宁夏银川一中2021届高三第四次月考数学理试题含答案

第44讲 排列组合一、单选题1．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ） A ．18种 B ．36种 C ．54种 D ．72种【答案】C 【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.2．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（ ）A ．15B ．14C ．25D ．310【答案】D 【详解】由题意可知恰好三次就能确定出两件次品可分为前三次检测的均为正品，和前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品两类情况，前三次检测的均为正品的概率为3335A A ，前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品的概率为11122335C C C A ，故所求概率为31113223351836010A C C C A +==. 故选：D.3．（2021·上海师范大学第二附属中学）将6封不同的信投入5个不同的信箱，要求每个信箱至少有一封信，则不同的投法共有（ ） A ．3600种 B ．56种 C ．65种 D ．1800种【答案】D 【详解】由题意可知，有一个信箱有两封信，其余信箱都只有一封，由捆绑法可知，不同的投法共有25651800=C A 种故选：D4．（2021·河北邢台·高二月考）将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．32种 D ．36种【答案】D 【详解】依题意，将4本不同的书任取2本为1份，余下两本各1份，分成3份有24C 种分法，再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学，每人1份有33A 种送法，由分步计数乘法原理得：234336C A =，所以每位同学都分到书的分法有36种. 故选：D5．（2021·河北邢台·高二月考）今年国庆假日期间甲､乙等6人计划分两组（每组3人）去旅行，每组将在云南丽江､广西桂林､河北石家庄､内蒙古呼和浩特选1个地方，且每组去的地方不同.已知甲不想去云南，乙只想去广西，其余4人这4个地方都想去，则他们分组旅行的方案种数为（ ） A ．24 B ．30 C ．18 D ．36【答案】A 【详解】解：若甲和乙都去广西桂林，则有1134C C 12=种方案； 若甲不去广西桂林，则有122412C C =种方案.故他们分组旅行的方案种数为121224+=. 故选：A6．（2021·宁夏银川一中高二期中（理））最近“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题．银川市塞上骄子小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋分别属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三恰好投错三袋垃圾的概率为（ ） A ．12 B ．59C ．118D ．133240【答案】C【详解】根据题意，6袋垃圾随机投入6个垃圾桶共有66720A =种方法，张三要随机投放垃圾恰好投错三袋垃圾，共有36240C ⨯=种不同的方法， 所以法外狂徒张三恰好投错三袋垃圾的概率为40172018P ==. 故选：C.7．（2021·江苏灌云·高二期中）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戌不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A ．152 B ．126 C ．90 D ．54【答案】B 【详解】根据题意，分情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，123318C A =种，（2）丁、戌不同时参加一项工作，进而又分为2种情况一是甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作，则先从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给丁、戌有23A 种，再从甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作有23C 种，则有222332323236A C A =⨯⨯⨯=种，二是丁或戌与甲、乙、丙三人中的一人承担同一份工作，先从甲、乙、丙三人中选一人与丁、戌中选一人承担同一份工作有3211C C 种，然后从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给含丁或戌的两组有23A 种，所以有211233223232272A C C A =⨯⨯⨯⨯=，由分类加法计数原理可得共有183672126++= 故选：B8．（2021·全国（文））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．二、多选题9．（2021·厦门海沧实验中学高二期中）下列结论正确的是（ ）A ．463456A ⨯⨯⨯= B ．233667C C C +=C ．3885C C =D ．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72 【答案】ABCD 【详解】 对于A ，121m nA n n n n m ，故A 正确；对于B ，2366152035C C ，3735C =，故B 正确； 对于C ，mn m nn C C ，故C 正确；对于D ，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有22342372C A A 种，故D 正确.故选：ABCD.10．（2021·重庆市两江中学校高二月考）现安排高二年级,,A B C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BCD 【详解】所有可能的方法有34种，A 错误.对于B ，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13927C ⨯=种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有23C ，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有2339C ⨯=种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确.对于C ，若A 必去甲工厂，则B ，C 两名同学各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确.对于D ，若三名同学所选工厂各不同，则共有3424A =种安排，D 正确.故答案为：BCD11．（2021·全国高二单元测试）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小张、小赵、小李、小罗、小王为五名志愿者．现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（ ） A ．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有45种 B ．若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求三人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】BCD【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有5444444⨯⨯⨯⨯=种选法，A错误，对于B，分2步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有2454240C A=种分配方法，B正确，对于C，分2步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有2510C=选法，再将剩下3人安排剩下的三项工作，有336A=种情况，则有10660⨯=种不同的方案，C正确，对于D，分2步分析：在5人中任选2人，安排在第一排，有2520A=排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20240⨯=种不同的方案，故选：BCD．12．（2021·全国高二课时练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（）A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【答案】CD【详解】6门中选3门共有3620C=种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有4245480A A=种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有3434144A A=种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有51145444504A C C A+=种排法，故D正确．故选：CD三、填空题13．（2021·安徽省亳州市第一中学高一期末）有4个不同的展览馆，甲、乙二人每人选2个去参观，则两人参观的展览馆中恰有一个馆相同的概率为_______．【答案】23【详解】 由题意知，甲乙每人去博物馆的选择均为24C 种，甲乙仅有一个馆相同，则概率为111432224423C C C C C =，故答案为：2314．（2021·河北高二期末）为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动该校高一年级部7个班级分别去3个革命老区研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 【答案】630. 【详解】由题意，7个班级分别去3个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，分成3组有22375322C C C 105A =种情况，再把3组分到3个革命老区有33A 3216=⨯⨯=种情况，所以共有1056630⨯=种安排方法．故答案为：630.15．（2021·全国高三专题练习）有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答） 【答案】144 【详解】因为丙需2人承担且至少1人是男生，所以有二种情况：（1）一男生一女生选丙任务；（2）二男生选丙任务.（1）一男生一女生选丙任务：不同的选法种数为1123343343108C C A ⋅⋅=⨯⨯⨯=；（2）二男生选丙任务：不同的选法种数为223434336C A ⋅=⨯⨯=，所以从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是10836144+=. 16．（2021·浙江丽水·高二课时练习）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有_______种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有_________种不同的排法.（用数字作答） 【答案】1440 960； 【详解】甲、乙两人必须相邻，甲、乙相邻全排有22212A =⨯=(种)然后把甲、乙看成一个整体全排，共有26261440A A ⋅=（种）；甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，把甲、乙看成一个整体全排， 然后把甲、乙看成一个整体，插在与丙均不相邻的空中，共有251254960A A C ⋅⋅=（种）.故答案为：1440；960 四、解答题17．（2021·全国高二课时练习）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛.（1）每个小组的代表队有多少种选法？（2）如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？（3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 【答案】（1）495；（2）1980；（3）11880. 【详解】（1）由题意从12名同学中选4名同学组成一支代表队，共有41212111094954321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种选法.（2）完成这件事情分为两步：第一步先选出队长，有112C 种选法；再选出3名队员，有311C 种选法，故共有131********121980321C C ⨯⨯=⨯=⨯⨯选法.（3）由题意从12名同学中选4名同学担任不同的辩手，有412121110911880A =⨯⨯⨯=种不同选法.18．（2021·全国高二课时练习）已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 【答案】（1）103680 （2）576 【详解】试题分析：（1）本题是一个分别计数问题，先排前4次测试，只能取正品，有A 64种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C 42•A 22种测法， 再排除余下4件的测试位置有A 44种，根据分步计数原理得到结果．（2）恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，表示第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，利用组合数写出结果． 解：（1）由题意知本题是一个分别计数问题， 先排前4次测试，只能取正品，有A 64种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C42•A22=A42种测法，再排余下4件的测试位置有A44种测法．∴共有不同排法A64•A42•A44=103680种．（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．∴共有不同测试方法A41•（C61•C33）A44=576种．19．（2021·吴江汾湖高级中学高二月考）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115++=种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有41466C C=种；第二种，3红2白，取法有324660C C⋅=种，第三种，2红3白，取法有2346120C C⋅=种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有660120186.++=。

银川一中2021/2022学年度(上)高二期中考试数学试卷(理科)命题人：尹秀香 尹向阳一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．将一个骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（ ）A ． 19B ．16C ．14D ．132. 一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别为( )A. 57.2 3.6B. 57.2 56.4C. 62.8 63.6D. 62.8 3.63. 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中消灭乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为( ) A. 0.09B. 0.98C. 0.97D. 0.964．已知命题xx x p 32,)0,(:<-∞∈∃；命题)2,0(:π∈∀x q ，x x sin tan >．则下列命题为真命题的是 ( ）A ． q p ∧B ． )(q p ⌝∨C ．)(q p ⌝∧D ．q p ∧⌝)(5．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．假如线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ） A ．±34B ．±32C ．±22D ．±346．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分也不必要条件7. 方程2|y|-1=1(1)x --表示的曲线是( )A . 一个椭圆 B. 一个圆 C. 两个圆 D. 两个半圆8．某学校对高二班级一次考试进行抽样分析. 右图是依据抽样分析后的考试成果绘制 的频率分布直方图,其中抽样成果的范围 是[96,106]，样本数据分组为[96，98），[98,100)，[100，102)，[102,104),[ 104,106]. 已知样本中成果小于100分的人数是36，则样本中成果大于或等于98分且小于104 分的人数是（ ） A. 90 B. 75C. 60D. 459. 椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若21F F 是|AF 1|,|F 1B|的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．55C ．21D ．210. 阅读程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( )A. 15B. 105C. 245D. 94511．已知椭圆1251622=+y x 的焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上一点，若连接21,F F ，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是（ ）A. 3B. 516C.53或165 D. 16312．如图，点A 为椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E 的离心率为（ ）A. 225B. 23 C. 235 D.223二、填空题(每小题5分，共20分)13. 一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少消灭一次正面对上的概率是 14．若不等式a x <-|1||成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是__________．15．短轴长为25，离心率e=32的椭圆的两焦点为21,F F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆周长为_____________。

