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2016-2017学年广东省惠州市高二(上)期末数学试卷(文科)含解析

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2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是（）A．∀x∈R，sinx＞1 B．∃x∈R，sinx≤1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx≥12．（5分）命题“若a＞2，则a＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知函数y=xsinx，则y'=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx+xcosx D．sinx﹣xcosx4．（5分）“α=30°”是“sinα=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．86．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a+b=（）A．0或﹣7 B．0 C．﹣7 D．1或﹣67．（5分）某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为（）A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.98．（5分）函数f（x）=lnx﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A．11 B．12 C．13 D．1410．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入（均不超过2万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上马云2016年10月份的收入x101（约100亿元），则相对于x、y、z，这101个月收入数据（）A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变C．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变D．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大11．（5分）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．9612．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）函数f（x）=x3﹣2x+1的图象在点x=1处的切线方程是．14．（5分）过抛物线C：y2=8x焦点的直线与C相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=．15．（5分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为．16．（5分）向边长分别为5，5，6的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a∈R，p：关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不等实根；q：方程表示双曲线．若p∨q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若过点P（3，2）的直线l与轨迹E相交于A、B两点，且点P是弦AB的中点，求直线l的方程．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+x（a，b∈R），且f（1）=0，f'（1）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．20．（12分）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m ﹣n|＞1”的概率．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx （a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若a=1时，对于∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．22．（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且椭圆的焦距为2，离心率为e=﹒（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•惠州期末）命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是（）A．∀x∈R，sinx＞1 B．∃x∈R，sinx≤1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx≥1【分析】根据全称命题否定的方法，结合已知中原命题，可得答案．【解答】解：命题：“∀x∈R，sinx≤1”为全称命题，全称命题的否定是特称命题，即∃x∈R，sinx＞1，故选C．【点评】本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题．2．（5分）（2016秋•惠州期末）命题“若a＞2，则a＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据四种命题真假之间的关系进行判断即可．【解答】解：若a＞2，则a＞1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题为：若a＞1，则a＞2，为假命题．，当a=1.5时，满足a＞1，但a＞2不成立，则否命题为假命题，故真命题的个数为2个，故选：B．【点评】本题主要考查四种命题真假关系的判断，根据逆否命题的等价性只需要判断两个命题即可，3．（5分）（2016秋•惠州期末）已知函数y=xsinx，则y'=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx+xcosx D．sinx﹣xcosx【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=xsinx，∴f′（x）=sinx+xcosx．故选C．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．4．（5分）（2016秋•惠州期末）“α=30°”是“sinα=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的值判断即可．【解答】解：因为sin30°=，而sinα=时，可得α=30°+k•360°，k∈Z，或者α=150°+k•360°，k∈Z，则“α=30°”是“sinα=”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义以及三角函数问题，是一道基础题．5．（5分）（2008•上海）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．6．（5分）（2016秋•惠州期末）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a+b=（）A．0或﹣7 B．0 C．﹣7 D．1或﹣6【分析】根据函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，可知f′（1）=0和f（1）=10，对函数f（x）求导，解方程组，注意验证，可求得答案．【解答】解：由f（x）=x3+ax2+bx+a2，得f′（x）=3x2+2ax+b，，即，解得或（经检验应舍去），a+b=4﹣11=﹣7，故选C．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，注意f′（x0）=0是x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属于基础题．7．（5分）（2008•宝坻区一模）某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为（）A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9【分析】由互斥事件的概率加法公式求出此射手在一次射击中超过8环的概率，再利用对立事件的概率计算公式求解．