2017届新疆乌鲁木齐八中高三第三次月考数学理无答案

新疆乌鲁木齐市2017届高三下学期第三次诊断性测验（三模） 数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2320A x x x =-+<，{}13B x x =<<，则（ ） A ．A B = B ．A B ⊇ C ．A B ⊆ D ．A B ⋂=∅ 2.若复数1m ii+-为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数m 等于（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．13.等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104.“22log log a b >”是“1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子歌诀》:三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知.已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值.按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263 6.下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．22sin 2cos 2y x x =-C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin 2cos2y x x =7.已知实数,x y 满足250,230,,x y x y y x --≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =--的最大值为（ ）A ．19-B ．7-C ．5-D ．4-8.已知,x y R ∈，22315x y xy ++=，则22x y xy +-的最小值是（ ） A ．35 B ．105 C ．140 D ．2109.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．82π+B ．83π+C ．102π+D ．103π+10.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若12AF F ∆的内切圆半价为()31a -，则其离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3+1D ．2311.球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各个面都相切，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截球O 所得截面的面积为（ ） A ．43π B ．π C ．23π D ．3π 12.已知对任意实数1k >，关于x 的不等式()2x xk x a e->在()0,+∞上恒成立，则a 的最大整数值为（ ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若单位向量,a b 满足22a b -=，则向量,a b 的夹角的余弦值为 ． 14. 学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为 ．15. 若P 是抛物线28y x =上的动点，点Q 在以点()2,0C 为圆心，半径长等于1的圆上运动．则PQ PC +的最小值为 ．16. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3,232f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2n n S a n =+，则()()56f a f a += ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C +++=. （Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆周长的最大值.18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是正三角形，E 是棱1BB 的中点.（Ⅰ）求证平面1AEC ⊥平面11AA C C ；（Ⅱ）若1AA AB =，求二面角1C AE C --的平面角的余弦值.19. 对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y bx a =+，②dx y ce =拟合，得到回归方程分别为()10.248.81y x =-，()20.0221.70x y e =，作残差分析，如表： 身高()x cm 60 70 80 90 100 110 体重()y kg6 8 10 14 15 18 ()1e 0.41 0.01 1.21 －0.19 0.41 ()2e－0.360.070.121.69－0.34－1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程.（结果保留到小数点后两位） 附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.20. 在平面直角坐标系xOy 中，,M N 是x 轴上的动点，且228OM ON +=，过点,M N 分别作斜率为33,22-的两条直线交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）过点()1,1Q 的两条直线分别交曲线E 于点,A C 和,B D ，且//AB CD ，求证直线AB 的斜率为定值.21. 设函数()()()2212ln 212f x x x x a x a x a ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2a <-时，讨论()f x 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，2παπ≤<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ. （Ⅰ）讨论直线l 与圆C 的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l 的垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹与圆C 相交所得弦长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x a =-++.（Ⅰ）当1a =时，求()y f x =图象与直线3y =围成区域的面积； (Ⅱ)若()f x 的最小值为1，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5:CDCAA 6-10:BCBDA 11、12：DB1.选C.【解析】∵集合{}()23201,2A x x x =-+<=,∴A B ⊆.故选C. 2.选D.【解析】∵()()()()()()1111112m i i m m im i i i i ++-+++==--+为纯虚数,∴1m =.故选D. 3.选C.【解析】∵1735a a a a +=+，又1352,10a a a =+=，所以78a =.故选C. 4.选A.【解析】∵2211log log 033aba b a b ⎛⎫⎛⎫>⇔>>⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.5.