2022届宁夏银川一中高三一模数学（理）试题一、单选题1．设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为（ ） A ．[)0,1 B ．0,1 C ．0,1D ．(]1,0-【答案】A【详解】试题分析：由于不等式20x x -≤等价于()10x x -≤，解得01x ≤≤， 故集合{}01M x x =≤≤函数()()ln 1f x x =-的定义域为N ，满足10x ->，故集合{}|1N x x =<， 因此通过集合的交集的运算可知，{|01}M N x x =≤<故选：A.2．设复数z 满足2iz i =-，则z =（ ） A ．12i -- B ．12i - C ．12i + D ．12i -+【答案】A【详解】因为复数z 满足zi=2-i,z=-1-2i.选A3．已知向量()3,2a =-，(),1b m =，若a b ⊥，则3a b -=（ ） A ．()0,5 B ．()5,1 C ．()1,5- D ．15,52⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据两向量垂直计算出参数m 的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果. 【详解】因为a b ⊥，所以320m -=，解得23m =， 所以()()233,23,11,53a b ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭．故选：C.4．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π 【答案】A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=，所以22Tπω==， 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈， 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A.5．下列双曲线中，焦点在y 轴上，且渐近线互相垂直的是（ ） A ．224x y -=- B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．221x y -=【答案】A【分析】求出渐近线垂直的条件后可得正确的选项．【详解】设双曲线的方程为：()222210,0y x a b a b-=>>，则其渐近线为a y x b =±，因为渐近线互相垂直，故1a a b b ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭即a b =，故双曲线的方程为222y x a -=， 故选：A ．6．若函数f （x ）满足f （1－ln x ）＝1x，则f （2）＝（ ）A ．12B ．eC ．1eD ．－1【答案】B【分析】根据题意，令1ln 2x -=，解可得1e x =，进而在1(1ln )f x x -=中，令1ex =，变形计算即可得答案．【详解】由1－ln x ＝2，得1ex =，11e1e x ==，即f （2）＝e.故选：B7．已知互不重合的直线,m n ，互不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若,n m α⊂∥n ，则m ∥α B ．若,n m n α⊂⊥，则m α⊥ C ．若α∥,m β∥α，则m ∥β D ．若,m m βα⊥⊂，则αβ⊥ 【答案】D【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系的判定方法. 【详解】对于A ，如果直线m 在平面内，则无法得出m ∥α，故不正确； 对于B ，直线m 只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确； 对于C ，α∥,m β∥α，直线m 有可能在平面β内，无法得出m ∥β，故不正确； 对于D ，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确. 故选：D.8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（ ）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤【答案】B【分析】执行程序框图，列方程计算 【详解】由图可知输出1024222126k k S +=++++=-=，得6k =故7n =时退出循环，条件为6n ≤ 故选：B9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是（ ） ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件. A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①④【答案】A【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断. 【详解】由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件， ()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =；()11552111112P B A ⨯==，由此知，②正确； ()2411P B A =，()3411P B A =；而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++ 1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=. 由此知①③不正确；1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由此知④正确； 对照四个命题知②④正确； 故选：A.【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.10．已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积25S ab =，且3cos cos 12bc A ac B c +=+，则S 的最大值为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．1【答案】C【分析】由三角形的面积公式求得4sin 5C =，再由余弦定理求得2c =，根据基本不等式可求得答案.【详解】解：由21sin 52S ab ab C ==得4sin 5C =，又△ABC 是锐角三角形，所以3cos 5C =， 由余弦定理及3cos cos 12bc A ac B c +=+得22222231222b c a a c b c +-+-+=+，整理得22320c c --=，所以2c =(负值舍去)，所以222266442cos 2555a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+--=≥，所以5≤ab ，225S ab =≤，当a b =时取等号， 故选：C ．11．1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ） A ．肖恩 B ．尤瑟纳尔C ．酒吧伙计D ．酒吧老板【答案】B【分析】由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X ，在七局四胜制中，求出X 取4，5，6，7的概率，即可判断出结果. 【详解】由题意，肖恩每局获胜的概率为20120403=+，尤瑟纳尔每局获胜的概率为40220403=+，先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X ，于是得：4444441217(4)C ()C ()3381P X ==+=，343444122172(5)C ()C ()3333243P X ==⨯+⨯=， 342342*********(6)C ()()C ()()3333729P X ==⨯+⨯=，333612160(7)C ()()33729P X ==⨯=，显然有171602007281729729243<<<，即(4)(7)(6)(5)P X P X P X P X =<=<=<=， 所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔. 故选：B12．已知函数()3e e 21x xf x x x -=--+-，下列说法中正确的个数是（ ）①函数()f x 的图象关于点()0,1-对称； ②函数()f x 有三个零点； ③0x =是函数()f x 的极值点；④不等式()()222f m f m -+>-的解集是()2,1-.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①，对函数()f x 变形得到()31e e 2x x f x x x -+=--+，根据奇偶性得到()f x 的对称中心，②③，在①的基础上，求导研究其单调性，确定其零点和极值点情况；④选项，利用前面研究出的奇偶性和单调性解不等式，求出解集.【详解】()31e e 2x x f x x x -+=--+，令()3e e 2x x g x x x -=--+，则()()3e e 2x x g x x x g x --=-+-=-，所以函数()3e e 2x x g x x x -=--+是奇函数，所以()g x 的图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点()0,1-对称，故①正确：又因为()22221e e 32e 2322330e x x x x g x x x x x -⎛⎫'=---+=-++-≤-+-=-≤ ⎪⎝⎭，所以()g x 在R 上单调递减，所以()f x 在R 上单调递减， 所以()f x 只有一个零点且无极值点，故②③错误；由()()222f m f m -+>得()()22110f m f m -+++>，所以()()220g m g m-+>，所以()()22g m g m ->-，所以()()22g m g m ->-，所以22m m -<-，所以220m m +-<，所以()()210m m +-<，所以21m -<<，故④正确：综上所述，正确的个数是2个. 故选：B二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件1230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最大值是 _________.【答案】723.5 【分析】画出可行域，通过平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得2x y +的最大值.【详解】3223012x x y x y y ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩， 画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到点31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，2x y +取得最大值为3172222⨯+=.故答案为：7214．已知tan 2α=，则1cos 2sin 22αα-=______．【答案】－1【分析】利用三角恒等变换公式和齐次式弦化切即可计算.【详解】221cos 2sin 2cos sin sin cos 2αααααα-=--22222222cos sin sin cos 1tan tan 1221cos sin 1tan 12αααααθααα------====-+++. 故答案为：－1.15．抛物线24y x =的准线与轴相交于点P ，过点P 作斜率(0)k k >的直线交抛物线于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若||3||FA FB =，则直线AB 的斜率k ＝_______.【答案】32132 【分析】联立直线AB 方程和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式，可解得A 或B 的坐标，根据过两点的斜率计算公式即可求k . 【详解】由题可知()1,0P -，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由已知3FA FB =得，()12131x x +=+，即1232x x =+①，AB 的方程：y kx k =+，与24y x =联立得：()2222240k x k x k +-+=，则121=x x ②，由①②解得213x =，13x =，将13x =代入24y x =，由k ＞0知10y >，解得()3,23A ，()2303312k -∴==--.故答案为：32. 16．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体P DEF -，则在此正四面体中，下列说法正确的是______．①异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为23；DF PE ⊥②；GH ③与PD 所成的角为45； PG ④与EF 所成角为60【答案】①②③【分析】可证明DE ⊥平面PGE ,可得①正确；连接FG ,取中点M ,异面直线PG 与DH 所成的角为DHM ∠，由余弦定理可证明②正确；取DF 中点N ，连接GN,NH ，异面GH 与PD 所成的角为GHN ∠，由余弦定理可得③不对；异面PG 与EF 所成角的为GPN ∠，由余弦定理可得④不对，从而可得结果.【详解】ABC的边长为4，折成正四面体P DEF-后，如图D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，DH FP∴⊥，DE GP⊥；连接FG，取中点M，可得//HM GP，∴异面直线PG与DH所成的角的平角为DHM∠；3 GP=3 HM∴=连接MD，可得7 DM=．3DH=在DMH中，余弦定理：2cos3DHM∠=；∴①对；DF PE⊥②对；取DF中点N，连接GN，NH，可得//NH DP异面GH与PD所成的角的平面角为GHN∠，由余弦定理，GH与PD所成的角是45；③对；异面PG与EF所成角的平面角为GPN∠，由余弦定理，可得PG与EF所成角不是60.④不对．故答案为①②③．【点睛】本题考查两条异面直线所成角的求法以及空间想象能力，是中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CB AA ==＝22，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．(1)求证：1//BC 平面1A CE ； (2)求二面角1A CE A --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 5【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得1//BC 平面1A CE .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角1A CE A --的余弦值. 【详解】(1)连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ， 由,O E 分别为1,AC AB 的中点，所以1//OE BC ，又OE ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ， 所以1//BC 平面1A CE .(2)由AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，故1CC ⊥底面ABC ， 建立如图所示空间直角坐标系：则(()()()1112,0,22,0,0,0,(0,0,22),1,1,0,0,2,0,(0,2,22)A C C E B B ，所以()(11,1,0,2,0,22CE CA ==， 设平面1A CE 的一个法向量为：(),,m x y z =， 则100CE m CA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02220x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则21,2y z =-=-，则2(1,1,)2m =--，因为1CC ⊥底面ABC ，所以1(0,0,22)CC =为平面CEA 一个法向量， 所以1115cos ,5||||CC m CC m CC m ⋅<>==-⋅，由图可知，二面角1A CE A --为锐角， 所以二面角1A CE A --的余弦值为55.18．