第二章 行列式§1-3 排列，行列式的定义一、知识结构与内容提要 （一）、排列1． 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列．注： 1）所有不同n 级排列的共有n ！个．!12(1)n n n n P =⋅⋅-= (n 的阶乘)2）自然序排列：1234…n （它的排序按小到大递增排列，而其它排列都或多或少破坏了这种自然顺序）2.逆序、逆序数定义： 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注 1）排列12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ注2）12()n j j j τ=1j 后面比1j 小的数的个数++1n j -后面比1n j -小的数的个数．或=n j 前面比n j 大的数的个数+1n j -前面比1n j -大的数的个数++2j 前面比2j 大的数的个数．3. 奇排列、偶排列(1) 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． (2) 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．(3) 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．推论 任有n 级排列中，奇、偶排列各半，均为!2n 个．(4) 任意一个排列与自然序排列123n 都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同． (二) n 级行列式的定义1.定义：n 级行列式111212122212nnn n nna a a a a a a a a等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （1）的代数和，这里12n j j j 为1、2、…．n 的一个排列．每一项（1）都按下列规则带有符号：当12n j j j 为奇排列时（１）带负号；当12n j j j 为偶排列时（１）带正号．即， 1121211121()212221212(1)n nnn j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里12nj j j ∑表示对所有1、2、…．n 的n 级排列求和．注：1）常记 1112121()n nij n nna a a a a aa =∆或det ija ．2）1112121n nn nna a a a a a 中的数ij a 称为行列式处于第i 行第j 列的元素，i 称为行指标，j 称为列指标．3）n 级行列式定义展开式中共有!n 项 特别的,对二级与三级行列式我们有11122112112212122a aD a a a a a a ==-1112133212223112233122331132132132231132133112332313233a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---2.几个特殊的行列式的值(1)对角形行列式 11221122n nnnn a a D a a a a ==,次对角形行列式 1(1)2(1)212(1)11(1)nn n n n n n n n a a D a a a a ---==-(2)上三角形行列式111212221122000n n n nnnn a a a a a D a a a a ==,次上三角形行列式 11121(1)2122212(1)110(1)00n n n n n n n n a a a a a D a a a a --==-(3)下三角形行列式112122112212000n nnn n nna a a D a a a a a a ==,次下三角形行列式 1(1)212(1)11,21,1200(1)n n n n n n n n n nn n nna D a a a a a a a a ----==- 二、解题方法与典型例题 （一） 关于排列1． 求排列的逆序数; 2． 对换与排列的奇偶性;例1 求,k l ,使5元排列412k l 为奇(偶)排列.解 显然, ,k l 只能取3,5这两个数,若3,5k l ==,容易计算(412)6k l τ=,这时412k l 为偶排列,当 5,3k l == 412k l 为奇排列.例2 求排列21)1( -n n 的逆序数，并讨论排列的奇偶性.解 容易计算排列21)1( -n n 的逆序数为)1(21-n n ，当24,14,4++=k k k n 为偶排列，当14-=k n 是为奇排列.例3 证明 对任意整数)0(2n C k k ≤≤，存在数n ,,2,1 的一个排列，此排列的逆序数为k .证明 对)0(2n C k k ≤≤用归纳法.当0=k 时，命题显然成立.假设对)0(2n C m m ≤≤成立，即存在n ,,2,1 的一个排列，使该排列的逆序数为)0(2n C m m ≤≤，对该排列中的数码1与1右边的数码相对换，则对换后排列的逆序数为1+m .所以命题对任意的)0(2n C k k ≤≤都成立.(二)、关于行列式定义1．利用行列式定义求较简单的行列式的值2．利用行列式定义证明一些行列式的性质例1 选择,i j ，使13245325i j a a a a a 是5级行列式中一个带负号的项.解 由于1324532512532453i j i j a a a a a a a a a a =的符号决定523i j 的奇偶性，而4,1i j ==时，523i j 是奇排列，故4,1i j ==时，13245325i j a a a a a 在5级行列式中带负号.例2 计算4D =4321432100000e e e e d d d d c b a解 4D 中不含零的项为43e acd 与34e acd 而这两项符号分别是正号和负号，所以4D =4321432100000e e e e d d d d c ba =43e acd - 34e acd例3 证明：如果n 级行列式D 在k 个行和h 个列的交叉点出的元素都为零，n h k >+时，0=D .证明：若n 级行列式D 在k 个行和h 个列的交叉点出的元素都为零，设这k 个行分别是k i i i ,,,21 ,那么这些行中不为零的元素至多有h n -个，因此行列式每项中至少含有一个0.事实上，每项中，取自于第1i 中非零数的可能是h n -中，则取自于第2i 行中非零数的可能是1--h n ，……，取自于第k i 行中非零数的可能至多1+--k h n .因为n h k >+，所以011)(1≤<++-=+--k h n k h n .所以每移项中至少含有一个0.故0=D .三、 问题探讨1．假如一个n 级行列式中等于0的元素个数比2n n -多，那么这个行列是等于什么？2．讨论下列关于文字x 的行列式111212122212n n n n nnx a a a a x a a a a x a +++的1,n n x x -系数与常数项.3． 设有以下俩个行列式：11111211111212221121,n nnn nn n n n nn a a b a b a a a b a a b A B a a a b ab a -----==其中0b ≠，试讨论,A B 的关系.4．设D 是一个实(3)n n ≥级行列式，证明：D 的!n 项中若有负项 （元素的符号计算在内），则当3n =时，负项个数为奇数；当3n >时负项的个数为偶数.