2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2017年河北省邯郸市曲周一中高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 若复数满足，则复平面内表示的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合，，则A. B. C. D.3. 若函数，则A. B. C. D.4. 一个几何体的三视图如图所示，则其体积为A. B. C. D.5. 在中，，，，则A. B. C. D.6. 设等差数列的前项和为，若，，则A. B. C. D.7. 已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，则A. B. C. D.8. 二项式的展开式中，含项的系数为，则A. B. C. D.9. 一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的为时，输出结果为，则可以是A. B. C. D.10. 已知，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的最小值是A. B. C. D.11. 在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是A. B. C. D.12. 已知，，有如下四个结论：①；②；③，满足；④．则正确结论的序号是A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、填空题（共4小题；共20分）13. 若变量，满足约束条件则的最小值是______．14. 设数列的前项和为，且，若，则 ______．15. 已知抛物线的焦点为，，抛物线上的点满足，且，则 ______．16. 在三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，则的取值范围是______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知的内角，，的对边分别为，，，．（1）若，，求；（2）若，边上的高为，求．18. 某市春节期间家超市的广告费支出（万元）和销售额（万元）数据如下：超市参考数据及公式：，，广告费支出销售额，，，，．（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合与的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的分别约为和，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为万元时的销售额．19. 如图，三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点．（1）求证： 平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，，为椭圆上的三点，若四边形为平行四边形，证明四边形的面积为定值，并求该定值．21. 已知函数．（1）证明：函数在上单调递增；（2）若，，求的取值范围．22. 已知直线的参数方数为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于不同的两点，．（1）求的取值范围；（2）以为参数，求线段中点轨迹的参数方程．23. 已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，，满足?并说明理由．答案第一部分1. D2. B3. A4. A5. A6. B7. B8. C9. B 10. A11. D 12. C第二部分13.14.15. 或16.第三部分17. （1）由已知，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．（2）由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．18. （1），，所以，关于的线性回归方程是．（2）因为，所以对数回归模型更合适．当万元时，预测A超市销售额为万元．19. （1）连接，，且为的中点，又因为为的中点，所以，又平面，平面，故 平面．（2）由平面，得，．以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，，，，．取平面的一个法向量为，由，得：令，得，同理可得平面的一个法向量为，因为平面平面，所以，解得，得，又，设直线与平面所成角为，则．所以，直线与平面所成角的正弦值是．20. （1）由椭圆的离心率为，得，所以，所以，所以；将代入椭圆的方程，得，解得，所以，所以椭圆的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，方程为：或，从而有，所以四边形的面积为；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，，；将的方程代入整理得：，所以，，，由得：，将点坐标代入椭圆方程得：；点到直线的距离为，，四边形的面积为综上，平行四边形的面积为定值．21. （1），因为，所以，于是（等号当且仅当时成立）．故函数在上单调递增．（2）由（）得在上单调递增，又，所以，（i）当时，成立．（ii）当时，令，则，当时，，单调递减，又，所以，故时，．（）由（）式可得，令，则，由（）式可得，令，得在上单调递增，又，，所以存在使得，即时，，所以时，，单调递减，又，所以，即时，，与矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．22. （1）曲线的极坐标方程为，根据可得曲线的直角坐标方程为，将代入得得．由，得，又，所以所求的取值范围是．（2）由（）中的（）可知，，代入中，整理：得的中点的轨迹方程为（为参数，）．故得线段中点轨迹的参数方程为（为参数，）．23. （1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为．（2）不存在．因为，所以，所以，又，所以．从而有，因此不存在，，满足．。

2017届河北省邯郸市高三9月联考数学（理）试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A =，2{|log (31),}B n n k k A ==-∈，则A B = （ ） A ．{3} B ．{1} C ．{1,3} D ．{1,2,3}2.已知复数32iz i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y -+-= B ．22(1)(1)5x y +++= C ．22(1)5x y -+= D ．22(1)5x y +-=4. 已知||10a = ，5302a b =-，且()()15a b a b -+=- ，则向量a 与b 的夹角为 ． A ．23π B ．34π C. 56π D ．3π 5. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.263π+B.83π+C.243π+D.43π+ 6.已知函数()43sin()(0)3f x x πϖϖ=+>在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若90ABC ∠= ，则ϖ=（ ）A ．4πB ．8πC ．6πD ．12π7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的2,1P Q ==，则输出的M 等于（ ）A.37B.30C.24D.198.已知α为锐角，若1sin 2cos 25αα+=-，则tan α=（ ） A ．3 B ．2 C ．12 D ．139.如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种10.已知实数[0,1]m ∈，[0,2]n ∈，则关于x 的一元二次方程224420x mx n n +-+=有实数根的概率是（ ） A ．14π-B ．4πC ．32π- D ．12π-11.如图，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右两个焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．26+B ．26+C ．22+D ．22+12.已知函数42412sin 4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017f f f +++= （ ）A ．2017B ．2016C ．4034D ．4032第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.14. 在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若,8,73C BC BD π===,则ABC ∆的面积为 .15. 6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区. 已知下面四种说法都是正确的.⑴甲轻型救援队所在方向不是C 方向，也不是D 方向； ⑵乙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； ⑶丙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； ⑷丁轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是D 方向；此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向，有下列判断： ①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向. 其中判断正确的序号是 .16. 函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有_______个.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的12{}nnS S +的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）写出a 的值；（Ⅱ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人 ，并用X 表示其中男生的人数，求X 的分布列和数学期望. 19. （本小题满分12分）如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点，且14CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB.（Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ； （Ⅱ）求二面角'E A F B --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD ∆与OAC ∆的面积之差的绝对值的最大值.（O 为坐标原点） 21. （本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，1b =-时，设2()(1)ln g x x x x =-+，求证：对任意的1x >，2()()x g x f x x x e e ->++-；（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PQ 为O 的切线，切点为Q ，割线PEF 过圆心O ，且QM QN =.（Ⅰ）求证：PF QN PQ NF = ； （Ⅱ）若3QP QF ==,求PF 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q ．（Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （Ⅱ）若弦长4PQ =，求直线l 的斜率．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()10f x x x =++．（Ⅰ）求()15f x x +≤的解集M ；（Ⅱ）当a b M ∈，时，求证：525a b ab ++≤．数学（理科）·答案 A 卷一、选择题1.C2.B3.A4.C5.C6.B7.C8.A9.B 10.A 11.D 12.D 二、填空题13. 88 14. 203或243（错解漏解均不得分） 15.③ 16.2 三、解答题17.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、等差中项、数列的前n 项和，以及逻辑思维能力，运算求解能力、方程的思想及裂项法的应用.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q >，且12332a a a +=，∴2111211132,.a a q a q a a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ，解得13a q ==，故3n n a =.……………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得3log n n b a n ==，所以(1)2n n n S +=.………………………………………………（7分） ∴1221122()2(1)1n n S S n n n n +=+=-+++，……………………………………………………………（8分） 故数列12{}n nS S +的前n 项和为111112[(1)()()]22231n T n n n =-+-++-++ 21242(1)211n nn n n +=-+=++.……………………………………………………………………………（12分）【方法点拨】（1）求关于等比数列的基本运算通常转化为关于首项1a 与公比q 的方程（组）来求解；（2）裂项法适用于求通项形如11n n a a +（{}n a 为等差数列）的数列的前n 项和. 18.【命题意图】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望.考查学生的识图能力、数据分析能力、运算能力. 【解析】（Ⅰ）1(20.020.030.08)50.055a -⨯++⨯==.………………………………………………（3分）所以X 的分布列为：…………………………………………………………………………………………………………………（11分）所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………（12分） 【归纳总结】（1）涉及频率分布直方图问题通常要利用其性质：①所有小矩形的面积和为1；②每组频率=对应矩形面积；（2）求离散型随机变量的分布列和数学期望，首先要根据条件确定随机变量X 的所有可能取值.并求出相应概率，列出概率分布表，然后利用期望公式计算.19.【命题意图】本题考查空间直线、平面间的垂直与平行关系，二面角，空间向量的应用，并考查空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）因为E ，F 为等边ABC ∆的AB ，AC 边的中点， 所以'A EF ∆是等边三角形，且//EF BC .因为M 是EF 的中点，所以'A M EF ⊥.…………………………………………………………………（1分）又由于平面'A EF ⊥平面EFCB ，'A M ⊂平面'A EF ，所以'A M ⊥平面EFCB .…………………（2又BF ⊂平面EFCB ，所以'A M BF ⊥.…………………………………………………………………（3分） 因为14CN BC =，所以//MF CN ，所以//MN CF .……………………………………^……………（4分）在正ABC ∆中知BF CF ⊥，所以BF MN ⊥.而'A M MN M = ，所以BF ⊥平面'A MN .……………………………………………………………（5分）又因为BF ⊂平面'A BF ，所以平面'A MN ⊥平面'A BF .……………………………………………（6分）（Ⅱ）设等边ABC ∆的边长为4，取BC 中点G ，连接MG ，由题设知MG EF ⊥，由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，又MG ⊂平面EFCB ，所以'A M MG ⊥，如图建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,0)F -，'(0,03)A ，(2,3,0)B ，)(1,0,3)FA =，(3,3,0)FB =.…………………………………………（8分）设平面'A BF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,FA n FB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得30,330,x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则(3,3,1)n =- .…………………………………………（10分）平面'A EF 的一个法向量为(0,1,0)p = ，所以313cos ,13||||p n n p p n ==， 显然二面角'E A F B --是锐角. 所以二面角'E A F B --的余弦值为31313.……………………………………………………………（12【举一反三】（1）空间垂直的证明通常利用线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化来证明；（2）求二面角为了减少思维难度，常常通过建立空间直角坐标系，求相应两个平面的法向量的夹角来解决. 20. 【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想. 【解析】（Ⅰ）由题意得12c a =，又24a =，则2a =，所以1c =. 又222413b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法一：设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时不妨设3(1,)2D -，3(1,)2C --，且OAD ∆，OAC ∆面积相等，12||0S S -=.………………………………………………………………………………………（6分）当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=.………………………（7分）显然0∆>，方程有根，且2122834k x x k +=-+.……………………………………………………………（8分）此时1221212121216||||2|||||||||(1+(1||(+2|234k S S y y y y k x k x k x x k k -=⨯⨯-=+=++=+=+）））. 因为0k ≠，所以上式66633232124||24||||||k k k k =≤==+ （32k =±时等号成立）. 所以12||S S -的最大值为32.……………………………………………………………………………（12分）解法二：设直线l 的方程为'1x k y =-，与椭圆方程22143x y +=联立得：22(3'4)6'90k y k y +--=.…………………………………………………………………………………………………………………（6分） ∴1226'3'4k y y k +=+，………………………………………………………………………………………（8分） ∴121212216|'|||2||||||||23'4k S S y y y y k -=⨯⨯-=+=+， 当'0k =时，12||0S S -=. 当'0k ≠时，12663||4263|'|2|'|43|'||'|S S k k k k -==≤=+（当且仅当23'3k =±时等号成立）.所以12||S S -的最大值为32.……………………………………………………………………………（12分）21. 【命题意图】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 【解析】（Ⅰ）当1a =，1b =-时，22()(2)ln f x x x x x =--， 所以2()()xg x f x x x e e ->++-等价于ln 0x e x e +->. 令()ln xh x e x e =+-，则1'()0x h x e x=+>，可知函数()h x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)h x h >，即ln x e x e +>，亦即ln 0x e x e +->， 所以2()()xg x f x x x e e ->++-.（Ⅱ）当2b =时，22()(2)ln 2f x x ax x x =-+，a R ∈． 所以不等式22()3f x x a >+等价于22(24)ln 0x ax x x a -+->. 方法一：令22()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞， 则'()(44)ln (24)24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥.当1a ≤时，'()0p x ≥，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1p x p a ==-， 所以根据题意，知有10a ->，∴1a <.当1a >时，由'()0p x <，知函数()p x 在[1,)a 上单调增减；由'()0p x >，知函数()p x 在(,)a +∞上单调递增.所以2min ()()(12ln )p x p a a a a ==--.由条件知，2(12ln )0a a a -->，即(12ln )10a a -->.设()(12ln )1q a a a =--，1a >，则'()12ln 0q a a =--<，1a >，所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.