宁夏银川一中2020届高三第四次月考数学(理)试题 Word版含答案

银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， 函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。

银川一中2014届高三年级第四次月考数 学 试 卷（理）命题人：尹向阳、尹秀香第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i ii z (1)1(2+-=为虚数单位)的虚部为 A ．1 B. -1 C. 1± D. 02．设集合{}312|A ≤-=x x ，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则=⋂B A A ．)2,1( B. ]2,1[ C. )2,1[D. ]2,1(3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3513,2a a a ==,则=9S.A 72- .B 54- .C 54 .D 724．设a 为实数，函数x a ax x x f )3()(23-++=的导函数为)(x f '，且)(x f '是偶函数，则曲线：)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 A. 0169=--y x B. 0169=-+y x C. 0126=--y x D. 0126=-+y x5．已知幂函数)(x f y =的图像过点()2,4，令)()1(n f n f a n ++=，+∈N n ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，则n S =10时，n 的值是A. 110B. 120C. 130D. 1406．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，点E 为BC 的中点， 点F 在边CD 上，若2=⋅，则⋅的值是A.2 B. 2 C. 0 D. 17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><） 的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象， 则只需将()f x 的图象 A. 向右平移π6个长度单位 B. 向右平移π12个长度单位 C. 向左平移π6个长度单位 D. 向左平移π12个长度单位 8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是A．0≥a B．2-≤a C．25-≥a D．3-≤a9．若54cos-=α，α是第三象限的角，则2tan12tan1αα-+等于A．21- B.21C. -2D. 210．函数lnx xx xe eye e---=+的图象大致为A. B. C. D.11．若函数)0,0(1)(>>-=baebxf ax的图象在0x=处的切线与圆221x y+=相切，则a b+的最大值是A．4 B.2 C.2 212．定义域为R的偶函数)(xf满足对x R∀∈，有)1()()2(fxfxf-=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=xxxf，若函数)1|(|log)(+-=xxfya在),0(+∞上至少有三个零点，则a的取值范围是A．)22,0(B．)33,0(C．)55,0(D．)66,0(第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥4341yxyxx，则目标函数yxz-=3的最大值为.14．已知数列{}n a的前n项和为2nS n=，某三角形三边之比为234::a a a，则该三角形最大角为_____________.15．设函数)0(2)(>+=xxxxf，观察：2)()(1+==xxxfxf，43))(()(12+==xxxffxf，87))(()(23+==x xx f f x f ，……根据以上事实，由归纳推理可得：当2≥∈*n N n 且时，==-))(()(1x f f x f n n .16．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21nnS a nn=⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f .三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

第4单元 生活告诉自己“我能行” 第7课 做自尊自信的人 第1框 做人要自尊 1.了解自尊及其表现，明确自尊的重要性，掌握赢得自尊的途径和方法,并能时刻用正确的言行维护自己的人格和国家的国格，做一个有自尊的人。

2.提高自己自强自立的能力，能用行动为自己赢得自尊。

3.初步认同自尊自信是积极、健康的心理品质，能将自己的行为与之进行对照，能够从典型的事例中受到感染和启发，树立培养自己正确自尊心和充分自信心的意识。

? 板块一:自尊无价 寒假里，我和同学到福利院去帮助孤寡老人，受到了老人们的赞扬，心里美滋滋的。

在公共场所，我会约束自己的行为，注意自己的形象。

有人当众叫我的绰号，我很恼怒。

我在学习有了很大进步，希望老师表扬我。

如果老师让我在校会上发言，我会穿戴得整整齐齐，并做好充分的准备。

自己有过类似的经历和感受吗？ 描述一下自己在哪些场合有着强烈的自尊心？ 在家里，父母们常常告诫孩子要有自尊心；在学校，老师们常常教育学生要自尊、自爱；在生活中，我们也常常听到人们议论，说某人自尊心太强等等。