四、思考题与达标训练（一）、填空题1．全体n 级排列共有 个，奇排列有 ，偶排列有 个（这里2≥n ）. 2．)2(≥n n 级排列中逆序数最大的排列是 ，逆序数是 ；最小的排列是 ，逆序数是 .3．排列经一次对换，奇排列变成 ，偶排列变成 ；经奇数次对换，奇排列变成 ，偶排列变成 ；经偶数次对换 奇排列变成 ，偶排列变成 . 4．n 级排列n k k i i i i i 11211+-中，数1与余数形成的逆序数是 . 5．n 级排列n k k i ni i i i 1121+-中，数n 与余数形成的逆序数是 . 6.n D 是 项的代数和，每一项取自 元素的乘积，项nnjj j a a a 2121的符号是 .7．42142311a a a a 21431234a a a a 中 是4D 的项.8．330020001= ，=4000030000200001 .9．=003020100 ，=0004003002001000 .10． =4000430043204321 ，=7654054300320001 . 11.若0≠n D ，则n D 中非零元素个数至少有 .（A ）)1(-n n ；（B ）2)1(-n ，（C ）2n ；（D ）n .12.n D 中零的个数多多于 ，n D =0.（A ）)1(-n n ；（B ）2)1(-n ，（C ）2n ；（D ）n .13.（选择填空）设k i i i n =)(21 τ，对排列施行一次对换得到排列的逆序数是 （4） .（A ）1+k ；（B ）1-k ；（C ）q k 2+；（D ）12++q k （二）判断题1． n D 恰有n 个元素等于0，则n D =0.2．n D 中项nnj i j i j i a a a 2211的符号是)(21)1(nj j j τ-.（三）、解答题1．求以下排列的逆序数，并指出排列的奇偶性.（1） 1437265（2）13572468. 2. 选择i 和k ，使（1）8471256k i 成偶排列；（2）8715249k i 成奇排列. 3. 如果n 元排列,,,,i j 的反序数为k ,那么,,,,j i 的反序数是多少?4. 若20n k C ≤≤,证明存在n 元排列,其反序数为k . 5.证明 00000000000121n n a a a a -n n n n a a a a 1212)1()1(---=6.计算00000000a b c d e f g h7.证明：D0000000021211215432154321==e e d d c c b b b b b a a a a a8.利用n 级行列式0111111111111==n D ，证明n 级排列的奇偶排列各占一半.9.设12,,,n a a a 为n 个数码1,2,n的一个排列，求12121212111222{,,}nn n na a a a a a a a a na na na a a a a a a a a a ∑§4-5,7 n 级行列式的性质，Gramer 法则一、 知识结构与内容提要 (一)行列式的性质1．（转置变换）行列式与其转置行列是相等.该性质说明行列式的行列的位置是同等的，因此行所具有的性质列也具有.2． （换法变换）对换行列式中两行（列）位置，行列式反号．3．（倍法变换）行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即 （1）行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．（2）如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0．（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）．（3）行列式中两行（列）成比例，则行列式为04．（分行变换） 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和.5． （消法变换）把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变.（二）矩阵与矩阵的初等变换 1． 定义 由sn 个数排成s 行n 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛sn s s n n a a a a a a a a a 212222111211 称为一个s ×n 矩阵，常记为n s ij a ⨯)(．这些数ij a 称为矩阵的元素，i 为行指标，j为列指标．若矩阵A=n s ij a ⨯)(，P a ij ∈， i =1，2，…，s ， j =1，2，…，n ，则说A 为数域P 上的矩阵．① 当s =n 时，n n ij a ⨯)(称为n 级方阵．② n 级方阵A=n n ij a ⨯)(定义的n 级行列式)(ij a ∆称为矩阵A 的行列式，记作A 或detA ．即111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，A =nn n n nna a a a a a a a a 212222111211③ 矩阵的相等：A=n s ij a ⨯)(，B=q p ij b ⨯)(．定义A=B ⇔s =p ， n=q ， ij a =ij b ， i =1，2，…，s ， j =1，2，…，n ． 2．矩阵的初等行变换定义 数域P 上矩阵的初等行变换是指： 1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一行；2) 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行，P k ∈； 3) 互换矩阵中两行的位置．注：矩阵A 经初等行变换变成B ，一般地A ≠B ． 3．阶梯形矩阵1． 矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，这样的矩阵称为阶梯形矩阵．2． 任意一个矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯形矩阵．3．方阵A 经过一系列初等行变换变成阶梯阵D ，则A =.0,≠λλD 3．任何一个方阵都可以通过矩阵的初等变换化为上（下）三角形、对角形矩阵.因此任何一个行列式都可以化为上（下）三角形或者是对角形行列式进行计算.（三）、Gramer 法则 1． n 元线性方程组11112211211222221122()n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪1⎨⎪⎪+++=⎩缩写为 1,1,2,,.ni jj i j ax b i n ===∑当12,,,n b b b 不全为0时，称 （１）为非齐次线性方程组； 当 120n b b b ====时，称 (１) 为齐次线性方程组． 2．Gramer 法则如果线性方程组(１) 的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭的行列式 ||0D A =≠，则方程组(１)有唯一解1212,,,n DD D n D x x x ===， 其中(1,2,,)j D j n =是把行列式D 中第j 列的元素用方程组(１)的常数项12,,,n b b b 代换所得的一个n 阶行列式，即 111,111,11212,122,121,1,1j j nj j n j n n j n n j nn a a b a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=11221.n j j n nj s sj s b A b A b A b A ==+++=∑注：① (１)的系数行列0D ≠时，(１)有解且只有唯一解； ② 若(１)无解或有两个不同的解，则(１)的系数行列式 0D =．