又(1)0q =，所以()(1)0q a q <=与条件矛盾.综上可知，实数a 的取值范围为(,1)-∞.方法二：令22()(24)ln +p x x ax x x a =--，[1,)x ∈+∞，则22()(24)ln +0p x x ax x x a =-->在[1,)+∞上恒成立，所以(1)10p a =->，所以1a <.又'()(44)ln +(24)+24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =--=-+≥，显然当1a <时，'()0p x >，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)10p x p a ==->，所以1a <.综上可知a 的取值范围为(,1)-∞.【规律总结】利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22.【命题意图】本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质，以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）因为PQ 为圆O 的切线，所以PFQ PQE ∠=∠.…………………………（1分） 又因为QM QN =,所以QNM QMN ∠=∠，…………………………（2分）所以PNF PMQ ∠=∠,…………………………（3分）所以PNF PMQ ∆∆ ，…………………………（4分） 所以PF NF NF PQ MQ NQ==，即PF QN PQ NF = .…………………………（5分） （Ⅱ）因为3QP QF ==，所以PFQ QPF ∠=∠.…………………………（6分）又180,90PFQ QPF PQE EQF EQF ∠+∠+∠+∠=︒∠=︒，…………………………（7分） 所以30,120PFQ QPF PQF ∠=∠=︒∠=︒，…………………………（8分） 由余弦定理，得222cos 3PF QF QP QF QP PQF =+-∠= .…………………………（10分）【方法点拨】（1）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；（2）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.23.【命题意图】本题考查圆的极坐标方程与直线的参数方程、直线与圆的位置关系，以及考查逻辑四维能力、等价转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）由4cos 2sin ρθθ=-，得24cos 2sin p p ρθθ=-.…………………………（1分） 将222,cos ,sin x y p x p y ρθθ=+==，代入可得22420x y x y +-+=，…………………………（3分）配方，得()()22215x y -++=，所以圆心为()2,1-，半径为5.…………………………（5分） （Ⅱ）由直线l 的参数方程知直线过定点()5,0M ，则由题意，知直线l 的斜率一定存在，因此不妨设直线l 的方程为l 的方程为()5y k x =-.…………………………（7分） 因为4PQ =,所以2213541k k ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭，解得0k =或34k =.…………………………（10分） 【归纳总结】（1）化极坐标方程为直角坐标方程主要是利用公式222,cos ,sin x y p x p y ρθθ=+==来完成；（2）在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程与参数方程均化为直角坐标方程来解决.24.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、比较法的应用、绝对值的性质及零点分段法的应用，并考查逻辑四维能力、等价转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）由()15f x x ≤+得： 150,10,1015x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或150,100,1015x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或150,0,1015x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪++≤+⎩…………………………（3分） 解得55x -≤≤，所以()15f x x ≤+的解集为[]5,5M =-.…………………………（5分）（Ⅱ）当,a b M ∈，即55,55a b -≤≤-≤≤时， 要证525a b ab +≤+，即证()()222525a b ab +≤+.…………………………（6分） ()()()()222222252525250625a b ab a ab b a b ab +-+=++-++ ()()222222252562525250a b a b a b =+--=--≤，…………………………（9分）()()222525a b ab ∴+≤+，即525a b ab +≤+.…………………………（10分）【技巧点拨】（1）零点分段法是求绝对值不等式解集的常用方法；（2）一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法，比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.。

邯郸市一中2017届高考压轴试题数学(理科)命题：邯郸一中2017届数学组（理）第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合{|}nM m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是 A ．11ii+- B ．(1)(1)i i +-- C ．(1)(1)i i +- D ．(1)(1)i i ++-(2) 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝A 、42B 、43C 、44D 、45(3) 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是A ．10B ．9C ．8D ．7(4) 已知α、β均为锐角，若:sin sin(),:,2p q p q πααβαβ<++<则是的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（5）A,B,C 是表面积为π48的球面上的三点，02,4,60AB BC ABC ∠===，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是A．． C．（6）抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为A ．116B ．14C ．38D ．12（7）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若对任意[,]x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“和谐函数”，区间[,]a b 称为“和谐区间”．若2()2f x x x =++与()21g x x =+在[,]a b 上是“和谐函数”，则其“和谐区间”可以是A ．[0,2]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[1,0]-(8)已知321()53f x x x ax =-+-在区间[1,2]-上有反函数，则a 的范围是A.(,)-∞+∞B.[)1,+∞C.(3,1)-D.),1[]3,(+∞--∞ （9）已知,x y满足0x ≤≤23y x --的取值范围是 A ．12(,0](,)5-∞+∞ B ．12[0,]5 C ．12(0,)5 D ．12[,)5+∞(10)连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则OAM ∆的面积为Ａ．1-+Ｂ．32-Ｃ．1Ｄ．32+(11),132. (,1) . (1,) . (,1) .(12)223G ABC P GBC AP AB AC A B C D λμλμ∆∆=++已知点是的重心，点是内的一点，若则的取值范围是， （12）已知定义在]8,1[上的函数348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是 A ．1)6(=f B ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效)10210021001210139...3(1-)(1)(1)...(1),2...a a a x a a x a x a x a a a +++=+-+-++-+++(13)已知则 ____________.的值为(14) 设c b a ,,均为正数，且133log aa =，131()log 3b b =，31()log 3c c =.则,,a b c 的大小关系为（用“<”连接）________________________(15) 随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若3E ξ=，则D ξ的值是________（用数字作答）．(16) 点P （－3，1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上．过点P 且方向为(2,5)a =-的光线，经直线y ＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 。

2017年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则（）A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.1 4B.π8C.12D.π43.设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2；p4：若复数z∈R，则z∈R．其中的真命题为（）A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p44.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A.1B.2C.4D.85.函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是（）A.[−2, 2]B.[−1, 1]C.[0, 4]D.[1, 3]6.(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为（）A.15B.20C.30D.357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.168.如图程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A.A >1000和n =n +1B.A >1000和n =n +2C.A ≤1000和n =n +1D.A ≤1000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cosx ，C 2:y =sin(2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A.16B.14C.12D.1011.设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ） A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N:N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A.440 B.330 C.220 D.110 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a →，b →的夹角为60∘，且|a →|=2，|b →|=1，则|a →+2b →|等于________．14.设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为________．15.已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60∘，则C 的离心率为________．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC =1，a =3，求△ABC 的周长．18.如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，且∠BAP =∠CDP =90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，求二面角A−PB−C的余弦值．19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ, σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ−3σ, μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ−3σ, μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得x=116∑x i16i=1=9.97，s=√116∑(16i=1x i−x)2=√116(∑x i216i=1−16x2)≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数x作为μ的估计值^μ，用样本标准差s作为σ的估计值^σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(1, 1)，P2(0, 1)，P3(−1, √32)，P4(1, √32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为−1，证明：l过定点．21.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围． [选修4-4，坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为 {x =a +4t y =1−t，（t 为参数）．(1)若a =−1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ． [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=−x 2+ax +4，g(x)=|x +1|+|x −1|． (1)当a =1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1, 1]，求a 的取值范围． 答案1. 【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，再求出A ∩B 和A ∪B ，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合A ={x|x <1}， B ={x|3x <1}={x|x <0}，∴A ∩B ={x|x <0}，故A 正确，D 错误； A ∪B ={x|x <1}，故B 和C 都错误． 故选：A ． 2. 【答案】B【解析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S =π2， 则对应概率P =π24=π8，故选：B 3. 【答案】B【解析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题； p 2：复数z =i 满足z 2=−1∈R ，则z ∉R ，故命题p 2为假命题；p 3：若复数z 1=i ，z 2=2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠z 2，故命题p 3为假命题； p 4：若复数z ∈R ，则z =z ∈R ，故命题p 4为真命题． 故选：B ． 4. 【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的公差．【解答】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+a 5=24，S 6=48， ∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48， 解得a 1=−2，d =4， ∴{a n }的公差为4． 故选：C ． 5. 【答案】D【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x −2)≤1化为−1≤x −2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数． 若f(1)=−1，则f(−1)=1，又∵函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，−1≤f(x −2)≤1， ∴f(1)≤f(x −2)≤f(−1)， ∴−1≤x −2≤1， 解得：x ∈[1, 3]， 故选：D 6. 【答案】C【解析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：(1+1x 2)(1+x)6展开式中：若(1+1x )=(1+x −2)提供常数项1，则(1+x)6提供含有x 2的项，可得展开式中x 2的系数： 若(1+1x 2)提供x −2项，则(1+x)6提供含有x 4的项，可得展开式中x 2的系数：由(1+x)6通项公式可得C 6r x r ． 可知r =2时，可得展开式中x 2的系数为C 62=15．可知r =4时，可得展开式中x 2的系数为C 64=15．(1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为：15+15=30．故选C ． 7. 【答案】B【解析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可 【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S 梯形=12×2×(2+4)=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B 8. 【答案】D【解析】通过要求A >1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A >1000”，进而通过偶数的特征确定n =n +2． 【解答】解：因为要求A >1000时输出，且框图中在“否”时输出， 所以“”内不能输入“A >1000”，又要求n 为偶数，且n 的初始值为0， 所以“”中n 依次加2可保证其为偶数， 所以D 选项满足要求， 故选：D ． 9. 【答案】D【解析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y =cos2(x +π12)=cos(2x +π6)=sin(2x +2π3)的图象，即曲线C 2，故选：D ． 10. 【答案】A【解析】方法一：根据题意可判断当A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案 【解答】解：如图，l 1⊥l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点， 直线l 2与C 交于D 、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小，则A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1， 又直线l 2过点(1, 0)，则直线l 2的方程为y =x −1，联立方程组{y 2=4xy =x −1，则y 2−4y −4=0，∴y 1+y 2=4，y 1y 2=−4，∴|DE|=√1+1k 2⋅|y 1−y 2|=√2×√32=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得|AB|=2psin 2θ=4sin 2θ |DE|=2p sin 2(π2−θ)=2p 2=42∴|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ， ∵0<sin 22θ≤1，∴当θ=45∘时，|AB|+|DE|的最小，最小为16， 故选：A11. 【答案】D【解析】x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．可得x =lgk lg2，y =lgklg3，z =lgklg5．可得3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg 55．根据√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．即可得出大小关系．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．可得x =lgklg2，y =lgklg3，z =lgklg5．2x 3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ，同理可得5z >2x ． 【解答】解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0． 