可见，自尊是一种很常见的心理现象。

那么，究竟什么是自尊呢？ 自尊是一种健康良好的心理状态。

完成下列句子 如果下周一我代表全校学生做国旗下讲话，我会在衣着上穿得____。

在学生阅览室，我会遵守秩序、保持安静，是因为____。

班主任老师当着全班同学的面批评我时，我会觉得___。

当我考试不及格，受到同学的嘲笑时，我会觉得____。

有人给我起难听的外号，并当众取笑时，我会觉得___。

“士可杀而不可辱”说明的道理是________。

自尊的表现之一 人人都有自己的尊严，并注意维护。

因此，人们在容貌、衣着上修饰自己，在言行举止上约束自己，不容许别人的歧视与侮辱。

这体现了自我尊重和爱护。

遇到下列情形时，你会怎样呢？为什么? 当我的建议被老师采纳的时候，我会觉得_____。

当我期末考试成绩名列前茅的时候，我希望___。

银川市一中2020届高三（上）第四次月考数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3+i，则z1z2＝（）A．10B．﹣10C．﹣9+i D．﹣9﹣i3．（5分）已知向量，若，则x＝（）A．B．1C．2D．34．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a6＝23，S5＝35，则{a n}的公差为（）A．2B．3C．6D．95．（5分）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m⊂α，α∥β，则m∥βC．若n⊥β，α⊥β，则n∥αD．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β6．（5分）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（）A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演7．（5分）函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．8．（5分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝（）A．4B．C．2D．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝2x﹣y的最大值为3，则实数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．210．（5分）如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．8πC．9πD．11．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cos2（）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．[]C．（]D．（）12．（5分）若x，a，b均为任意实数．且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）A．3B．18C．3﹣1D．19﹣6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则b＝．14．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+）+1，若f（a）＝2，则f（﹣a）＝．15．（5分）已知函数f（n）＝n2cos（nπ），且a n＝f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a20＝．16．（5分）已知四边形ABCD为矩形，AB＝2AD＝4，M为AB的中点，将△ADM沿DM折起，得到四棱锥A1﹣DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题：①BN∥平面A1DM，且BN的长度为定值；②三棱锥N﹣DMC的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C．其中正确命题的序号为．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题.（一）必考题：共60分17．（12分）已知函数，x∈R，A＞0，．y＝f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），，求A的值．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，nS n+1＝（n+1）S n+2n（n+1）．（1）证明数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设，求b n．19．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD＝60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM＝6．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x+a（x+1）2（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣k|+|x+2|（k∈R），g（x）＝|2x+m|（m∈Z）．（1）若关于x的不等式g（x）≤1的整数解有且仅有一个值﹣4，当k＝2时，求不等式f （x）≤m的解集；（2）若h（x）＝x2﹣2x+3，若∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）≥h（x2）成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3+i，则z1z2＝（）A．10B．﹣10C．﹣9+i D．﹣9﹣i【分析】由已知条件看求出z2，然后代入z1z2计算得答案．【解答】解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3+i，∴z2＝﹣3+i，则z1z2＝（3+i）（﹣3+i）＝﹣10．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）已知向量，若，则x＝（）A．B．1C．2D．3【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出x的值．【解答】解：向量，若，则•（﹣）＝0，即﹣•＝0，所以（22+32）﹣（2x+3×4）＝0，解得x＝．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的计算问题，是基础题．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a6＝23，S5＝35，则{a n}的公差为（）A．2B．3C．6D．9【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式可得S5＝＝5a3＝35，解可得a3＝7，进而可得a6＝16，结合等差数列的通项公式分析可得d＝＝3；即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，S5＝35，则有S5＝＝5a3＝35，解可得a3＝7，又由a3+a6＝23，则a6＝16，则公差d＝＝3；故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m⊂α，α∥β，则m∥βC．若n⊥β，α⊥β，则n∥αD．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由面面平行的性质定理得m∥β；在C中，n∥α或n⊂α；在D中，α与β不一定垂直．【解答】解：由m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊂α，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥β，故B正确；在C中，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．6．（5分）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（）A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演【分析】由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，即可得出结论．【解答】解：由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选：C．【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．7．（5分）函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】判断f（x）的单调性，再根据f（x）在（0，）上的函数值的符号得出答案．【解答】解：f（x）＝（﹣1）cos x＝cos x，f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cos x＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x＜时，e x＞1，cos x＞0，∴f（x）＝cos x＜0，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题．8．