选A.【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构得n 的输出值为53，故选A.6.选B.【解析】∵22sin 2cos 2cos 4y x x x =-=-，是偶函数，且2T π=，故选B.7.选C.【解析】可行域如图所示，当直线3z x y =--过点()2,1A -时，3z x y =--有最大值，最大值为5-.故选C.8.选B.【解析】∵,x y R ∈，22315x y xy ++=，∴22315x y xy +=-，3152xy xy -≥，∴105xy ≤.∴223152315210105x y xy xy +-=-≥-=.故选B.9.选D.【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，所以表面积2=112+124+1+21=10+3S πππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯表面积.故选D.10.选A.【解析】∵由122AF AF a -=，∴12Rt AF F ∆内切圆半径为()2121223122AF F F AF c ac a a +--==-=-3c a ⇒=，∴离心率3e =，故选A.11.选D.【解析】设圆心到截面距离为d ，截面半径为r ，连结,,OA OC OM ，由O ACM M AOC V V --=，即1233ACM AOC S d S ∆∆⋅=,∴63d =，又221d r +=，∴33r =，所以截面的面积为3π.故选D. 12.选B.【解析】令()()20x xf x x e=>，依题意，对任意1k >，当0x >时，()y f x =图象在直线()y k x a =-下方，∴()()21xx f x e -'=列表()y f x =得的大致图象则当0a =时，∵()02f '=，∴当12k <<时不成立； 当1a =-时，设()01y k x =+与()y f x =相切于点()()00,x f x . 则()()000200002111x x f x k x x x e -==⇔-=+，解得()0510,12x -=∈. ∴05123511k ee--=<<，故成立，∴当a Z ∈时,max 1a =-.故选B.二、填空题13.填34.【解析】∵22a b -=,∴()222a b-=，,a b 为单位向量，即22442a a b b -⋅+=，则44cos 12θ-+=，∴3cos 4θ=. 14.填715.【解析】 六位老师值班每天两人的排法有22264290C C C =种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在5月1号，有24=6C 种；第二种情况，王老师和李老师不在同一天值班，有114336C C =种，故共有42种.因此满足此要求的概率4279015P ==. 15.填3.【解析】由于点C 为抛物线的焦点，则PC 等于点P 到抛物线准线2x =-的距离d .又圆心C 到抛物线准线的距离为4，则3PQ P C P Q d +=+≥.当点P 为原点，Q 为()1,0时取等号.故 PQ PC +得最小值为3.16.填3.【解析】∵()()f x f x -=-，又∵()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()32f x f x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ∴()()()()3333222f x f x fx f x f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=---=---=--= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦. ∴()f x 是以3为周期的周期函数.∵数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，∴11a =-，∴5631,63a a =-=-. ∴()()()()()()()()56316320223f a f a f f f f f f +=-+-=+==--=.三、解答题17.（Ⅰ）由已知，得()()222222a b ca b b a c R R R+⋅++⋅=⋅，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴23C π=； （Ⅱ）∵3c =，∴3sin sin 32a bA B==，∴2sin ,2sin a A b B ==.设周长为l ，则2sin 2sin 32sin 2sin 33l a b c A B A A π⎛⎫=++=++=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cos sin 3sin 3cos 333A A A A A ππ=+++=++2sin 33A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵03A π<<,∴232sin 3233A π⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭,∴ABC ∆周长的最大值为23+.18. （Ⅰ）分别取1,AC AC 的中点,O F ，连结,,OB OF EF ，则//OF BE =，∴//OB EF . ∵111ABC A B C -是直三棱柱，ABC 是正三角形，O 是AC 的中点， ∴OB ⊥面11ACC A ，∴EF ⊥平面11ACC A ，∴平面1AEC ⊥平面11AA C C . （Ⅱ）建立如图O xyz -空间直角坐标系，设12AA AB ==，则()()()0,1,0,0,1,0,30,1A C E -，()()()()110,1,2,0,2,0,0,2,2,3,1,1C AC AC AE ===,设平面AEC 的法向量为()1111,,n x y z =，平面1AEC 的法向量为()2222,,n x y z =，则有1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2120n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得()11,0,3n =-,()20,1,1n =-设二面角1C AE C --的平面角为θ，则12126cos 4n n n n θ⋅==. ∴二面角1C AE C --的平面角的余弦值为64. 19.（Ⅰ）根据残差分析，把80x =代入()10.248.81y x =-得()110.39y =.1010.390.39-=-.所以表中空格内的值为0.39-.（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.190.41 2.62+=， 模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34 1.12 3.7+=.2.623.7<，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①.（Ⅲ）残差大于1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.得回归方程为0.248.76y x =-.20.