则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5． ∴3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg √55． ∵√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．∴lg √33>lg √2>lg √55>0． ∴3y <2x <5z ．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5．∴2x3y =23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ， 5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1．可得5z >2x ． 综上可得：5z >2x >3y ．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D ． 12. 【答案】A【解析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当N 为n(n+1)2时(n ∈N +)，数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n −n −2，容易得到N >100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n+1−2−n ，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n 消去即可，分别分别即可求得N 的值．【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =a (n−1)n 2+1+...+a n(n+1)2=2n−1，(n ∈N +)，则∑b in i=1=∑a i n(n+1)2i=1，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21−1+22−1+...+2n −1=2n −n −2， 可知当N 为n(n+1)2时(n ∈N +)，数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n −n −2，容易得到N >100时，n ≥14， A 项，由29×302=435，440=435+5，可知S 440=T 29+b 5=230−29−2+25−1=230，故A 项符合题意． B 项，仿上可知25×262=325，可知S 330=T 25+b 5=226−25−2+25−1=226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220=T 20+b 10=221−20−2+210−1=221+210−23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意． D 项，仿上可知14×152=105，可知S 110=T 14+b 5=215−14−2+25−1=215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．方法二：由题意可知：20⏟第一项，20,21第二项，20,21,22第项，…20,21,22,…,2n−1第n 项， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2n −1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N =1+2+3+...+n =(1+n)n 2，所有项数的和为S n :21−1+22−1+23−1+...+2n −1=(21+22+23+...+2n )−n =2(1−2n )1−2−n =2n+1−2−n ，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n 消去即可， 则①1+2+(−2−n)=0，解得：n =1，总共有(1+1)×12+2=3，不满足N >100， ②1+2+4+(−2−n)=0，解得：n =5，总共有(1+5)×52+3=18，不满足N >100，③1+2+4+8+(−2−n)=0，解得：n =13，总共有(1+13)×132+4=95，不满足N >100，④1+2+4+8+16+(−2−n)=0，解得：n =29，总共有(1+29)×292+5=440，满足N >100，∴该款软件的激活码440． 故选A ．13. 【答案】2√3【解析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：∵向量a →，b →的夹角为60∘，且|a →|=2，|b →|=1，∴(a →+2b →)2=a →2+4a →⋅b →+4b →2=22+4×2×1×cos60∘+4×12 =12，∴|a →+2b →|=2√3．故答案为：2√3． 14. 【答案】−5【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立{x +2y =12x +y =−1，解得A(−1, 1)．∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5． 故答案为：−5． 15. 【答案】2√33【解析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a ，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点为A(a, 0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若∠MAN =60∘，可得A 到渐近线bx +ay =0的距离为：bcos30∘=√32b ，可得：√a 2+b2=√32b ，即a c=√32，可得离心率为：e =2√33． 故答案为：2√33． 16. 【答案】4√15cm 3【解析】由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG =√36BC ，设OG =x ，则BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高ℎ=√25−10x ，求出S △ABC =3√3x 2，V =13S △ABC ×ℎ=√3⋅√25x 4−10x 3，令f(x)=25x 4−10x 5，x ∈(0, 52)，f′(x)=100x 3−50x 4，f(x)≤f(2)=80，由此能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG =√36BC ，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG =x ，则BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高ℎ=√DG 2−OG 2=√25−10x +x 2−x 2=√25−10x ， S △ABC =12×√32×(2√3x)2=3√3x 2，则V =13S △ABC ×ℎ=√3x 2×√25−10x =√3⋅√25x 4−10x 5， 令f(x)=25x 4−10x 5，x ∈(0, 52)，f′(x)=100x 3−50x 4， 令f′(x)≥0，即x 4−2x 3≤0，解得x ≤2， 则f(x)≤f(2)=80，∴V ≤√3×√80=4√15cm 3，∴体积最大值为4√15cm 3． 故答案为：4√15cm 3．17. 【答案】解：(1)由三角形的面积公式可得S △ABC =12acsinB =a 23sinA ，∴3csinBsinA =2a ，由正弦定理可得3sinCsinBsinA =2sinA ， ∵sinA ≠0，∴sinBsinC =23；; (2)∵6cosBcosC =1， ∴cosBcosC =16，∴cosBcosC −sinBsinC =16−23=−12， ∴cos(B +C)=−12， ∴cosA =12， ∵0<A <π， ∴A =π3，∵asinA =bsinB =csinC =2R =√32=2√3，∴sinBsinC =b2R ⋅c2R =(2√3)2=bc12=23，∴bc =8，∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴b 2+c 2−bc =9，∴(b +c)2=9+3cb =9+24=33， ∴b +c =√33∴周长a +b +c =3+√33．【解析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，; (2)根据两角余弦公式可得cosA =12，即可求出A =π3，再根据正弦定理可得bc =8，根据余弦定理即可求出b +c ，问题得以解决．【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=12acsinB=a23sinA，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=23；; (2)∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=16，∴cosBcosC−sinBsinC=16−23=−12，∴cos(B+C)=−12，∴cosA=12，∵0<A<π，∴A=π3，∵asinA =bsinB=csinC=2R=√32=2√3，∴sinBsinC=b2R ⋅c2R=(23)2=bc12=23，∴bc=8，∵a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+c2−bc=9，∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=√33∴周长a+b+c=3+√33．18. 【答案】(1)证明：∵∠BAP=∠CDP=90∘，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB // CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；; (2)解：∵AB // CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由(1)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90∘，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=2√2a．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则：D(−√2a,0,0)，B(√2a,2a,0)，P(0, 0, √2a)，C(−√2a,2a,0)． PD →=(−√2a,0,−√2a)，PB →=(√2a,2a,−√2a)，BC →=(−2√2a,0,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅BC →=0，得{√2ax +2ay −√2az =0−2√2ax =0，取y =1，得n →=(0,1,√2)．∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，PA ∩AB =A ，∴PD ⊥平面PAB ，则PD →为平面PAB 的一个法向量，PD →=(−√2a,0,−√2a)．∴cos <PD →,n →>=|PD →||n →|=2a×√3=−√33．由图可知，二面角A −PB −C 为钝角， ∴二面角A −PB −C 的余弦值为−√33．【解析】(1)由已知可得PA ⊥AB ，PD ⊥CD ，再由AB // CD ，得AB ⊥PD ，利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAB ⊥平面PAD ；; (2)由已知可得四边形ABCD 为平行四边形，由(1)知AB ⊥平面PAD ，得到AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，设PA =AB =2a ，则AD =2√2a ．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD ⊥平面PAB ，得PD →为平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −PB −C 的余弦值．【解答】(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90∘，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ，∵AB // CD ，∴AB ⊥PD ，又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ；; (2)解：∵AB // CD ，AB =CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， 由(1)知AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，在△APD 中，由PA =PD ，∠APD =90∘，可得△PAD 为等腰直角三角形， 设PA =AB =2a ，则AD =2√2a ．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则：D(−√2a,0,0)，B(√2a,2a,0)，P(0, 0, √2a)，C(−√2a,2a,0)．PD →=(−√2a,0,−√2a)，PB →=(√2a,2a,−√2a)，BC →=(−2√2a,0,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅BC →=0，得{√2ax +2ay −√2az =0−2√2ax =0，取y =1，得n →=(0,1,√2)．∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，PA ∩AB =A ，∴PD ⊥平面PAB ，则PD →为平面PAB 的一个法向量，PD →=(−√2a,0,−√2a)．∴cos <PD →,n →>=|PD →||n →|=2a×3=−√33．由图可知，二面角A −PB −C 为钝角， ∴二面角A −PB −C 的余弦值为−√33．19. 【答案】解：(1)由题可知尺寸落在(μ−3σ, μ+3σ)之内的概率为0.9974， 则落在(μ−3σ, μ+3σ)之外的概率为1−0.9974=0.0026，因为P(X =0)=C 160×(1−0.9974)0×0.997416≈0.9592， 所以P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408， 又因为X ∼B(16, 0.0026)，所以E(X)=16×0.0026=0.0416；; (2)(I)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(II)由x =9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为^μ=9.97，σ的估计值为^σ=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为115(16×9.97−9.22)=10.02，因此μ的估计值为10.02． ∑x i 216i=1=16×0.2122+16×9.972≈1591.134， 剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为115(1591.134−9.222−15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为√0.008≈0.09．【解析】(1)通过P(X =0)可求出P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；; (2)(I)由(1)及知落在(μ−3σ, μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(II)通过样本平均数x 、样本标准差s 估计^μ、^σ可知(^μ−3^σ,^μ+3^σ)=(9.334, 10.606)，进而需剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(μ−3σ, μ+3σ)之内的概率为0.9974， 则落在(μ−3σ, μ+3σ)之外的概率为1−0.9974=0.0026，因为P(X =0)=C 160×(1−0.9974)0×0.997416≈0.9592， 所以P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408， 又因为X ∼B(16, 0.0026)，所以E(X)=16×0.0026=0.0416；; (2)(I)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(II)由x =9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为^μ=9.97，σ的估计值为^σ=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为115(16×9.97−9.22)=10.02，因此μ的估计值为10.02． ∑x i 216i=1=16×0.2122+16×9.972≈1591.134， 剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为115(1591.134−9.222−15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为√0.008≈0.09．20. 【答案】解：(1)根据椭圆的对称性，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1(1, 1)， ∴P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，得：{1b 2=11a 2+34b2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．证明：; (2)①当斜率不存在时，设l:x =m ，A(m, y A )，B(m, −y A )， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1， ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，整理，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2， 则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b)−x 2+x 1(kx 2+b)−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k(b−1)4(b+1)(b−1)=−1，又b ≠1，∴b =−2k −1，此时△=−64k ，存在k ，使得△>0成立， ∴直线l 的方程为y =kx −2k −1， 当x =2时，y =−1， ∴l 过定点(2, −1)．【解析】(1)根据椭圆的对称性，得到P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，求出a 2=4，b 2=1，由此能求出椭圆C 的方程．; (2)当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点(2, −1)．【解答】解：(1)根据椭圆的对称性，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1(1, 1)， ∴P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，得：{1b 2=11a 2+34b 2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．证明：; (2)①当斜率不存在时，设l:x =m ，A(m, y A )，B(m, −y A )， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1， ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，整理，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb 1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2，则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b)−x 2+x 1(kx 2+b)−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k(b−1)4(b+1)(b−1)=−1，又b ≠1，∴b =−2k −1，此时△=−64k ，存在k ，使得△>0成立， ∴直线l 的方程为y =kx −2k −1， 当x =2时，y =−1， ∴l 过定点(2, −1)．21. 【答案】解：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=−2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =ln 1a ， 当f′(x)>0，解得：x >ln 1a ， 当f′(x)<0，解得：x <ln 1a ，∴x ∈(−∞, ln 1a )时，f(x)单调递减，x ∈(ln 1a , +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数；; (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a >0时，f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ， 当x →−∞时，e 2x →0，e x →0， ∴当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →∞，e 2x →+∞，且远远大于e x 和x ， ∴当x →∞，f(x)→+∞，∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可， 由f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数， ∴f(x)min =f(ln 1a )=a ×(1a 2)+(a −2)×1a −ln 1a <0， ∴1−1a −ln 1a <0，即ln 1a +1a −1>0， 设t =1a ，则g(t)=lnt +t −1，(t >0)， 求导g′(t)=1t +1，由g(1)=0， ∴t =1a >1，解得：0<a <1，∴a 的取值范围(0, 1)．