【解答】解：∵射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，∴此射手在一次射击中超过8环的概率为0.2+0.3=0.5，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1﹣0.5=0.5．故选A．【点评】本题考查了互斥事件与对立事件的概率，是基础的运算题．8．（5分）（2013•烟台一模）函数f（x）=lnx﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案．【解答】解：∵（x＞0）∴（x＞0）则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x=1时，f（x）取最大值，f（1）=；故选B【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键．9．（5分）（2016秋•惠州期末）程序框图如图所示，当时，输出的k的值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】模拟程序的运行可得程序框图的功能，用裂项法可求S的值，进而解不等式可求k 的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…≥时k的值，由于：S=+++…=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=，所以：由≥，解得：k≥12，所以：当时，输出的k的值为12．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．10．（5分）（2016秋•惠州期末）已知数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入（均不超过2万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上马云2016年10月份的收入x101（约100亿元），则相对于x、y、z，这101个月收入数据（）A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变C．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变D．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大【分析】这101个月收入数据平均数大大增大，中位数由变为x51，方差变大．【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入（均不超过2万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，马云2016年10月份的收入x101（约100亿元），∴相对于x、y、z，这101个月收入数据平均数大大增大，中位数由变为x51，∴中位数可能不变，方差变大，故选：D．【点评】本题考查平均数、中位数、方差的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意基本概念的合理运用．11．（5分）（2008•四川）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．96【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得||PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为故选C．【点评】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．12．（5分）（2016春•绵阳校级月考）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）【分析】由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），由△ABF2是锐角三角形，知tan∠AF2F1＜1，所以，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e＞，或e＜﹣，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（）．故选B．【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016秋•惠州期末）函数f（x）=x3﹣2x+1的图象在点x=1处的切线方程是x﹣y﹣1=0．【分析】先求切线斜率，即f′（1）=3﹣2=1，然后由点斜式即可求出切线方程．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2，所以x=1，f′（1）=3﹣2=1，即函数y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线斜率是1，所以切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即x﹣y﹣1=0．故答案为x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程问题，函数在某点处的导数为该点处的切线斜率．14．（5分）（2016秋•惠州期末）过抛物线C：y2=8x焦点的直线与C相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=10．【分析】线段AB的中点到准线的距离为6，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为3+2=5，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×5=10．故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，正确运用抛物线的定义是关键．15．（5分）（2016秋•惠州期末）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为=1.10x+4.60．【分析】根据表中数据先求出平均数，再由公式求出a，b的值，即可写出回归直线方程．【解答】解：由题意，计算=×（2+3+5+6）=4，=×（7+8+9+12）=9，b==1.10，且回归直线过样本中心点（，），∴a=9﹣1.10×4=4.60，故所求的回归直线方程为：=1.10x+4.60．故答案为：=1.10x+4.60．【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题，是基础题目．16．（5分）（2016秋•惠州期末）向边长分别为5，5，6的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为1﹣．【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：如图，∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，∴三角形ABC的面积S==12，该点距离三角形的三个顶点的距离均大于1，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为1，则阴影部分的面积为S1=12﹣，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为1﹣．故答案为：1﹣．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•惠州期末）已知a∈R，p：关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不等实根；q：方程表示双曲线．若p∨q为假，求实数a的取值范围．【分析】若p∨q为假，则p与q都为假，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：若p真，则△=4﹣4a＞0，解得：a＜1 …（2分）若q真，则（a﹣3）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜3 …（4分）因为p∨q为假，则p与q都为假…（6分）即，解得a≥3 …（8分）综上a的取值范围为a≥3 …（10分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了根的存在性及个数判断，圆锥曲线方程，复合命题，难度中档．18．