平行线的判定定理

平行线分线段成比例定理
重点难点解析
重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定.
难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用.
中考要求
能灵活运用平行线粉线段成比例定理及推理证明线段成比例，线段相等等问题。

并会利用三角形一边平行线判定定理证明两直线平行
命题趋势分析
利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质.
相关知识点回顾
1．平行线等分线段定理
2．比例线段及其性质定理
新知识归纳
1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，对应线段是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段对应．
2．平行线分线段成比例定理的推论(三角形一边平行线的性质定理)：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
3．平行线分线段成比例定理推论的逆命题(三角形一边平行线的判定定理)：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
4．相似三角形预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

典型例题
例1已知：如图5-19，AD为△ABC的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．
分析一如图5-19（a），由求证及平行线分线段成比例定理的启发，如果通过C作AD 的平行线交BA的延长线于点E，则AB∶AE=BD∶DC，因此只要证明了AE=AC，问题就解决了．
证法一如图5-19（a），通过C作AD的平行线交BA的延长线于点E，则
AB∶AE=BD∶DC．
但∠ACE=∠CAD，∠E=∠BAD，而∠CAD=∠BAD，所以∠ACE=∠E从而AE=AC．代入上式便得
AB∶AC=BD∶DC．
与分析一相仿，又得以下的证法二．
证法二如图5-19（b），通过D作AC的平行线交AB于点F．以下请读者自己完成．
分析二如图5-19（c），由于△ABD和△ACD的边BD，CD在同一直线上，从而这两个三角形的边BD，CD上的高相等．这就有S△ABD∶S△ACD=BD∶CD．如果再证明了S△ABD∶S△ACD=AB∶AC，问题就解决了．从D向AB，AC上分别引垂线段DH，DK，则又有
DH=DK）．
证法三从略．
点评例1这个命题叫做“三角形内角平分线性质定理”．
对于三角形的外角也有类似性质：设△ABC顶点A处外角的平分线交BC的延长线于点D′，则AB∶AC=BD′∶D′C．这个命题叫做“三角形外角平分线性质定理”．
以上两个定理的逆命题也都成立．
例2求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．
即图5-20中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PR⊥AB于点R，PQ⊥AC于点Q，BH为腰上的高．求证：PQ+PR=BH．
分析一如图5-20（a），要证明PQ+PR=BH，可在BH上取一线段等于PQ，然后证明BH 上余下的部分等于PR．
证法一如图5-20（a），作PD⊥BH于点D，则由于四边形PQHD为矩形，所以PQ=DH．在直角△PBR和直角△BPD中，PB为公共边，∠PBR=∠BCA=∠BPD，所以△PBR≌△BPD，从而PR=BD．于是PQ+PR=DH+BD=BH．
分析二如图5-20（b），要证明PQ+PR=BH，可延长QP到E，使延长部分等于PR，然后证明所得的线段EQ等于BH．
证法二请读者自己完成．
分析三如图5-20（c），连结线段AP，则AP把△ABC分为两个三角形，而PQ，PR分别是新出现的两个三角形的高，BH是原三角形的高．这三个三角形的底边都是原三角形的腰，而底边与高和三角形的面积密切联系，所以本例可利用三角形的面积证明．
证法三如图5-20（c），连结线段AP，则
而
S△APC+S△APB=S△ABC，
因为AB=AC，这就得
PQ+PR=BH．
分析四如图5-20（d），PQ∥BH，再作出AB上的高CK（=BH），则又出现PR∥CK．有平行线就会有成比例线段，本例可用平行线分线段成比例定理证明．
证法四如图5-20（d），作CK⊥AB于点K，则
PQ∶BH=PC∶BC，
PR∶BH=PR∶CK=PB∶BC，
从
而
PQ+PR=BH．
点评要证明线段AB+CD=EF，可在EF上取点G，令EG=AB，然后证明GF=CD；或延长AB 到H，令BH=CD，然后证明AH=EF；或延长AB到H，令AH=EF，然后证明BH=CD；如此等等．
例3已知：如图5-21，△ABC中，∠A为直角．以AB，AC分别为边向外侧作正方形ABDE，ACFG，线段CD，BF分别与AB，AC相交于点X，Y．求证：AX=AY．