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生 女生 总计 90分钟以上 80 x 180 90分钟以下y z 220 总计160240400(1)求x ，y ，z 的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)100,80,140x y z ===，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关 (2)1742【解析】(1)由80180x +=可得：100x =；由80160y +=可得：80y =； 由80220z +=可得：140z =；所以22⨯列联表如下：()224008014010080 2.694 3.841180220160240K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以根据表格数据可判断，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．(2)抽取的9人中，需要抽取男生：9804180⨯=人，女生：91005180⨯=人， 男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；所以所求概率21345433995117142142C C C P C C ⋅=+=+= 19．已知数列{}n a 满足122n n2222n a a a n +++=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，令,2,n n n a a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列n b 的前2n 项的和2n S .【答案】(1)*2,N n a n n =-∈(2)2141234n n n n ---++⋅【分析】（1）根据数列的第n 项和数列前n 项和的关系即可得出答案；（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前n 项和的公式即可得出答案.【详解】(1)解：由题可知，1222222n n na a a n ++=①， 所以11221112222n n n a a a n ----++=，2n ≥②， ①-②得222n n n a n-=，所以2n a n =-（）， 又因为1122a =，所以11a =，符合（）式， 所以*2,N n a n n =-∈；(2)由（1）知，22,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以2122n n S b b b =+++()()135212462=n n b b b b b b b b -+++++++++()11122141214n n n -+--⎡⎤⎣⎦=+- 2141234n n n n --=-++⋅. 20．已知函数2()ln 3f x x ax x =+-．(1)若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极小值； (2)若1a =，对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)2- (2)(],6∞--【分析】（1）利用()'10f =求得a ，然后结合()f x 的单调性求得()f x 的极小值.（2）将不等式()()()211212m x x f x f x x x -->转化为1212()()m m f x f x x x ->-，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】(1)因为2()ln 3f x x ax x =+-的定义域为()0,∞+，所以()'123f x ax x=+-． 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2，得()'11230f a =+-=，解得a ＝1．此时()'1(21)(1)23x x f x x x x--=+-=． 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()1,+∞时，()'0f x >；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <．所以函数f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值()1ln1132f =+-=-．(2)由a ＝1得()2ln 3f x x x x =+-．因为对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，所以对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，1212()()m mf x f x x x ->-恒成立， 所以函数()my f x x=-在[]1,2上单调递减． 令2()()ln 3m mh x f x x x x x x=-=+--，[]1,2x ∈， 所以()'21230mh x x x x=+-+≤在[1，2]上恒成立， 则3223m x x x ≤-+-在[1，2]上恒成立．设()()322312F x x x x x =-+-≤≤，则()2'211661622F x x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭．当[]1,2x ∈时，()'0F x <，所以函数F (x )在[]1,2上单调递减，所以()()26F x F ≥=-，所以6m ≤-，故实数m 的取值范围为(],6∞--．【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.21．已知O 为坐标原点，1F 、2F 为椭圆C 的左、右焦点，122F F =，B 为椭圆C 的上顶点，以B 为圆心且过1F 、2F的圆与直线x =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知椭圆C 上两点M 、N （,M N 点与B 点不重合），若直线BM 和BN 的斜率之和为-2，过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，试求D 点的轨迹方程. 【答案】(1)2212x y +=(2)2215()24x y -+=（0x <，或0x >且15y >）【分析】（1）根据已知条件求得,,c a b ，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）当直线MN 斜率存在是，设出直线MN 的方程并与椭圆C 的方程联立，化简写出根与系数关系，根据2BM BN k k +=-求得直线MN 过定点()1,1P -，设(),D x y ，由0BD PD ⋅=求得D 点的轨迹方程，并排除不符合题意的点.【详解】(1)依题意，()11,0F -，()21,0F ，1c =，12PF PF =由椭圆定义知：椭圆长轴长122a PF PF =+=所以a =1b ==，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=．(2)直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ， 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得222(12)4220k x kmx m +++-=， 需满足()()()22222216412228210k m k m m k ∆=-+-=--->①，21212224221212km m x x x x k k --+==++，，由2BM BN k k +=-得1212112y y x x --+=-， 整理得1212(22)(1)()0k x x m x x ++-+=，222224(22)(1)01212m kmk m k k --++-=++，化简得1m k =--，此时()()()22228218121820m k k k k k ⎡⎤∆=---=-----=->⎣⎦，0k <或2k >. 所以直线MN 的方程可化为1y kx k =--， 所以直线MN 过点()1,1P -，若直线MN 的方程为1x =，此时直线MN 与椭圆C的交点为,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 满足2BM BN k k +=-，因为BD MN ⊥，所以BD PD ⊥，所以0BD PD ⋅=，()()0,1,1,1B P -，设(),D x y ，则()(),11,10x y x y -⋅-+=，22221510,24x y x x y ⎛⎫+--=-+= ⎪⎝⎭由上述分析可知：0k <或2k >.当2k =时，直线:23MN y x =-与221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭交于()811,1,,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；当 0k =时，直线:1MN y =-与221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭交于(0,1),(1,1)--，依题意可知，动点D 的轨迹方程为2215()24x y -+=（0x <，或0x >且15y >）.22． 已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x tC y t==（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】（1）cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+,(α为参数,02απ<<)（2）过坐标原点【详解】（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα， 因此()cos cos2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+（α为参数，02απ<<）．（2）M 点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．23．已知x y ，为正实数，4x+y =.(1)要使不等式1121a a x y+≥+--恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：223223x y +≥，并指出等号成立的条件. 【答案】(1)(],0-∞(2)证明见解析，当83x =，43y =时等号成立【分析】（1）先求得11x y+的最小值，然后利用零点分段法来求得a 的取值范围.（2）结合二次函数的性质来证得不等式成立.【详解】(1)()1111111221444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当,2y xx y x y===时等号成立. 所以211a a +--≤恒成立，令()3,22121,213,1a g a a a a a a -≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪≥⎩，由()1g a ≤解得0a ≤， 所以a 的取值范围是(],0-∞.(2)依题意,x y 为正实数，4x y +=，所以()404y x x =-<<， 所以()22222283232224316323333x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+≥⎪⎝⎭， 当84,33x y ==时等号成立.。

2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高二上册期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知21zi i=++,则复数z =A ．13i -+B ．13i--C ．13i-D ．13i+【正确答案】C【分析】根据复数的乘法运算求得z ，再根据共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知：()()1213z i i i =++=+13z i∴=-本题正确选项：C本题考查复数的运算及共轭复数的求解问题，属于基础题.2．甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是A ．16B ．13C ．23D ．12【正确答案】C【详解】甲、乙、丙3名学生排成一排，共有336A =种排法，其中甲、乙两人站在一起的排法共有22224A A ⋅=种，所以概率为23，故选C ．3．8(2x 展开式中常数项为（）A ．28B ．28-C ．7D ．7-【正确答案】C【分析】利用二项式的展开式的通项即得.【详解】由题意8(2x 得展开式通项为：()884831881C 1C 22rrrr r r rr x T x---+⎛⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,令4803r-=，得6r =，所以常数项为()2667811C 72T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知F 是抛物线22y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，11AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A ．3B ．4C ．5D ．7【正确答案】C【详解】 F 是抛物线22y x =的焦点1(,0)2F ∴,准线方程12x =-，设1122(,),(,)A x y B x y 12111122AF BF x x ∴+=+++=1210x x +=,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5，所以C 选项是正确的.故选：C5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】C【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】当1n =时，1542a b ==，，满足进行循环的条件；当2n =时，45,84a b ==满足进行循环的条件；当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件；当4n =时，405,3216a b ==不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4.故选：C ．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是A ．0.7 2.5ˆ0y x =+B ．0.71ˆy x =+C ．0.735ˆ0y x =+D ．0.70.5ˆ4yx =+【正确答案】C【详解】由题意可知， 4.5, 3.5x y ==，线性回归方程过样本中心(4.5,3,5)，所以只有C 选项满足．选C.线性回归方程过样本中心(,)x y ，所以可以代入四个选项进行逐一检验．7．已知4k <，则曲线22194x y +=和22194x y k k +=--有()A ．相同的短轴B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴【正确答案】B【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质计算并判断.【详解】4k < ，∴940k k ->->，∴曲线22194x y +=和22194x y k k +=--都是焦点在x 轴上的椭圆，由椭圆22194x y +=，得1113,2,a b c ===，所以长轴长为6，短轴长为4，焦点坐标为()，离心率为3，由椭圆22194x y k k+=--，得222a b c ===，所以长轴长为，焦点坐标为()所以两个椭圆有相同的焦点．故选：B8．5个大学生分配到三个不同的村庄当村干部，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为A ．14B ．35C ．70D ．100【正确答案】C【详解】试题分析：由题意得，甲村庄恰有一名大学生，有155C =种分法，另外四名大学生分为两组，共有21344322437C C C A +=+=种，再分配到两个村庄，共有22714A ⨯=种不同的分法，所以每个村庄至少有一名，且甲村庄恰有一名大学生的分法种数为51470⨯=种不同的分法，故选C.计数原理和排列组合的应用.9．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（）A ．23B ．12C ．13D ．14【正确答案】B【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率．【详解】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB PC + =PD ，∵20PB PC PA ++= ，∴2PB PC PA +=- ，∴2PD PA =-，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．∴S △PBC =12S △ABC ．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为：P=PBC ABCS S=12．故选B ．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．10．方程所表示的曲线是A ．B ．C ．D．【正确答案】D【详解】试题分析：由题意得方程(10x y +-=，得10x y +-=或，且，所以方程(10x y +-=所表示的曲线为选项D ，故选D ．曲线与方程．11．