（12分）（2016秋•惠州期末）从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）若过点P（3，2）的直线l与轨迹E相交于A、B两点，且点P是弦AB的中点，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）先设出垂线段的中点为M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；（Ⅱ）利用点差法，求出直线的斜率，即可求出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D（x0，0），因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因为点P在抛物线上，所以y02=16x，即4y2=16x，所以y2=4x，所求点M轨迹方程为：y2=4x．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，因为A、B两点都在抛物线E上，则代入作差可得k===1 …（10分）∴直线l的方程为：x﹣y﹣1=0 …（12分）【点评】本题主要考查求轨迹方程的方法，考查点差法的运用，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键，属于中档题．19．（12分）（2016秋•惠州期末）已知函数f（x）=ax3+bx2+x（a，b∈R），且f（1）=0，f'（1）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据合适的单调性求出函数的极值即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax3+bx2+x，得：f′（x）=3ax2+2bx+1，又f（1）=0，f′（1）=0，解得：a=1，b=﹣2，所以f（x）=x3﹣2x2+x，f′（x）=3x2﹣4x+1=（x﹣1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（﹣∞，），（1，+∞）递增，在（，1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x），f′（x）的变化情况如下表：（﹣∞，）（，1）极大值∴x=时，f（x）有极大值，且极大值为f（）=，当x=1，f（x）有极小值，且极小值为f（1）=0．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．20．（12分）（2016秋•惠州期末）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m ﹣n|＞1”的概率．【分析】（Ⅰ）价格在[16，17﹚内的频数为0.32，价格在[16，17﹚内的地区数为16，设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，能计该商品价格的中位数．（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为3，价格在[17，18）的地区数为4，由此能求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．【解答】解：（Ⅰ）价格在[16，17﹚内的频数为1﹣（0.06+0.08+0.16+0.38）=0.32，所以价格在[16，17﹚内的地区数为50×0.32=16，…（2分）设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，解得：x≈15.7（元）估计该商品价格的中位数为15.7．（5分）（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为50×0.06=3，记为x、y、z，价格在[17，18）的地区数为50×0.08=4，记为A、B、C、D，若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz 3种情况，若m，n∈[17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种情况，若m，n分别在[13，14）和[17，18）内时，共有12种情况．（10分）所以基本事件总数为21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种，∴事件“|m﹣n|＞1”的概率P（|m﹣n|＞1）=．…（12分）【点评】本题考查中位数的求法，考查概率的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．21．（12分）（2016秋•惠州期末）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx （a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若a=1时，对于∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，根据参数a讨论函数的单调性，极值点的个数；（2）对于∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立等价转化为：b≤=1+在x＞0上恒成立．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（Ⅰ）f'（x）=a﹣=，当a≤0时，f'（x）在x＞0上恒小于0，f（x）在x＞0上单调递减，此时f（x）没有极值点．当a＞0时，f'（x）在（0，）上为负，在（，+∞）上为正，f（x）在x=处取得极小值，此时f（x）有一个极值点．综上知：当a≤0时，f（x）在定义域内的极值点的个数为0，当a＞0时，在定义域内f（x）的极值点的个数为1．（Ⅱ）a=1，f（x）=x﹣1﹣lnx，对于任意x＞0，f（x）≥bx﹣2恒成立，即为：b≤=1+在x＞0上恒成立．令g（x）=1+，则g'（x）=0得：x=e2．∴g（x）在（0，e2）上为减函数，在（e2，+∞）上为增函数，则g（x）在x=e2时取得最小值为g（e2）=1﹣，∴b≤1﹣．【点评】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，函数的最值以及等价转化问题，属中等题．22．（12分）（2016秋•惠州期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且椭圆的焦距为2，离心率为e=﹒（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（I）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），由已知得：2c=2，=，b2=a2﹣c2，联立解得即可得出．（Ⅱ）符合条件的点M存在，其坐标为．证明如下：假设存在符合条件的点M（m，0），又设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2．分类讨论：①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），与椭圆方程联立化为（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，利用根与系数的关系可得=，对于任意的k值，上式为定值，所以2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m．②当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，x1x2=1，x1+x2=2，y1y2=﹣．由m=，代入得即可得出．【解答】解：（I）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），由已知得：2c=2，=，b2=a2﹣c2，联立解得c=1，b=1，a=．∴椭圆E的方程为+y2=1．（Ⅱ）符合条件的点M存在，其坐标为．证明如下：假设存在符合条件的点M（m，0），又设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2．①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，∴x1+x2=，x1•x2=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[﹣（x1+x2）+x1•x2+1]=﹣．∴=，对于任意的k值，上式为定值，所以2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=，此时=﹣为定值．②当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，x1x2=1，x1+x2=2，y1y2=﹣．由m=，得=1﹣2×+﹣=﹣为定值．综上述①②知，符合条件的点M存在，其坐标为．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