分析一如图5-21（a），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段，在这些成比例的线段中，除AX，AY外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY应该能用平行线分线段成比例定理得到证明．
证法一如图5-21（a），由于AX∥ED，AY∥GF，所以
AX∶DE=AC∶CE，AY∶FG=AB∶BG，
即 AX∶DE=AC∶CE，AY∶AB=FG∶BG．
而 DE=AB，AC=FG，
CE=BG．
所
以
AX=AY．
分析二如图5-21（b），连结线段EX，GY，得到△CEX和△BGY．这两个三角形的边CE=BG，又AX实际等于AY，所以△CEX和△BGY应该有相等的面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD，AF，那么S△ACD=S△CEX，S△BAF=S△BGY，所以只需证明S△ACD=S△BAF．但这很简单了．
证法二如图5-21（b），连结线段EX，GY，AD，AF，则S△ADX=S△AEX，所以S△ACD=S△C EX，同理S△ABF=S△BGY．而△ACD的底边、高（AC，DE）分别等于△ABF的高、底边（FG，AB），所以S△ACD=S△ABF，从而S△CEX=S△BGY而这两个三角形的底边CE=BG，所以底上的高AX=AY．
例4已知：如图5-22，C为线段AB上任意一点，以AC，BC分别为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，线段AE，CD相交于点P，线段BD，CE相交于点Q．求证：CP=CQ．
分析一参阅例3的分析一．
证法一如图5-22，由于CP∥BE，CQ∥AD，所以
CP∶BE=AC∶AB，
CQ∶AD=CB∶AB．
即
CP∶BE=AC∶AB，
CQ∶CB=AD∶AB，
而BE=CB，AC=AD，所以
CP=CQ．
分析二如图5-22，△ACP和△DCQ应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠ACD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而∠ACP=∠DCQ．再证明了∠PAC=∠QDC问题就解决了．要证明这两个角相等，只要证明△ACE≌△DCB就可以了．
证法二在△ACE和△DCB中，AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB（=120°），所以△ACE≌△DCB，从而∠PAC=∠QDC．
在△ACP和△DCQ中，AC=DC，∠ACP=∠DCQ（=60°），∠PAC=∠QDC，所以△ACP≌△DCQ，从而CP=CQ．
点评在本例的已知条件下，求证△CPQ为等边三角形，或在本例的已知条件下，求证PQ∥AB，都没有困难了．
例5已知：如图5-23，在△ABC中，线段AD，BE，CF相交于
分析如图5-23，直接证明以上等式成立，不易找到线索，因此需要把以上等式中的比用其他的比来代替．为此，作OH⊥BC于H，作AK⊥BC于K，则OD∶AD=OH∶AK，用OH∶AK 代替OD∶AD，仍得不到证明．但OH∶AK=S△OBC∶S△ABC，即OD∶AD可用两个三角形面积的比来代替．其他两个比OE∶BE，OF∶CF也用三角形面积的比来代替．然后证明三组面积比的和为1就可以了．
证明请读者自己完成．
例6已知：如图5-24，AM是△ABC的中线，任作一直线l分别交AB，AC，AM于点P，Q，N．求证：
分析一由于原式不容易证明，但我们注意到
所以要证明原式成立，只需证明
这是一个比较复杂的线段比例式，这就使我们考虑到是否可应用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质定理来证明．但在原图形中既没有平行线，也没有相似三角形可以利用．为此，我们需要添加适当辅助线．由于在求证中出现的线段分布在边AB，AC及中线AM上，所以通过B，C分别作中线AM的平行线，设这两条平行线分别与l相交于点X，Y，这就得
于是问题转变为求证
这三个比的后项都相同，于是问题又转变为求证
2NM=XB+YC．
NM显然是梯形XBCY的中位线，所以这个等式成立，于是问题解决了．
证明请读者自己完成．
分析二由于比例式中出现的六条线段是由直线l截有共同端点的三条线段AM，AB，AC 得到的，因此通过B，C各向直线AM引平行于l的线段BX，CY，这就得
于是问题转变为求证
这三个比的后项都相同，于是问题又转变为求证
2NM=NX+NY．
要证明这个等式成立，就需要证明MX=YM．这只要利用全等三角形问题就解决了．证明请读者自己完成．
规律方法总结
本节主要学习平行线分线段成比例定理及推论，同时需掌握三角形一边平行线的判定定理，还要掌握两种基本图形，会在较复杂的比例式中，找出恰当的过渡比，在证明线段相等关系时，常用“过渡线段”为桥梁解题更方便些。