度大小为(k为静电力常量)( )
图象的等效变换（两个量有正比关系，图象替换，趋势不变）
利用功能关系（功与能量变化等效变换）
空间受力图变成平面图
作用力与反作用力变化对象
矢量的合成与分解就是等效替代思想
利用等量关系进行变换
利用守恒进行变换
利用相互作用力进行问题变换
利用数形关系进行问题变换
例题1：(2019高考题)从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10m/s2。该物体的质量为()
A．k
B．k
C．k
D．k
类平抛运动的求解方法
高中物理总复习 物理学中等效法

高中物理总复习 物理学中等效法

物理学中等效法【高考展望】等效的思想方法几乎渗透于整个高中物理教材的各个部分之中。

比如：力的合成就是把几个力等效为一个力；在研究变速直线运动时，引入了平均速度，将变速直线运动等效变换为匀速直线运动处理；在研究抛体运动时，将抛物线运动等效变换为两个直线运动的合成；计算变力所做的功，可以等效变换为计算物体能量的变化量；计算变力的冲量，可以等效变化为计算动量的变化量；在研究气体的性质时，利用等效假设可以把变质量问题转换为恒定质量问题处理；在电路问题计算中，把几个电阻构成的部分电路等效变换为一个电阻；在计算曲线导体切割磁力线产生的感应电动势时，可将曲线导体等效变换为直线导体；在求交流电热量时可将交流电等效为直流电处理等等。

可见等效法是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法。

【知识升华】所谓“等效法”就是在特定的某种意义上，在保证效果相同的前提下，将陌生的、复杂的、难处理的问题转换成熟悉的、容易的、易处理的一种方法。

等效法是常用的科学思维方法，在物理解题中有广泛的应用。

【方法点拨】等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。

在应用等效法解题时，应知道两个事物的等效不是全方位的，只是局部的、特定的、某一方面的等效。

因此在具体的问题中必须明确那一方面等效，这样才能把握住等效的条件和范围。

【典型例题】类型一、力的等效合力与分力具有等效性，关于这一点在力的合成和分解中得到充分的体现。

如果物体受到多个恒力作用时，也能够充分应用等效的观点，把多个恒力等效为一个力，就可以将较复杂的模型转化为较简单的物理模型，然后再去应用我们熟知的规律去列方程，这样将大大降低解题的难度，更有利于对问题的正确解答。

实际上力的等效法与力的平行四边形法则（即合成法）是一样的。

例1、质量为m的物体，受到六个共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相互间夹角均为60°，2F的力方向水平向右，5F的力方向水平向左，如图所示。

物理竞赛难题及答案

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物理竞赛辅导---电学（二）★电学解题的方法：（1）等效法（3）电荷守恒和节点电位(势)法（2）极值法 例题：1、正方形薄片电阻片所示接在电路中，电路中电流为I ；若在该电阻片正中挖去一小正方形，挖去的正方形边长为原电阻片边长的三分之一，然后将带有正方形小孔的电阻片接在同一电源上，保持电阻片两端电压不变，电路中的电流Ｉ′变为6／7Ｉ．由于薄片两边嵌金属片，将正方形薄片的电阻可等效为图3所示．设每小块的电阻为R ，则薄片总电阻是3个3R 电阻的并联值，其值也是R ．现从中挖出一块，此时薄片等效电阻如图4所示．显然其阻值是（7Ｒ／6），故Ｉ′＝Ｕ／（7Ｒ／6）＝（6／7）Ｉ．图3 图42、某一网络电路中的部分电路如图所示，已知I ＝3A ，I 1＝2A ，R 1＝10Ω，R 2＝5Ω，R 3＝30Ω，则下列结论正确的是( B )A ．通过R 3的电流为0.5A ，方向从a →bB ．通过R 3的电流为0.5A ，方向从b →aC ．通过电流表的电流为0.5A ，电流表“＋”接线柱在右边D ．通过电流表的电流为1.5A ，电流表“＋”接线柱在左边3、如图所示电路，电源电压恒定，R 1=10Ω， R 2=8Ω，R 3不知道为多少。

当开关k 扳到位置1时，电压表V 读数为2．0V ，当开关扳到位置2时，电压表读数可能是（ BC ）A 、2.2VB 、1.9VC 、1.7VD 、1.4V 学以致用1、图所示电路是由十二个不同的电阻组成的，已知R 1=12欧，其余电阻阻值未知，测得A 、B 间总电阻为6欧。

