高中数学苏教版选修2-3：课下能力提升(十三)事件的独立性

2．3.2 事件的独立性[对应学生用书P33]有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 提示：不影响．问题2：试求P (A )，P (B )． 提示：P (A )＝35，P (B )＝12.问题3：P (A |B )与P (A )相等吗？ 提示：相等． 问题4：P (AB )为何值？提示：∵P (A |B )＝错误!＝P (A )， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝35×12＝310.事件的独立性1．事件A 与B 相互独立就是事件A (或B )是否发生不影响事件B (或A )发生的概率．2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．[对应学生用书P33][例1] 容器中盛有5(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？[思路点拨] 从相互独立事件的定义入手判断． [精解详析](1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[一点通] 解决此类问题常用的两种方法：(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立． (2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A ，B 是否相互独立．解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．AB ＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}， 共有C 13·C 13＝9种结果．由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知 P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (AB )＝C13C13C16C16＝936＝14.∴P (AB )＝P (A )·P (B )， 即事件A 、事件B 相互独立．2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A 是事件“第1枚为正面”，B 是事件“第2枚为正面”，C 是事件“2枚结果相同”，问：A ，B ，C 中哪两个相互独立？解：P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，P (AB )＝0.25，P (BC )＝0.25，P (AC )＝0.25，可以验证：P (AB )＝P (A )P (B )，P (BC )＝P (B )P (C )，P (AC )＝P (A )P (C )．∴事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．[2]制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．(1)两件都是正品的概率； (2)两件都是次品的概率； (3)恰有一件正品的概率．[思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．[精解详析]记“从甲机床抽到正品”为事件A ，“从乙机床抽到正品”为事件B ，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C ，由题意知A ，B 是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.90×0.80＝0.72； (2)P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝0.10×0.20＝0.02；(3)P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.[一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A ，B 相互独立，是A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的．3．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．解析：P ＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.答案：11124．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P (甲)＝0.8，P (乙)＝0.6，P (丙)＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．解析：三人都被选上的概率为 P 1＝P (甲)·P (乙)·P (丙) ＝0.8×0.6×0.5＝0.24.三人中至少有一人被选中的概率为 P 2＝1－(1－P (甲))·(1－P (乙))·(1－P (丙))＝1－0.2×0.4×0.5 ＝1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.965．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C23C25·C22C25＝310·110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C13·C 12C25·C23C25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.[3]某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率； (2)获赔金额X 的分布列．[思路点拨] (1)利用对应条件去求获赔的概率； (2)分析X 的所有取值，写出分布列．[精解详析] 设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3独立，且P (A 1)＝19，P (A 2)＝110，P (A 3)＝111.∴P (A 1)＝89，P (A －2)＝910，P (A －3)＝1011，(1)该单位一年内获赔的概率为 1－P (A －1A －2A －3)＝1－P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝1－89×910×1011＝311.(2)X 的所有可能值为0,9 000,18 000,27 000.P (X ＝0)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝89×910×1011＝811， P (X ＝9 000)＝P (A 1A －2A －3)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3) ＝P (A 1)P (A －2)P (A －3)＋P (A －1)P (A 2)P (A －3)＋P (A －1)P (A －2)P (A 3) ＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111 ＝242990＝1145， P (X ＝18 000)＝P (A 1A 2A －3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111 ＝27990＝3110. P (X ＝27 000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×111＝1990. 综上知，X 的分布列为[一点通] 解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，则A ，B 中至少有一个发生的事件为A ＋B ；A ，B 都发生的事件为AB ；A ，B 都不发生的事件为A －B －；A ，B 恰有一个发生的事件为A B －＋A －B ；A ，B 中至多有一个发生的事件为A B －＋A －B ＋A －B －.6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A ，B 两地区有强降雨的概率分别为56，25.则A ，B 两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．(假设A ，B 两地距离较远，是否降雨相互独立)解析：转化为对立事件求解： P ＝1－16×35＝1－110＝910.答案：9107．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别是25，34，13.如果对这三名短跑运动员的100 m 跑成绩进行一次检测；(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100 m 跑合格”分别为事件A ，B ，C ，显然A ，B ，C 相互独立，P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13， 所以P (A )＝1－25＝35，P (B )＝1－34＝14，P (C )＝1－13＝23.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.三人都不合格的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110.所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110.(2)因为AB C －，A B －C ，A －BC 两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P 2＝P (AB C －＋A B －C ＋A －BC ) ＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A －)P (B )P (C ) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.由(1)(2)知P 0，P 1，P 2，P 3中P 1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤： (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．[对应课时跟踪训练(十三)]一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1和A 2是________事件．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件． 答案：相互独立2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725.答案：7253．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.答案：344．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88. 答案：0.885．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于n 2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2,3,4,5,6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝56.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56.所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝2536.答案：2536二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率； (2)甲、乙两地都不降雨的概率； (3)其中至少一个地方降雨的概率． 解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为 P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为 P 2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56. (3)至少一个地方降雨的概率为 P 3＝1－P 2＝1－0.56＝0.44.7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？ (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C .由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件．(1)由已知得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05， P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1， P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125.解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.(2)记A 的对立事件为A －，B 的对立事件为B －，C 的对立事件为C －，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D ，则P (A －)＝0.8，P (B －)＝0.75，P (C －)＝0.5，于是P (D )＝1－P (A －B －C －) ＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：(1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”， ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1,2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。