3. （1）形如111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩称为齐次线性方程组.注： 齐次线性方程组（3）总有解； 120n x x x ====为它的一个解， 称之为零解； 除零解外的解（若还有的话）称为非零解．（2） 若齐次线性方程组（3）的系数行列ij D a ==，则(3)只有零解．二、 解题方法与典型例题1． 行列式的性质性质是本章的重点，它是行列式计算的理论基础与依据.因此不仅要正确理解这几个性质，更要灵活运用它们.行列式的计算，技巧性强，难度大，只有多做题目，总结方法与题型，积累经验，才能较好的解决行列式的计算问题.不过，不论行列式题目么千变万化，利用行列式的性质把行列式化成上（下）三角形或对角形是进行行列式计算的基础.利用行列式性质进行计算主要掌握三种方法：化简法，目标行列式法，归一法.（1） 化简法，就是利用行列式的倍法变换分行变换和消法变换把行列式的元素化的尽可能的简单.（2） 目标行列式法就是利用行列式的性质，不行列式化成上（下）三角形或对角形行列式.（3） 归一法就是 把行列式的煤航（列）元素都加到某一行（列）上，然或再利用行列式的性质进一步化简.例11112121223412n nn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解：将行列式按第一列分解11121112111212122322231223412212n n n nnnn n n n n n n n n n na b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a b a a b a b b a b a b ++++++++++++++==++++++++将等号右边的两个行列式按第二列分解，并继续下去，注意到两列相同，行列式为0，得111111122122411nnnn b a a b a a b a a b a a D b a a b a a =+，当2n =时，22121211221()()()()D b a a b a a a a b b =-+-=--，当2,0n n D >=. 例2 计算22222222422222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b D c c c c d d d d ++++++=++++++解：将第一列乘以-1加到2，3，4列得到2222222222224222222222222(1)(2)(3)2144692126(1)(2)(3)21446921260(1)(2)(3)2144692126(1)(2)(3)2144692126a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b Dc c c c c c c c c cd d d d d d c d d d ++++++++++++++====++++++++++++++ 例31112nn x a a a x a D a a x =解 将2，3，…n 列都加到第一列然后将12,,n x a x a x a +++提到行列式的外边，于是得到11211()1n nni i a a x a D x a a x ==+∑让第一列分别乘以12,,n a a a ---后，加到第2，3，…，n+1列得到1111110()()()1nnni i i i i i nx a D x a x a x a x a ===-=+=+--∑∑∏例4 证明：01121201111100100()1nn i i na a a a a a a a a -==-∑解：将行列式的1i +行乘以1i a --加到第一列得到1011112012111000()0000ni i nn i i na a a a a a a a a a -=-=-=-∑∑2． 行列式的计算采用程序化的方法，把它通过消法变换化成三角形行列式.其方法的核心是利用矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵.例1 用初等变换将矩阵化为 阶梯形矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10030116031081402422A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=40000220001403002422040002200014030024221003012030140300242210030116031081402422A 例2.计算行列式①1111210010201352-； ②122222222232222n解 ①171001700131011110100170013101111364022301310111136401310223011112531020*********=-----=----=--=-=- ②)!2(22000001002220000120000010022220001222232222222221-⋅-=--=--=n n n n3． Gramer 有关解题方法与典型例题略三、 问题探讨1．用数学归纳法证明：对任意n 级行列式总可以通过允许的变环化成对角形、上三角形、下三角形.2．不展开行列式，计算23121111,11D ωωωωω==， 2222111a a bcD b b ca c c ab -=--3．不展开行列式求212111()321111x x x f x x x -=的42,x x 的系数.4．若n 级行列式n ijD a =满足ji ij a a =-，,1,2,,i j n =，(反对称行列式)则当n 为奇数时，0n D =5．设111212122212nnn n nn a a a a a a D a a a =，其中（1）max(,),ij a i j =（2）min(,),ij a i j =求行列式的值四、思考题与达标训练 （一）、判断题1．333231232221131211333231232221131211333332323131232322222121131312121111b ab b b b b b b b a a a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a +=+++++++++.2．444433332222121212124444333322221111d c b a d c b a d c b a d d c c b b a a d c b a d c b a d c b a d c b a ----=.3．333222121212333222111333c b a c b a c c b b a a c b a c b a c b a +++=.（二）、填空题1．⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A 的第一行的-3倍加到第二行得到 .2．