（5分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝（）A．4B．C．2D．【分析】把m＝2sin18°代入，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．【解答】解：由题意，2sin18°＝m＝，∴m2＝4sin218°，则＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝2x﹣y的最大值为3，则实数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，由z＝2x﹣y得：y＝2x﹣z，显然直线过A（2﹣m，﹣m）时，z最大，代入求出m的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2﹣m，﹣m），由z＝2x﹣y得：y＝2x﹣z，显然直线过A（2﹣m，﹣m）时，z最大，∴2（2﹣m）+m＝3，解得：m＝1，故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．10．（5分）如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．B．8πC．9πD．【分析】作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径，即可求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：该几何体为三棱锥A﹣BCD，设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，依题意，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．故选：D．【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥与外接球的关系，作出直观图是解题关键．11．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cos2（）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．[]C．（]D．（）【分析】求出f（x）的含有0的单调增区间和取得最大值时对应的最小正数解，列出不等式组得出ω的值．【解答】解：∵2cos2（）＝1+cos（ωx﹣）＝1+sinωx，f（x）＝sinωx（1+sinωx）﹣sin2ωx＝sinωx．令ωx＝+2kπ可得x＝+，∵f（x）在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，∴0≤≤π，解得ω≥．令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，解得：﹣+≤x≤+，∵f（x）在区间[]上是增函数，∴，解得ω≤．综上，．故选：B．【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．12．（5分）若x，a，b均为任意实数．且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）A．3B．18C．3﹣1D．19﹣6【分析】由题意可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径的圆上，（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程求得切点，圆心和切点的距离d，可得距离的最小值为d﹣r，可得所求值．【解答】解：（a+2）2+（b﹣3）2＝1，可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径r的圆上，（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，可得•＝﹣1，即有lnm+m2+2m＝3，由f（m）＝lnm+m2+2m在m＞0递增，且f（1）＝3，可得切点为（1，0），圆心与切点的距离为d＝＝3，可得（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（3﹣1）2＝19﹣6，故选：D．【点评】本题考查两点的距离的运用，圆的方程和运用，考查导数的几何意义，以及转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则b＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A，sin B的值，进而利用正弦定理可求b的值．【解答】解：因为，且A，B为三角形内角；∴sin A＝＝，sin B＝＝；∴由正弦定理可得：b＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+）+1，若f（a）＝2，则f（﹣a）＝0．【分析】设g（x）＝ln（x+），结合对数函数的性质，得到g（x）是奇函数，结合函数值的关系进行计算即可．【解答】解：设g（x）＝ln（x+），则g（﹣x）+g（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝ln（﹣x+）（x+）＝ln（x2+1﹣x2）＝ln1＝0，则g（﹣x）＝﹣g（x），则f（x）＝g（x）+1，若f（a）＝2，则f（a）＝g（a）+1＝2，则g（a）＝1，则f（﹣a）＝g（﹣a）+1＝﹣g（a）+1＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数值的计算，结合条件构造函数，判断g（x）的奇偶性是解决本题的关键．难度不大．15．（5分）已知函数f（n）＝n2cos（nπ），且a n＝f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a20＝﹣20．【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：函数f（n）＝n2cos（nπ），且a n＝f（n）+f（n+1），则：，故：，，…所以：，则：a1+a2+…+a20＝1+2﹣2﹣3+3+4+…﹣21﹣20＝﹣20 故答案为：﹣20．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．（5分）已知四边形ABCD为矩形，AB＝2AD＝4，M为AB的中点，将△ADM沿DM折起，得到四棱锥A1﹣DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题：①BN∥平面A1DM，且BN的长度为定值；②三棱锥N﹣DMC的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C．其中正确命题的序号为①②．（写出所有正确结论的序号）【分析】分别延长DM，CB交于H，连接A1H，由中位线定理和线面平行的判定定理，以及余弦定理可判断①；当平面A1DM⊥平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，结合棱锥的体积公式，计算可得所求最大值，可判断②；由线面垂直的判断和性质可判断③．【解答】解：分别延长DM，CB交于H，连接A1H，由M为中点，BM＝CD，可得B为CH的中点，可得BN为△A1CH的中位线，可得BN∥A1H，BN⊄平面A1DM，A1H⊂平面A1DM，可得BN∥平面A1DM，且BN＝A1H，在△A1DH中，A1M＝2，MH＝2，∠A1MH＝135°，则A1H＝＝2，即有BN＝，故①正确；当平面A1DM⊥平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，且为，此时N到平面DMBC的距离最大，且为，△DMC的面积为×2×4＝4，可得三棱锥N﹣DMC的最大体积为×4×＝，故②正确；若DM⊥A1C，又DM＝CM＝2，CD＝4，可得DM⊥MC，则DM⊥平面A1CM，即有DM⊥A1M，这与DM为斜边矛盾，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查棱锥的体积的计算，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题.（一）必考题：共60分17．（12分）已知函数，x∈R，A＞0，．y＝f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），，求A的值．【分析】（I）由已知函数，我们易求出函数的最小正周期，又由P的坐标为（1，A），我们易构造出一个关于φ的三角方程，结合解三角方程即可求出φ值．（II）根据（I）的结论及R的坐标，和，利用余弦定理我们易构造出一个关于A的方程，解方程即可得到A的值．【解答】解：（I）由题意得，T＝＝6∵P（1，A）在函数的图象上∴＝1又∵∴φ＝（II）由P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），结合（I）可知点Q的坐标为（4，﹣A）连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝可得，∠QRX＝，作QM⊥X轴于M，则QM＝A，RM＝3，所以有tan＝＝＝∴A＝【点评】本题考查的知识点是函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知中条件构造关于参数A，φ是解答本题的关键．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，nS n+1＝（n+1）S n+2n（n+1）．