过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=【正确答案】B【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入22143x y +=作差变形即可求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 斜率为k ，则有22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=，因为点M 为AB 中点，则12122,2x x y y +=+=，所以12122()023x x y y --+=，即121234y y k x x -==--，所以直线l 的方程为()3114y x -=--，整理得3470x y +-=故选：B12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．B．C．D．【正确答案】C【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y ，由k ＝1得到22222(2)0a a b b a +>-，即1b a >．由k ＝3得到22222(910)9a a b b a +<-，即3b a <，再求离心率e =【详解】双曲线右焦点为，设过右焦点的直线为y k x =，与双曲线方程联立消去y 可得到：22222222222()2()0b a k x a k a a k b k b -+-++=，由题意可知，当k ＝1时，此方程有两个不相等的异号实根，∴22222(2)a ab b a +>-，得0＜a ＜b ，即1b a >；当k =3时，此方程有两个不相等的同号实根，∴22222(910)09a a b b a+<-，得0＜b ＜3a ，3b a <；又e ，∴离心率的取值范围为．故选：C.二、填空题13．若坐标原点到抛物线2y mx =的准线距离为2，则m =___________.【正确答案】18±根据抛物线性质可得结果.【详解】由2y mx =化为标准方程21x y m=，准线方程14y m =-，故由题意124m -=，得18m =±.故18±14．已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于________.【正确答案】8由椭圆的标准方程及焦点在y 轴上且24c =，结合椭圆参数的关系即可求m .【详解】由题意知：10020210m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得610m <<，又24c =，焦点在y 轴上∴2104m m -=-+，解得8m =.故815．设()|1|f x ax =-，()2f x ≤的解集为[]6,2-，则实数a 的值为____.【正确答案】12-##0.5-【分析】利用题给条件列出关于实数a 的方程组，解之即可求得实数a 的值.【详解】由()|1|f x ax =-，()2f x ≤可得|1|2ax -≤，则22|1|2ax -≤，整理得22230a x ax --≤当0a =时不等式22230a x ax --≤解集为R ，不符合题意；当0a ≠时，由不等式22230a x ax --≤解集为[]6,2-可得()222312212024a a a a-⎧=-⎪⎪⎪-+>⎨⎪⎪=-⎪⎩，解之得12a =-综上，实数a 的值为12-故12-16．若O 为坐标原点，直线y ＝2b 与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右两支分别交于A ，B 两点，直线OA 的斜率为－1，则该双曲线的渐近线的方程为________.【正确答案】y ＝x 【分析】根据题意先求得点A ，代入双曲线方程可得22b a，然后可得渐近线方程.【详解】易知直线OA 方程为y x =-，由2y x y b=-⎧⎨=⎩解得(2,2)A b b -，代入22221x ya b -=得2222441b b a b -=，即2254b a =，所以渐近线方程为2y x =±.故52y x =±三、解答题17．已知函数()13,1f x x x x =++-≥-.(1)求不等式()6f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为n ，正数,a b 满足22nab a b =+，求2a b +的最小值.【正确答案】(1){}1|4x x -≤≤(2)98【分析】（1）分13x -≤<和3x ≥两种情况，脱去绝对值符号，解不等式，即得答案.（2）确定n 的值，可得82ab a b =+，可得128b a +=，将2a b +变为112(2)(8a b b a++，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）当13x -≤<时，()134f x x x =++-=,当3x ≥时，()1322f x x x x =++-=-，不等式()6f x ≤等价于1346x -≤<⎧⎨≤⎩或3226x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得13x -≤<，或34x ≤≤，故14x -≤≤，∴原不等式的解集为{|14}x x -≤≤.（2）由（1）得，4,13()22,3x f x x x -≤<⎧=⎨-≥⎩，当3x ≥时，224x -≥，所以()f x 的最小值为4，4n ∴=，故82ab a b =+，可得128b a+=，因为0,0a b >>，112122192(2)()(5)(528888a b a b a b b a b a ∴+=+=++≥+，当且仅当22a b b a=时，即38a b ==，取等号，∴2a b +的最小值为98.18．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，作PD ⊥x 轴，D 为垂足，M 为PD 上一点，且45MD PD =.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点()30，且斜率为45的直线被方程C 所截线段的长度【正确答案】(1)2212516x y +=(2)415【分析】（1）设(),M x y ，(),P x y ''，则由PD ⊥x 轴与45MD PD =，得54x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，代入2225x y ''+=，整理得2212516x y +=；（2）由题意可求得直线方程为()435y x =-，代入椭圆方程，由韦达定理可知：123x x +=，128x x =-，进而由弦长公式AB =即可求得直线被C 所截线段的长度．【详解】（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为(),x y ''，因为PD ⊥x 轴且45MD PD =，得45x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，即54x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，因为P 在圆上，得2225x y ''+=，故225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得2212516x y +=，故C 的方程为2212516x y +=；（2）由点斜式知，过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()12,A x y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，整理得2380x x --=，所以123x x +=，128x x =-，故线段AB 的长度为415AB ==，所以直线被C 所截线段的长度为415.19．已知点A (2,8)在抛物线22(0)y px p =>上,直线l 和抛物线交于B ,C 两点，焦点F 是三角形ABC 的重心，M 是BC 的中点（不在x 轴上）（1）求M 点的坐标；（2）求直线l 的方程.【正确答案】（1）（11，－4）（2）4400.x y +-=【分析】（1）由点A （2，8）在抛物线22y px =上，有2822p =⋅，求出p=16，得到抛物线方程为232y x =，焦点F （8，0）是△ABC 的重心，设点M 的坐标为()00,x y ，则由23AF AM = 即可求出M 点的坐标；（2）设BC 所在直线的方程为：()()4110.y k x k +=-≠由()2411,32y k x y x ⎧+=-⎨=⎩消x 得()232321140ky y k --+=，所以1232y y k +=，由（2）的结论得1242y y +=-，解得 4.k =-，即可求出直线l 的方程.【详解】解（1）由点A （2，8）在抛物线22y px =上，有2822p =⋅，解得p=16.所以抛物线方程为232y x =，焦点F 的坐标为（8，0）.F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，设点M 的坐标为()00,x y ，则23AF AM = 所以点M 的坐标为（11，－4）．（2）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：()()4110.y k x k +=-≠由()2411,32y k x y x ⎧+=-⎨=⎩消x 得()232321140ky y k --+=，所以1232y y k +=，由（2）的结论得1242y y +=-，解得 4.k =-因此BC 所在直线的方程为：4400.x y +-=本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题.20．已知椭圆C 与椭圆223737x y +=的焦点12,F F 相同且椭圆C 过点,62⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在椭圆C 上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【正确答案】（1）22110064x y +=；（2）3.【分析】（1）根据椭圆223737x y +=的焦点坐标设出椭圆C 的标准方程，再将点6⎫-⎪⎝⎭代入方程，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）由定义得出12220PF PF a +==，由余弦定理得出2221212122cos 3F PF PF PF PF F π=+-⋅，求出12PF PF ⋅，再由三角形面积公式得出面积.【详解】（1）因为椭圆22137x y +=的焦点坐标为(6,0),(6,0)-，所以设椭圆C 的标准方程为()2222213636x y a a a +=>-①将点62⎛⎫- ⎪⎝⎭代入①，整理得42446363000a a -+=解得2100a =或2634a =（舍去）所以椭圆C 的标准方程为22110064x y +=.（2）因为点P 在椭圆C 上，所以12220PF PF a +==.由（1）知6c =，在12PF F △中，12212F F c ==所以由余弦定理得2221212122cos3F PF PF PF PF F π=+-⋅，即222121212PF PF PF PF =+-⋅.因为()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅所以()221212123PF PF PF PF =+-⋅即221212203PF PF =-⋅.所以22122012328256333PF PF -⨯⋅===.121211256sin 232323F PF S PF PF π=⋅=⨯⨯=△.所以12F PF △的面积为3.本题主要考查求椭圆的标准方程以及椭圆中三角形的面积问题，属于中档题.21．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5.(1)求抛物线的方程；(2)设l 为过点(4,0)的任意一条直线，若l 交抛物线于A ，B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点．【正确答案】（1）y 2＝4x .（2）见解析【分析】（1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程.（2）设直线l ：y ＝k (x －4)(k ≠0)，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，即可证得以AB 为直径的圆必过坐标原点．【详解】解：(1)由题意得|MF |＝4＋＝5.∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4.由得y ＝±4.∴|AB |＝8.∴＝4.∴以AB 为直径的圆过原点．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2＝0.∴x 1＋x 2＝，x 1x 2＝16.y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝k 2[x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16]＝k 2＝k 2＝－16，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OA ⊥OB ．∴以AB 为直径的圆必过原点．综上可知，以AB 为直径的圆必过原点．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线与抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，将以AB 为直径的圆过原点转化为向量的数量积等于零即可，属于中档题．22．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点()2,0F -(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若2MQ QF = ，求直线l 的方程．【正确答案】(1)2213y x -=(2)()22y x =±+或()22y x =±+【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为22221x y a b-=，则2c =，再根据离心率求出a ，即可求出b ，从而得到双曲线方程；（2）依题意可得直线l 的斜率存在，设():2l y k x =+，即可得到M 的坐标，依题意可得2MQ QF = 或2MQ QF =- ，分两种情况分别求出Q 的坐标，再根据Q 的双曲线上，代入曲线方程，即可求出k ，即可得解；【详解】（1）解：设所求的双曲线方程为22221x y a b-=0a >0b >，则2c e a ==，2c =，∴1a =，又222c a b =+则b ，∴所求的双曲线方程为2213y x -=．（2）解：∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点()2,0F -，∴l 的斜率一定存在，则设():2l y k x =+．令0x =得()0,2M k ，∵2MQ QF = 且M 、Q 、F 共线于l ，∴2MQ QF = 或2MQ QF =- 当2MQ QF = 时，43Q x =-，23Q y k =，∴42,33Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵Q 在双曲线2213y x -=上，∴21641927k -=，∴2k =±，当2MQ QF =- 时，()4,2Q k --，代入双曲线可得：241613k -=，∴k =综上所求直线l 的方程为：()22y x =±+或)2y x =+．。

宁夏银川一中2021届高三理综第六次月考试题注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时,务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 O—16 S-32 Cl—35.5 K—39 Pt—195一、选择题：本题包括13小题.每小题6分,共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。

1．下列有关人体结构及功能的叙述正确的是A．卵细胞体积较大有利于和周围环境进行物质交换，为胚胎发育提供所需养料B．肝脏细胞与上皮细胞相比,线粒体的数量更多C．心肌细胞和胰腺细胞中均有溶酶体，被此结构分解后的产物都被排出细胞外D．细胞膜、内质网膜、视网膜、呼吸道黏膜都属于生物膜系统2．下列关于细胞分裂的有关说法，不正确的是A．用32P标记DNA的细胞放在31P的培养液中,经连续两次有丝分裂后所形成的4个子细胞中，每个细胞均不含32P的DNA分子B．某动物在精子形成过程中,若同源染色体未分离，则可形成染色体组成为XXY的后代C．某二倍体动物细胞内含有10条染色体,则该细胞不可能处于有丝分裂后期D．某二倍体正常分裂的细胞若含有两条Y染色体,则该细胞一定不是初级精母细胞3．盐酸是一种常见的化学试剂,也广泛用于生物学实验，以下涉及盐酸的实验说法正确的是A．促胰液素的发现过程中稀盐酸的作用是刺激胰腺产生促胰液素B．“探究酶活性受PH的影响”的实验中盐酸的作用是用于控制无关变量C．“观察DNA和RNA在细胞中的分布”的实验中质量分数为8%的盐酸可以改变细胞膜的通透性D．“低温诱导染色体数目变化"实验中，可尽量延长用盐酸和酒精处理时间使解离更充分4．控制某种雌雄异株植物的阔叶(B）和细叶(b）的基因仅位于X染色体上,自然界中有阔叶、细叶雄株和阔叶雌株，但未发现细叶雌株.下列分析错误的是A．在自然界中没有细叶雌株的原因是含X b的花粉或卵细胞致死B．若某种群中雌株的基因型及比例为X B X B:X B X b＝1：2，阔叶植株自由交配,后代雄株中会出现1/3的细叶C．用细叶雄株与阔叶雌株杂交后代均为雄株,则证明含X b的花粉致死D．杂合阔叶雌株与细叶雄株杂交，子代中X b的基因频率为1/25．福寿螺被引入我国后，因其适应能力强、繁殖速度快，迅速扩散于河湖与田野,取食水生植物而破坏巨大。