方法二：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =−lna ， 当f′(x)>0，解得：x >−lna ， 当f′(x)<0，解得：x <−lna ，∴x ∈(−∞, −lna)时，f(x)单调递减，x ∈(−lna, +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立，∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, −lna)是减函数，在(−lna, +∞)是增函数； (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，②当a >0时，由(1)可知：当x =−lna 时，f(x)取得最小值，f(x)min =f(−lna)=1−1a −ln 1a， 当a =1，时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点， 当a ∈(1, +∞)时，由1−1a −ln 1a >0，即f(−lna)>0， 故f(x)没有零点，当a ∈(0, 1)时，1−1a −ln 1a <0，f(−lna)<0， 由f(−2)=ae −4+(a −2)e −2+2>−2e −2+2>0， 故f(x)在(−∞, −lna)有一个零点，假设存在正整数n 0，满足n 0>ln(3a −1)，则f(n 0)=e n 0(ae n 0+a −2)−n 0>e n 0−n 0>2n 0−n 0>0， 由ln(3a −1)>−lna ，因此在(−lna, +∞)有一个零点． ∴a 的取值范围(0, 1)．【解析】(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；; (2)由(1)可知：当a >0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f(x)最小值，由f(x)min <0，g(a)=alna +a −1，a >0，求导，由g(a)min =g(e −2)=e −2lne −2+e −2−1=−1e 2−1，g(1)=0，即可求得a 的取值范围．(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；(2)分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a 的取值范围．【解答】解：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=−2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =ln 1a ， 当f′(x)>0，解得：x >ln 1a ， 当f′(x)<0，解得：x <ln 1a ，∴x ∈(−∞, ln 1a )时，f(x)单调递减，x ∈(ln 1a , +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数；; (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a >0时，f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ， 当x →−∞时，e 2x →0，e x →0， ∴当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →∞，e 2x →+∞，且远远大于e x 和x ， ∴当x →∞，f(x)→+∞，∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可， 由f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数， ∴f(x)min =f(ln 1a )=a ×(1a 2)+(a −2)×1a −ln 1a <0， ∴1−1a −ln 1a <0，即ln 1a +1a −1>0， 设t =1a ，则g(t)=lnt +t −1，(t >0)，求导g′(t)=1t +1，由g(1)=0， ∴t =1a >1，解得：0<a <1，∴a 的取值范围(0, 1)．方法二：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =−lna ， 当f′(x)>0，解得：x >−lna ， 当f′(x)<0，解得：x <−lna ，∴x ∈(−∞, −lna)时，f(x)单调递减，x ∈(−lna, +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立，∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, −lna)是减函数，在(−lna, +∞)是增函数； (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，②当a >0时，由(1)可知：当x =−lna 时，f(x)取得最小值，f(x)min =f(−lna)=1−1a−ln 1a ， 当a =1，时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点， 当a ∈(1, +∞)时，由1−1a −ln 1a >0，即f(−lna)>0， 故f(x)没有零点，当a ∈(0, 1)时，1−1a −ln 1a <0，f(−lna)<0， 由f(−2)=ae −4+(a −2)e −2+2>−2e −2+2>0， 故f(x)在(−∞, −lna)有一个零点，假设存在正整数n 0，满足n 0>ln(3a −1)，则f(n 0)=e n 0(ae n 0+a −2)−n 0>e n 0−n 0>2n 0−n 0>0， 由ln(3a −1)>−lna ，因此在(−lna, +∞)有一个零点． ∴a 的取值范围(0, 1)．22. 【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2=1；a =−1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y −3=0； 联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0，解得{x =3y =0或{x =−2125y =2425， 所以椭圆C 和直线l 的交点为(3, 0)和(−2125, 2425)．; (2)l 的参数方程{x =a +4t y =1−t （t 为参数）化为一般方程是：x +4y −a −4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =√17=√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当−a −4≤0时，即a ≥−4时，|5sin(θ+4)−a −4|≤|−5−a −4|=5+a +4=17 解得a =8≥−4，符合题意． ②当−a −4>0时，即a <−4时|5sin(θ+4)−a −4|≤|5−a −4|=5−a −4=1−a =17 解得a =−16<−4，符合题意．【解析】(1)将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；; (2)曲线C 上的点可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)，运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为√17进行分析，可以求出a 的值．【解答】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2=1；a =−1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y −3=0；联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0，解得{x =3y =0或{x =−2125y =2425， 所以椭圆C 和直线l 的交点为(3, 0)和(−2125, 2425)．; (2)l 的参数方程{x =a +4t y =1−t （t 为参数）化为一般方程是：x +4y −a −4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =√17=√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当−a −4≤0时，即a ≥−4时，|5sin(θ+4)−a −4|≤|−5−a −4|=5+a +4=17 解得a =8≥−4，符合题意． ②当−a −4>0时，即a <−4时|5sin(θ+4)−a −4|≤|5−a −4|=5−a −4=1−a =17 解得a =−16<−4，符合题意．23. 【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，当x ∈(1, +∞)时，令−x 2+x +4=2x ，解得x =√17−12，g(x)在(1, +∞)上单调递增，f(x)在(1, +∞)上单调递减，∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1, √17−12]；当x ∈[−1, 1]时，g(x)=2，f(x)≥f(−1)=2．当x ∈(−∞, −1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(−1)=f(−1)=2． 综上所述，f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立，即x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得−1≤a ≤1，故a 的取值范围是[−1, 1]．【解析】(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，分x >1、x ∈[−1, 1]、x ∈(−∞, −1)三类讨论，结合g(x)与f(x)的单调性质即可求得f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立⇔x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解之即可得a 的取值范围．【解答】解：(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，当x ∈(1, +∞)时，令−x 2+x +4=2x ，解得x =√17−12，g(x)在(1, +∞)上单调递增，f(x)在(1, +∞)上单调递减，∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1, √17−12]；当x ∈[−1, 1]时，g(x)=2，f(x)≥f(−1)=2．当x ∈(−∞, −1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(−1)=f(−1)=2． 综上所述，f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立，即x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得−1≤a ≤1，故a 的取值范围是[−1, 1]．。

河北省邯郸市第一中学2017届高三上学期第二次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|230}A x x x =--≥，2{|log (1)2}B x x =-<，则()R C A B = （ ）]A ．(1,3) B ．(1,3)- C ．(3,5) D ．(1,5)- 2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（ ）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠3．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-⎩>则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．12-B ．1-C ．5-D ．125．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．2015 D ．20166．若ln 2a =，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．已知1sin cos 63παα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．518 B ．518- C ．79 D ．79- 8．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A． B． C． D． 9．已知函数21()sin ()2f x x ω=-，(0)ω>的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．34π C ．2π D ．4π 10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是CDE ∆内（包括边界）的一个动点，设(,)AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A ．3 B． C． D． 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>C第10题第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面直角坐标系中，(3,4)b = ，3a b ⋅=- ，则向量a 在向量b的方向上的投影是 ．14．若函数1,02()1,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，[]()(),2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．15．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 ．16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠=，6AC =，8BC =，D 为边AC 上的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，332a =，392S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=⋅，求证：12314nc c c c ++++< ．D第16题图18. (本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的中心为O,四边形ODEF 为矩形，平面ODEF ⊥平面ABCD ，DE=DA=DB=2 （I ）若G 为DC 的中点，求证：EG//平面BCF; （II ）若HC DH 2=,求二面角O EH D --的余弦值.19. (本小题满分12分)甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分.已知甲每次投中的概率为54，乙每次投中的概率为43；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求： （I ）“火星队”至少投中3个球的概率；（II ）“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望EX.20. (本小题满分12分)已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的左焦点为F,⎪⎪⎭⎫⎝⎛221，A 为椭圆上一点,AF 交y 轴于点M,且M 为AF 的中点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A ，平行于OA 的直线交l 于P ,交椭圆C 于不同的两点D,E ，问是否存在常数λ，使得PE PD PA ⋅=λ2，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点,其中m n <,a R ∈. (Ⅰ) 求()()f m f n +的取值范围; (Ⅱ)若2a ≥-,求()()f n f m -的最大值.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1 几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．(Ⅰ)证明：AE BE =；(Ⅱ)若9AG =，7GC =，求圆O 的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4 极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x xy y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ．(Ⅰ)求曲线2C 的参数方程；(Ⅱ)若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．（本小题满分10分）选修4-5 不等式证明选讲已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+()a R ∈的解集不是空集． (Ⅰ)求实数a 的取值集合A ；(Ⅱ)若,b A a b ∈≠，求证：a bb aa b a b >．数学（理科）参考答案1-12.ADBAB DCCDB AC 13.35- 14.12- 15.10 16.7317.（2）由题意知：116()2n n a -=⋅- ………………6分∴2116()4nn a +=⋅∴2n b n = ………………8分 ∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++ ………………10分∴123111(1)414n c c c c n ++++=-<+ ………………12分 18.解: (1) 证明：连接OE,OG ,由条件G 为中点∴ OG//BC 又EF//OB EF=OB ∴四边形EFBO 为平行四边形 ∴ EO//FB 平面 EOG//平面FBC ∴ EG//平面BCF …………5分 (2) ABCD 为菱形，所以OB ⊥OC ，又平面ODEF ⊥平面ABCD ，四边形ODEF 为矩形 所以OF ⊥平面ABCD 可建立如图的空间直角坐标系， ………6分设O （0，0，0），B （1，0，0），C （0，3， 0），E(-1,0,2)F （0，0，2），H （31-，332，0）， D （-1，0，0）， 2((0,0,2)3DH DE ==设),,(111z y x n =是面DEG 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00即⎪⎩⎪⎨⎧==+0033232111z y x ，取)0,1,3(-=. …………8分 同理取平面OEH 的一个法向量是)1,33,2(=m , …………10分所以85131423332=++⋅-=, ∴二面角D —EH —O 的余弦值为85. ………12分19.解：（Ⅰ）设事件i A 为“甲第i 次投中”,事件i B 为“乙第i 次投中”由事件的独立性和互斥性)()()()()(321212121212121212121B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P P ++++=球）（至少投进5039)4341545443435451(243435454=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 答：“星队”至少投中3个球的概率为5039. （每一种情形给1分）………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，2,4，6，8， ……………6分400151415141)0(=⋅⋅⋅==X P , ,20074001451415441514151432)2(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P ,40073544154415143514351435441514154432)4(=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P502140016854415443514354432)6(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P25940014454435443)8(==⋅⋅⋅==X P …………………………………………10分∴X 的分布列为…………11分5314001448400168640073440014240010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………12分 20.解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点是1F ， 在1AFF ∆中，1//AF OM ,1=∴c ……2分12222==∴=∴b a a b 所以椭圆的方程为1222=+y x …………4分 （Ⅱ）设直线DE 的方程为t x y +=22，解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122222y x t x y 消去y 得到01222=-++t tx x 若()()2211,,y x E y x D 则1,222121-=⋅-=+t x x t x x ，其中02-42>=∆t …………6分()21212212223))22(1(x x x x x x x x x x PE PD P P P P ++-=-⋅-+=⋅ 又直线l 的方程为1222=+y x ,直线DE 的方程为t x y +=22， …………8分 所以P 点坐标2222,222ty t x P P +=-=, 22222432222221222,43t t t AP t PE PD =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅∴ 所以存在常数1=λ使得PD PE PA ⋅=λ2…………12分21. 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 2,1m n a mn +=+=.所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解:当2a ≥-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++≥++.于是有 111()(1)0t e t e t e t e te +≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+.故()()f n f m -的最大值是1122e e-+22.（2）由ABG ACB ∆∆ 知2916AB AG AC =⋅=⨯12AB = …8分直角ABC ∆中由勾股定理知20BC = …9分 圆的半径为10 10分23.24.试题解析：（1）要10201010x x a -+-<+的解集不是空集，则min (1020)1010x x a -+-<+…2分()101010,0,0,a a A ∴<+∴>=+∞…5分（2） 不妨设a b >，则 a ba b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭……7分0,a b >> 1,0,1a baa ab b b -⎛⎫∴>->> ⎪⎝⎭a b b a a b a b ∴>………10分。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2 •作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4 •考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