（1）证明数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设，求b n．【分析】（1）将等式两边同除以n（n+1），运用等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得，运用数列的分组求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）证明：由nS n+1＝（n+1）S n+2n（n+1），得，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，即，当n≥2时，，由于a1＝2也满足此式，所以{a n}的通项公式a n＝4n﹣2；（2）由a n＝4n﹣2得，所以b n＝a2+a4+a8+…＝（23﹣2）+（24﹣2）+（25﹣2）+…+（2n+2﹣2）＝（23+24+25+…+2n+2）﹣2n＝．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式，数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题．19．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD＝60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM＝6．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出OD⊥AC，DO⊥OM，从而OD⊥面ABC，由此能证明平面ODM ⊥平面ABC．（Ⅱ）由OD⊥OC，OB⊥OC，OB⊥OD，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，∴AD＝DC，OD⊥AC，△ADC中，AD＝DC＝12，∠ADC＝120°，∴OD＝6，又M是BC中点，∴，∵OD2+OM2＝MD2，∴DO⊥OM，∵OM，AC⊂面ABC，OM∩AC＝O，∴OD⊥面ABC，又∵OD⊂平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…（6分）解：（Ⅱ）由题意，OD⊥OC，OB⊥OC，又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：故，设平面MAD的法向量，则，即，令，则x＝3，z＝9∴由条件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量为所以，由图知二面角M﹣AD﹣C为锐二面角，故二面角M﹣AD﹣C的余弦值为．（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．【分析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM∥平面SCD．（Ⅱ）求出面SCD的一个法向量和平面SAB的一个法向量，利用向量法能求出平面SCD 与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．（Ⅲ）求出平面SAB的一个法向量，由平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为．能求出x＝时，sinθ取得最大值，且（sinθ）max＝．【解答】证明：（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），∴＝（0，1，1），＝（1，0，2），＝（﹣1，﹣2，0），设平面SCD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（2，﹣1，1），∴＝0，即⊥，∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）取平面SAB的一个法向量＝（1，0，0），则cos＜＞＝＝＝，∴平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为．（Ⅲ）∵直线CD：y＝2x﹣2，设N（x，2x﹣2，0），x∈[1，2]，则＝（x，2x﹣3，﹣1），平面SAB的一个法向量＝（1，0，0），∴sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，当，即x＝时，sinθ取得最大值，且（sinθ）max＝．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x+a（x+1）2（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜0时，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（2）由（1）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由f（x）＝xe x+a（x+1）2，可得f′（x）＝（x+1）e x+2a（x+1）＝（x+1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞﹣1；由f′（x）＜0，可得x＜﹣1，即有f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增；②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝﹣1或x＝ln（﹣2a）；若a＝﹣，则f'（x）＝（x+1）（e x﹣e﹣1），当x≤﹣1时，f′（x）≥0，当x＞﹣1时，f'（x）＞0；∴∀x∈R，f'（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，则ln（﹣2a）＞﹣1；由f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（﹣1，ln（﹣2a））递减；若0＞a＞﹣，则ln（﹣2a）＜﹣1，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞﹣1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜﹣1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（﹣1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），﹣1）递减．（2）①由（1）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增，且f（﹣1）＝﹣，f（0）＝a，取b满足b＜﹣1且b﹣2＜ln．则f（b﹣2）＞（b﹣2）+a（b﹣1）2＝a（b2﹣b）＞0，∴f（x）有两个零点；②当a＝0时，f（x）＝xe x，所以f（x）只有一个零点x＝0；③当a＜0时，若a＜﹣时，由（1）知f（x）在（﹣1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤﹣1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，由（1）知，f（x）在（﹣1，+∞）单调增，又当x≤﹣1时，f（x）＜0，故f（x）不存在两个零点；综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l 的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝2．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因为，又因为|OP|2＝|OR|•|OQ|，即，∴，∴ρ＝．【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣k|+|x+2|（k∈R），g（x）＝|2x+m|（m∈Z）．（1）若关于x的不等式g（x）≤1的整数解有且仅有一个值﹣4，当k＝2时，求不等式f （x）≤m的解集；（2）若h（x）＝x2﹣2x+3，若∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）≥h（x2）成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）直接利用分类讨论思想对绝对值不等式的解法进行应用．（2）对函数的恒成立问题的应用，求出参数的取值范围．【解答】解：（1）由g（x）≤1有，|2x+ml≤1，整理得：，由题意，，解得7＜m＜9，因m∈Z，则m＝8，当k＝2时，．不等式f（x）≤8等价于或或即﹣4≤x＜﹣2，或﹣2＜x≤2，或2＜x≤4，从而可得﹣4≤x≤4，故不等式f（x）≤8的解集为[﹣4，4]（2．因为f（x）＝|x﹣k|+|x+2|≥|（x﹣k）﹣（x+2）|＝|k+2|，h（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，x∈（0，+∞），则h（x）min＝h（1）＝2，∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）≥h（x2）成立，则|k+2|≥2，解得k≤﹣4，或k≥0，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【点评】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的恒成立问题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。