宁夏回族自治区银川市第二中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且2．已知变量的几组取值如下表：x1 2 3 4 y2.4 4.3 5.37若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．1343．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．810C ．24D ．34．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．1025．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos θ= ）A 5B 5C ．2D ．46．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．29．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．010．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 11．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A 13B ．4C ．2D 312．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

宁夏中卫市2021届高三数学下学期4月第一次优秀生联考试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅱ卷第22、23题为选考题，其他题为必考题.考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损.5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1．已知集合{}A x x a=>，{}2log1B x x=>，若A B A⋂=，则a的取值范围为(）A．(),2-∞B．(],2-∞C．()2,+∞D．[)2,+∞2．设复数z满足11ziz+=-，则z=（）A．i B．1i+C．i-D．1i-3．若,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,且sin cos0αα+=,则sin3α=（）A ．12B ．22C ．32-D ．22-4．某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400编号,按编号顺序平均分成30组（1～80号，81~160号，…，2321﹣2400号），若第3组抽出的号码为176,则第6组抽到的号码是（ ) A ．416B ．432C ．448D ．4645．某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作,若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有.（ ）A ．320种B ．252种C ．182种D ．120种6．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3，3,5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（ ) A ．39 B ．45 C ．48D ．517．已知直线y x =-被圆()22:00M xy Ey E ++=<截得的弦长为且圆N 的方程为222210xy x y +--+=，则圆M与圆N 的位置关系为（ )A ．相交B ．外切C ．相离D ．内切8．直线y a =与函数()()tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若函数()f x 在区间()(),0m m m ->上是增函数,则实数m 的取值范围是( ）A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦9．设数列{}na 的前n 项和为nS ，若()232*nn Sa n N =-∈,则10622S a =-（ ）A ．243B ．244C ．245D ．24610．已知函数()20122i f x x i x i==-+-∑，下列四个判断一定正确的是（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 最小值为6C ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称D ．关于x 的方程()()200f x m m -=>⎡⎤⎣⎦的解集可能为{}2,0,3,6-11．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中,如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形,将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）A ．5126729 B ．1623C ．627D ．12828112．已知函数()()()ln 0xf x ea ax a a a =--+>,若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,2e ⎛⎤⎥⎝⎦B ．()20,e C ．21,2e ⎡⎤⎣⎦D ．()21,2e二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量()1,2a =-,(),1b k =且()a a b ⊥+，则k =．14．已知一组数据4,a ，3+a ，5，7的平均数为5，则这组数据的方差为 ． 15．设,,αβγ为平面,,,m n l为直线，则对于下列条件: ①,,l m l αβαβ⊥⋂=⊥；②,,m αγαβγβ⋂=⊥⊥; ③,,m αγβγα⊥⊥⊥；④,,n n m αβα⊥⊥⊥．其中为m β⊥的充分条件的是__________(将你认为正确的所有序号都填上)．16． 已知12,F F 是双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与椭圆222:1259x y C +=的公共焦点，点P ,Q 分别是曲线12,C C 在第一第三象限的交点，四边形12PF QF 的面积为66，设双曲线1C 与椭圆2C的离心率依次为12,e e ，则12e e +＝ ． 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分)在△ABC 中,已知角A ,B ，C 所对的边分别是,,a b c ，5,3a b ==,sin 5sin 22A B +=．（1）求角A 的值； (2）求△ABC 的面积．18．(本题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，过点()1,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）若22AB =，求△AOB 外接圆的方程； （2）若点A 关于x 轴的对称点是A ′(A ′与B 不重合),证明：直线A ′B 经过定点．19．（本题满分12分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况,某扶贫工作组对A ，B 两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本,获得数据如表：A 地区B 地区2019年人均年纯收入超过10000元100户 150户2019年人均年纯收入未超过10000元200户50户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（1）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户,估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率;（2）在样本中,分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户,记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数,求X的分布列和数学期望；（3）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．20．（本题满分12分）如图，四边形ABCD中,AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC ＝，AD＝2,E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把△DEF 折起，使点D到达点P的位置,G为线段PB 的中点．（1）证明：平面GAC∥平面PEF；（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AG 与平面PAC所成角的正弦值．21．（本题满分12分）已知函数()1x f x ke x -=-，其中k R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()ln f x g x x x x=-+，且函数()g x 三个极值点()123123,,x x x x xx <<，求()()()123g x g x g x ++的取值范围．选考题:（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题记分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）22．(本小题满分10分）选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点M 的坐标为()1,2，直线l 与曲线C交于A 、B 两点,求11MA MB+的值．23．(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x a =+，()g x x b =-． (1）若1a =，3b =，解不等式()()4f x g x +≥； （2)当0a >，0b >时，()()2f x g x -的最大值是3,证明：22942ab +≥．2021年中卫市高考第一次优秀生联考理科数学试卷答案一．选择题：12345678910 11 2DCDACDAB BCA二．填空题：13题： 14题： 15题：②④ 16题:二．解答题:17．解：（1）因为a ＝，b ＝3，由正弦定理得,所以sin A ＝,sin B ＝， 因为sin A +sin B ＝2，所以＝2,故R ＝,sin A ＝＝，因为a＜b，所以A为锐角，A ＝；（2）由余弦定理得cos A ＝＝＝，整理得，解得c＝2或c ＝当c＝2时，S△ABC ＝＝＝3，当c ＝时，S△ABC ＝＝＝．18．解:（1）设直线l的方程为x＝ty+1，联立,得y2﹣2ty﹣2＝0，所以｜AB ｜＝＝2,由|AB|＝2，解得t＝0,所以A，B的坐标为（1,)，（1,﹣），△AOB外接圆的圆心在x轴上，设圆心为（a，0)，由a2＝(a﹣1）2+（)2，解得a ＝，所以△AOB外接圆的方程为（x ﹣）2+y2＝．（2）证明：设A（x1,y1），B（x2,y2），则A′(x1，﹣y1）,由（1）知，y1+y2＝2t,y1y2＝﹣2，设直线A′B的方程为x＝my+n，联立，得y2﹣2my﹣2n＝0，则（﹣y1)y2＝﹣2n，所以2n＝﹣2,即n＝﹣1，所以直线A′B过定点(﹣1,0)．19．解：(1）设事件C:从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户,该家庭2019年人均纯收入超过10000元;从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此P（C ）可以估计为＝;（2）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户,该家庭2019年人均纯收入超过10000元，设事件B:从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，由题意可知,X的可能取值为0，1，2，＝，＝＝，＝，所以X的分布列为：X 012P所以X的数学期望为E(X）＝＝；（3)设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得0.012．答案示例1:可以认为有变化，理由如下：P（E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化,所以可以认为有变化．20．解:（1）证明：连接CE，由题意知，四边形ABCE为正方形，连接BE交AC于O，连接OG，所以O为BE 中点，又因为G为PB中点，所以OG∥PE,因为E，F分别为AD，CD中点，所以AC∥EF，因为OG∩AC＝O，PE∩EF＝E,AC,OG⊂平面ACG，PE∩EF⊂平面PEF，所以平面GAC∥平面PEF．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：A(0，﹣,0），C （，0，0），B （，﹣，0），P （,，1)，G （，﹣,），＝(,，)，＝(，，0），＝(，，1)，设平面PAC 的法向量为＝（x,y，z），,令y＝﹣1,＝（1,﹣1，),所以直线AG与平面PAC 所成角的正弦值为＝＝．21。

银川一中2021届高三年级第二次月考数 学 试 卷（文）【试卷综评】突出考查数学骨干知识 ,偏重于中学数学学科的基础知识和大体技术的考查；偏重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.【题文】1．设集合212{|10},{|log }A x xB x y x =-<==，那么A∩B 等于（ ）A ．{|1}x x >B ．{|01}x x <<C ． {|1}x x <D ．{|01}x x <≤ 【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：由A 中不等式变形得：（x+1）（x ﹣1）＜0，解得：﹣1＜x ＜1，即A={x|﹣1＜x ＜1}，由B 中y=，取得0＜x≤1，即B={x|0＜x≤1}，那么A∩B={x|0＜x ＜1}．应选：B ．【思路点拨】求出A 中不等式的解集确信出A ，求出B 中x 的范围确信出B ，求出A 与B 的交集即可． 【题文】2．已知复数 z 知足(13)1i z i +=+，那么||z =（ ）A ．22B ．21C ．2D ． 2【知识点】复数求模．L4 【答案解析】A 解析：∵，∴=，因此|z|=应选A ．【思路点拨】第一依照所给的等式表示出z ，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，取得最简形式．【题文】3．在△ABC 中，“3sin 2A >”是“3πA >”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判定；正弦函数的单调性．A2 C3【答案解析】A 解析：在△ABC 中，∴0＜A ＜π，∵sinA ＞，∴＜A ＜，∴sinA ＞”⇒“∠A ＞”，反之那么不能，∴，“sinA＞”是“∠A ＞”的充分没必要要条件，故A 正确．【思路点拨】在△ABC 中，0＜A ＜π，利用三角函数的单调性来进行判定，然后再由然后依照必要条件、充分条件和充要条件的概念进行判定求解．【题文】4．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且知足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，那么ABC ∆的形状必然为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．斜三角形【知识点】三角形的形状判定．C8 【答案解析】C 解析：∵= = ==0，∴，∴△ABC 为等腰三角形．应选C【思路点拨】利用向量的运算法那么将等式中的向量 用三角形的各边对应的向量表示，取得边的关系，得出三角形的形状．【题文】5．设向量b a ,b a +=10b a -=6，那么=⋅b a （ ）A ．5B ．3C ．2D ．1【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】D 解析：∵|+|=，|﹣|=，∴|+|2=10，|﹣|2=6，展开得2+2+2•=10， 2+2﹣2•=6，两式相减得4•=4，∴•=1；应选D ．【思路点拨】利用向量的平方等于向量的模的平方，将已知的两个等式平方相减，解得数量积．【题文】6．函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ）【知识点】函数的图象．B8【答案解析】C 解析：当x=0时，y=0﹣2sin0=0故函数图象过原点， 可排除A 又∵y'=，故函数的单调区间呈周期性转变分析四个答案，只有C 知足要求，应选C 【思路点拨】依照函数的解析式，咱们依照概念在R 上的奇函数图象必要原点能够排除A ，再求出其导函数，依照函数的单调区间呈周期性转变，分析四个答案，即可找到知足条件的结论．【题文】7．假设角α的终边在直线y ＝2x 上，那么ααααcos 2sin cos sin 2+-的值为( )A ．0 B. 34 C ．1 D. 54【知识点】同角三角函数大体关系的运用；三角函数线．C1 C2 【答案解析】B 解析：∵角α的终边在直线y=2x 上，∴tanα=2，∴==，应选：B ．【思路点拨】依题意，tanα=2，将所求的关系式中的“弦”化“切”即可求得答案．【题文】8．ABC ∆的内角A B C 、、的对边别离是a b c 、、,假设2B A =,1a =,3b =,那么c = （ ） A ．23 B ．2C ．2D ．1【知识点】正弦定理；二倍角的正弦．C6 C8 【答案解析】B 解析：∵B=2A ，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA ，即1=3+c2﹣3c ，解得：c=2或c=1（经查验不合题意，舍去），那么c=2．应选B【思路点拨】利用正弦定理列出关系式，将B=2A ，a ，b 的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA 的值，再由a ，b 及cosA 的值，利用余弦定理即可求出c 的值．