X1.已知集合A={x|x<1} , B={x|3 1}，则A. AI B {x|x 0}B. AUB RC. AUB {x|x 1}D. AI B2 .如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是3.设有下面四个命题P1 :若复数z满足丄 R，则z R ;zP2:若复数z满足z2R，则z R ;P3:若复数N,Z2满足Z1Z2 R，则zi Z2 ;P 4:若复数z R ，则z R .其中的真命题为1 6 2—)(1 x)6展开式中X 2的系数为 X7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A . A>1 000 和 n=n+1A . P l , P 3B . P l , P 4C . P 2,P 3D . P 2, P 44 •记S 为等｛a n ｝的前n 项和.若a 4a524，Ss 48，则｛a n ｝的公差为C . 45.函数f (X )在()单调递减，且为奇函数.若 f(1)1，则满足 1 f(x 2) 1的X 的取值范围[2,2]B .[ 1,1]C •[0,4]D . [1,3]6 . (1A . 15B . 20C . 30D . 352，俯视图为等腰直角三角形A . 10B . 12 8 .右面程序框图是为了求出满足C . 14D . 163n -2n >1000的最小偶数n ,那么在號「詞和=两个空白框中，可以分别填入B . A>1 000 和n=n+2C . A 1 000 和n=n+1D . A 1 000 和n=n+29.已知曲线C1: y=cos x，C2：2 ny=s in (2x+ )，则下面结论正确的是到曲线C 2到曲线C 2到曲线C 2得到曲线C 2x y z11.设xyz 为正数，且23 5，则二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。

河北省邯郸市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题理（扫描版）2017年高三一模理科数学答案 一、选择题1--5 D A C B C 6--10 C B D B A 10--12 C A 二、填空题 13. 32-14. 35(,)22- 15. m16. 1a a =-=或者三、解答题17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理易求得tan A =…………………2分()0,A π∈ 3A π∴=. …………………………………………………4分（II）21()sin cos 22f x x x x =- …………………………………………………6分1()sin(2)23f x x π∴=--+ ……………………………………………………8分 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以 22333x πππ-≤-≤， ……………………………………………10分1sin(2)23x π≤--≤， 所以()f x的值域为⎣⎦. ………………………………12分 18.解：（Ⅰ）取BE 中点F ，连接,AF GF ,由题易得,,A F G 三点共线， 过点P 作PO AG ⊥于O ，则PO ⊥底面ABCDEBE ⊂ 平面ABCDE BE PO ∴⊥，ABE ∆ 是等边三角形BE ∴AG ⊥ ………………………………2分 AG PO O =BE ∴⊥平面PAG BE ⊂ 平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面APG . ……………………4分 （II ）连接PF ，12PBE S BE PF PF AF ∆=⋅===又PAF ∠= 45︒∴PF AF ⊥，PF AF PF ∴⊥∴⊥底面ABCDE . ……………………………………………6分O ∴点与F 点重合.CA如图，以O 为原点，分别以,,OB OG OP的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系.易知底面ABCDE 的一个法向量(0,0,1)v =……………………………………8分(0,(1,0,0),C(1(1A B P PC ∴=设平面ABM 的法向量(,,)u x y z =2(3AB BM BP PM ==+=- ,,0,0u AB u BM u AB u BM ∴⊥⊥∴⋅=⋅=020333x x y z ⎧+=⎪∴⎨-++=⎪⎩取x =则31,2y z =-=31,)2u ∴=- ，…………………………10分因为二面角的法向量,u n分别指向二面角的内外， ,u n即为二面角的平面角33cos ,5||||u v u v u v ⋅∴〈〉===⋅. 所求二面角M AB D --的余弦值为35. ……………………………12分 19．解：（Ⅰ）设“从样本中任意选取2名学生，求恰好有一名学生的打分不低于4分”为事件A.115050210050()0.5199C C P A C ==≈………………..3分 （Ⅱ）4,5,6,7,8,9,10X =(4)0.20.20.04(5)20.20.30.12(6)20.20.30.30.30.21(7)20.30.320.20.20.26(8)20.20.30.30.30.21(9)20.20.30.12(10)0.20.20.04P X P XP X P X P X P X P X==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= 分布列如下()40.0450.1260.2170.2680.2190.12100.047E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………..9分()10000.1620000.6830000.161680E Y =-⨯+⨯+⨯=…………………12分20.解：（Ⅰ）联立222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得22304p y py -+= ………………………………1分 依题设得||48,222A B A B p pAB y y y y p p p =+++=++==∴= ………………………………3分 所以抛物线E 的方程为24x y =. …………………………………………4分（II ）设22112211(,),(,)22A x x B x x p p联立222p y kx x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得222121220,2,x pkx p x x pk x x p --=∴+=⋅=- ……………6分由212y x p =得'1y x p= ，∴直线12,l l 的方程分别为 22121211,22x x y x x y x x p p p p=-=- ……………………………………8分 联立2112221212x y x x p p x y x x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得点P 的坐标为(,)2ppk - ……………………………………10分所以113,22PF k k k k k =-∴-+=-∴=-或12所以直线l 的斜率为2k =-或 12k =. ……………………………………………12分21.解：（Ⅰ）解：2'22()2x x a x a f x x x x x⎛ -⎝⎭⎝⎭=-== 且0x >，所以，当0x <<时，'()0f x <，当x >'()0f x >，…………2分故min()ln 2222a a a af x f a ==-=-， 由题意可得ln 1222a a a -=，即ln 10222a a a--=…………………………3分 记()ln 1(0)222a a ag a a =-->，则函数()g a 的零点即为方程ln 1222a a a-=的根；由于1()ln 22ag a '=-，故2a =时，(2)0g '=， 且02a <<时，()0g a '>，2a >时，()0g a '<，所以2a =是函数()g a 的唯一极大值点，所以()(2)g a g ≤，又(2)0g =，………………4分 所以2a =. ……………………5分(直接得2a =给3分).（II ）由条件可得22()6()90xx f x e mf x e m -+=，令2()()(2ln )x x g x f x e x x e ==- (7)分则'2222()(2)(2ln )(22ln )x x x g x x e x x e x x x e xx=-+-=+-- 令22()22ln (1)r x x x x x x==+--≥则2'22222(1)()2220x r x x x x x x x-=++->-=≥ ………….9分()r x 在区间[1,)+∞内单调递增()(1)g x g e ∴≥=.所以原问题等价于方程2690t mt m -+=在区间[,)e +∞内有唯一解当0∆=时可得0m =或1m =，经检验1m =满足条件…………..11分当0∆>时可得0m <或1m >，所以2690e me m -+≤解之得269e m e ≥-综上，m 的取值范围是{|1,m m =或2}69e m e ≥-. ………12分 22.解：（Ⅰ）（方法一）由1C ，2C 极坐标方程分别为2sin ρθ=，cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化为平面直角坐标系方程分为()2211,20x y x y +-=+-=. …………………………2分得交点坐标为()()0,2,1,1. ……………………………………………………3分 即1C 和2C 交点的极坐标分别为2,,24ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭.………………………………………5分（方法二）解方程组2sin (1)cos (2)4ρθπρθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩所以2sin cos 4πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ……………………………………………………2分化解得cos 04πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即24ππθθ==或， ……………………………4分 所以1C 和2C交点的极坐表分别为2,24ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭. ……………………………5分 （II ）（方法一）由直线l的参数方程：12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），可得y x =， …………………………………………………………6分 由圆1C 的方程为()2211,x y +-=联立解得13()22A ……………………………8分因为(P ，所以4PA PB +=. ……………………10分 （方法二）把直线l的参数方程：12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），代入()2211,x y +-=得2211122t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………………………………7分 即2430t t -+=，124t t +=， ………………………………………………………………8分 所以4PA PB +=. …………………………………………………………………………10分当时，得 ………………………………………………2分 当1,221x x x <->+ 得13x <……………………………………………………3分 综上所述，解集为1,(3,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭……………………………………………………5分 （II ）22224ax ax ax ax -+--≥---= ……………………………………………7分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<A B x x B ．AB =RC ．{}1=>A B x xD ．A B =∅2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π43. 设有下面四个命题，则正确的是（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ， 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．85. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x的取值范围是（） A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16 8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1011. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x<<D ．325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省邯郸市2017-2018学年高三上学期摸底数学试卷（理科）一．选择题1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4} 2．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从2014-2015学年高一600人、2014-2015学年高二780人、2017-2018学年高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知2014-2015学年高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A．660 B．720 C．780 D．8004．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．756．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．67．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1cm，粗实线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm38．（5分）函数f（x）=2x﹣tanx在上的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣510．（5分）将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC 的距离为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．36πD．20π12．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2B．4C．6D．8二．填空题13．（5分）在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为．14．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有种．15．（5分）在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则•的取值范围为．16．（5分）如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：①y=﹣x3+1，②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y=④y=．以上函数为“Z函数”的序号为．三．解答题17．（10分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．18．（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=accosB．（1）求角B的大小（2）若=4，求的值．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B 上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．20．（12分）某商场组织有奖竞猜活动，参与者需要先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金25元，正确回答问题B可获奖金30元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，只能用蒙猜的办法答题．（1）如果参与者先回答问题A，求其获得奖金25元的概率；（2）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a=时，求函数f（x）在区间[m，m+1]（m＞0）上的最小值．河北省邯郸市2017-2018学年高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：列举出N中的元素，求出M与N的交集即可做出判断．解答：解：∵M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}，∴N⊆M，M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：复数z===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．3．（5分）某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从2014-2015学年高一600人、2014-2015学年高二780人、2017-2018学年高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知2014-2015学年高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A．660 B．720 C．780 D．800考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义，建立条件关系即可得到结论．解答：解：∵2014-2015学年高一600人、2014-2015学年高二780人、2017-2018学年高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知2014-2015学年高二被抽取的人数为13人，∴，解得n=720，故选：B．