数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1.解析：由图可得，在复平面内，()2,1A -，()1,1B -，则12i z =-+，21i z =- ，所以()()122i 1i 13i z z =-+-=-+，所以12z z =选D.2.解析：由210x ->得11x -<<，所以{}11A x x =-<<，函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以)(0,1A B =I ，选A.3.解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元；5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选C ．4.解析：1n =时，113a S λ==+2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S λλ---=-=+-+=⋅因为{}n a 是等比数列，1a 适合n a ，所以0323λ+=⨯，1λ=-，选B .5.解析：因为()f x 为奇函数，所以()010f a =+=，所以1a =-，故()e e x x f x -=-，故()e e x x f x -'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f '==，则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =，故选.C6.解析：1111222223BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1115()2336BA AC AB AC AB =+-=-u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选D.7.解析：由俯视图可知侧视图是宽为2，高为2的矩形，所以侧视图面积为4+选B ．8.解析： 因为1OF =，由抛物线的定义可得14M MF x =+=，所以点M 的坐标为()323±，，所以△MOF 的面积为11123322MOF y ⋅=⨯⨯=，选A ．9.解析：由已知得：()0f x =时有两个实数根，只有()f x a =-有三个实数根，由图可知：a 的取值范围是104⎛⎫- ⎪⎝⎭，，选B.10.解析：如图设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是132232⨯⨯⨯=，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即23232233ππ⨯-=-，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是332232(3)ππ=--，选B ．11.解析：由题意可得，如图，平面AEF 截该正方体所得的截面为平面1AD EF ，2EF =，122AD =，等腰梯形1AD EF 的高为2，所以132+2292==2EFAD S 四边形（）.选D . 12.解析:由题意可知1212224PF PF F A F A OA a -=-===，2OA =,延长2F B 交1PF M 于PI 是角平分线，2PI F B ⊥,所以三角形△2PMF 为等腰三角形，2PM PF =,所以B 为2MF 的中点，12124PF PF MF a -===，所以1122OB MF ==，所以1OB OA =，选A . 二、填空题13.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线3y x z =-经过点()21A -，时，直线的截距最大，此时z 最小，最小值为7-. 14.解析：由1323n n n a a a +=+，得11123n n a a +=+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，111221(1)33n n n a a +=+-⨯=，321n a n =+，所以 715a =.15.解析：直接法，1女3男，又分为含女医生甲和不含女医生甲两种情况：有31342524C C C +=，2女2男，有2212252422C C C C +=，3女1男，144C =，根据分类计数原理可得，共有22+244=50+16.解析：由题意对任意10,2x ∈（），存在[]21,2x ∈，使()12()f x g x ≥，则()12min min ()f x g x ≥所以()2(1)(3)4x x f x x --'=-，可得()1min 12f x =-，()[]222=2+4=()+4,1,2g x x bx x b b x ---∈，若2b ≥，()()min =2=84g x g b -，所以1842b -≤-，即178b ≥满足，若12b <<，()()2min ==4g x g b b -，所以21323242b b b -≤-≥≤，即，不满足舍去，若1b ≤，()()min =1=52g x g b -，所以1115224b b -≤-≥，即，不满足舍去，所以178b ≥三、解答题 （一）必考题17.解：（1）由21cos ADC ∠=27sin ADC ∠ 所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠ 273211212==………6分 （2）在△ABD 中，sin sin AB ADADB B =∠，所以21AD =在△ACD 中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠21214221213=+-= 所以13AC18.（1）证明：因为DCGH 为矩形，所以CG CD ⊥，又CG AD ⊥，所以CG ⊥平面ADC ，故CG AC ⊥，因为AEFBCD 为正六边形，所以120ADC DCB ∠=∠=o ， 故30DCA ∠=o ，所以90ACB ∠=o ，即AC CB ⊥， 又因为CG CB C =I ,所以AC ⊥平面BCG ， 因为AC ⊂平面ACG ，所以平面ACG ⊥平面BCG . ………5分(2)解： 连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，因为AG ∥平面BMD ，且平面BMD ∩平面ACG MN =，所以AG ∥MN ，所以12CM CN MG NA ==，所以2MG =，所以3CG =，由（1）知；AC CB ⊥，CG ⊥平面ABC ，故以向量CA u u u r ，CB u u u r，CG u u u r 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()A ，()0,4,0B ,()0,0,1M,()2,3H -,所以()AB =-u u u r，()2,3AH =--u u u u r，()0,4,1BM =-u u u u r ，设(),,n x y z =r 为平面AHB 的一个法向量，则23040n AH y z n AB y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r u u u u rr u u u r可取)n =r，设直线BM 与平面AHB 所成角为θ，所以||,sin |cos |BM n BM n BM n θ⋅=〈〉==⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ， 即直线BM 与平面AHB 所成角的正弦值为………12分 19. 解析：（1）直线l ：0(0)kx y k k --=≠过定点(1,0)N 由条件可得||||QN QP =，又||||4QM QP += 所以 ||||4QM QN +=根据椭圆定义：动点Q 的轨迹是椭圆 且24a =，2a =，1c =，b故C 的方程为：22143x y +=. …......4分（2）直线l：(1)(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设1122()()A x y B x y ，、，， 则 2122834k x x k +=+， ①212241234k x x k -⋅=+. ② ………6分 因为D 为AE 的中点，且22()D x y -，， 因为1202()y y +=-，122y y =-，所以1212(1)2(1)23k x k x x x -=--⇒=-+， ③ ………9分① 、③联立得22122249493434k k x x k k -+==++，，代入②得222122224949412343434k k k x x k k k-+-⋅=⨯=+++，254k k ==， 所以直线l的方程为1)2y x =±-.………12分 20. 解析：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．∵()()()()5131000316i i i x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，===∴相关系数()()5ii xx y y r --0.95==≈． ∵0.75r >，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元． ②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=（元）， ()1020000.250P Y ===， 当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=（元）， ()4060000.850P Y ===， 故Y 的分布列为∴20000.260000.85200EY =⨯+⨯=（元）．③安装3台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=（元），()1010000.250P Y ===， 当5070X ≤≤时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=（元），()3550000.750P Y ===， 当3050X <<时，3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=（元）， ()590000.150P Y ===， 故Y 的分布列为∴10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=（元）．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪．21. 解：（1）因为()f x 的最小值为0，故对任意R x ∈，()0f x ≥即20x ax b -+≥恒成立，且存在实数0x 使得()()02000e 0x f x x ax b =-+⋅=，即2000x ax b -+=能成立， 故关于x 的一元二次方程20x ax b -+=根的判别式240a b ∆=-=，故24a b =，故()22e4xa f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，则()22(2)e 2e 422x x a a a f x x a x a x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-+-⋅=-+⋅-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若22a x <-或2a x >，则()0f x '>，故()f x 在(,2)2a -∞-和(,)2a+∞上单调递增，若222a a x -<<，则()0f x '<，故()f x 在(2,)22a a-上单调递减， 故22ax =-是()f x 的唯一极大值点，则2224e 4e 2aa f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，解得6a =， 故()f x 的单调减区间为[1,3].（写成()1,3，(]1,3，[)1,3均可得分） ……… 6分（2）不妨设12x x <，由（1）可知，()22e 4x a f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭的极大值点122ax =-，极小值点22ax =， 又()2214ea f x -=，2()0f x =，故要证：()()121228f x f x a x x a -<--，即证224e 028222aaa a a --<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即证2222e8a aa --<-，即证222222e 842222a a a a a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，对任意4a <恒成立， 构造函数()()2e 2x F x x x =-++，0x ≤，令()()()1e 1x g x F x x '==-+，则()e 0x g x x '=⋅≤，故()g x 在(],0-∞上单调递减，又()00g =，故()()0g x F x '=≥， 故()F x 在(],0-∞上单调递增，又()00F =，故()0F x ≤， 即()2e 20x x x -++≤对任意0x ≤恒成立，即2e 2x xx+>-对任意0x <恒成立， 特别地，取202ax =-<，则有22222e 222a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>⎛⎫-- ⎪⎝⎭成立，故原不等式成立. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

