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第一章行列式第一节 排列及其逆序数�引言�排列与逆序数一、引言我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程组⎩⎨⎧=+=+2221212111c x b x a c x b x a （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 2121b b a a ≠时，我们有.b a b ac a c a x ,b a b ac b c b x 122112212122121121−−=−−=（2）为方便记忆，我们引入二阶行列式bc ad db ca −=（3）则（2）可以表示为.b a b ac a c a x ,b a b a b c b c x 221122112221122111==（4）即当（1）的系数行列式0b a b a 2211≠时， （1）的解可以用二阶行列式表示为（4）。
用高斯消元法，对三元一次线性方程组,333323213123232221211313212111⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （5）我们也可以得到类似的结果。
即如果引入三阶行列式,c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 322311332112312213322113312312332211333231232221131211−−−++=（6）则当（5）的系数行列式0a a a a a a a a a D 333231232221131211≠=（7）时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为.a a a a a a a a a b a a b a a b a a x ,a a a a a a a a a a b a a b a a b a x ,a a a a a a a a a a a b a a b a a b x 333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211===（8）对于n 元一次方程组，是否也有类似于上述（4）、（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题。
线性代数知识点总结线性代数知识点总结一、行列式1、N阶行列式中元素aij的第一个下标i 为行指标（横行），第二个下标j 为列指标（竖列）。
即aij位于行列式的第i 行第j 列。
2、在一个排列中，若数较大的数码排在较小的数码之前则称这两个数组成此排列的一个逆序。
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。
记为 (每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数)逆序数为奇数的为奇排列，偶数为偶排列。
3、上/下三角行列式主对角线以下/上元素都是0，上/下三角行列式的值为主对角线上所有元素乘积。
（详见课本p4）4、（1）行列式与它的转置行列式相等既D=D T。
(把D的各行换成同序号的列的运算就是行列式的转置行列式)（2）行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。
（3）互换行列式的两行（列）,行列式变号。
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k等于用数k乘此行列式。
因此行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
（5）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
（6）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和那么可以把改行列式表达成两个行列式之和。
（详见课本p8）（7）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
（8）计算行列式常用方法：(1)利用定义（详见课本p3）;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．5、在n阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij叫做元素a ij 的代数余子式=-M ij6、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即7、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零既8、一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除a ij 外都为零，那末这行列式等于a ij 与它的代数余子式的乘积既D=a ij A ij 二、矩阵及其运算主对角线全为1其余的位置全是0的矩阵称为单位阵()ij ji ij M A +-=144434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =44424134323114121123a a a a a a a a a M =()2332231M A +-=in in i i i i A a A a A a D +++=L 2211()n i ,,2,1L =.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++L ??==100010001L L L L L L L n E E（1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。
排列与逆序◼概念◼计算(1) 定义例如⚫排列及其逆序数1, 2, 3, 4可组成24=4!个不同的4阶排列.1, 2, …, n 可组成n !个不同的n 阶排列.由1, 2, ···, n 共n 个数码组成的一个有序数组称为一个n 阶排列.在4 阶排列1234 及1324 中，我们规定各元素之间有一个标准在1324 中，n 个不同的自然数，规定由小到大为1234为自然称为标准排列. 3在2之前，称这两个数字构成一个逆序.(2) 定义次序，标准次序.顺序，()n s t i i i i i 21例如定义 3 2 5 1 4逆序逆序逆序t s i i ＞，在一个排列中，则称这两个数组成一个逆序.(3) 排列的逆序数若数排列32514中，逆序逆序⚫逆序数为奇数的排列称为奇排列;⚫逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性定义排列的逆序数.一个排列中所有逆序的总数称为此计算排列逆序数的方法分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1解在排列32514中，3排在首位，2的前面比2大的数只有一个3，于是排列32514 的逆序数为13010++++=t .5=5的前面没有比5大的数，1的前面比1大的数有3个，4的前面比4大的数有1个，求排列32514的逆序数.逆序数为0;故逆序数为1;其逆序数为0;故逆序数为3;故逆序数为1;把一个排列中某两个数字位置互换，例如定义我们把对排列所施行的这种变换排列的奇偶性发生了变化.而其余的数字位置保持不变，就构成了一个53412经过1, 5对换得到13452，τ(5341 2)=3+3+1+1=8, 这时有τ(13452)=3. 新的排列.称为排列的一个对换.一次对换改变排列奇偶性.