【题文】9．假设f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，那么b 的取值范围是（ ）A.[-1，+∞）B.（-1，+∞）C.（-∞，-1]D.（-∞，-1） 【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12 【答案解析】C 解析：由题意可知，在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b ＜x （x+2）在x ∈（﹣1，+∞）上恒成立，由于y=x （x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y （﹣1）=﹣1，因此b≤﹣1，应选C 【思路点拨】先对函数进行求导，依照导函数小于0时原函数单调递减即可取得答案．【题文】10．函数()()x x x f 21ln -+=的零点所在的大致区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案解析】B 解析：∵f （1）=ln （1+1）﹣2=ln2﹣2＜0， 而f （2）=ln3﹣1＞lne ﹣1=0，∴函数f （x ）=ln （x+1）﹣的零点所在区间是 （1，2），应选B ．【思路点拨】函数f （x ）=ln （x+1）﹣的零点所在区间需知足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反． 【题文】11．)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 部份图象如图, 若2||AB BC AB =⋅,ω等于（ ）A ．12πB ．4πC ．3πD ．6π【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部份图象确信其解析式；平面向量数量积的运算．C4 F3 【答案解析】D 解析：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=， 由图知||=2||，因此cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B 作BD⊥x 轴于点D ，那么BD=，在△ABD 中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，因此周期T=3×4=12，因此ω==．应选D ． 【思路点拨】由，可求得∠ABC=120°，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值．【题文】12．函数()x f 是R 上的偶函数，在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，那么（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 【知识点】偶函数；不等式比较大小．B4 E1 【答案解析】D 解析：，因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，因此，因此b ＜a ＜c ，应选A【思路点拨】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，依照单调性比较a 、b 、c 的大小． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部份．第13题～第21题为必考题，每一个试题考生都必需做答．第22题～第24题为选考题，考生依照要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.【题文】13．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，那么((2))f f 的值为 .【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．B1 B10【答案解析】2 解析：由题意，自变量为2，故内层函数f （2）=log3（22﹣1）=1＜2， 故有f （1）=2×e1﹣1=2，即f （f （2））=f （1）=2×e1﹣1=2，故答案为 2【思路点拨】此题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解此题应先求内层的f （2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解进程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．【题文】14．若sin cos 2θθ+=，那么tan 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ___________. 【知识点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的大体关系．C5 C2【答案解析】-2-3 解析：∵，平方可得sin2θ=1，=1，∴=1，tanθ=1．∴===，故答案为．【思路点拨】把条件平方可得sin2θ=1，变形为 =1，解出tanθ代入=可求出结果．【题文】15．设奇函数()x f 的概念域为R ，且周期为5，假设()1f ＜—1，(),log 42a f =那么实数a 的取值范围是 .【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性；对数的运算性质．B4 B7【答案解析】-2-3 解析：依照题意，由f （x ）为奇函数，可得f （1）=﹣f （﹣1）， 又由f （1）＜﹣1，那么﹣f （﹣1）＜﹣1，那么f （﹣1）＞1，又由f （x ）周期为5，那么f （﹣1）=f （4）=log2a ，那么有log2a ＞1，解可得a ＞2；故答案为a ＞2．【思路点拨】关键函数是奇函数，结合f （1）＜﹣1，分析可得f （﹣1）＞1，又由f （x ）周期为5，那么f （﹣1）=f （4）=log2a ，联立可得log2a ＞1，解可得答案． 【题文】16．以下命题:①若||||||a b a b ⋅=⋅,那么a ∥b ;②a =(-1,1)在b =(3,4)方向上的投影为15;③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,那么BC ·CA =20;④假设非零向量a 、b 知足||||a b b +=,那么|2||2|b a b >+. 所有真命题的标号是______________.【知识点】向量的投影；向量的共线定理；平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算．F2 F3 【答案解析】①② 解析：关于选项A ，依照，那么cosθ=±1，θ=0°或180°，那么∥，故正确；关于选项B ，依照投影的概念可得，在 方向上的投影为||cos ＜，＞==，故正确；关于选项C ，由余弦定理可知cosC=，=5×8×cos（π﹣C ）=﹣20，故不正确；关于选项D ，|+|=，不正确； 故答案为：①② 【思路点拨】选项A 依照，那么cosθ=±1，θ=0°或180°，那么∥可得结论；选项B 依照投影的概念，应用公式 在 方向上的投影为||cos ＜，＞=求解；选项C 由余弦定理可知cosC=，=5×8×cos（π﹣C ）=﹣20，可知真假；关于选项D ，显然不正确．三、解答题： 解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤. 【题文】17、（本小题12分）已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,sin x m ，()02cos 3,cos 3>⎪⎭⎫⎝⎛=A x A x A n ，函数()f x m n =⋅的最大值为6. （1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原先的12倍，纵坐标不变，取得函数()y g x =的图象.求()g x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上的值域. 【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有C4 C7 F3【答案解析】（1）A ＝6（2）[]633-，解析：（1）()x f ＝n m ⋅＝3x x cos Asin +A2cos2x...... 2分＝A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 212sin 23＝Asin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ........4分，因为A>0，由题意知，A ＝6...........6分由(1)()x f ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .将函数()x f y =的图象向左平移π12个单位后取得y ＝6sin⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6122ππx ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将取得图象上各点横坐标缩短为原先的12倍，纵坐标不变，取得y ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 的图象。

2021-2022学年宁夏银川一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，则（C R A）∩B=（）A．{0，1} B．{0} C．{2，4} D．∅2．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=23．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x| C ． D．y=x3+15．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A ．B ．C ．D ．6．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣8．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③9．设函数，其中，则导数f′（﹣1）的取值范围（）A．[3，6]B ．C ．D ．10．函数的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位11．若函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f （x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A ．B ．C．（0，1）D ．12．设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为．14．已知，，则=．15．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是．16．给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若α，β为锐角，，则③是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2021秋•乌拉特前旗校级月考）某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．18．（12分）（2022•江西）已知函数f（x ）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．19．（12分）（2022•佛山二模）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．20．（12分）（2022•天津模拟）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．21．（12分）（2021•大观区校级四模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2021•金昌校级模拟）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB，CE交⊙O于点G．（Ⅰ）证明：AC2=AD•AE；（Ⅱ）证明：FG∥AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2021•鹰潭一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．选修4-5：不等式选讲24．（2021•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2021-2022学年宁夏银川一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，则（C R A）∩B=（）A．{0，1} B．{0} C．{2，4} D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，知C R A={x≤1}，由此能求出（C R A）∩B．解答：解：∵集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，∴C R A={x≤1}，∴（C R A）∩B={0，1}．故选A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．2．下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2考点：四种命题的真假关系．专题：简易规律．分析：本题考查全称命题和特称命题真假的推断，逐一推断即可．解答：解：B中，x=1时不成立，故选B．答案：B．点评：本题考查规律语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属简洁题．3．，则m等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：利用定积分的几何意义计算定积分．解答：解：y=，即（x+1）2+y2=1，表示以（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆，圆的面积为π，∵，∴表示为圆的面积的二分之一，∴m=0，故选：B点评：本题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础学问，考查考查数形结合思想．属于基础题．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x| C ． D．y=x3+1考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义及基本函数的单调性可作出推断．解答：解：函数y=log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且log2|﹣x|=log2|x|，∴函数y=log2|x|为偶函数，当x＞0时，函数y=log2|x|=log2x为R上的增函数，所以在（1，2）上也为增函数，故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．5．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A ．B ．C ．D ．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．解答：解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．点评：本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算力量，属于基础题．6．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点：不等式比较大小．专题：不等式．分析：依据指数函数幂函数对数函数的图象与性质，得到不等式与0，1的关系，即可比较大小．解答：解：x∈（0，1），∴lgx＜0，2x＞1，0＜＜1，∴2x ＞＞lgx，故选：C．点评：本题考查了不等式的大小比较，以及指数函数幂函数对数函数的图象与性质，属于基础题．7．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q 点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣考点：两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．解答：解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再依据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）=cos∠xOP•cos∠xOQ﹣sin∠xOP•sin∠xOQ=﹣=﹣，故选：D．点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．8．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，其次个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，图象都在x轴的下方，再结合函数的解析式，进而得到答案．解答：解：分析函数的解析式，可得：①y=x•sinx为偶函数；②y=x•cosx为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③故选：D．