银川一中高三年级第四次月考数 学 试 卷（理）.11命题人：尹向阳审 核：蔡 炜第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．i 为虚数单位，复平面内表示复数iiz +-=2的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=x x N x x M ，则N M ⋂=( ) A ．φ B ．}0|{<x x C ．}1|{<x x D ．}10|{<<x x 3．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是( )4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a =( ) A ．21B ．22 C ．2 D ．25．已知变量x 、y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z 23+=的最大值为( )A ．-3B ．25C ．-5D ．46．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( ) A ．012=+-y x B ．012=-+y x C ．022=-+y x D ．022=+-y x7．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，只需把函数x x y 2cos 2sin -=的图像( ) A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位 8．关于直线n m 、与平面βα、，有以下四个命题：①若βαβα////,//且n m ，则n m // ②若n m n m //,,//则且βαβα⊥⊥ ③若n m n m ⊥⊥，则且βαβα////, ④若n m n m ⊥⊥⊥⊥则且,,βαβα 其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[0，1]B ．[3，5]C ．[2，3]D ．[2，4]10.设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是( ) A. -1 B. 2 C. 1 D.-211.△ABC 中，∠A=60°,∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且)(31R AB AC AD ∈+=λλ，则AD 的长为( )A ．1B ．3C ．32D ．312.在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A ．68 B ．π6 C ．24π D ．6π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