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广东省潮州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 扫描版含答案

广东省潮州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 扫描版含答案

潮州市2016-2017学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、错误！未找到引用源。

. 14、4. 15、-2 . 16、y ＝±2x . 解答提示：1、由特称命题及全称命题的关系可得选B2、双曲线方程为错误！未找到引用源。

是等轴双曲线，离心率错误！未找到引用源。

，反过来，不一定成立，选B3、由等差数列的性质可得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故选A4、由正弦定理得错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

，再由正弦定理可得选C5、因为错误！未找到引用源。

令错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

（舍去），计算错误！未找到引用源。

，得最大值为错误！未找到引用源。

，故选D6、由已知得错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故选D7、由三角形内角和及边角关系，结合正弦定理得选项D 有两解，故选D8、因为错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

16.9、由已知得数列错误！未找到引用源。

是等比数列，由错误！未找到引用源。

可得错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，选A 10、由抛物线方程得焦点坐标错误！未找到引用源。

，准线方程错误！未找到引用源。

，设错误！未找到引用源。

两点的横坐标为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，由线段AB 中点的横坐标为2，选C.11、解法一：错误！未找到引用源。

的斜率为－a2，目标函数在点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率－a 2满足：－1＜－a2＜2⇒－4＜a ＜2，所以参数a 的取值范围是(－4，2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为A (1，0)，B (3，4)，C (0，1)，由于目标函数的最小值仅在A 点处取得，z A ＝a ，z B ＝3a ＋8，z C ＝2，依题意，z A ＝a ＜z B ＝3a ＋8，z A ＝a ＜z C ＝2，所以参数a 的取值范围是(－4，2)，选B12、由错误！未找到引用源。

高二期末考试数学试卷分析

高二期末考试数学试卷分析

高二期末考试数学试卷分析高二期末考试数学试卷分析一、试卷总体情况：本学期期末教学质量检测考试试卷，在试卷形式、结构、分值上与高考试卷保持一致，选择题12个，共60分，填空题4个，共20分，6个解答题，共70分，本试卷共150分。

考查的知识涉及到必修五线性规划，必修二第三、四章，必修三第一章，理科选修2-1及文科1-1第一、二章所有知识。

重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的方法和思维能力的考察。

没有偏,怪和特难试题.一部分题入口容易,但学生会而不全.就试题个体而言不难,整个试卷偏难,运算量过大,学生没有足够的时间去完成,造成学生考试分数较低。

二、考试结果分析1.市文科平均分:x分，市理科平均分:x2.分数段.分数段120~150100~12090~10080~9070~8060~7050~59文科2.31％9.2％7.23％8.18％10.25％12.36％12.13％理科1.76％10.73％11.2％13％14.9％12.89％11.6％3.选择题得分率题号123456789101112理科难度0.740.690.630.810.900.810.620.600.350.650.39文难度0.650.620.710.710.820.740.540.770.630.530.510.394. 填空题和解答题得分率题号二171819202122难度0.280.270.450.310.220.14文难度0.260.390.260.440.220.160.095.结论:文、理科试题偏难,分布结构不合理，易题偏少，填空题偏难得分太低。

三、试题考查的内容和学生失误的分析第1—12题：选择题选择题的难度适中，只有12题较难，中档题多。

第1题错误选A 较多,看成椭圆;第2,8题来自教材错误选B较多;第10题考查双曲线定义；第11题线性规划。

第13—16题：填空题2016—2017学年度市高二上期末考试数学试卷分析第17题：本题主要考查直线与圆位置关系的运算。

广东省清远市2016-2017学年高二上学期期末教学质量检测文科数学试卷Word版含答案

广东省清远市2016-2017学年高二上学期期末教学质量检测文科数学试卷Word版含答案

广东省清远市2016—2017学年度第一学期期末教学质量检测高二文科数学试卷有答案本试卷共4页，共22小题，满分150分,考试用时120分钟。

参考公式：1．锥体的体积公式v=,31sh 其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

2．用最小二乘法求回归方程a x b yˆˆˆ+=的系数b a ˆ,ˆ计算公式： x b y ax n x yx n y x x x y y x x bni i ni ii ni ini i i ˆˆ,)())((ˆ1221121-=-⋅-=---=∑∑∑∑====第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