2.3 独立性2．3.1 条件概率双基达标(限时15分钟)1．把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A，第二次出现正面为事件B，则P(B|A)等于________．解析事件A与事件B相互独立，故P(B|A)＝P(B)＝1 2 .答案1 22．已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)＝________.解析P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.答案1 23．设A、B是两个事件，0＜P(A)＜1，P(B|A)＝1.则下列结论：①P(AB)＝0；②P(A＋B)＝P(A)；③P(A)＝P(B)；④P(A)＝P(B)．其中正确的是________．解析由P(B|A)＝1，得P(B|A)＝0，即P(AB)P(A)＝0，所以P(AB)＝0.答案①4．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________．解析设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，则P(A)＝35，P(AB)＝C26C210＝13.∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝59.答案5 95．6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学在第二跑道的概率为________．解析甲排在第一跑道，其他5位同学共有A55种排法，乙排在第二跑道共有A4 4种排法，所以P＝A44A55＝15.答案1 56．某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，求它能活到25岁的概率．解设A＝“能活到20岁”，B＝“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4.而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝0.5，所以这个动物能活到25岁的概率为0.5.综合提高(限时30分钟)7．抛掷两颗均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一颗是6点的概率为________．解析事件A为至少有一颗是6点，事件B为两颗骰子点数不同，则n(B)＝6×5＝30，n(A∩B)＝10，P(A|B)＝1030＝13.答案1 38．一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．解析一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，A＝“其中一个是女孩”，B＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝2434＝23.答案2 39．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为________．解析A＝“产品为合格品”，B＝“产品为一级品”，P(B)＝P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%.答案19%10．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为34，用满8000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________．解析记事件A：“用满3000小时不坏”，P(A)＝3 4；记事件B：“用满8000小时不坏”，P(B)＝12.因为B⊂A，所以P(AB)＝P(B)＝12，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1234＝12×43＝23.答案2 311．盒子里装有16只球，其中6只是玻璃球，另外10只是木质球．而玻璃球中有2只是红色的，4只是蓝色的；木质球中有3只是红色的，7只是蓝色的，现从中任取一只球，如果已知取到的是蓝色的球，求这个球是玻璃球的概率．解设A表示“任取一球，是玻璃球”，B表示“任取一球，是蓝色的球”，则AB表示“任取一球是蓝色玻璃球”．P(B)＝1116，P(AB)＝416，P(A|B)＝P(AB)P(B)＝411.12．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解(1)①P(A)＝26＝13.②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P(B)＝1036＝518.③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝5 36 .(2)由(1)知P(B|A)＝P(AB)P(A)＝53613＝512.13．(创新拓展)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？解记事件A＝{从2号箱中取出的是红球}，事件B＝{从1号箱中取出的是红球}．P(B)＝46＝23，P(B)＝1－P(B)＝1 3 .P(A|B)＝49，P(A|B)＝39＝13.从而P(A)＝P(A B)＋P(AB)＝49×23＋13×13＝1127.即从2号箱取出红球的概率是11 27 .。