点评：本题考点是考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的学问进行争辩，一是函数的性质，二是函数图象要过的特殊点．9．设函数，其中，则导数f′（﹣1）的取值范围（）A．[3，6]B ．C ．D ．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数的值域．分析：先对原函数进行求导可得到f′（x）的解析式，将x=﹣1代入可求取值范围．解答：解：∵∴∴=2sin （）+4∵∴∴sin∴f′（﹣1）∈[3，6]故选A．点评：本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大．10．函数的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，函数的周期为π，由此求得ω=2，由g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]，依据y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律得出结论．解答：解：由题意可得，函数的周期为π，故=π，∴ω=2．要得到函数g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]的图象，只需将f（x）=的图象向左平移个单位即可，故选A．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，y=Asin（ωx+∅）的周期性，属于中档题．11．若函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f （x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A ．B ．C．（0，1）D ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：函数f（x ）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1==，f（x）=．由于g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，函数图象如图所示，由图象可得，当0＜m ≤时，两函数有两个交点，故选D．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的力量，体现了数形结合的思想．也考查了同学制造性分析解决问题的力量，属于中档题．12．设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2考点：正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：构造函数f（x）=xsinx，x ∈，利用奇偶函数的定义可推断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx 可推断f（x）=xsinx，x∈[0，]与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．解答：解：令f（x）=xsinx，x ∈，∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x ∈为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．点评：本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x ∈，通过争辩函数f （x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为8．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象观看可得：y min=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求y max=3+k=3+5=8．解答：解：∵由题意可得：y min =﹣3+k=2，∴可解得：k=5，∴y max=3+k=3+5=8，故答案为：8．点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本学问的考查．14．已知，，则=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用帮助角公式sinα+cosα=sin（α+），可求得sin（α+），结合α的范围，可α+∈（，），利用同角的三角函数关系可求cos（α+），tan（α+）的值．解答：解：∵sinα+cosα=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣，∵α∈（，π），∴α+∈（，），∴cos（α+）=﹣=﹣．∴tan（α+）==．故答案为：．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，考查了计算力量，属于基础题．15．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是．考点：导数的几何意义．专题：计算题；数形结合．分析：由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再依据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：依据题意得f′（x）=﹣，∵，且k＜0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈，故答案为：．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础学问，考查运算求解力量，考查数形结合思想、化归与转化思想．16．给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若α，β为锐角，，则③是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是②③④．考点：命题的真假推断与应用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：①利用弧度制的定义可得公式：s扇形=Lr，L=αr，求解即可；②tan（α+2β）=tan（α+β+β）==1，再推断α+2β＜180°，得出答案；③考查了周期函数，+2kπ都能使函数y=sin（2x+φ）为偶函数，④考查三角函数对称轴的特征：过余弦函数的最值点都是对称轴，把代入得：y=cosπ=﹣1，是对称轴，解答：解：①s扇形=Lr，L=αr∴s=1，故错误；②tan（α+2β）=tan（α+β+β）==1∵α，β为锐角，，∴α+2β＜180°∴，故②正确；③+2kπ都能使函数y=sin（2x+φ）为偶函数，故③正确；④把代入得：y=cosπ=﹣1，是对称轴，故正确；故答案为：②③④．点评：考查了弧度制的定义和三角函数的周期性，对称轴和和角公式，属于基础题型，应娴熟把握．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2021秋•乌拉特前旗校级月考）某同学用五点法画函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（ω＞0，|ϕ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象向左平移个单位后对应的函数为g（x），求g（x）的图象离原点最近的对称中心．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由表中已知数据易得，可得表格和解析式；（2）由函数图象变换可得g（x）的解析式，可得对称中心．解答：解：（1）依据表中已知数据，解得数据补全如下表：ωx+ϕ0 π2πxAsin（ωx+ϕ）0 5 0 ﹣5 0∴函数的解析式为；（2）函数f（x ）图象向左平移个单位后对应的函数是g（x）=5sin[2（x+）﹣]=5sin（2x+），其对称中心的横坐标满足2x+=kπ，即x=﹣，k∈Z，∴离原点最近的对称中心是点评：本题考查三角函数解析式的确定和函数图象变换，涉及三角函数的对称性，属基础题．18．（12分）（2022•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而依据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f （）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最终利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f （）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f （）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin =．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学学问解决问题的力量．19．（12分）（2022•佛山二模）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）依据题中条件：“若已知与成正比”可设，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．（2）利用导数争辩函数的最值，先求出y的导数，依据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．解答：解：（1）设，∵售价为10元时，年销量为28万件；∴，解得k=2．∴=﹣2x2+21x+18．∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9明显，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数；在（9，+∞）上是关于x的减函数．∴当x=9时，y取最大值，且y max=135．∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．点评：本小题主要考查依据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的学问解决实际问题的力量．属于基础题．20．（12分）（2022•天津模拟）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a∈[，]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对于含参数的函数f（x）的单调区间的求法，需要进行分类争辩，然后利用导数求出函数的单调性；（Ⅱ）求出f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，设g（a）=4a3﹣12a+8，求出g（a）在[]内是减函数，问题得以解决．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a），令f'（x）=0，则x1=0，x2=2a，（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，2a）2a （2a，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘微小值↗∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（2a，+∞）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化状况如下表：x （﹣∞，2a）2a （2a，0）0 （0，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘微小值↗∴函数f（x）在区间（﹣∞，2a）和（0，+∞）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．（Ⅱ）由及（Ⅰ），f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，又f（2）﹣f（1）=（8﹣12a+b）﹣（1﹣3a+b）=7﹣9a＞0，∴M=f（2），m=f（2a）=8a3﹣12a3+b=b﹣4a3，∴M﹣m=（8﹣12a+b）﹣（b﹣4a3）=4a3﹣12a+8，设g（a）=4a3﹣12a+8，∴g'（a）=12a2﹣12=12（a+1）（a﹣1）＜0（a∈[]），∴g（a）在[]内是减函数，故g（a）max=g （）=2+=，g（a）min=g （）=﹣1+4×=．∴≤M﹣m ≤．点评：本题考查利用导数争辩函数的极值和单调性，涉及构造函数的方法，属中档题．21．（12分）（2021•大观区校级四模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．解答：解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k ＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3．点评：本题考查利用导数争辩函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2021•金昌校级模拟）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB，CE交⊙O于点G．（Ⅰ）证明：AC2=AD•AE；（Ⅱ）证明：FG∥AC．考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．（Ⅱ）利用成比例的线段证明角相等、三角形相像，得到同位角角相等，从而两直线平行．解答：证明：（Ⅱ）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（Ⅱ）由（Ⅱ）有，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵圆的内接四边形对角互补，∴∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．点评：本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．解决这类问题的常用方法是利用成比例的线段证明角相等、三角形相像等学问．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2021•鹰潭一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．考点：简洁曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，依据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解答：解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2021•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；确定值不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类争辩，去掉确定值符号，解相应的一次不等式，最终取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2争辩，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …（5分）（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…（8分）当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…（10分）点评：本题考查确定值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析力量，突出恒成立问题的考查，属于难题．。