每小题只有一个选项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中。

）1．已知集合M={x| (x+2)(x-3) ≤0}，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N=A ．{1，3}B ．{﹣3，﹣1，1}C ．{﹣3，1}D ．{﹣1，1，3}2．下列四个命题中真命题为A ．0)1lg(2≥+x B ．52≤ C ．若24x =，则2x = D ．若2x <，则112x > 3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，若第1组随机抽取的号码为m=6，则在第7组中抽取的号码是A ．66B ．76C ．63D ．734．如图是某高二学生自高一至今月考从第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为A ．98B ．94C ．94.5D ．955．如图，四边形ABCD 为距形,1AB BC ==，以A 为圆心，AD 为半径画圆，交线段AB于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段DC 有公共点的概率为ABC ．13D ．236．执行如右图所示的程序框图，则输出s 的值为 A ．21 B ．55C ．91D ．1407．若k R ∈，则“11<<-k ”是“方程11122=-++ky k x 表示椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某产品在某零售摊位的零售价x (单位：元/每个)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如表示：由表可得回归直线方程ˆˆˆya bx =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为A ．26个B ．27个C ．28个D ．29个9．已知x ，y 满足不等式组 2x y 0x 2y 30x 0-≤⎧⎪-+≥⎨≥⎪⎩，则满足条件的P （x ，y ）表示的平面区域的面积等于 A ．41B ．21 C ．43 D ．22 10．设曲线y=11-+x x 在点)2,3(处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a 等于A ．2B ．21C ．21-D ．2-11．椭圆形反光镜满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形反光镜，椭圆满足方程2216428x y +=，点,A B 是它的两个焦点．当光线从点A 出发，经椭圆壁反射后再次回到点A ，此时光线经过的路程可能是A ．32或4或16- B．16+28或16-C ．28或4或16+D ．32或28或412．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的导数，()x f ''是)(x f '的导数，若方程()x f ''=0有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数2332)(23+-=x x x g ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1009910021001g g g =A ．100B ．99C ．50D ．0第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 13．命题“若R x ∈，则112>+x ”的逆否命题是 （3分）；并判定原命题是真命题还是假命题？__________（2分）. 14．抛物线C ：21y x 4=的焦点F 坐标是___________. 15．函数x f(x)=-x+e -m 的单调增区间是___________.16．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗ba ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为_______（2分），此时函数f(x)的最小值为_______（3分）．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2016-2017学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(理科)(a卷)

2016-2017学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(理科)(a卷)