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立分层是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b考点：对数值大小的比较．专题：常规题型．分析：根据换底公式变为同底的对数再比较大小．解答：解：log 46==；log89==∵3＞＞∴故选A点评：本题考查了换底公式，和对数函数的单调性．当给出的对数不同底时，往往要转化为同底的进行大小比较．5．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75考点：等比数列．分析：先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．解答：解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．点评：本题主要考查等差数列的运算．6．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．解答：解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．7．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1cm，粗实线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，两个这样的几何体以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×2=6，高h=2，故体积V=Sh=×6×2=4cm3，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．8．（5分）函数f（x）=2x﹣tanx在上的图象大致为（）A．B．C．D．考点：奇偶性与单调性的综合；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意判断函数的奇偶性以及函数在x大于0时的单调性即可推出正确结果．解答：解：因为函数f（x）=2x﹣tanx在上满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数是奇函数，故A，B不正确；又x=→0+，函数f（x）=2×﹣tan=＞0，故C正确，D不正确．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的应用，特值法是解答选择题的好方法．9．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：确定不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，及z的最大值为6，即可求得z的最小值．解答：解：由题意，构成一个三角形区域，三个顶点的坐标为（0，0），（k，k），（﹣2k，k）∵z=x+y的几何意义是直线y=﹣x+z的纵截距∴在（﹣2k，k）处函数取得最小值，在（k，k）处函数取得最大值∵z的最大值为6，∴k+k=6，解得k=3∴z的最小值为﹣2k+k=﹣k=﹣3故选B．点评：本题考查简单线性规划的应用，解题的关键是确定不等式对应的平面区域，明确目标函数的几何意义．10．（5分）将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型，求出阴影部分的面积，即可得到结论．解答：解：将图形平均分成四个部分，则每个图形空白处的面积为=，阴影部分的面积为，∴根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为：，故选：D．点评：本题主要考查几何概型的概率计算，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC 的距离为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．36πD．20π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求．解答：解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA=，即球的半径为，∴球O的表面积为12π．故选：A．点评：本题考查球的有关计算问题，点到平面的距离，是基础题．12．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2B．4C．6D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．二．填空题13．（5分）在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为﹣10．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据题意，可得（x2﹣）5的通项为T r+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数．解答：解：根据二项式定理（x2﹣）5的通项为T r+1=C5r•（x）10﹣2r•（﹣）r=（﹣1）r C5r•（x）10﹣3r，令10﹣3r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（﹣1）3C53=﹣10，故答案为：﹣10．点评：本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．14．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有10种．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种根据分类计数原理知共10种，故答案为：10．点评：本题考查分类计数原理问题，关键是如何分类，属于基础题，15．（5分）在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则•的取值范围为[，3]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得和的夹角为60°，设||=x，x∈[0，2]，根据的向量的之间的关系得到•的表达式，借助于二次函数求出最值，即得它的取值范围．解答：解：由题意可得和的夹角为60°，设||=x，x∈[0，2]，∵•=（﹣）•（﹣）=﹣﹣+=2×1﹣2xcos60°﹣xcos60°+x2=x2﹣x+2=+，故当x=时，•取得最小值为，当x=2时，•取得最大值为3，故•的取值范围为，点评：本题题主要考查两个向量的加减法的法则、其几何意义、两个向量的数量积的定义以及二次函数配方求最值，属于基础题．16．（5分）如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：①y=﹣x3+1，②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y=④y=．以上函数为“Z函数”的序号为②．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=﹣x3+1在定义域上单调递减．不满足条件．②y=3x﹣2sinx﹣2cosx，y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2（sinx﹣cox）=3﹣2sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③f（x）=y=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．④y=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故答案为：②点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三．解答题17．（10分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设公比为q，由题意1+q+q2=2（1+q）+1，由此能求出．（2）由b n=2n﹣1+a n=2n﹣1+2n﹣1，=n2+2n﹣1，由此能证明T n≥2．解答：（1）解：设公比为q，由题意：q＞1，a1=1，则a2=q，，∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分）则1+q+q2=2（1+q）+1，解得：q=2或q=﹣1（舍去），∴．…（4分）（2）证明：b n=2n﹣1+a n=2n﹣1+2n﹣1，…（6分）=+=n2+2n﹣1．…（8分）又∵在[1，+∞）上是单调递增的，∴T n≥T1=2，∴T n≥2．…（10分）点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．18．（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=accosB．（1）求角B的大小（2）若=4，求的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）在三角形ABC中，由条件可得S=，求得tanB的值，可得B的值．（2）由=4以及B=，可得b2=ac，由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC，求出sinAsinC的值．再利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式把要求的式子化为，从而求得结果．解答：解：（1）在三角形ABC中，∵，由已知，可得，∴tanB=，再由0＜B＜π，∴．（2）∵，又∵，由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC．∵，∴=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，属于基础题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B 上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得A1A⊥平面ABC，A1A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A1B．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B．（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt△ABD中，AD=，AB=2，sin∠ABD==，∠ABD=60°，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．在Rt△ABA1中，AA1=AB•tan60°=2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），P（1，1，0），A1（0，2，2），，=（0，2，2），，设平面PA1B的一个法向量，则，即，得，设平面CA1B的一个法向量，则，即，得，，∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是．…（12分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）某商场组织有奖竞猜活动，参与者需要先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金25元，正确回答问题B可获奖金30元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，只能用蒙猜的办法答题．（1）如果参与者先回答问题A，求其获得奖金25元的概率；（2）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）随机猜对问题A的概率，随机猜对问题B的概率．由此能求出参与者先回答问题A，且获得奖金25元概率．（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A再回答问题B，参与者获奖金额ξ可取0，25，55，②先回答问题B再回答问题A，参与者获奖金额η可取0，30，55．分别求出相应的期望能得到应该先答问题A，再答问题B能使该参与者获奖金额的期望值较大．解答：解：（1）随机猜对问题A的概率，随机猜对问题B的概率．设参与者先回答问题A，且获得奖金25元为事件M，则，即参与者先回答问题A，且获得奖金25元概率为．（5分）（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A再回答问题B，参与者获奖金额ξ可取0，25，55，则，，（8分）．②先回答问题B再回答问题A，参与者获奖金额η可取0，30，55则，，，．因为E（ξ）＞E（η），所以应该先答问题A，再答问题B．（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，是中档题，在历年2017-2018学年高考中都是必考题型．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；（2）设P（x0，y0），设出直线l：y=k（x﹣2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．解答：解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=*，∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，则b=c，，代入*式得b=c=1即a=b=，故所求椭圆方程为+y2=1；（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0∴，设S（x1，y1），T（x2，y2）则，当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，成立，故t=0符合题意．当t≠0时得tx0=x1+x2=，ty0=y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，∴，，将上式代入椭圆方程得：，整理得：由知0＜t2＜4，所以t∈（﹣2，2）．点评：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，运用韦达定理，注意判别式大于0的条件，考查运算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a=时，求函数f（x）在区间[m，m+1]（m＞0）上的最小值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）函数f（x）在上为增函数，故在[1，+∞）上恒成立，即可解得；（2）利用导数判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，注意对m的讨论．解答：解：（1）由题知：函数f（x）在上为增函数，故在[1，+∞）上恒成立，又由e ax＞0，x2＞0，则ax﹣1≥0，即在[1，+∞）上恒成立，又，故a≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）当时，，；当时，即x＞2时，f'（x）＞0；当时，即x＜0或0＜x＜2时，f'（x）＜0；则f（x）的增区间是（2，+∞），减区间是（﹣∞，0），（0，2）由于m＞0，则m+1＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当m+1≤2时，即0＜m≤1时，f（x）在[m，m+1]上单调递减，则；当m＜2＜m+1时，即1＜m＜2时，f（x）在[m，2]上单调递减，在（2，m+1]单调递增．则；当m≥2时，f（x）在[m，m+1]上单调递增．则，综上可知：当0＜m≤1时，；当1＜m＜2时，；当m≥2时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查学生分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，综合性逻辑性强，属于难题．。

2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3]C．（2，3）D．[2，3）2．已知a，b∈R，i为虚数单位，当a+bi=i（1﹣i）时，则=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y=x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．5．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=，AB=2，则S△ABC=（）A．3 B．2C．3D．66．从5种主料职工选2种，8种辅料中选3种烹制菜肴，烹制方式有5种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（）A．18 B．200 C．2800 D．336007．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．13 C．21 D．348．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（）A．B．C．D．9．设{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，若{b n}为等比数列，则b1+b2+b3+b4+b5=（）A．142 B．124 C．128 D．14410．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．已知棱长为的正四面体ABCD（四个面都是正三角形），在侧棱AB上任取一点P（与A，B都不重合），若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．512．设f（x）=e x，f（x）=g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，则m 的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=．14．已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是．15．已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题p，q，m中的真命题是．16．已知点A（a，0），点P是双曲线C：﹣y2=1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A=acosAsinB，函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2sin 2x，x∈[0，]．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．18．如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG 上．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；=，△PBE点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．19．某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．20．已知F为抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+交抛物线E于A，B两点．（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l1，l2，且l1，l2交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为﹣，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若关于x的方程f2（x）e x﹣6mf（x）+9me﹣x=0在区间[1，+∞）有唯一的实根，求m的取值范围．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax﹣2|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞x+1；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜有实数解，求m的取值范围．2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3]C．（2，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥2}，∴A∩B={x|2≤x＜3}=[2，3）．故选：D．2．已知a，b∈R，i为虚数单位，当a+bi=i（1﹣i）时，则=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由a+bi=i（1﹣i）=1+i，求出a，b的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由a+bi=i（1﹣i）=1+i，得a=1，b=1．则=．故选：A．3．已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得•=﹣3，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角．【解答】解：向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，可得2﹣•=4﹣•=7，可得•=﹣3，cos＜，＞===﹣，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=．故选：C．4．