交换方阵A 的两行得到矩阵B ，则=A . 3．方阵A 的第二行乘3变为矩阵B ，则=A .4．方阵A 的第二行乘2加到第一行得到矩阵B ，则=A .（三）、解答题1． 计算下列行列式131******** ； ()111111111111n a a a a；13111111n n na a ab a a a b ++2324323631063a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d ++++++++++++++++++2.已知546，273，169都是13的倍数，用行列式性质证明961372645也是13的倍数.3 .计算下列行列式 ①123123123123nn n n x m x x x x x m x x x x x m x x x x xm----；②1111111111111111x x y y+-+-③n n ---1000022000113214.考察下列行列式,212222111211nn n n nna a a a a a a a a D=,2121212221111nnn nnini i i i i i a a a a a a a a a D=其中n i i i 21为n 12的一个排列，这两个行列式之间有什么关系？证明你的结论.D D Ni i i )(121)1( τ-=5.用初等行变换将矩阵化为阶梯形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10030116031081402422A6..计算行列式①1111210010201352- ②122222222232222n§2.6 行列式的展开定理，拉普拉斯定理一、 知识结构与内容提要1．定义：在行列式ij a中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下2(1)n -个元素按原来的排法构成一个1n -级的行列式111111111111111111111111j j ni i j i j in ii j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+称之为元素ij a 的余子式，记为ij M ．令(1)i jij ij A M +=-，称之为元素ij a 的代数余子式．2．位于行列式ij a的第12,,,k i i i 行及第12,,,k j j j 列（121k i i i n ≤<<<≤， 121k j j j n ≤<<<≤）交叉位置上的2k 元素按照原来的相对位置组成的k 行列式M 称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按原来的相对位置所构成的一个n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.而称1212(1)k k i i i j j j M +++++++'-称为M 的代数余子式.3．行列式的展开定理 （1）设,ij n D a =ijA 表示元素的ij a 代数余子式，则下列公式成立：1111220i i in in k i k i kn in D k i i D a A a A a A a A a A k i ==++⎧+++=⎨≠⎩按行展开,即 11220ij ij ij ijl j l j nl nj D l j j D a A a A a a a a a a l j ==++⎧⎪+++=⎨≠⎪⎩按行展开,即 10n i s i s s D k i a A k i ==⎧=⎨≠⎩∑ ， 10ns l s j s D l ja A l j ==⎧=⎨≠⎩∑．4. 拉普拉斯定理：任取n 级行列式的某k 行（列），由这k （列）元素的一切k 级子式（共k n C 个）与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式的值.5. 行列式的乘法规则 设有两个n 级行列式11121111212122221222121212,n n n n n n nnn n nn a a a b b b a a a b b b D D a a a b b b ==则11121212221212nnn n nn c c c c c c D D c c c =其中1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++.6．范德蒙行列式123222212311231111()n n n i j j i nnnnnn a a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤==-∏范德蒙行列式120,n n D a a a =⇔中，至少有两个相等．二、 解题方法与典型例题1、 定义法：适用于0比较多的行列式．2、 利用7条基本性质3、 按行（列）展开─降级．适用于某行（列）0较多的行列式．4、 其他方法 （一）析因子法例：计算221123122323152319x D x -=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+- 设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0,x =则 112312231223152319D ==-，即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-（二）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nn i nna b b b c a D c c a i n c a +=≠=解：把所有的第1i +列(1,2)i n =的ii c a -倍加到第1列，得：11201()ni i n n i i b cD a a a a a +==-∑可转为箭形行列式的行列式：121111111)111n a a a +++ 122)n a x x xa x xx a（第2把第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()12(1)1(1)11)(1)(1)1na b b a n b b b b b b a b a n b a ba b c c c a n b baa nb b aba +-+-+++=+-+-()111(1,2)00()(1)00i n b b r r i n a b a b a n b a b--=-=-+--121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n n nnn n c c c n n n n n n n n n n n n --++++---------112211231*********(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n n n nn n n n n n n n ---------++=----11111(2,31)00(1)200i n rr in n nn n n n--=--+-11211100(1)20n n nn n c c c nn--++++- ()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n nn n n n n nnτ--+-+----++=--=----(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n nn n-----++=--=-．