银川一中2023届高三第二次模拟数学(理科)参考答案一、单选题1．【答案】A【分析】根据给定条件，求出复数z 及z ，再利用复数除法运算求解作答.【详解】依题意，12z i =+，则12i z =-，所以12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+.故选：A2．【答案】D 【分析】由已知可推得2B ∈，代入即可解得2m =-，代入即可得出答案.【详解】由题意可知，2B ∈，即2220m -+=，所以2m =-，所以，{}{}2202,1B x x x =--==-.故选：D.3．【答案】C【分析】根据含量词命题的否定形式可得到原命题，通过反例可说明原命题为假命题.【详解】 命题P 的否定为特称命题，P ∴：x ∀∈R ，211x +>，当0x =时，211x +=，P ∴为假命题，ABD 错误，C 正确.故选：C.4．【答案】B【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B 5．【答案】B【分析】执行程序即可算出其输出值结果.【详解】由题意可知，流程图的功能为计算111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值，裂项求和可得：111111111122334455566S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.6．【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A ：函数2y x =-+的定义域为R ，值域也为R ，不符合题意；对于B：函数y =的定义域和值域都为[)0,∞+，不符合题意；对于C ：2y x =的定义域和值域都为{}0x x ≠，不符合题意；对于D ：2,02,0x x y x x -≤⎧=⎨+>⎩的定义域为R ；当0x ≤时，22y x =-≤-；当0x >时，22y x =+>；所以值域为(](),22,∞∞--⋃+，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D ．7．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.【详解】因为()2cos 75cos152sin 75sin152cos 15750a b ⋅=-=+=，2a = ，1b = .所以()()222280a b a b a b λλλ+⋅-=-=-= .所以8λ=.故选：A 8．【答案】A 【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，根据离心率的计算公式可得答案.【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为π,(0,)2αα∈，则另一条渐近线的倾斜角为5α，由双曲对称性可得π5π,=6ααα+=∴，则一条渐近线的斜率为πtan 6=设双曲线的长半轴长为a ，短半轴长为b，则b a =，故离心率为3e ==，故选：A 9．【答案】C 【分析】根据已知条件求得123R h =，243R h =，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为1h ，大球缺的高为2h ，则122h h R +=，①由题意可得：122π12π2Rh Rh =，即：212h h =，②所以由①②得：123R h =，243R h =，所以小球缺的体积23112228ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，大球缺的体积23214480ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以小球缺与大球缺体积之比为313228π78180π2081R V R V ==.故选：C.10【答案】B 【分析】由判别式可解得6k ，由根与系数关系可得121212111331x x k x x x x k k ++===++ ，由k 的范围结合不等式的性质变形可得答案．【详解】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++=1331kk k==++，6k ，∴1106k <，3102k <，故33112k <+，∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23.故选：B 11．【答案】B 【分析】根据二倍角公式得到11tan 10γ=，代入式子得到22111061410hhD d ==++，解得答案.【详解】10sin 211cos 21γγ=+，即220sin cos 10tan 112cos γγγγ==，所以11tan 10γ=，22111061410h h D d ==++，解得66h =，故选：B.12．【答案】B【分析】结合229x y +≥可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线Γ的图象，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由题意得：2290x y +-≥，即229x y +≥，即曲线Γ上的点(),x y 为圆229x y +=上或圆229x y +=外的点，由221033x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得：22133y x -=或229x y +=，由22221339x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得：xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧⎪⎨⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由此可得曲线Γ的图象如下图所示，由图象可知：当()3,m ∈- 时，直线y m =与曲线Γ有四个不同交点；∴实数m的取值范围为()3,- .故选：B.二、填空题13．【答案】11【分析】根据题设的抽取方式，结合随机表法依次写出所得编号，即可得答案.【详解】由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，所以第5个个体的编号为11.故答案为：1114．【答案】2【分析】由题，利用导数及韦达定理可得37a a，后利用等比中项性质可得答案.【详解】()284f x x x '=-+，由题37a a ，是方程2840x x -+=的两个不等实根，则由韦达定理373740,80a a a a =>+=>，所以370,0a a >>又5a 是37a a ，的等比中项且5a 与37a a ，同号，则2555402a a a =>⇒=,.故答案为：2.15．【答案】60︒【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AE //DC ，从而得到∠BAE 或其补角是异面直线AB 与CD 所成的角，从而可解.【详解】如图所示，把展开图恢复到原正方体．连接AE ，BE ．由正方体可得//CE AD 且CE AD =，∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AE //DC ．∴BAE ∠或其补角是异面直线AB 与CD 所成的角．由正方体可得：AB AE BE ==，∴ABE 是等边三角形，∴60=︒∠BAE ．∴异面直线AB 与CD 所成的角是60°．故答案为：60°16．【答案】1【分析】构造函数()x f x e =，设切点为11(,)x y ，设()ln g x x =，设切点为22(,)x y ，结合条件得到12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x =交点的横坐标，利用对称性得出1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而得出12e x x =，12ln x x =，然后计算出12k k ．【详解】设()x f x e =，则()e x f x '=，设切点为11(,)x y ，则11e x k =，则切线方程为111e ()x y y x x -=-，即111e e ()x x y x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以1111e e (1)x x x --=--，所以11e 1x x =，设()ln g x x =，则1()g x x '=，设切点为22(,)x y ，则221k x =，则切线方程为2221()y y x x x -=-，即2221ln ()y x x x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以22211ln (1)x x x --=--，所以22ln 1x x =，则12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x =交点的横坐标，易知()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，而曲线1y x =也关于直线y x =对称，因此点1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而12e x x =，12ln x x =，所以1122e 1x k k x ==．故答案为：1.三、解答题17．【答案】(1)21n a n =+；(2)详见解析.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 关系，即可求解；（2）根据{}n b 通项公式，用裂项相消法求出和n T ，即可证明结论.【详解】（1）由设数列{}n a 的公差为d ，则11393315a d a d +=⎧⎨+=⎩解得2d =，13a =，所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；（2）由21n a n =+，可得111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +===-++++，所以12n n T b b b =+++ 1111111()()()235572123n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦11111()2323646n n =-=-++,又1046n >+，故.18．【答案】(1)12(2)分布列见解析，()87E X =(3)3月3日【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.（2）根据题意得到0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7PX ===，再写出分布列数学期望即可.（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.【详解】（1）令时间A 为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故()3162P A ==.（2）由（1）知：0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7P X ===，X的分布列为：X 012P 174727()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在[]20,25，[)15,20，[)10,15，[)5,10，[)0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530⨯=人，2000.2550⨯=人，2000.360⨯=人，2000.240⨯=人，2000.120⨯=人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19．【答案】(1)26y x =(2)证明见解析【分析】（1）将(6,6)M -代入抛物线即可求解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为,(0)my x t t =-≠，将直线l 与抛物线进行联立可得12126,6y y m y y t +==-，结合OA OB ⊥可得6t =，即可求证【详解】（1）因为抛物线C 过点(6,6)M -，∴2(6)26p -=⨯，解得3p =，∴抛物线C 的标准方程为26y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为,(0)my x t t =-≠，联立26my x ty x =-⎧⎨=⎩，化为2660y my t --=，236240m t ∆=+>，∴12126,6y y m y y t +==-，∵OA OB ⊥，∴()212121236y y OA OB x x y y ⋅=+= 12661036t y y t -⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，0t ≠，16n T <解得6t =，满足236240m t ∆=+>，∴直线l的方程为6my x =-，∴直线过定点()6,0．20．【答案】(1)存在，理由见解析【分析】（1）根据面面平行的判定定理、性质定理分析证明；（2）根据题意结合长方体的外接球可得12AA =，建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）当点D 为AB 的中点时，1O D 平面1A AC ，证明如下：取AB 的中点D ，连接OD ，∵O ，D 分别为BC ，AB 的中点，则OD AC ，OD ⊄平面1A AC ，AC ⊂平面1A AC ，∴OD 平面1A AC ，又∵1OO 1AA ，1OO ⊄平面1A AC ，1AA ⊂平面1A AC ，∴1OO 平面1A AC ，1O O OD O ⋂=，1,O O OD ⊂平面1OO D ，∴平面1OO D 平面1A AC ，由于1O D ⊂平面1OO D ，故1O D ∥平面1A AC .（2）∵BC 是O 的直径，可得90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥，且2BC =，30ABC ∠=︒，故AB =1AC =，又∵1AA ⊥平面ABC ，且,AB AC 平面ABC ，∴11,AA AB AA AC ⊥⊥，即AB ，AC ，1AA 两两垂直，且点1A ，A ，B ，C 可知该球为以AB 、AC 、1AA 则(22221AB AC AA ++=，可得12AA =，以A为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则()0,0,0A，)B ，()0,1,0C ，()10,0,2A ，得)12A B =- ，()10,1,2AC=- ，设(),,n x y z =r 为平面1A BC 的一个法向量，则112020n A B z n A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2x=，则y z =，可得(2,=r n ，且()0,1,0AC = 为平面1A AB 的一个法向量，设二面角1C A B A--为θ，则cos cos ,19AC n AC n AC n θ⋅===uuu r r uuu r r uuu r r ，所以二面角1C A B A --的余弦值为19.21．【答案】（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围；（2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明；②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明.【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221a f x x x '=+++.（1）由()01f '=，可得2202a ++=，8a =-.又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增.故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增，故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立，即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+，即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤，解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<>令：11x k =+，得11ln(111k k +<++，即：12ln()11k k k +>++∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2即证.【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.22．【答案】(1)C 的极坐标方程为2sin22ρθλ=，ππ,Z 2k k θ≠+∈，l的直角坐标方程为40x +=(2)1λ=【分析】（1）消去参数得到C 的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出l 的直角坐标方程；（2）将()π12θρ=∈R 代入C 的极坐标方程，求出,A B 的坐标，得到AB 为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案.【详解】（1）将曲线C 的参数方程x ty tλ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去t ，得C 的普通方程为xy λ=，且因为0t ≠，所以0x ≠，将cos ,sin x y ρθρθ==，ππ,Z 2k k θ≠+∈，代入xy λ=，得2sin cos ρθθλ=，即2sin22ρθλ=，ππ,Z 2k k θ≠+∈，即为C 的极坐标方程，由直线l 的方程πsin 26ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简得1sin cos 222ρθρθ-=，化简得40x +=，即为l 的直角坐标方程.（2）将直线π12θ=代入2sin22ρθλ=，得24ρλ=，即12ρρ==-故以AB 为直径的圆圆心为O，半径r =圆心O 到直线l的距离2d =，由已知得2=，解得1λ=.23．【答案】(1)(0,4)【分析】（1）根据零点分区间，分类求解即可，（2）根据绝对值三角不等关系可得21a =，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当1a =-时，()4f x <等价于|1||3|4x x -+-<，当1x ≤时，13420x x x -+-<⇒-<，则01x <≤，当13x <<时，13424x x -+-<⇒<，则13x <<，当3x ≥时，134244x x x -+-<⇒-<，则34x ≤<，综上所述，不等式()4f x <的解集为(0,4)．（2）()3(3)2f x x a x a x a x a a =+++≥+-+= ，当且仅当()(3)0x a x a ++≤等号成立，min ()|2|2f x a ∴==，即21a =，24()()a m a m n -+= ，∴22241a m n =+=，∴2222222211445()59()n n m mn m m n mn ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当224()()mn mn =，即2()2mn =，即213m =，26n =时，等号成立，故221n m +的最小值为9。