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y=x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线FB的斜率，利用直线y=x与FB平行，建立方程，求出b=c，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，，∴b=c，∴a=c，∴e==，故选B．5．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=，AB=2，则S△ABC=（）A．3 B．2C．3D．6【考点】正弦定理．【分析】由于△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，故B=60°，ABD中，由余弦定理可得BD的长，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵由于△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，∴B=60°，∵△ABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，即：7=4+BD2﹣2BD，∴BD=3或﹣1（舍去），可得：BC=6，===3．∴S△ABC故选：C．6．从5种主料职工选2种，8种辅料中选3种烹制菜肴，烹制方式有5种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（）A．18 B．200 C．2800 D．33600【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、从5种主料之中选2种，②、从8种辅料中选3种烹制菜肴，③、从5种烹制方式选一种，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、从5种主料之中选2种，有C52=10种选法；②、从8种辅料中选3种烹制菜肴，有C83=56种选法；③、从5种烹制方式选一种，有C51=5种选法；则最多可以烹制出不同的菜肴种数为10×56×5=2880；故选：C．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．13 C．21 D．34【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a，b，c的值，并输出满足退出循环条件时的b的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=1，i=1执行循环体，c=2，a=1，b=2，i=2不满足条件i＞5，执行循环体，c=3，a=2，b=3，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，c=5，a=3，b=5，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，c=8，a=5，b=8，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，c=13，a=8，b=13，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出b的值为13．故选：B．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可．【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，则D（2，1），设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p=，∴y=，∴S===，故选D．9．设{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，若{b n}为等比数列，则b1+b2+b3+b4+b5=（）A．142 B．124 C．128 D．144【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a n=a1+（n﹣1）×2=a1+2n﹣2，且（a4）2=a2•a8，从而a1=2，=2+2×2n﹣2=2n+1，由此能求出b1+b2+b3+b4+b5的值．【解答】解：∵{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，∴a n=a1+（n﹣1）×2=a1+2n﹣2，∵{b n}为等比数列，∴．∴（a4）2=a2•a8，∴=（a1+4﹣2）（a1+16﹣2），解得a1=2，∴=2+2×2n﹣2=2n+1b1+b2+b3+b4+b5=22+23+24+25+26=124．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得该几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得几何体的体积为=，故选A．11．已知棱长为的正四面体ABCD（四个面都是正三角形），在侧棱AB上任取一点P（与A，B都不重合），若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．5【考点】基本不等式．=S△ACD，【分析】由题意可得： +=，其中S△BCDh为正四面体ABCD的高，可得h=2，a+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．=S△【解答】解：由题意可得： +=，其中S△BCD，h为正四面体ABCD的高．ACDh==2，∴a+b=2．∴+==≥=，当且仅当a=2=时取等号．故选：C．12．设f（x）=e x，f（x）=g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，则m 的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由F（x）=g（x）+h（x）及g（x），h（x）的奇偶性可求得g（x），h （x），进而可把mg（x）+h（x）≥0表示出来，分离出参数后，求函数的最值问题即可解决．【解答】解：由f（x）=g（x）﹣h（x），即e x=g（x）﹣h（x）①，得e﹣x=g（﹣x）﹣h（﹣x），又g（x），h（x）分别为偶函数、奇函数，所以e﹣x=g（x）+h（x）②，联立①②解得，g（x）=（e x+e﹣x），h（x）=（e x﹣e﹣x）．mg（x）+h（x）≥0，即m•（e x+e﹣x）+（e x﹣e﹣x）≥0，也即m≥，即m≥1﹣∵存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，1﹣≥，∴m≥．∴m的最小值为．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知函数f （x ）=，则f [f （﹣3）]= ﹣ ．【考点】函数的值．【分析】由已知得f （﹣3）==，从而f [f （﹣3）]=f （），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （﹣3）==，f [f （﹣3）]=f （）====﹣．故答案为：．14．已知函数f （x ）=ax +b ，0＜f （1）＜2，﹣1＜f （﹣1）＜1，则2a ﹣b 的取值范围是．【考点】不等式的基本性质．【分析】由题意可得0＜a +b ＜2，﹣1＜﹣a +b ＜1，作出可行域如图，设z=2a ﹣b ，利用z 的几何意义，利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解． 【解答】解：∵f （x ）=ax +b ，0＜f （1）＜2，﹣1＜f （﹣1）＜1， ∴0＜a +b ＜2，﹣1＜﹣a +b ＜1， 作出可行域如图设z=2a ﹣b ，得b=2a ﹣z ，则平移直线b=2a ﹣z ，则由图象可知当直线经过点B 时，直线b=2a ﹣z 得截距最小，由可得a=，b=此时z 最大为z=2×﹣=，当直线经过点A 时，直线b=2a ﹣z 得截距最大，由可得a=﹣，b=，此时z 最小为z=2×（﹣）﹣=﹣，∴2a ﹣b 的取值范围是，故答案为：，15．已知三个命题p ，q ，m 中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A ：p 是真命题；B ：p ∨q 是假命题；C ：m 是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题p ，q ，m 中的真命题是 m ．【考点】复合命题的真假．【分析】根据已知中老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，逐一分析论证，可得答案．【解答】解：由已知中三个命题p ，q ，m 中只有一个是真命题， ①若A 是错误的，则：p 是假命题；q 是假命题；m 是真命题．满足条件； ②若A 是错误的，则：p 是真命题；q 的真假不能确定；m 是真命题．不满足条件； ③若C 是错误的，则：p 是真命题；p ∨q 不可能是假命题；不满足条件；故真命题是m，故答案为：m16．已知点A（a，0），点P是双曲线C：﹣y2=1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a=﹣1或2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（x，y）（x≥2），则|PA|2=（x﹣a）2+y2=+﹣1，分类讨论，利用|PA|的最小值为3，求出a的值．【解答】解：设P（x，y）（x≥2），则|PA|2=（x﹣a）2+y2=+﹣1，a＞0时，x=a，|PA|的最小值为﹣1=3，∴，a＜0时，2﹣a=3，∴a=﹣1．故答案为﹣1或2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A=acosAsinB，函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2sin 2x，x∈[0，]．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理，求出tanA的值，从而求出A的值；（II）由A化简函数f（x）为正弦型函数，求出x∈[0，]时f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，bsin2A=acosAsinB，由正弦定理得，sinBsin2A=sinAcosAsinB，∴tanA==，…又A∈（0，π），∴；…（II）由A=，∴函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2sin 2x=cos2x﹣sinxcosx=•﹣•sin2x=﹣（sin2x﹣cos2x）+，=﹣sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，…∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴≤﹣sin（2x﹣）+≤，所以f（x）的值域为．…18．如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG 上．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；=，△PBE点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE，推导出BE⊥PO，BE⊥AG，由此能证明平面PBE⊥平面APG．（II）连接PF，推导出O点与F点重合，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE∵BE⊂平面ABCDE，∴BE⊥PO，∵△ABE是等边三角形，∴BE⊥AG…∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面APG．…解：（II）连接PF，∵又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，∴PF⊥底面ABCDE．…∴O点与F点重合．如图，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．底面ABCDE的一个法向量…∵，∴，设平面ABM的法向量，∵，∴，∴，∴，取则，∴，…∵二面角的法向量分别指向二面角的内外，即为二面角的平面角，∴cos＜＞==．∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值为．…19．某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）计算“从样本中任意选取2名学生，恰好有一名学生的打分不低于4分”的概率值；（Ⅱ）由X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；（Ⅲ）根据表格写出Y的分布列，计算对应的数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）设“从样本中任意选取2名学生，求恰好有一名学生的打分不低于4分”为事件A，则P（A）==≈0.51；…（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，9，10；则P（X=4）=0.2×0.2=0.04，P（X=5）=2×0.2×0.3=0.12，P（X=6）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，P（X=7）=2×0.3×0.3+2×0.2×0.2=0.26，P（X=8）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，P（X=9）=2×0.2×0.3=0.12，P（X=10）=0.2×0.2=0.04；X的分布列如下：X的数学期望为E（X）=4×0.04+5×0.12+6×0.21+7×0.26+8×0.21+9×0.12+10×0.04=7；…..（Ⅲ）Y的分布列为Y的数学期望为E（Y）=﹣1000×0.16+2000×0.68+3000×0.16=1680．…20．已知F为抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+交抛物线E于A，B两点．（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l1，l2，且l1，l2交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为﹣，求直线l的斜率．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据弦长公式即可求出p的值，问题得以解决，（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理，即可求出过点A，B作抛物线E的切线l1，l2方程，再求出交点坐标，根据斜率的关系即可求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）联立，消去x得，题设得，∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y．（II）设联立，消去y得x2﹣2pkx﹣p2=0，∴，由得，∴直线l1，l2的方程分别为，联立得点P的坐标为，∴，∴或，∴直线l的斜率为k=﹣2或．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若关于x的方程f2（x）e x﹣6mf（x）+9me﹣x=0在区间[1，+∞）有唯一的实根，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的最小值，问题转化为﹣ln﹣1=0，记g（a）=﹣ln﹣1，（a ＞0），根据函数的单调性求出a的值即可；（Ⅱ）由条件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）e x+9m=0，令g（x）=f（x）e x=（x2﹣2lnx）e x，原问题等价于方程t2﹣6mt+9m=0在区间[e，+∞）内有唯一解，通过讨论△的符号，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣=，（x＞0），所以，当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故f（x）min=f（）=﹣ln，由题意可得：﹣ln=1，即﹣ln﹣1=0，记g（a）=﹣ln﹣1，（a＞0），则函数g（a）的零点即为方程﹣ln=1的根；由于g′（a）=﹣ln，故a=2时，g′（2）=0，且0＜a＜2时，g′（a）＞0，a＞2时，g′（a）＜0，所以a=2是函数g（a）的唯一极大值点，所以g（a）≤g（2），又g（2）=0，所以a=2．（II）由条件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）e x+9m=0，令g（x）=f（x）e x=（x2﹣2lnx）e x，则g′（x）=（x2+2x﹣﹣2lnx）e x，令r（x）=x2+2x﹣﹣2lnx（x≥1），则，r（x）在区间[1，+∞）内单调递增，∴g（x）≥g（1）=e；所以原问题等价于方程t2﹣6mt+9m=0在区间[e，+∞）内有唯一解，当△=0时可得m=0或m=1，经检验m=1满足条件，当△＞0时可得m＜0或m＞1，所以e2﹣6me+9m≤0，解之得：m≥，综上，m的取值范围是{m|m=1或m≥}．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出C1和C2的直角坐标方程，得出交点坐标，再求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）由C1，C2极坐标方程分别为ρ=2sinθ，’化为平面直角坐标系方程分为x2+（y﹣1）2=1，x+y﹣2=0．…得交点坐标为（0，2），（1，1）．…即C1和C2交点的极坐标分别为．…（II）把直线l的参数方程：（t为参数），代入x2+（y﹣1）2=1，得，…即t2﹣4t+3=0，t1+t2=4，…所以|PA|+|PB|=4．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax﹣2|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞x+1；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜有实数解，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）把a=2代入不等式化简后，对x分类讨论，分别去掉绝对值求出每个不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出f（x）+f（﹣x）的最小值，结合题意列出不等式，求出实数m的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式为：|2x﹣2|＞x+1，当x≥1时，不等式化为：2x﹣2＞x+1，解得x＞3…当x＜1时，不等式化为：2﹣2x＞x+1，解得…综上所述，解集为；…（II）因为f（x）+f（﹣x）=|ax﹣2|+|﹣ax﹣2|≥|ax﹣2﹣ax﹣2|=4…，所以f（x）+f（﹣x）的最小值为4，…，因为f（x）+f（﹣x）＜有实数解，所以…2017年4月1日。

邯郸市2017届高三第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的.1．已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B =A. {0}B. {0,1}C. {1,0}-D.{1,0,1}-2．复数z 满足()(2)5z i i --=，则z =A.22i --B. 22i -+C. 22i -D. 22i + 3.下列说法不正确．．．的是A.命题“对x R ∀∈,都有20x ≥”的否定为“0x R ∃∈,使得200x <”B.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件；C. “若tan α≠3πα≠” 是真命题D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题p 是“甲考试及格”,q 是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为()()p q ⌝∧⌝4.函数(4) 0()(4) <0 x x x f x x x x +≥⎧=⎨-⎩，若()()f a f a <-，则a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(4,0)-D ．(0,4)5．如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出y 的值为4，则输入x 的值可能为A ．6B ．-7C ．-8D ．7 6．过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若8AB =，则直线AB 的倾斜角为 A ．566ππ或B ．344ππ或C ．233ππ或D ．2π 7.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A ．54 B ．27 C ．18 D ．98．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7 9.已知函数()2sin()f x x ϕ=+，且(0)1f =，(0)0f '<，则函数()3y f x π=-图象的一条对称轴的方程为 A ． 0x = B ． 6x π=C ． 23x π=D ． 2x π=10. 某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是A ．24B ．36C ．40D ．44 11. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为A ．4πB ．8πC ．16πD 12.若函数2()ln 2,(01)x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(3,)+∞D ．(,1)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知1=a,)3,1(=b ,()a ab ⊥-,则=b a ,cos _________________.14.若实数x ，y 满足条件04(3)(3)0x y x y x y ≤+≤⎧⎨--≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______.15.已知数列{}n a 的前5项为18,10,6,4,3，据此可写出数列{}n a 的一个通项公式为____.16.已知F 是双曲线的右焦点12222=-by a x 的右焦点,点B A ,分别在其两条渐进线上，且满足2=，0=⋅（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分17. (本小题满分12分)已知函数23()2cos 2f x x x =+- （I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值（II ）在ABC ∆中,A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1()2f A =-，求ABC ∆周长L 的最大值.18. (本小题满分12分)从天气网查询到邯郸历史天气统计 (2011-01-01到2017-03-01)资料如下：自2011-01-01到2017-03-01，邯郸共出现：多云507天，晴356天，雨194天，雪36天，阴33天，其它2天，合计天数为：1128天。

