1-2全排列及其逆序数

此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列. (3) (2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3) · (k–1)(k +1)k. · · · · 解: (2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) · (k–1) (k+1) k (k–1) (k–1) k 3 0 1 1 2 2 3 于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2) · (k–1)(k +1)k的逆序数为: · · t = 0+1+1+2+2+ · +(k–1)+(k–1)+k · · k k 1 2 k k2. 2 此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为 奇排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 解: 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 001 34 4 5 于是排列217986354的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列. (2) n(n–1)(n–2) · 21 · · · · 解: n (n–1) (n–2) · 2 1 2 (n–2) (n–1) 0 1 于是排列n(n–1)(n–2) · 21的逆序数为: · · nn 1 , t = 0+1+2+ · +(n–2)+(n–1) · · 2
方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的 数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则 所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1: 求排列32514的逆序数.

例如 排列32514 中， 0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
记做 (3 2 514) 5
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例如，在123组成的全排列中，有3个偶排列123， 231，312；有三个奇排列132，213，321 ❖一般说来，n 个数的全排列中，奇偶排列各占一半。
第二排列及其逆序数
1 全排列 2 排列的逆序数 3 逆序数的计算方法
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义1
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通 常用 Pn 表示.
例如 P3 3 2 1 6.
同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
32514 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
32514 01 031 于是排列32514的逆序数为
0 1 0 3 1 5. (从头开始法)
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即从排列中第一个元素开始，依次 算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的 逆序数之总和即为所求排列的逆序数.（从“头” 开始法） 例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准排列（自然 排列）.

§2 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列 三、排列逆序数 四、小结
一、概念的引入
引例 三个数字， 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 、 、 三个数字 有重复数字的三位数？ 有重复数字的三位数？
共有 3 × 2 × 1 = 6 种.
上 例也 可表 述为 ： 把 3个不 同的 元素 排成 一列 ，共 有几 种不 同的 排法 ？
4.计算排列逆序数的方法 4.计算排列逆序数的方法
即分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 个数之和 例1 的逆序数. 求排列 32514 的逆序数
例2 计算下列排列的逆序数 （1）12345 （2）n ⋅(n -1)⋯ 2 ⋅1
四、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 排列具有奇偶性. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法.

1 2 t s n
总数称为此排列的逆序数, 总数称为此排列的逆序数,记为 t(p1p 2 ⋯ p t ⋯ ps ⋯ pn ) 逆序数 此排列的逆序数为3. 例如 排列 321 中，此排列的逆序数为
3. 排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 偶排列. 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
问题： n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？
共有n!种 共有 种
二、全排列
个不同的元素排成一列， 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列） 元素的全排列（或排列）.
二、排列的逆序数
n 个不同的自然数，我们规定由小到大为标准次序 个不同的自然数，我们规定由小到大为标准次序 标准次序. 1. 定义 在一个排列 p1 p2 ⋯ pt ⋯ ps ⋯ pn 中, 若数 pt > ps , 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序. 排列321 中， 例如 排列 32,31,21就构成逆序 就构成逆序 就构成

x1

b1a22 a11a22
a12b2 a12a21

x2

a11b2 a11a22
b1a21 a12a21

x1

b1a22 a11a22
a12b2 a12a21

x2

a11b2 a11a22
b1a21 a12a21

5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）

τ ( j1 j2 ⋯ jn−1 jn )= ∑ ( jk 后面比jk 小的数的个数 )
k =1
n −1
信息系 刘康泽
例4 （1）排列31425 的逆序数为： ）排列31425 的逆序数为： τ(31425)=2+0+1+0+0=3 ； (31425)=2+0+1+0+0=3 （2）自然排列 1 2 3 • • • n 的逆序数是0 ； 的逆序数是 （3）排列 n (n –1) • • • 21 的逆序数为： 的逆序数为： n(n − 1) τ = (n − 1) + (n − 2) + ⋯ + 1 + 0 = 2 例5 求排列 ( 2k )1( 2k − 1) 2 ( 2k − 2 ) 3 ( 2k − 3)⋯ ( k + 1) k 的逆序数。 的逆序数。 解： (2k ) 1 (2k − 1) 2 (2k − 2 ) 3 (2k − 3 )⋯(k + 1) k
信息系 刘康泽
第1-2节 排列及行列式的定义
信息系 刘康泽 一、排列及其逆序数
1. n 级排列
由 排成的一个有序数组， 【定义】 n 个不同的数 1, 2,⋯ , n 排成的一个有序数组， 定义】 级全排列， 级排列。 称为一个 n 级全排列，简称 n 级排列。
例1 53214 45238176
1 2 3⋯ n n( n − 1) ⋯ 321
∑
j1 j2 ⋯ jn
表示对 表示对所有
信息系 刘康泽
【注】 1、以 aij 作为元素的 n 阶行列式有时简记为 det( aij ) 。 、 2、行列式表示一个特定的数，它是n行n列的表中 、行列式表示一个特定的数，它是 行 列的表中 所有位于不同行、 个元素乘积的代数和。 所有位于不同行、不同列 的n 个元素乘积的代数和。 共有 n ! 项求和。 项求和。 3、求和项 a1 j1 a2 j2 ⋯ an jn中的行排列总是按自然次 、 序排列的，且该项的符号取决于列排列的逆序数，即为： 序排列的，且该项的符号取决于列排列的逆序数，即为：