(Ⅰ)设(),P m n ，直线()3:2PM y n x m -=-，令0y =，得23,03M m n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭直线()3:2PN y n x m -=--，令0y =，得23,03N m n ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. ∴222222222323828133343n m n OM ON m n m n m ⎛⎫⎛⎫+=-++=+=⇒+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴曲线E 的方程是22143x y +=；(Ⅱ)∵//AB CD ，设(),,0AQ QC BQ QD λλλ==>,()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ,则()()1,11,1A A C C x y x y λ--=--,即1,1A C A C x x y y λλλλ=+-=+-①，同理1,1B D B D x x y y λλλλ=+-=+-②将()(),,,A A B B A x y B x y ，代入椭圆方程得2222143143A A B B x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 化简得()()()()34A B A B A B A B x x x x y y y y +-=-+-③ 把①②代入③，得()()()()()()()()()3223422422C D C D C D C D C D C D x x x x x x y y y y y y λλλλλ+--+-=-+-+++-将()(),,,C C D D C x y D x y ，代入椭圆方程，同理得()()()()34C D C D C D C D x x x x y y y y +-=-+-代入上式得()()34C D C D x x y y -=--.即34C D C D y y x x -=--，∴直线AB 的斜率为定值34-21. (Ⅰ)()()()()21ln 0f x x x a x '=-+>.①当0a =时，()()21ln f x x x '=-，当01x <<时，()0f x '>， 当1x >时，()0f x '>.当1x =时，()0f x '=.∴()f x 在()0,+∞递增 ②当0a >时，令()0f x '=，得121,a x x e -==，此时1a e -<. 易知()f x 在()0,a e -递增，(),1a e -递减，()1,+∞递增③当0a <时，1a e ->.易知()f x 在()0,1递增，()1,a e -递减，()e ,a -+∞递增 (Ⅱ)当时，由(Ⅰ)知()f x 在()0,1上递增，()1,a e -上递减，()e ,a -+∞上递增，且()()13121022f a a a =-+-+=>，将a x e -=代入()f x ， 得()()()()()()222112212222a f x f e x x a a x a x a x a -⎛⎫==--+-+-+=--++ ⎪⎝⎭∵2a <-，∴()0a f e -<.下面证明 当()0,1x ∈时存在0x ，使()00f x <. 首先，由不等式ln 1x x <-，∴111ln 1x x x x -<-=，∴1ln x x x --<，∴1ln x x x->. 考虑到()2220x x x x -=-<，∴()()()()22221112ln 21222x f x x x x a x a x a x x a x x -⎛⎫⎛⎫=-+-+-+<-⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21321122a x a a x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭.再令()2131022a x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，可解出一个根为3121x a -=-+，∵2a <-，∴3021a -<<1+，∴301121a -<-<+，就取()0031,0,121x x a -=-∈+. 则有()00f x <.由零点存在定理及函数()f x 在()0,1上的单调性，可知()f x 在()0,1上有唯一的一个零点.由()()10,0a f f e -><，及()f x 的单调性，可知()f x 在()1,a e -上有唯一零点. 下面证明在()e ,ax -∈+∞上，存在1x ，使()10f x >，就取121a x e-+=，则1a x e ->，∴()()()221111*********a f x x x a a x a x a x a e a -⎛⎫⎛⎫=--++-+-+=+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由不等式1x e x >+，则()10a e a a a -+>-++>，即()10f x >. 根据零点存在定理及函数单调性知()f x 在()e ,a -+∞上有一个零点. 综上可知，()f x 当2a <-时，共有3个零点.22. (Ⅰ)直线l 式过定点()0,1A ，倾斜角在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内的一条直线，圆C 的方程为()2211x y -+=，∴当2πα=时，直线l 与圆C 有1个公共点；当2παπ<<时，直线l 与圆C 有2个公共点(Ⅱ)依题意，点P 在以OA 为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为sin 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭.联立=2cos sin 02ρθπρθθ⎧⎪⎨⎛⎫=≤< ⎪⎪⎝⎭⎩得255ρ=. ∴点P 的轨迹与圆C 相交所得弦长是255.23. (Ⅰ)当1a =时，()()311211212132x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪⎛⎫=-++=--≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩. 其图象如图所示，易知，围成区域的面积为32. (Ⅱ)当12a ->，即12a <-时，()()131211231x a x f x x a x a x a x a ⎧⎛⎫--+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+-≥-⎪⎩.∴()min 11122f x f a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；又()min 1311122f x a a =⇒--=⇒=-当12a -≤，即12a ≥-时，()()311121312x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪--+<-⎪⎪⎛⎫=-++-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩. ∴()min 111112222f x f a a a ⎛⎫==+=+=⇒= ⎪⎝⎭.∴32a =-或12a =.。