2016-2017学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x0∈A，2x0∈B B．￢p：∃x0∉A，2x0∈BC．￢p：∃x0∈A，2x0∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B2．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件3．（5分）已知，，若，则常数m=（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．94．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（）A．40 B．80 C．160 D．3205．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）C．x2+=1 D．x2+=1（x≠±1）7．（5分）在等比数列{a n}中，若a6=6，a9=9，则a3为（）A．2 B．C．D．48．（5分）《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．++…+＜1C．++…+=1 D．++…+＞19．（5分）若m＜n，p＜q，且（p﹣m）（p﹣n）＜0，（q﹣m）（q﹣n）＜0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是（）A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜q＜n C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜n＜q10．（5分）△ABC的三边长分别是a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC 的外接圆的面积为（）A．25πB．5πC．D．11．（5分）已知lg（x+y）=lgx+lgy，则x+y的取值范围是（）A．（0，1]B．[2，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）12．（5分）已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（）A．4 B．C．2 D．2二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．（5分）已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为．14．（5分）已知关于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为．15．（5分）如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为m．16．（5分）若命题：“∀x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是．17．（5分）已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM 的中点，则点Q的轨迹方程为．18．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为．19．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD，=，=，=，用基底{，，}表示向量=．20．（5分）定义：为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}通项公式为a n=．三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）21．（10分）已知△ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4．（1）若B=，求sinA；（2）若AD=，求BC．22．（10分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？23．（10分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）设数列的前n项之和为T n，求T n．24．（10分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．（1）求证：A1D⊥DC；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．25．（10分）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（3）当点P异于点B时，求证：•为定值．2016-2017学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x0∈A，2x0∈B B．￢p：∃x0∉A，2x0∈BC．￢p：∃x0∈A，2x0∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【解答】解：命题p∈A，2x∈B是全称命题，否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号∈变为∉即可，即为：￢p：∃x0∈A，2x0∉B，故选：C2．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件【解答】解：命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”，故A正确；若p∧q为假命题，则p，q存在假命题，但不一定均为假命题，故B错误；命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1，故C正确；“＜”⇔“x＞2，或x＜0”，故“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故D正确；故选：B3．（5分）已知，，若，则常数m=（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9【解答】解：，，当时，•=0，即﹣3×1+2m+5×3=0，解得m=﹣6．故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（）A．40 B．80 C．160 D．320【解答】解：在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，由a3+a7=a2+a8=2a5，可得5a5=400，a5=80，则a2+a8=160，故选：C．5．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图先将F1D平移到AF，再平移到E1E，∠EE1B为BE1与DF1所成的角设边长为4则，E1E=E1B=，BE=2cos∠EE1B=，故选A6．（5分）设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）C．x2+=1 D．x2+=1（x≠±1）【解答】解：由题意可得：设M（x，y），所以直线AM与直线BM的斜率分别为，，x≠±1．因为直线AM与直线BM的斜率之积为﹣2，所以•=﹣2，化简得：x2+=1．x≠±1所以动点M的轨迹E的方程为x2+=1（x≠±1）．故选：D．7．（5分）在等比数列{a n}中，若a6=6，a9=9，则a3为（）A．2 B．C．D．4【解答】解：在等比数列{a n}中，由a6=6，a9=9，得．故选：D．8．（5分）《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．++…+＜1C．++…+=1 D．++…+＞1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，∵++…+=1﹣＜1，故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，故选：B．9．（5分）若m＜n，p＜q，且（p﹣m）（p﹣n）＜0，（q﹣m）（q﹣n）＜0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是（）A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜q＜n C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜n＜q【解答】解：∵（q﹣m）（q﹣n）＜0，∴m，n一个大于q，一个小于q．∵m＜n，∴m＜q＜n．∵（p﹣m）（p﹣n）＞0，∴m，n一个大于p，一个小于p．∵m＜n，∴m＜p＜n．∵p＜q，∴m＜p＜q＜n．故选：A．10．（5分）△ABC的三边长分别是a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC 的外接圆的面积为（）A．25πB．5πC．D．=2，a=1，B=45°，【解答】解：∵S△ABC∴acsinB==2，解得：c=4，∴由余弦定理可得：b===5，∴2R=，=πR2=．∴S外接圆故选：C．11．（5分）已知lg（x+y）=lgx+lgy，则x+y的取值范围是（）A．（0，1]B．[2，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）【解答】解：由题意，lg（x+y）=lgx+lgy，得lg（x+y）=lg（xy）∴x+y=xy，且x ＞0，y＞0．∴y=＞0，∴x＞1那么：x+y=x+=（x﹣1）++2≥=4当且仅当x=2时取等号．∴x+y的取值范围是[4，+∞），故选：D．