数学（理）试卷卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1、已知集合{}31M x x =-<<，{}3,2,1,0,1N =---，则M N I 等于 A ．{}2,1,0,1-- B ．{}3,2,1,0--- C ．{}2,1,0-- D ．{}3,2,1--- 2、复数534i-的共轭复数是 A ．34i - B ．3455i - C ．34i + D ．3455i + 3、已知{}n a 是等差数列，若1598a a a π++=，则37cos()a a +的值为 A ．32 B ．32- C ．12D ．12-4、已知2x >-，则12x x ++的最小值为 A ．12- B ．1- C ．0 D ．15、某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为A ．8B ．10C ．20D ．246、用数学归纳法证明12(21)(1)(21)n n n ++++=++L ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是A ．1B ．1+2C ．1+2+3D ．1+2+3+4 7、设(,1,2)a m =-r ，(3,4,)b n =-r ，若//a b r r，则m ，n 的值分别为 A ．3,84 B ．3,84-- C ．3,84- D ．3,84- 8、已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()xg x a b =+的图象A ．B ．C ．D ．9、若等比数列{}n a 满足1310a a +=，4654a a +=，则数列{}n a 的公比q 为 A ．14 B ．12C ．2D ．8 10、如图，正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中错误的是 A ．AC BE ⊥B ．三棱锥A BEF -体积是定值C ．二面角A EF B --的平面角大小是定值D ．AE 与平面11DD B B 所成角等于AF 与平面11DD B B 所成角 11、已知函数231()sin(2)cos ()32f x x x x R π=+-+∈，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于y 轴对称C ．点(,0)6π为函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的最大值为1212、已知当02x <≤时，不等式2ln 1212x a ax x <+-恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．(ln 21,)++∞ B ．(ln 21,)-+∞ C ．1(,)2+∞D ．(ln 21,0)-卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13、已知向量a r ，b r ，3a =r 2b =r ，()a b a +⊥r r r ，则向量a r ，b r的夹角为________．14、函数2()lg(352)1f x x x x=+-++-的定义域为________． 15、若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最小值为________.16、如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________. 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17、(12分)已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=. （1）求{}n a ； （2）令*21(n N )1n n b a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18、(12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a b C c B -⋅=⋅． （1）求角C 的大小；（2）若2c =，ABC ∆319、(12分)如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 为AB的中点，且AC BC VC a ===． （1）求证：AB ⊥平面VCD ； （2）求点C 到平面VAB 的距离．20、(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =，E 为PB 的中点． （1）求证：//PD 面AEC ；（2）求证：平面AEC ⊥平面PDB ．21.(12分)已知函数()()xf x ax e a R =-∈，ln ()xg x x=． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）0(0,)x ∃∈+∞，使不等式()()xf xg x e ≤-成立，求a 的取值范围．22、(10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()4πρθ+=(I)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点M(0，1)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA||MB|的值．数学（理）答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.C2.B3.D4.C5.A6.C7.A8.A9.B 10.D 11.D 12.B二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 14. 15. 16.三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17.设的首项为，公差为，∵，∴，，∴. .由可知，∴．18. 在中，由正弦定理知，又因为，所以，即；∵，∴；∴；又，∴；∵，∴又，∴，∴；∴周长为．19.设，连接，因为，分别是，的中点,所以, 而面，面，所以面.连接，因为，所以，又四边形是菱形，所以, 而面，面，＝，所以面又面，所以面面.20.证明：∵, ∴是等腰三角形.又∵是的中点，∴. ∵底面，∴. 又∵, ∴平面．设点到平面的距离为，据，即，得，所以点到平面的距离为．21.∵，．当时，，在上单调递减；当时，令得．由得的单调递增区间为；由得的单调递减区间为．综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为．∵，使不等式，则，即．设，则问题转化为，由，令，则．当在区间内变化时，，变化情况如下表：单调递减单调递增极大值由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为．∴．22. 直线的参数方程为为参数,消去参数可得直线的普通方程为, 曲线的极坐标方程为, 即, 曲线的直角坐标方程为.将直线的参数方程(t为参数), 代入,得, 设, , 则, ,, .。