乌鲁木齐市第八中学2011--2012学年高三年级第三次月考数学文科试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，(1)i i ⋅+等于（A ）1i + （B ）1i -- （C ）1i - （D ）1i -+ （2）若集合}{(21)(3)0A x x x =+-<，}{*5B x Nx =∈≤则A ∩B 是（A ） {1,2,3,} (B) {1,2, } (C) {4,5} (D) {1,2,3,4,5}（3）不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（A ）32 （B ）23 （C ）43 （D ）34(4) “a c b d +>+ ”是“a b >且c d > ”的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，则20a 等于（A ）－1 （B ） 1 （C ） 3 （D ）7 （6）下列曲线中离心率为2的是 （A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221410x y -= （7）直线l 过点（－1，2）且与直线2x －3y ＋4=0垂直，则l 的方程是（A ）3x ＋2y －1=0 （B ）3x ＋2y ＋7=0 （C ）2x －3y ＋5=0 （D ） 2x －3y ＋8=0 （8）ab <,函数2()()y x a x b =--的图象可能是∙A∙ ∙ ∙ ∙∙B CD EF（9）设函数32sin ()tan 32f x x x θθθ=++，其中θ∈50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则导数(1)f '的取值范围是（A ）[]2,2- （B）（C）2⎤⎦ （D）2⎤⎦（10）程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出结果a 是（A ）125 （B ）126 （C ）127 （D ）128 （11）函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是（A ）(]1,0（B ）(1,10)（C ）(]100,10（D ）),100(+∞（12）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（A ）1 （B ）12（C ）13 （D ）0二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是_______.(14)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________ . (15)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC =λAE +μAF ,其中λ,μ∈R ,则+=λμ_____ .(16)对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________.（写出所有正确命题的编号） ○1相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线； A○2由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点； ○3若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合； ○4任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； ○5分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点. 三．解答题;本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. （17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，2C A π-=, 1sin 3B =. （１）求sin A 的值；(２)设AC =，求ABC ∆的面积．（18）（本小题满分12分） 设b 和c分别是先后两次抛掷一枚骰子得到的点数．关于x 的一元二次方程20x bx c ++=．（1）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（2）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．（19）（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为3，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切，（1）求a 与b ；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y轴垂直，2l 交1l 于点P ，求线段1PF 垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型. （20）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H，PH 是四棱锥的高.（1）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;（2）若AB =,APB ADB ∠=∠=60,求四棱锥P ABCD -的体积.（21）（本小题满分12分） 已知函数2()1ln f x x a x x=-+-，0a >，（1）讨论()f x 的单调性;（2）设3a =，求()f x 在区间2[1,]e 上值域. 注意：考生在22、23题中任选一题作答！（22）（本小题满分10分） 已知函数()|8||4|f x x x =---.（1）作出函数()y f x =的图像：（2）解不等式：|8||4|2x x --->.（23）（本小题满分10分） 如图，已知在ABC ∆中，2ABC π∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ,连结DB 、DE 、OC .若2AD =，1AE =，求CD 的长．乌鲁木齐市八中高三年级第三次月考文科数学答卷纸二、填空题（4×5分=20分）13．___ ____ 14.______ __ 15. _______ ___ 16._____ __ 17．（12分）18．（12分）19．（12分）20．（12分） 21．（12分）选考题：（本小题满分10分）选第_________题乌鲁木齐市第八中学高三第三次月考答案一选择题：本大题10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是高考学网合题目要求的。

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2017年乌鲁木齐市高考理科数学三诊试卷（附答案和解释）2017年x疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=BB．A&#8839;B．A&#8838;BD．A∩B=&#8709;2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数等于（）A．﹣1B．．D．13．等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a=10，则a7等于（）A．B．6．8D．104．“lg2a＞lg2b”是“ ”的（）A．充分不必要条B．必要不充分条．充要条D．既不充分也不必要条．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．3B．4．18D．2636．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．=sin22x﹣s22x．=sin2x+s2xD．=sin2xs2x7．已知实数x，满足，则z=﹣3x﹣的最大值为（）A．﹣19B．﹣7．﹣D．﹣48．已知x，∈R，x2+2+x=31，则x2+2﹣x的最小值是（）A．3B．10．140D．2109．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3π．10+2πD．