思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数 的逆序数. 分别用两种方法求排列 的逆序数
思考题解答
解 用方法1 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7
t = 0+ 3+1+ 2+1+ 0+1+ 0= 8
用方法2 用方法2 由前向后求每个数的逆序数. 由前向后求每个数的逆序数
t = 0 + 0 + 1 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 = 8.
t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
计算下列排列的逆序数， 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性. 偶性
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
= 18
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 三个数字， 、 、 三个数字 有重复数字的三位数？ 有重复数字的三位数？ 解
百位 十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3 3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法
共有 3 × 2 × 1 = 6
种放法. 种放法
3排在首位 逆序数为 排在首位,逆序数为 排在首位 逆序数为0; 2的前面比 大的数只有一个 故逆序数为 的前面比2大的数只有一个 故逆序数为1; 的前面比 大的数只有一个3,故逆序数为

a21
x1

a22 x2
a2n xn

b2
,
an1x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式 D 0 , 那么它有唯一解
xj

Dj D
,
j 1, 2, , n ,
其中 Dj ( j = 1, 2, ···, n ) 是把系数行列式 D 中第 j 列元素换成常数项 b1 ,b2 ,···,bn 所得到 的行列式.

这个排列的逆序数; p1p2 pn 表示对 1, 2, ···, n
的所有排列求和.
Dn 阶行列式 (D也1可)t定a义p11为ap2 2 apnn , p1 p2 pn
其中 t 为行标排列 p1p2 ···pn 的逆序数.
3. 对换 4. 行列式的性质
(1) 行列式与它的转置行列式相等,即 D = DT.
行列式 知 识 要 点
一、内容提要
１. 全排列及其逆序数 2 . n 阶行列式的定义
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n


an1 an2 ann

(1)t a1p1 a2 p2 anpn ,
p1 p2 pn
其中 p1p2 ···pn 为自然数 1, 2, ···, n 的一个排列; t 为
(7) 若行列式的某一行(列)的元素都是两数 之和, 则该行列式可拆成两个行列式之和.
(8) 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同 一个数, 然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.
5. 行列式按行(列)展开
(1) 余子式, 代数余子式.
(2) 关于代数余子式的重要性质:

三、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义 把排列中两个元素位置进行对调， 称为对排列作一次对换。 定理：对换改变排列的奇偶性. 证明：先证明是相邻对换的情况，再证非 相邻对换的情况。 推论 将奇（偶）排列变成标准排列需用奇（偶）数 次对换。
第一章
行列式
§1.1 全排列及其对换
一、全排列的定义 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
个元素的全排列，简称排列。 例 123456 是 6 个数的全排列， 53421 是 5 个数的全排列。
二排列的逆序数
对于n 个不同的元素，规定各元素之间由小 到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总 数叫做这个排列的逆序数。 求逆序数的方法： t ( p1 p2 pn ) t1 t2 tn 其中 ti 是排列中与元素 pi 相关的逆序数，即位于 pi前且比 pi 大的的元素个数。
例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
(1) t (3412) 0 0 2 2 4; 解：
(2) t (n n 1 n 2 321) 0 1 2 (n 1) 1 n(n 1) 2

al a bb1
bm
对换 a 与 b
a1
al b ab1
bm
除a,b外，其它元素的逆序数不改变. 逆序数加1或减1，奇偶性改变.
2)
一般情形
对换a与b
a1 al a b1 bm b b c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn
a1
al bb1
bm ac1
cn ,
m 次相邻对换 a 1
若将t 个偶排列的前两个数对换, 则这t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
本节小结
1. n元排列 2. 逆序 3. 逆序数 4. 奇偶排列 5. 对换 结论1 任一排列经过一次对换奇偶性改变. 结论2 全部n元排列中,奇偶排列各占一半.
t 18
例2 讨论排列 n n 1 n 2 解
nn 1n 2321
n1 n2
321的奇偶性.
t n 1 n 2 2 1 n n 1 , 2 当n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
例3 选择i和j,使1i25j4869成为奇排列、偶排列.
1
4.对换
n元排列中, 任意对调两个元素的位置,其余元素 不动,这种变换叫做对换．
奇 偶
25143
偶
25413
奇
这些排列的
奇偶性呢？
2 1 6 排列经过一次对换必改变奇偶性. 证明 1) 特殊情形：相邻对换 设排列为 a1
2.逆序
n元排列中,若较大的元素排在较小的元素 前面，称为一个逆序. 比如 3 2 5 1 4
3.逆序数
排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.

逆序
例如 排列32514 中， 排列
3 2 5 1 4
逆序 逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如 排列 32514 , 其逆序数为 其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 并讨论它们的奇偶性. 例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自 然数, 规定由小到大为标准次序 标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序 逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序） 即 大的数在小的数左边 则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为 个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列 二、排列逆序数 三、小结