2.3.2事件的独立性 教学案班级 学号 姓名学习目标1. 理解两个事件相互独立的概念，并会判断两个事件是否独立；2. 能进行一些与事件独立有关的概率的计算．重点难点重点：独立事件概率的计算难点：独立性事件的判断课堂学习问题情境（一）：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？学生活动（一）：请完成上述问题的计算：问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响？意义建构（一）：一般地，若事件A ，B 满足()()P A B P A =，则称事件A ，B 独立．当A ，B 独立时，若()0P A >，因为()()()()P AB P A B P A P B ==， 所以 ()()()P AB P A P B =，反过来()()()()P AB P B A P B P A ==， 即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的。

数学理论（一）：A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即()()()P AB P A P B =．若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A ，B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．两个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率()()()()1212n n P A A A P A P A P A =．数学运用（一）：例1. 求证：若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 也相互独立．X Y Z三类不同的元件连接成系统例2.如图，用,,N．当元件,,X Y Z都正常工作时，系统N正X Y Z正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N正常工作．已知元件,,常工作的概率P．例3.加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？随堂反馈1.下面的说法对吗？（1）如果昨天有飞机失事，那么今天乘飞机要安全一些．（）（2）连续掷一枚硬币接连出现5次正面，第6次出现反面的可能性会增大．（）2.如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一点（每次都能投中），投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形区域的事件记为B，试判断A与B是否是独立事件．3.3个人独立地翻译密码，每人译出此密码的概率依次为0.35,0.3,0.25，设随机变量X表示译出此密码的人数，试求：P X=；（1）3个人同时译出此密码的概率()3P X≤；（2）至多有2个人译出此密码的概率()2P X=（3）3个人都未能译出此密码的概率()0P X≥．（4）此密码被译出的概率()1课后复习1. 将一枚均匀的硬币连掷两次，出现“两个正面”的概率为 ．2. 二人独立地破译一个密码．他们能译出的概率分别为0.6，0.7，则能够将此密码译出的概率为 ．3. 有一数学问题，在半小时内甲能解决它的概率是12，乙能解决它的概率是13，如果两人都试图独立地解决它，则两人都未解决的概率是 ．4. 一袋中有3个红球、2个白球，另一袋中有2个红球、l 个白球，从每袋中各取一球．则至少取到1个白球的概率是 ．5. 若开关1S 与2S 同时断开时电路断开，设1S 、2S 断开的概率分别为0.5和0.7，且各开关相互独立，则电路为断开的概率是 ．6. 已知,A B 是两个相互独立事件，那么()()1P A P B -是下列哪个事件的概率 （ ）A ．事件,AB 同时发生 B ．事件,A B 至少有一个发生C ．事件,A B 至多有一个发生D ．事件,A B 都不发生7. 某条道路的,,A B C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 ．8. 在一段时间内，甲去某地的概率为14，乙去此地的概率为15，假定两人之间相互不影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率为 ．9. 甲盒中有200个螺杆，其中160个A 型的；乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，能配成A 型螺栓的概率为 ．10. 对同一目标进行两次独立的射击，其命中的概率分别为0.4和0.5，试求下列事件的概率：（1）恰有一次命中；（2）两次都未命中．11. 一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率分别为0.9，0.8，0.7．在一小时的过程中，试求：（1）没有一台机床需要照顾的概率；（2）恰有两台机床需要照顾的概率；（3）至少有一台机床需要照顾的概率；（4）至少有两台机床需要照顾的概率．12.甲、乙两人各进行一次射击．如果2人击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影响．计算：（1）2人都击中目标的概率：（2）其中恰有l人击中目标的概率；（3）2人都没有击中目标的概率；（4）至少有1人击中目标的概率．。

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[例 2] 制造一种零件，甲机床的正品率为 0.90，乙机床的正品 率为 0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．
(1)两件都是正品的概率； (2)两件都是次品的概率； (3)恰有一件正品的概率． [思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率 相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．
出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
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[一点通] 解决此类问题常用的两种方法： (1) 定 量 计 算 法 ： 利 用 相 互 独 立 事 件 的 定 义 ( 即 P(AB) ＝ P(A)P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立． (2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否 有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
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(1)若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 同时发生的概率等 概率 于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之积，即 P(AB) 计算 ＝P(A)P(B)． 公式 (2)推广：若事件 A1，A2，…，An 相互独立，则这 n 个事
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[一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意 义．若 A，B 相互独立，是 A 与 B，A 与 B ，A 与 B 也是相互独立的．
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3．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当 两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为 ________． 解析：P＝34×13＋14×23＋34×23＝1112. 答案：1112