10+3π10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2．D．11．球与棱长为2的正方体ABD﹣A1B11D1的各个面都相切，点为棱DD1的中点，则平面A截球所得截面的面积为（）A．B．π．D．12．已知对任意实数＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0B．﹣1．﹣2D．﹣3二、填空题（每题分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．14．学校拟安排六位老师至月1日至月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值月2日，李老师不能值月3日的班，则满足此要求的概率为．1．若P是抛物线2=8x上的动点，点Q在以点（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|P|的最小值为．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n，则f（a）+f（a6）=．三、解答题（本大题共小题，共70分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）17．△AB中，角A，B，的对边分别是a，b，，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2sin．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求△AB周长的最大值．18．如图，在直三棱柱AB﹣A1B11中，△AB是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AE1⊥平面AA11；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角﹣AE﹣1的平面角的余弦值．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①=bx+a，②=edx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（）60708090100110体重（g）681014118041001121﹣019041﹣036007012169﹣034﹣112（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1g的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，1），（x2，2），…（xn，n），其回归直线=bx+a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．20．在平面直角坐标系x中，，N是x轴上的动点，且||2+|N|2=8，过点，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，和B，D，且AB∥D，求证直线AB的斜率为定值．21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为ρ=2sθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆相交所得弦长．[选修4-：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求=f（x）图象与直线=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．2017年x疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=BB．A&#8839;B．A&#8838;BD．A∩B=&#8709;【考点】1：集合的表示法．【分析】化简集合A，即可得出集合A，B的关系．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|1＜x＜3}，∴A&#8838;B．故选：．2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数等于（）A．﹣1B．．D．1【考点】A：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得=1．故选：D．3．等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a=10，则a7等于（）A．B．6．8D．10【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a=10，解得a7=8，故选：．4．“lg2a＞lg2b”是“ ”的（）A．充分不必要条B．必要不充分条．充要条D．既不充分也不必要条【考点】2L：必要条、充分条与充要条的判断．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵．反之不成立，可能0＞a＞b．故选：A．．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．3B．4．18D．263【考点】EF：程序框图．【分析】【方法一】根据正整数n被3除余2，被除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n的初值，代入循环结构求得n的值．【解答】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n=3+2，∈N；被除余3，得n=l+3，l∈N；被7除余4，得n=7+4，∈N；求得n的最小值是3．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n=263﹣10﹣10=3，即输出n值为3．故选：A．6．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．=sin22x﹣s22x．=sin2x+s2xD．=sin2xs2x【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．【解答】解：∵s（2x+ ）=﹣sin2x，是奇函数，故排除A；∵=sin22x﹣s22x=﹣s4x，是偶函数，且，故B满足条；∵=sin2x+s2x= sin（2x+ ）是非奇非偶函数，故排除；∵=sin2xs2x= sin4x是奇函数，故排除D，故选：B．7．已知实数x，满足，则z=﹣3x﹣的最大值为（）A．﹣19B．﹣7．﹣D．﹣4【考点】7：简单线性规划．【分析】由约束条作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条作出可行域如图所示，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z=﹣3x﹣为=﹣3x﹣z，由图可知，当直线z=﹣3x﹣过点A（2，﹣1）时，z=﹣3x﹣有最大值，最大值为﹣．故选：．8．已知x，∈R，x2+2+x=31，则x2+2﹣x的最小值是（）A．3B．10．140D．210【考点】7F：基本不等式．【分析】x，∈R，x2+2+x=31，可得x2+2=31﹣x≥2x，因此x≤10．即可得出．【解答】解：∵x，∈R，x2+2+x=31，∴x2+2=31﹣x，31﹣x≥2x，当且仅当x==±时取等号．∴x≤10．∴x2+2﹣x=31﹣2x≥31﹣210=10．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3π．10+2πD．10+3π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，即可求出表面积．