证明1、相邻对换设…k j … （1）对换k , j 后再设…j k … （2）因为2τ⎧=⎨⎩所以，相邻对换结论成立.11τ−，11τ+，k j <当时，k j >当时；定理2、一般情形因为…k i 1i 2… i s j ……i 1i 2…i s k j ……j i 1i 2…i s k …所以，结论成立.s+1次相邻对换…………推论任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列，并且所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同.重新考察二阶、三阶行列式每项的符号，可以得到以下规律：当行标取成标准排列，由列标排列的奇偶性决定每项前的正负号.11122122a a a a =111213212223313233a a a a a a a a a =121212()12(1)j j j j j j a a τ−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ−∑故二阶、三阶行列式也可以这样写：思考题排列n(n-1)⋯321的逆序数是______(1)2n n −。
第二节 全排列及其逆序数从上节的例子我们知道，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，对四阶和四阶以上的行列式就不适用了.怎样计算四阶和四阶以上的行列式呢?我们先从二阶与三阶行列式的计算中找一找规律先看二阶行列式二阶行列式一共有两项，每一项均由不同行不同列的元素组成。
其组成的规律是如果行标都取自然数1，2；列标只能取1，2或2，1。
所以二阶行列式中有两项2211a a ， 。
再看三阶行列式三阶行列式一共有6项，每一项均由不同行不同列 的元素组成。
其组成的规律是如果行标都取自然数1，2，3；列标只能取1，2，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；2，1，3；1，3，2。
所以三阶行列式中有6项通过上述分析，我们知道了二阶行列式和三阶行列式项的组成方法。
既和排列有关。
2112a a .2112221122211211a a a a a a a a D -==333231232221131211a a a a a a a a a ,312213332112322311322113312312332211aa a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=一、全排列二阶行列式和三阶行列式项的组成方法1）行标取自然排列时，列标分别取全排列.2）项的个数就是全排列的个数。
另外，我们还发现无论二阶行列式还是三阶行列式，均有一些项的前面取“+”，一些项的前面取“-”。
怎样确定那些项的前面取“+”，那些项的前面取“-”呢？我们发现和排列的顺序有关。
定义3把n 个不同的自然数按一定次序排成一列,称为一个n 元排列.记为{p 1,…,p n }。
例如{1，2，3}是一个三元排列，{2，3，1}也是一个三元排列。
排列{1，2，…,n}称为n 元自然排列n 个不同的自然数的所有排列，称为n 元全排列, n 元全排列的个数通常用P n 表示.二阶行列式和三阶行列式项的组成方法1）行标取自然排列时，列标分别取全排列2）项的个数就是全排列的个数。
线性代数教学教案行列式21⋅.如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，i的逆序数记为那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列n )i.n3.定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列二．二阶、三阶行列式1.引例：解方程组1,2,3,n )排成123132333123nnn n n n nn a a a a a a a 2323331123(1)n n n n nna a a a a a =-+21222,12123231323,13133312112,1131)+(1)n n n n nn n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a --++-+-阶行列式（递归定义）.余子式与代数余子式：由行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按照原来的顺序构ij M ，称为元素ij a 的余子式，(1)i j ij A M +-称为元素ij a 的代数余子式D 11=n n a A a A =na ∑1,2,3,n )组成的阶行列式定义为 123132333123n nn n n n nna a a a a a a 1212)12=n n nj j j j nj j j j a a a ∑nj ∑表示对所有的列标排列12n j j j 求和.四．例题讲解1.求解二元线性方程组122321221x x x x -=⎧⎨+=.1233300n nn nn a a a a . 11121,121222,111,11,210000n n n n n a a a a a a D a a ----=，112122313233123000000n n n nn a a a a a a a a a a ， 1122330000000000nna a a a .授课序号02in jn a A =,n ，i ≠0ni nj a A =,n ，i ≠综合上一节和该推论，对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论：, ,0, .i j i j =≠ , =0, kj D i A ⎧⎨⎩授课序号030000000000x y yx.(Vandermonde)行列式1221231111112311n n n i j nn n n n nx x D x x x x x ≤<≤----==∏31111111n a +12(0)n a a a ≠.3434340a a x x a a a a a ++=的根.0000000003200013.12211000100000001nn n x x x a a a a x a -----+.00000000000000000000000a b a b a b c d c dc d.22231112342344，证明：()0f x '=有且仅有两个实根授课序号041222222n n n n nn n a x a x x a x +=+++=1112121222120n n n n nna a a a a a a a a ≠，122n n D D Dx x D D D==，，，, 列换成常数项所得的n 阶行列式1,111,11212,122,121,1,1j j n j j n n n j nn j nna b a a a b a a a a b a a -+-+-+112222222n n n n nn n na xb a x b x a x b +=+=++=当12,,,n b b b 全为0时，得到11112121122221122n n n n n n nn n a x a a x a x a a x a x a x a x ++⎧⎪++⎪⎨⎪⎪+++⎩335111x x =-=-=211311213313n n n n n n n n n a x a x a x a x x a x ----+=+==+=,n ).互相关联，X 公司持有股份，持有Z 股份，持有Z 公司20%持有Y 公司20%，Z 公司各自的净收入分别为万元，每家公司的联合收入是净收入加上其他公司的股份按比例的提成收入，试求各公司的联合收入及实际收入《市场营销》是商业和经贸专业学生的一门核心课程，商经类学校的所有专业都开设本课程，是一门公共基础课。