（四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化箭的可转为箭形行列式）（加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n na a a a a ab a D b b b a a a b ++=≠+2）1212121212,0n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++解：1)121121221211000n n n n n nn a a a a b a a Da ab aaa ab ++=++121121100(2,31)10010n i n a a a b r r i n b b --=+--111211111(1).00(1,21)ni ni ini n i i iina a ab a b b b bc b c i n b b =+=+=++=+∑∑2)21121211111222122121111010(2,31)100100n n n in nnnnn n n n a a a a a a a a a a a a a r r i n D a a a a a a a a a a a a a a ++++---=+=--++--++1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)11002n n i nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++-----=----=+---12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+-=12121111112211122002000002002i n in n a na a a a a a a -------∑∑22112,111122(2)(2)[(2)]1122nnn iin n i j jin a a a a a a a n a n a -=-=-=----∑∑∑（五）三对角型行列式─递推公式法1）95004950049000950049n D = 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D -----=-按展开即有 11254(5)n n n n D D D D ----=- 于是有2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D ------=-==-=(6145)n -=同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=-==-=-=即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D -++-⎫-=⎪⇒=-⎬-=⎪⎭（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）00010001002.00001n a b ab a b ab a b D a b ab a b +++=++）解：21211221c ()()()n n n n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD ------+--=-==-1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD aD bD -----=-==-而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b --∴-=++--=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a ---=++--=由以上两式解得11(1)n n n na b a b D a bn a a b ++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩ （六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n n a x a a a a x aD aaa x ++=+解：11122210000000n n n nna x a a a x a a x a a a x a a a x a x a D x D aaa x aaax a -++++=+=++1211n n n x x x a x D --=+ 1122121232.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D -------=+=+ 继续下去，可得111221231124132.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D -----=+++++（21212D ax ax x x =++）121211221323()n n n n n n x x x a x x x x x x x x x x x x x --=+++++1212110(1)nn n n i i x x x D x x x a x =≠=+∑当时,1）也可以用加边法做：1111011n nn a aaa a x a x a D aaa x x +-==+-，111101,200ni ii n a a a x x i n x a x =+≠==∑当时,2）n a b b b c a b b D cc a b c c ca = 解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b c a b b a b b a b bD c a c D cc a b c a b c a b c ccaccacca--=+=+-11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc ba b --=+------11()()n n c a b a c D --=-+-①000n bb b b a b ca b b c a b b D cc a b c c a b cccaccca-=+又11111()n c a bbb a b D cc a b ccca-=+-11()()n n b a c a b D --=-+- ②a b a c ⨯-⨯-①（）-②()，得 ()()n nn c b D c a b b a c -=---()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c bc b D a n b a b -≠=----==+--当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法） 1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1)111n n ina a D a a a a a ++==++∑证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立．