今将R 1换成6欧的电阻，则A 、B 间的总电阻为( B ) (A)6欧。

(B)4欧。

(C)3欧。

a R 1 AR 2 R 3b II 1(D)2欧。

2、把一根电阻为R的均匀电阻丝弯折成一个等边三角形abc（如图所示），d为底边ab的中点，如cd间的电阻R1为9欧，则ab间的电阻R2的阻值应该是（ C ）A.36欧B.12欧C.8欧D.4欧3、如图所示电路中，电源电压保持不变。

等效替代法(解析版)

等效替代法(解析版)

专题10等效替代法（解析版）等效替代法是高中物理问题教学中常见的解题方法。

能够替代的前提是它们对所要解决的问题是等效的，一般用比较简洁的模型或方法代替比较复杂的模型或方法，便于学生对物理知识的理解与掌握。

等效替代法可以分为物理模型等效替代法、解题方法等效替代法。

1.物理模型等效替代法物理模型是对物理问题的简化与抽象，物理模型包括对象模型、过程模型、状态模型。

由于学生的知识结构的限制，在构建物理模型时，由于理解的问题角度不同，构建的物理模型有简单有复杂，几种物理模型对所要解决的问题来说是等效的，我们一般选择简单的模型。

典例1.如图所示，在半径为R 的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R 且与铅球相切，并通过铅球的球心．在未挖出空穴前铅球质量为M .求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d 、质量为m 的小球(可视为质点)间的万有引力大小．【解析】 设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F 1，挖出的球形实体(由球体的体积公式易知质量为M 8，这里不再具体计算)与小球间的万有引力为F 2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F ，则有F 1＝F ＋F 2 根据万有引力定律可得F 1＝G Mm d 2，F 2＝G Mm8⎝ ⎛⎭⎪⎫d －R 22 故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为 F ＝F 1－F 2＝G Mm d 2－G Mm 8⎝ ⎛⎭⎪⎫d －R 22＝GMm 7d 2－8dR ＋2R 22d 22d －R 2. 【答案】 GMm 7d 2－8dR ＋2R 22d 22d －R2 点评 运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补，后运算．运用“填补法”解题的过程主要体现了等效的思想针对训练 1.已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等．如图所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox 为通过半球顶点与球心O 的轴线，A 、B 为轴上的点，且AO ＝OB ，则下列判断正确的是( )A ．A 、B 两点的电势相等B ．A 、B 两点的电场强度相同C ．点电荷从A 点移动到B 点，电场力一定做正功D ．同一个负电荷放在B 点比放在A 点的电势能大【答案】 BD【解析】根据电场的叠加原理可知，x 轴上电场线方向向右，则A 点的电势高于B 点的电势，故A 错误；将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A 点产生的场强大小分别为E 1和E 2.由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E 1＝E 2.根据对称性可知，左、右半球在B 点产生的场强大小分别为E 2和E 1，且E 1＝E 2.则在图示电场中，A 的场强大小为E 1，方向向右，B 的场强大小为E 2，方向向右，所以A 点的电场强度与B 点的电场强度相同，故B 正确．点电荷从A 点移到B 点，电势降低，由于点电荷的电性未知，则电场力不一定做正功，故C 错误．A 点的电势高于B 点的电势，根据负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，知同一个负电荷放在B 点比放在A 点的电势能大，故D 正确．典例2. （19年全国1卷）如图，等边三角形线框LMN 由三根相同的导体棒连接而成，固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点M 、N 与直流电源两端相接，已如导体棒MN 受到的安培力大小为F ，则线框LMN 受到的安培力的大小为A ．2FB ．1.5FC ．0.5FD ．0【答案】B【解析】物理模型一：三角形边长为L,磁感应强度为B, 流入ML 、LN 的电流I,将ML 、LN 边受到的安培力进行合成， IBL IBL F ==060cos 2合,MN 边受到的安培力IBL F 2=，三角形线框受到的合力1.5F 物理模型二：经过推导，通电折线MLN 的受力等效于长为MN 直线段受力，这样电流流入两个两个MN 的导体棒，由于电阻不同，电流不同，同样得出三角形线框受到的合力1.5F 。