2.2 新排列及其逆序数
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排列的逆序数的两种计算方法
作者:佟伟
来源:《科技资讯》 2011年第16期
佟伟
(石家庄铁道大学四方学院西校区石家庄 050228)
摘要:本文根据排列的逆序数的定义,通过两种方法来进行计算,并证得两种方法是等效的,从而更加深刻的理解排列的逆序数的定义及其计算。
关键词:排列逆序数
中图分类号:O157.1 文献标识码:A 文章编号:1672-
3791(2011)06(a)-0184-01
我们知道,个不同元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序,一个排列中所有逆序的总数,叫做这个排列的逆序数。
下面讨论两种计算排列的逆序数的方法。
综上所述,定理成立。
参考文献
[1] 河北科技大学数学系.线性代数[M].中国标准出版社,2003.。
02. 行列式的定义与性质一、完全展开式定义2.1 n 阶排列12n j j j共有!n 个n 阶排列.定义2.2 逆(顺)序、逆序数12()n j j j τ;奇排列、偶排列 顺序数为12(1)/2()n n n j j j - -τ.例2.1 1)(564312)4432013=++++=τ,所以564312为奇排列. 2)三阶排列及其逆序数、奇偶性如下表:123123123()123231312132213321()022113(1)111111j j j j j j j j j -+++---ττ 三阶行列式123123123111213212223112233122331132132112332122133132231313233()1233(1).j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---=-∑为阶排列τ3)标准排列12n 为偶排列.4)2(21)C (1)/2n n n n ==- τ. 所以,当2,3,6,7,10,11,n = 时,21n 为奇排列;当4,5,8,9,12,13,n = 时,21n 为偶排列.定义2.3 n 阶(方阵的)行列式有完全展开式1212121112121222()1212(1)n n n nn j j j j j nj j j j n n n nna a a a a a a a a a a a =-∑为阶排列τ.矩阵与行列式的区别例2.2 1)下(上)三角(矩阵的)行列式11111122212222(12)1122121122(1).OOn n n nnn n nnnnnn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==-=τ2)对角(矩阵的)行列式 1212|diag(,,,)|n n a a a a a a = . 特别地,有|diag(1,1,,1)|1= .(行列式的规范性) 例2.3 次下(上)三角(矩阵的)行列式11,11112,122,121(21)12,11,111(1)OOn n nn n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a -----==-τ(1)/212,11(1)n n n n n a a a --=- .例2.4 设[]A ij n n a ⨯=的主对角元均为奇数,其他元素均为偶数,求证||0A ≠.二、基本性质变形性质、等于零的性质n 阶行列式就是n 阶方阵的规范的、对行(列)有交错性和多重线性的函数.(——行列式的公理化定义)例2.5a b a cc d b d=. 例2.6 设,A B 均为四阶方阵,12341234[,,,],[,,,]A B αγγγβγγγ==,且||A 1,||2B ==,求||A B +.例2.7 用化三角形法计算数字行列式. 例2.8 箭形行列式三角化.例2.9 先化为箭形行列式,再三角化:计算n 阶行列式11112222n nnn na b a a a a b a D a a a b ++=+.例2.10 快速“打洞”:计算n 阶行列式n a b bb a D b b b a=. 当4,1,2n a b ===时,12341122211111111()/722122212201007772212221200102222122210001i r r r r r r i +++--=--≥-.例2.11 逐行(列)相消:计算n 阶杨辉行列式111,,11,||i j ij n ij i j i j a a a a a a --⎛⎫==⎧ ⎪⎨ ⎪=+⎩⎝⎭.431111111111111111111234012301230123136100136001300134,3,24,31410200141000140001i i i i r r r r r r i i -----==1=.例2.12 求证奇数阶反对称(矩阵的)行列式必为零. 例2.13 计算n 阶行列式111222121212n n n n x x x n x x x n D x x x n++++++=+++,注意对阶数n 做讨论.。