假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i i D a a a a ==+∑，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得1122111110*********11101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++121110110111011111k k k a a a D a +=+121k k ka a a a D +=+121121211111(1)(1)kkk k k k i i i i a a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++-=+-=-由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=--=-2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=-+ cos cos sin sin k k αααβ=+cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111n n n n n nn n n n n x x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n n n i j j i nn n n n n n n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----==----∏显然D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==- （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x -的系数为121()().n ijj i nx x x x x ≤<≤-+++-∏ 即，,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=-+++-∏121()()n n ijj i nD x x x x x ≤<≤∴=+++-∏2）2221212111n n n n n n x x x D x x x =解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n n n n n n n n n n nnx x x x x x x x g x x x x x x x x x ----=121()()()()n ijj i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==-，由()f x 的表达式知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x -≤<≤-+++-∏即2,123121211()()()n n n n ijj i nA f x x x x x x x x x x x x x +-≤<≤-++++-∏2312121(1)()()n n n n n ijj i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=-+++-∏（三）、问题探讨1．若n 级行列式D 的所有元素为0,1,1-，则3n >时，(1)!(1)D n n ≤--.2．若n 级行列式D 的所有元素为1,1-，则12|n D -. 3．设120n a a a ≠，讨论行列式的不同求法： 12311111111111111111111n a a a a ++++4． 设(,1,2,,)ij a i j n =为整数，讨论111212122212111n nn n nn a a a ma a a D ma a a m --=-等于0 的条件.四、思考题与达标训练（一）、填空题1． 在4D 中，元素23a 的余子式是 ，代数余子式是 .2． 若444342343322312432232114131211441a a a aa a a a a a a a a a a a D =，则元素23a 的余子式是 ，代数余子式是 .3． 设n D 是n 级行列式，则=+++3223221312n n A a A a A a ，=+++3323231313n n A a A a A a .4． ==3232333245551444133312221D . 5.=--7243528800720031.5． 4级行列式中44421412a a a a M =的余子式='M ，M 的代数余子式是（二）、解答题1．计算下列行列式①122222222232222n；②()00000000n n x y x y D x yx= ；③21000121000120000021012n D =④1231131211231n n x n D x n x +=++⑤200000000000000n a b a b a D b a b a=； ⑥2(2)(1)23(1)234(2)(1)(4)(3)(1)(3)(2)aa d a d a n d a n da d a d a d a n da a da da da a d a n d a n da a n d a n da n da a d a n d a n d +++-+-++++-+++++-+-+-+-+-++-+-；⑦ x aa a a a xa a a a a x a a a a a x a a a a a x ----------；⑧n xy y y z x y y D zz x y zzzx =；2.证明αααααααsin )1sin(cos 211cos 20000cos 210001cos 10001cos 2+==n bb a D n3．证明∑∑==+=+++++++++n i n j ijnnn n nnnn n n n n A x a a a a a a a a a xa x a x a x a x a x a x a x a xa 11211222111211211222111211.4．用拉普拉斯定理计算下列行列式①1134200830024475；②05208354724104105．用行列式的乘法定理计算行列式111213212223313233cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβαβ--------- 111212122212()()()()()()()()()n n nn n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++5.计算a bc db a dc cd a b d c b aD ------=4.6. 计算n n n nn n n n x s s s x s s s x s s s s s s D 12121322111011-++-+=，其中knk k k x x x s +++= 21第二章 总练习题（A ）一、 填空题1． 奇排列经偶数次对换变成 ，经奇数次对换变成 .2． =)24681357(τ . 3．n 级行列式的定义是 .4．44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中元素22a 的余子式是 ，代数余子式为5．0000000000121nn a a a a -= .6．=----------01098710065496138510274320 .7．n 级行列式D 中，如果将D 中的所有元素变号得到的行列式D是 . 