河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(三十八)(教师版)
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课时作业(三十八)一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( A )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错解析：y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，故选A.2．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )解析：该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( C )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123. 规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．5．如下图所示，由若干个小圆圈组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个小圆圈，每个图形总的小圆圈数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a5＋…＋9a2 013a 2 014＝( C )A.2 0102 011B.2 0112 012C.2 0122 013D.2 0132 014解析：由已知条件知a 1＝3，a 2＝6，a 3＝9，a 4＝12，归纳得出a n ＝3(n －1)，因此9a 2a3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 013a 2 014＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 012－12 013＝2 0122 013. 6．一个赛跑机器人有如下特性：①步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米或1.9米； ②发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；③当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( A )A ．48.6秒B ．47.6秒C ．48秒D ．47秒解析：由题意可得当设置步长为1.9米，需跑27步，此时共跑51.3米，用时为(27－1)×1.9＝49.4秒；当a ＝1.8米时，需28步，共跑50.4米，用时为(28－1)×1.8＝48.6秒，当a ＝1.7米时，需跑30步，此时共跑51米，用时49.3秒．……由此可知当步长a 在减小时，所用时会超过49秒，舍去，故选A.二、填空题7．观察下列一组等式：①sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34； ②sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34； ③sin 245°＋cos 275°＋sin 45°cos 75°＝34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：________.解析：由①②③，可知sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34成立，须β－α＝30°即可，即β＝30°＋α，所以一般结果是sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.答案：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34，答案不惟一，等价的均可8．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式—阿贝尔公式：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝L 1(b 1－b 2)＋L 2(b 2－b 3)＋L 3(b 3－b 4)＋…＋L n －1(b n－1－b n )＋L n b n则其中：(1)L 3＝________；(2)L n ＝________.解析：由题意知面积恒等关系进行等价转化(b 3－b 4)对应矩形的长为(a 1＋a 2＋a 3)；(b 2－b 3)对应矩形的长为(a 1＋a 2)…b n 对应矩形的长为(a 1＋a 2＋…＋a n )．故得结论．答案：(1)a 1＋a 2＋a 3 (2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n9．设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB→＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有________．解析：由类比思想可得结论．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝010．将集合{2s ＋2t |0≤s ≤t 且s ，t ∈Z }中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j >0)，则b 43＝________.解析：由数表归纳可知b 43＝24＋22＝20. 答案：20 三、解答题11．已知数列{a n }是递增的等比数列，满足a 1＝4，且54a 3是a 2、a 4的等差中项，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋1，其前n 项和为S n ，且S 2＋S 6＝a 4(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为T n ，若不等式n log 2(T n ＋4)－λb n ＋7≥3n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >1，a n ＝4q n －1 ∵54a 3是a 2和a 4的等差中项 ∴2×54a 3＝a 2＋a 4即2q 2－5q ＋2＝0 ∵q >1，∴q ＝2 ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1依题意，数列{b n }为等差数列，公差d ＝1 又S 2＋S 6＝32，∴(2b 1＋1)＋6b 1＋6×52＝32， ∴b 1＝2，∴b n ＝n ＋1. (2)∵a n ＝2n ＋1，∴T n ＝4(2n －1)2－1＝2n ＋2－4.不等式n log 2(T n ＋4)－λb n ＋7≥3n 化为n 2－n ＋7≥λ(n ＋1)∵n ∈N *∵λ≤n 2－n ＋7n ＋1对一切n ∈N *恒成立．而n 2－n ＋7n ＋1＝(n ＋1)2－3(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9n ＋1－3≥2(n ＋1)·9(n ＋1)－3＝3当且仅当n ＋1＝9n ＋1即n ＝2时等式成立．∴λ≤3.12．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. [热点预测]13．(1)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．(2)已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( A )A.3724B.76C.1115D.715(3)已知向量OA →，AB →，O 是坐标原点，若|AB →|＝k |OA →|，且AB →方向是沿OA →的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA →经过一次(θ，k )变换得到AB →.现有向量OA →＝(1,1)经过一次(θ1，k 1)变换后得到AA 1→，AA 1→经过一次(θ2，k 2)变换后得到A 1A 2→，…，如此下去，A n －2A n －1经过一次(θn ，k n )变换后得到A n －1A n .设A n －1A n ＝(x ，y )，θn ＝12n －1，k n ＝1cos θn，则y －x 等于( B )A.2sin ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1sin 1sin 12…sin 12n －1 B.2sin ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1cos 1cos 12…cos 12n －1C.2cos ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1sin 1sin 12…sin 12n －1D.2cos ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫12n －1cos 1cos 12…cos 12n －1解析：(1)由题可以看出m 3分裂成m 个连续奇数，59为第30个奇数，7×82<30<8×92，所以59应在83的分裂中，∴m ＝8.(2)由给出的数列{a n }的10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78，69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A.(3)由归纳推理知识易知B 正确． 答案：(1)8 (2)A (3)B。