【解答】解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，所以表面积．故选D．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2．D．【考点】：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=﹣a，结合条和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S = |AF2|&#8226;|F1F2|= r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r= ，，则离心率e= = ，故选A．11．球与棱长为2的正方体ABD﹣A1B11D1的各个面都相切，点为棱DD1的中点，则平面A截球所得截面的面积为（）A．B．π．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出圆心到截面距离，利用d2+r2=1求出截面半径，即可求出截面的面积．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V﹣A=V﹣A，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面积为．故选D．12．已知对任意实数＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0B．﹣1．﹣2D．﹣3【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的大致图象，结合图象求出a的范围，从而确定a的最大整数值即可．【解答】解：令，依题意，对任意＞1，当x＞0时，=f（x）图象在直线=（x﹣a）下方，，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增递减=f（x）的大致图象：则当a=0时，∵f’（0）=2，∴当1＜＜2时不成立；当a=﹣1时，设=0（x+1）与=f（x）相切于点（x0，f（x0））．则，解得．∴，故成立，∴当a∈Z时，aax=﹣1．故选：B．二、填空题（每题分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵，∴，∵为单位向量，即，∴4﹣4sθ+1=2，∴．故答案为：．14．学校拟安排六位老师至月1日至月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值月2日，李老师不能值月3日的班，则满足此要求的概率为．【考点】B：古典概型及其概率计算公式．【分析】六位老师值班每天两人的排法有种，求出满足要求的排法有42种，即可求出概率．【解答】解：六位老师值班每天两人的排法有种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在月1号，有种；第二种情况，王老师和李老师不在同一天值班，有种，故共有42种．因此满足此要求的概率．故答案为．1．若P是抛物线2=8x上的动点，点Q在以点（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|P|的最小值为3．【考点】8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q 的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：由于点为抛物线的焦点，则|P|等于点P到抛物线准线x=﹣2的距离d．又圆心到抛物线准线的距离为4，则|PQ|+|P|=|PQ|+d≥3．当点P为原点，Q为（1，0）时取等号．故|PQ|+|P|得最小值为3．故答案为：3．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n，则f（a）+f（a6）=3．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a、a6的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵，∴．∴．∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{an}满足a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1，则an=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1﹣1，∴an﹣1=2（an﹣1﹣1）（n≥2），则，∴．上式对n=1也成立．∴a=﹣31，a6=﹣63．∴f（a）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f （﹣2）=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共小题，共70分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）17．△AB中，角A，B，的对边分别是a，b，，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2sin．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求△AB周长的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得到a2+b2﹣2=﹣ab，由此利用余弦定理能求出．（Ⅱ）由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB．由此利用正弦加法定理求出周长l= ，由此能求出△AB周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵△AB中，角A，B，的对边分别是a，b，，（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2sin．∴由已知，得，即a2+b2﹣2=﹣ab，∴，由0＜＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴a=2sinA，b=2sinB．设周长为l，则=∵，∴2 ＜2sin（A+ ）+ ≤2+ ，∴△AB周长的最大值为．18．如图，在直三棱柱AB﹣A1B11中，△AB是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AE1⊥平面AA11；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角﹣AE﹣1的平面角的余弦值．【考点】T：二面角的平面角及求法；L：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取A，A1的中点，F，推导出四边形BEF是平行四边形，从而B∥EF．推导出B⊥面A1A1，从而EF⊥平面A1A1，由此能证明平面AE1⊥平面AA11．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角﹣AE﹣1的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）分别取A，A1的中点，F，连结B，F，EF，则F BE，∴四边形BEF是平行四边形，∴B∥EF．∵AB﹣A1B11是直三棱柱，AB是正三角形，是A的中点，∴B⊥面A1A1，∴EF⊥平面A1A1，∴平面AE1⊥平面AA11．