12．（5分）已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（）A．4 B．C．2 D．2【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S△IPF1=|PF1|•|IF|=|PF1|r，S△IPF2=|PF2|•|IG|=|PF2|r，S△IF1F2=|F1F2|•|IE|=|F1F2|r，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．=S△IPF1﹣S△IF1F2，∵S△IPF2∴|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|，两边约去得：|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=c⇒离心率为e==．故选B．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．（5分）已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为（0，）．【解答】解：抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），可得a=4，抛物线的标准方程为：x2=y，则焦点坐标为：（0，）．故答案为：（0，）．14．（5分）已知关于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为（1，2）．【解答】解：不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，当1∉P时，（1﹣a）（1+1﹣a）＜0，即（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得1＜a＜2；所以实数a的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．15．（5分）如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为8m．【解答】解：设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L=x+2y≥2=8，当且仅当x=2y=4时取等号；篱笆总长度最小为：8m．故答案为：8．16．（5分）若命题：“∀x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是[﹣4，0] ．【解答】解：当a=0时，﹣1≤0 成立；当a≠0时，则⇒﹣4≤a＜0综上：实数a的取值范围是[﹣4，0]故答案为：[﹣4，0]．17．（5分）已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM 的中点，则点Q的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=．【解答】解：设Q（x，y），P（a，b）由M（2，0），Q为线段PM的中点故有a=2x﹣2，b=2y又P为圆x2+y2=1上一动点，∴（2x﹣2）2+（2y）2=16，整理得（x﹣1）2+y2=，故Q的轨迹方程是（x﹣1）2+y2=．故答案为：（x﹣1）2+y2=．18．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为y=±2x．【解答】解：∵焦点F（c，0）到渐近线y=x的距离等于实轴长，∴=2a，∴b=2a，即有双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：y=±2x．19．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD，=，=，=，用基底{，，}表示向量=．【解答】解：====+=+=．故答案为：．20．（5分）定义：为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}通项公式为a n=6n﹣4．【解答】解：设数列{a n}的前n项和为s n，由已知可得，∴，当n≥2时，；当n=1时，a1=s1=2适合上式，∴a n=6n﹣4．故答案为：6n﹣4三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）21．（10分）已知△ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4．（1）若B=，求sinA；（2）若AD=，求BC．【解答】解：（1）由正弦定理，可得sinC==，∵0＜C＜π，∴cosC=，∴sinA=sin（B+C）==；（2）设BC=2x，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=，△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC=，∴=﹣，∴x=，∴BC=2．22．（10分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？【解答】解：设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元；则由题意得，；z=1600x+2400y；故作平面区域如下，故联立，解得，x=5，y=12；此时，z=1600x+2400y有最小值1600×5+2400×12=36800元．答：应配备A型车5辆、B型车12辆，营运成本最小，36800元．23．（10分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）设数列的前n项之和为T n，求T n．【解答】解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c．∵a1，a2，a3成等比数列，∴（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2．∵c≠0，∴c=2．（2）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，a n﹣a n﹣1=（n﹣1）c，∴a n﹣a1=[1+2+…+（n﹣1）]c=．又a1=2，c=2，故有a n=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．当n=1时，上式也成立．∴a n=n2﹣n+2（n=1，2）．（3）令．T n=b1+b2+b3+…+b n=0++2×+3×+…+（n﹣1）①T n=0++2×+…+（n﹣2）+（n﹣1）②①﹣②得．24．（10分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．（1）求证：A1D⊥DC；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解答】证明：（1）∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．∴由题意知EA1，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，由题意得DE=2，从而A1（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2），D（0，0，2），∴=（﹣2，0，2），=（0，4，0），∵•=0，∴A1D⊥DC．解：（2）平面A1BE的一个向量=（0，0，1），=（2，﹣2，0），=（0，2，2），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则=（﹣，﹣，1），∴cos＜＞==，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣．（3）若存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），=（﹣2，0，2），设平面A1DP的法向量=（a，b，c），则，令c=λ，则=（），则平面A1BC法向量=（﹣，1），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴=﹣3λ﹣3+λ=0，解得λ=﹣，与0≤λ≤1矛盾，∴在线段EB上存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．25．（10分）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（3）当点P异于点B时，求证：•为定值．【解答】解：（1）∵过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，解得a=2，b=，c=，∴椭圆的方程为．（2）椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程化简，得，解得，代入直线l的方程，得，y 2=﹣，∴|CD|==．证明：（3）当直线l与x轴垂直时，∵椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），∴AC∥BD，与题意不符．设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠），代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0，解得，代入直线l的方程，得，，∴D（），∴k BD=====，∴直线BD的方程为y=（x+2），又直线AC的方程为，联立，得，∴Q（﹣2，2k+），又由l方程得P（﹣，0），∴=（﹣）•（﹣2，2k+）=4．∴•为定值4．。