河北省邯郸市曲周一中2017-2018学年高三上学期第一次摸底数学试卷（理科）一．选择题（每题5分，共60分）1．已知集合，则A∩B=( )A．B．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．解答：解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，B={x|﹣2≤x＜2}，利用集合的运算可得：A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}．故选D．点评：本题主要考查集合的基本运算，根据不等式的解法求出集合A，B是即可得到结论．2．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；四种．专题：计算题．分析：根据所给的两个，解不等式解出两个的x的值，从x的值的范围大小上判断出两个之间的关系，从而看出两个非之间的关系．解答：解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查两个条件之间的关系，是一个基础题，这种题目经常出现在2016届高考卷中，注意利用变量的范围判断条件之间的关系．3．已知直线（t为参数）与曲线M：ρ=2cosθ交于P，Q两点，则|PQ|=( )A．1 B．C．2 D．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：运用代入法和x=ρcosθ，x2+y2=ρ2，将参数方程和极坐标方程，化为普通方程，由于圆心在直线上，可得弦长即为直径．解答：解：直线（t为参数）即为直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0，由x=ρcosθ，x2+y2=ρ2，曲线M：ρ=2cosθ，可化为x2+y2﹣2x=0，即圆心为（1，0），半径r=1，由圆心在直线上，则|PQ|=2r=2，故选C．点评：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．4．已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lg（x））＞f（1），则x的取值范围是( )A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由已知中函数f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，结合函数单调性与导数的关系及偶函数在对称区间上单调性相反，我们可以判断出函数的单调性，进而将不等式f（lg（x））＞f（1），转化为一个对数不等式，再根据常用对数的单调性，即可得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上偶函数当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数为减函数则x＜0时，函数为增函数若f（lg（x））＞f（1），则﹣1＜lg（x）＜1则＜x＜10故选C．点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，对数函数的单调性，其中判断出函数的单调性，并根据函数的单调性将不等式进行变形是解答本题的关键．5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=( )A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的周期以及函数的奇偶性，通过函数的解析式求解即可．解答：解：f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣（）=1．故选：B．点评：本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性，函数值的求法，考查计算能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．解答：解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．解答：解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．点评：本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．8．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是( )A．f（x）=sinx B．f（x）=lnC．f（x）=﹣|x+1| D．f（x）=考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，奇函数的定义，减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而得到正确选项．解答：解：A．f（x）=sinx在上单调递增；B．f（x）=，解得该函数的定义域为；又f′（x）=；∴f（x）在区间上是减函数；又f（﹣x）==﹣f（x）；∴f（x）是奇函数；∴该选项正确；C．f（x）=﹣|x+1|，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0；而这里f（0）=﹣1；∴该函数不是奇函数；D.，f（﹣1）=；∴该函数在上不是减函数．故选B．点评：考查正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，以及奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0，减函数的定义．9．函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是( )A． B． C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断．解答：解：∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除A，B，∵＞0，故排除D，故选：C．点评：本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题．10．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于( )A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：把已知的条件代入=tan=，运算求得结果．解答：解：∵已知，∴=tan===，故选C．点评：本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题．11．直线y=2x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积是( )A．1 B．2 C．2D．4考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分的几何意义即可求出对应的面积．解答：解：由得x3=2x，解得x=0或x=或x=﹣，则由对称性可知所求面积S=2（2x﹣x3）dx=2（x2﹣x4）|=2（2﹣）=2（2﹣1）=2，故选：B点评：本题主要考查封闭区域的面积的计算，求出交点坐标，利用积分是解决本题的关键．12．下列有关的说法错误的是( )A．“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p、q均为假D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0考点：的真假判断与应用；四种间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题．分析：根据四种的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称的否定方法，我们可以判断D 的真假，进而得到答案．解答：解：“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真；若p∧q为假，则p、q存在至少一个假，但p、q不一定均为假，故C为假；p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真；故选C．点评：本题考查的知识点是的真假判断与应用，四种间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2且x≠0}．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分式中的对数式的真数大于0且不等于1，根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解x的取值集合即可得到答案．解答：解：由，解得：﹣1＜x≤2，且x≠0．∴函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．故答案为：{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，解答此题的关键是注意分母不等于0，是基础题．14．已知函数f（x）=则f=．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=，知f（）=ln=﹣1，由此能求出f的值．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（）=ln=﹣1，∴f=f（﹣1）=e﹣1=．故答案为：．点评：本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．15．已知，幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则f（2）的值为16．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则指数是偶数且大于0，由于﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4≤4，即可得出．解答：解：∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则指数是偶数且大于0，∵﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4≤4，∴因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，∴m=﹣1，f（x）=x4，∴f（2）=24=16．点评：本题考查了幂函数的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．考点：奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．专题：数形结合．分析：由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．解答：解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．三、解答题（70分）17．设函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（1）由于函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+2，所以函数f（x）的最小正周期为=π．（2）由得：，当即x=0时，f（x）min=3；当即时，．点评：本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．18．已知函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）求使不等式f（x）≥的x的取值范围．（3）若f（α）=，α∈，求f（α+）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．（1）由题意可得函数的周期为T==2×，求得ω的值，可得函数f（x）=sin（2x+）．令分析：2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由不等式可得2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得x的范围，即可求得不等式的解集．（3）由条件可得2α+∈，cos（2α+）=，根据f（α+）=cos，计算求得结果．解答：解：（1）由题意可得函数的周期为T==2×，∴ω=2，∴函数f（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为，k∈z．（2）由不等式f（x）≥，可得2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故不等式的解集为，k∈z．（3）若f（α）=sin（2α+）=，α∈，∴2α+∈，∴cos（2α+）=，∴f（α+）=sin（2α+）=cos2α=cos=cos（2α+）cos+sin（2α+）sin=+=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，属于基础题．19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值．解答：解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，即有ρsinθcos+ρcosθsin=4，即为直线x+y﹣8=0；（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，则d==，则当sin（）=1，此时α=2k，k为整数，P的坐标为（，），距离的最小值为=3．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属中档题．20．已知函数f（x）=ax3﹣bx2+9x+2，若x=是f（x）的一个极值点，且f（x）的图象在x=1处的切线与直线3x+y﹣1=0平行．（1）求f（x）的解析式及单调区间（2）若对任意的x∈都有f（x）≥t2﹣2t﹣1成立，求函数g（t）=t2+t﹣2的最值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由f（x）在x=时取得极值得f'（）=0，由f（x）的图象在x=1处的切线与直线3x+y﹣1=0平行得f′（1）=﹣3，联立方程组可求得a，b，再根据导数和函数的单调性的关系求出单调区间；（2）由（1）求出函数f（x）的最小值，得到t2﹣2t﹣1≤2，求出t的范围，再根据二次函数性质求出函数g（t）的最值．解答：（1）∵f（x）=ax3﹣bx2+9x+2，∴f'（x）=3ax2﹣2bx+9，由已知可得：⇒，解得a=4，b=12，∴f（x）=4x3﹣12x2+9x+2，∴f'（x）=12x2﹣24x+9，令f'（x）=0，解得x=，或x=，当f'（x）＞0，即x＜，或x＞，函数f（x）单调递增，当f'（x）＜0，即＜x＜，函数f（x）单调递减，∴函数f（x）的增区间为（﹣∞，），（，+∞）减区间（，）；（2）由（1）函数f（x）在都有f（x）≥t2﹣2t﹣1成立，∴t2﹣2t﹣1≤2，解得﹣1≤t≤3，∵g（t）=t2+t﹣2=（t+）2﹣，∴g（t）在上递增，∴当t=﹣时有最小值，最小值为﹣，当t=3时有最大值，最大值为10．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值和最值，属中档题，掌握导数与函数的极值、最值的关系是解决问题的关键．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R（1）若函数f（x）在上的最小值为2，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导数f′（x）=﹣，根据f（x）在min，从而求得实数a的取值范围；（2）由（1）得f′（x）=﹣，x∈．下面对2a进行分类讨论：①若2a＜1，②若1≤2a≤e，③若2a＞e，分别讨论函数f（x）在上的最小值为2列出等式求出a值即可．解答：解：（1）∵f（x）=lnx+，∴f′（x）=﹣，∵f（x）在；（2）由（1）得f′（x）=﹣，x∈．①若2a＜1，则x﹣2a＞0，即f'（x）＞0在上恒成立，此时f（x）在上是增函数．所以min=f（1）=2a=2，解得a=1（舍去）．②若1≤2a≤e，令f'（x）=0，得x=2a．当1＜x＜2a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2a）上是减函数，当2a＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在（2a，e）上是增函数．所以min=f（2a）=ln（2a）+1=2，解得a=．③若2a＞e，则x﹣2a＜0，即f'（x）＜0在上恒成立，此时f（x）在上是减函数．所以min=f（e）=1+=2，解得a=（舍去）．综上所述：a=．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题22．已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右均为增函数，则x=1不是极值点．（2）先对f（x）进行求导，在上单调增，则f'（x）≥0在上恒成立．求得a的取值范围．（3）在上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在上的最小值小于零．对h（x）求导．求出h（x）的最小值即可．解答：解：（1）函数f （x）定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…2分此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f （x）递增；当x＞1时，f′（x）＞0，f （x）递增．∴x=1不是f （x）的极值点．故不存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值．…4分（2）f′（x）=，①当a≥2时，∴f′（x）≥0，∴f （x）在（0，+∞）上递增，成立；…6分②当a＜2时，令f′（x）＞0，则x＞1+或x＜1﹣，∴f （x）在（1+，+∞）上递增，∵f （x）在上存在单调递增区间，∴1+＜3，解得：﹣6＜a＜2综上，a＞﹣6．…10分（3）在上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在上的最小值小于零．﹣①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在上单调递减，所以h（x）的最小值为q，由h（e）=e+可得a＞，因为，所以a＞；…12分②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；…14分③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）＜0成立．综上可得所求a的范围是：或a＜﹣2．…16分解法二：由题意得，存在x∈，使得a（lnx﹣）＞x+成立．令m（x）=lnx﹣，∵m（x）在上单调递增，且m（1）=﹣1＜0，m（e）=1﹣＞0故存在x1∈（1，e），使得x∈时，m（x）＞0故存在x∈时，使得a＞成立，…（☆☆）…12分记函数F（x）=，F′（x）=当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2=（x2﹣1）•∵G（x）=lnx﹣=lnx﹣﹣1递增，且G（e）=﹣＜0∴当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2＜0，即F′（x）＜0∴F（x）在上也是单调递减，…14分∴由条件（☆）得：a＜F（x）max=F（1）=﹣2由条件（☆☆）得：a＞F（x）min=F（e）=综上可得，a＞或a＜﹣2．…16分．点评：本题主要考查利用导数解决函数极值问题和利用导数解决函数单调性和参数取值范围，2016届高考常考题型，难度较大．。