二、 解答题1．用行列式的定义计算000100002000010n n D n -= 2．计算下列行列式①3351110243152113-----； ②1001020100111110-n ； ③x aa a a a xa a a a a x aa a a a x a a a a a x ----------3.证明αααααn cos cos 2100cos 200001cos 21001cos =4. 求多项式)(x f 的根,其中x a a a a x a a a a x a a a a xx f nn n321212121)(=5．设n a a a ,,,21 是互不相等的数，求证方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++---nn n n n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a bx a x a x a x x x 1212111222221212211211 有唯一解，并求其解.6．计算下列行列式21231322122111232322212111312111111--------++++++++++++n nn n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x；n n n n y kx y kx y kx y kx y kx y kx y kx y kx y kx +++++++++1111111112111111３２２２２３２; 3100002300000023100002310000237．证明（1）由n 级行列式0111111111111==n D ，证明n 级排列的奇偶排列各半.其中1>n .（2）设ij a 是整数，证明05.05.05.021********11≠---nn n n n n a a a a a a a a a.（3）．设)(x g i 是数域P 上的多项式，n i ,,2,1 =，)()()()()()()()()()(222221211n n n n n x g x g x g xn g x g x g x g x g x g x f =证明 0)(=x f 或者)(x f 在P 上可约.（4）若22b a ≠，证明方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+-++-111111211221112221n n n n n n n n ax bx ax bx ax bx bx ax bxax bx ax 有唯一解，并求其解 （5）若n 级行列式n D 的元素都是1±，证明：①22≤D ； ②43≤D ； ③2,)1()!1(>--≤n n n D n .（B ）1．计算下列排列的反序数：)(i 523146879； )(ii ;1,2,,1, -n n)(iii .,1,,2,12,1,2k k k k +-2．假设n 个数码的排列n i i i ,,,21 的反序数是k,那么排列121,,,,i i i i n n -的反序数是多少？3．写出4个数码的一切排列． 4．确定六阶行列式D=666261262221161211a a a a a a a a a中以下各乘积的符合：()().;466455321321651456423123a a a a a a ii a a a a a a i5．写出下列四阶行列式44411411a a a a中一切带有负号且含元素23a 的项.6．证明：n 阶行列式nn n n n a a a a a a a a a a3213332312221110000000nn a a a 2211=7．考察下列行列式：nn n n n n a a a a a a a a a D212222111211=，nn n ni ni ni i i i i i i a a a a a a a a a D 2121212221111=，其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 这n 个数码的一个排列.这两个行列式间有什么关系？8．计算n 阶行列式a x aaaaa x a aa a a x a a aa a x ----9．计算行列式()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a10．证明：行列式2221112222221111112c b a c b a c b ab a ac c b b a a c c b ba a c cb =+++++++++11．设在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D212222111211=中，.0.,,2,1,,==-=D n n j i a a ji ij 是奇数时，证明：当12．把行列式011111101101------dc b a 依第三行展开，然后加以计算．13．计算以下行列()()()()()()1122311212342341;3412412311111234;1361014102014916491625;916253616253649100001100001100;00001000011000000000000;(2)0000000000001n n n i ii iii a a a a a iv a a a a b ab a b v n b a ba b a a a vi --------+阶3123123112311;1n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++()0123110122;2101312340n n vii n n n n n -------提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和.14．令 .)(1,11ii i i i i i io i a x a x a x a x f ++++=--计算行列式)()()()()()()()()(121111*********n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f ---. 15．解以下线性方程组：()n n n a a a a a a a a viii ---------1100010000011000110001133221().232,232,232,0,0)(.432,632,423,132543432321543243214321432143214321=++-=++=++=+++=+++-=-++-=--+-=---=+++x x x x x x x x x x x x x x x x x ii x x x x x x x x x x x x x x x x i16．设121,,,+n a a a 是1+n 个不同的数, 121,,,+n b b b 是任意1+n 个数,而多项式n n x c x c c x f +++= 10)(有以下性质: i i b a f =)(,1,,2,1+=n i .用线性方程组的理论证明, )(x f 的系数n c c c ,,,10 是唯一确定的,并且对2=n 的情形导出拉格朗日插值公式.17．设n n x c x c c x f +++= 10)(.用线性方程组的理论证明,若是)(x f 有1+n 个不同的根,那么)(x f 是零多项式.。