（Ⅱ）建立如图﹣xz空间直角坐标系，设AA1=AB=2，则，设平面AE的法向量为，平面AE1的法向量为，则有，，得，设二面角﹣AE﹣1的平面角为θ，则．∴二面角﹣AE﹣1的平面角的余弦值为．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①=bx+a，②=edx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（）60708090100110体重（g）681014118041001121﹣019041﹣036007012169﹣034﹣112（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1g的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，1），（x2，2），…（xn，n），其回归直线=bx+a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．【考点】B：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得10﹣1039=﹣039，即可求表中空格内的值；（Ⅱ）求出残差的绝对值和，即可得出结论；（Ⅲ）确定残差大于1g的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．【解答】解：（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得10﹣1039=﹣039．所以表中空格内的值为﹣039．（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为041+001+039+121+019+041=262，模型②残差的绝对值和为036+007+012+169+034+112=37262＜37，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．（Ⅲ）残差大于1g的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：，．得回归方程为=024x﹣876．20．在平面直角坐标系x中，，N是x轴上的动点，且||2+|N|2=8，过点，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，和B，D，且AB∥D，求证直线AB的斜率为定值．【考点】3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）求出，N的坐标，利用||2+|N|2=8求曲线E的方程；（Ⅱ）利用点差法，求出D的斜率，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设P（，n），直线，令=0，得，直线，令=0，得．∴．∴曲线E的方程是；（Ⅱ）证明：∵AB∥D，设，A（xA，A），B（xB，B），（x，），D （xD，D），则（1﹣xA，1﹣A）=λ（x﹣1，﹣1），即xA=1+λ﹣λx，A=1+λ﹣λ①，同理xB=1+λ﹣λxD，B=1+λ﹣λD②将A（xA，A），B（xB，B），代入椭圆方程得，化简得3（xA+xB）（xA﹣xB）=﹣4（A+B）（A﹣B）③把①②代入③，得3（2+2λ）（x﹣xD）﹣3λ（x+xD）（x﹣xD）=﹣4（2+2λ）（﹣D）+4λ（2+2λ）（+D）（﹣D）将（x，），D（xD，D），代入椭圆方程，同理得3（x+xD）（x﹣xD）=﹣4（+D）（﹣D）代入上式得3（x﹣xD）=﹣4（﹣D）．即，∴直线AB的斜率为定值21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（e﹣a），由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点，取，则，根据函数的零点存在定理讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）f’（x）=2（x﹣1）（lnx+a）（x＞0）．①当a=0时，f’（x）=2（x﹣1）lnx，当0＜x＜1时，f’（x）＞0，当x＞1时，f’（x）＞0．当x=1时，f’（x）=0．∴f（x）在（0，+∞）递增；②当a＞0时，令f’（x）=0，得，此时e﹣a＜1．易知f（x）在（0，e﹣a）递增，（e﹣a，1）递减，（1，+∞）递增；③当a＜0时，e﹣a＞1．易知f（x）在（0，1）递增，（1，e﹣a）递减，（e﹣a，+∞）递增．（Ⅱ）当a＜﹣2时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）上递增，（1，e ﹣a）上递减，（e﹣a，+∞）上递增，且，将x=e﹣a代入f（x），得，∵a＜﹣2，∴f（e﹣a）＜0．下面证明当x∈（0，1）时存在x0，使f（x0）＜0．首先，由不等式lnx＜x﹣1，∴，∴，∴．考虑到x2﹣2x=x（x﹣2）＜0，∴．再令，可解出一个根为，∵a＜﹣2，∴，∴，就取．则有f（x0）＜0．由零点存在定理及函数f（x）在（0，1）上的单调性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一个零点．由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点．下面证明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，就取，则，∴，由不等式ex＞x+1，则e﹣a+a＞（﹣a+1）+a＞0，即f（x1）＞0．根据零点存在定理及函数单调性知f（x）在（e﹣a，+∞）上有一个零点．综上可知，f（x）当a＜﹣2时，共有3个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为ρ=2sθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆相交所得弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆的方程为（x﹣1）2+2=1，即可讨论直线l与圆的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，联立得，即可求点P的轨迹与圆相交所得弦长．【解答】解：（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆的方程为（x﹣1）2+2=1，∴当时，直线l与圆有1个公共点；当时，直线l与圆有2个公共点（Ⅱ）依题意，点P在以A为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为．联立得．∴点P的轨迹与圆相交所得弦长是．[选修4-：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求=f（x）图象与直线=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】B：分段函数的应用；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）当a=1时可写出f（x）的解析式，进而可从图象上看出围成的区域即为三角形，计算即得结论；（Ⅱ）分与两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x+1|= ，其图象如图所示，易知=f（x）图象与直线=3交点坐标，所以围成区域的面积为[1﹣（﹣1）]×（3﹣）= ．（Ⅱ）当，即时，．所以，所以﹣a﹣1=1，解得a=﹣，满足题意；当，即时，，所以f（x）in=f（）=| +a|= +a=1，解得a= ，满足题意；综上所述，或．2017年月22日。