江苏省高邮中学2020届高三数学下学期开学考试试题
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- 1 - 江苏省高邮中学2019届高三开学
数学I试题
注意事项：
1．本试卷共160分，考试时间120分钟；
2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；
3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则(AB)UIð＝ ．
2.己知复数iz12，则z的虚部为 ．
3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布
直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ．
4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．
5． 函数22log(32)yxx的定义域为 ．
6.己知 53)sin(，且 2sin2<0，则 )4tan(的值为 ．
7.若正整数N除以正整数m后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i等于 ．
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .
9.已知双曲线C: 0)>b0,>(12222abyax，点A，B在双曲线C的左支上，0为坐标点，直线B0与双曲线C的右支交于点M。若直线AB的斜率为3,直线AM的斜率为1，则双曲线C的- 2 - 离心率为 ．
10.已知na是首项为1，公比为2的等比数列，数列nb满足11ba，且12nbaaL
1121nnnaaaaaL（2,nnN≥），若(27)2019mmab，则m的值为 ．
11.在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，AD→＝13AB→.若DB→·DC→＝3，则AC的长是________．
12.在平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆O：221xy直径，若直线l：310kxyk
上存在点P，连接AP与圆O交于点Q，满足BP∥OQ，则实数k的取值范围是 ．
13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ．
14.设函数g(x)＝ex＋3x－a(a∈R，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝x2，且当x＜0时， f′(x)＜x，若∃x0∈{x|f(x)＋2≥f(2－x)＋2x}，使得g(g(x0))＝x0，则实数a的取值范围为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱1111DCBAABCD中，已知平面CCAA11平面,ABCD且3CABCAB,1CDAD.
(1)求证：;1AABD
(2)若E为棱BC的中点，求证：//AE平面11DDCC.
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16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．
（1）若34x，设点D为线段OA上的动点，求OCOD的最小值；
（2）若x[0，2]，向量BCm，n(1cosx，sin2cosxx)，求mn的最小值及对应的x值．
17. 如图，一楼房高AB为193米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC为4米的广告牌，CD为拉杆，广告牌BC边与水平方向的夹角为60，安装过程中，一身高为3米的监理人员EF站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AEx米，该监理人员观察广告牌的视角BFC；
（1）试将tan表示为x的函数；
（2）求点E的位置，使取得最大值．
18. 已知椭圆C的两焦点分别为F1(32,0)，F2(32，0)，点E在椭圆C上，且∠F1EF2= 60°，
124EFEFuuuvuuuv.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过x轴正半轴上一点M作直线l，交椭圆C于A B两点。问：是否存在定点M，使当直线- 4 - l绕点M任意转动时，2211+||||AMBM为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由。
19. 设)(xf是定义在区间),1(上的函数，其导函数为)('xf。如果存在实数a和函数)(xh，其中)(xh对任意的),1(x都有)(xh>0，使得)1)(()('2axxxhxf，则称函数)(xf具有性质)(aP。
(1)设函数)(xf2ln(1)1bxxx，其中b为实数。
(i)求证：函数)(xf具有性质)(bP； (ii)求函数)(xf的单调区间。
(2)已知函数)(xg具有性质)2(P，给定1212,(1,),,xxxx设m为实数，
21)1(xmmx，21)1(mxxm，且1,1，
若|)()(gg|<|)()(21xgxg|，求m的取值范围。
20.已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列. 数列{an}的前n和为nS，且满足5452Saa，934aaa.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，若12,,mmmaaa成等差数列，求整数m的值； - 5 - （3）是否存在正整数m，使得221mmSS恰好是{an}的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在说明理由.
数学II试题（附加题）
1.求曲线1xy在矩阵M＝1 010 3对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．
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2.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为212 (22xttyt为参数），曲线C的极坐标方程为4cos；
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交点分别为,AB，设点1,0P，求11PAPB的值．
3.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． - 7 -
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
4.记函数2()1,1,22!!nnxxfxxnn
（1）证明：4()0fx；
（2）证明：当n是奇数时，方程()0nfx有唯一的实根；当n是偶数时，方程()0nfx没有实根.