银川一中2020届高三年级第四次月考理科数注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2 .作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

是符合题目要求的.的是（C.若n剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和 周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说 法正确的是、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项1.设集合A {1,2,4} 一 ■. 2,B {x | x 4x2.4.5.A.1, 3B. 1,0C. 设复数Z 1 , Z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称, A. 10B. 9 iC.已知向量a (2,3),b (x,4),若aB. 1(a设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ,若a 3 A. 2B. 3n 是空间中两条不同的直线,1.3Z 1C. 223, 0 C. 6D. 1,5 Z 1Z 2 D. -10D. 335,则｛ a n ｝的公差为D. 9是两个不同的平面，则下列说法正确A.若m// ,则 m// nB.若// ,则 m//6. D.若m,nm l ,n某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》， 《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话A .《雷雨》只能在周二上演B .《茶馆》可能在周二或周四上演 C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D.四部话剧都有可能在周二上演得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比1 一1的近似值，黄金分割比还可以表不成2sin18 ,则m . 4 m 22cos227 1A. 4B. 75 1C. 29.已知x,y满足约束条件x y 2 0x y 2 0,若目标函数z 2x y的最大值为3, y m 0则实数m的值为A. -1B. 0C. 1D. 210.如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A 19-B 8C 9 D'3 ' ' 20 32, x 、• 2 ,11.已知函数f(x) 2sin xcos (—―) sin x( 区间［0,］上恰好取得一次最大值，则的范围是3 A. (0=］51 3B.［一，一］1 3C.［一，一］212 .若x,a,b均为任意实数，且(a 2)A. 3超B. 18_ 2 . 2 2 . (b 3) 1 ,则(x a) (ln x b)的最小值为C. 3近 1D. 19 67278.被誉为中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的'0.618优选法”在生产和科研实践中史K国0)在区间［2—,也一］上是增函数，且在3 6、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.4 513 . ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA —,cosB —，a 1,5 13贝 U b .14 .已知函数 f(x) ln(x J x 21) 1,若 f(a) 2,^ f( a) .15 .已知函数 f(n) n 2cos(n )，且 4 f (n) f (n 1),则 a 〔 a 2 ... a ?。

宁夏银川市2020届高三4月高中教学质量检测数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数f（x）=sin"-|^，若对于任意ac一¥'一与，在区间［°问上总存在唯一确定的们使得/（«）+/（/?）=0,则m的最小值为（）7171771A.6B.2C.6D.兀TT2.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为才的直线/,若/与抛物线交于A,B两点,且A3的中点到抛物线准线的距离为4,则。

的值为（）8A.3B.1C.2D.33.若复数z=g（7是虚数单位）为纯虚数，则实数。

的值为（）1-1A.-2B.-1C.1D.24.设直线1与抛物线y2=4x相交于A,B两点，与圆（.r-5）2+y2=r2（r>0）相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线1恰有4条，则r的取值范围是（）A.（L3）B.（L4）c.（2,3）D.（2,4）3x-y-4>0,5.若x,y满足约束条件U-3v+4<0,则土的取值范围是x+y-8<0,A.r l2、r l5、25、r5、I-,-][-,+«) 23B.24C.34D.46.已知函数/(x+l)-log2y—,若f(a)=b,则/(4-a)=()A.b b.2~b C.2D.4-b7.已知函数f（X）=<|x-3|-l,x>0—%2 +2,x<0函数g{x）=mx,若函数y=f（x）-2g（x）恰有三个零点，则实数%的取值范围是（）A.混B.『C.R eD.,1、(一00,二)28.已知函数/(x)=lnx+ln(2-x),则A.f（x）在（0,2）单调递增B.f（x）在（0,2）单调递减c.y=f3）的图像关于直线x=i对称d.y=f（w的图像关于点（i,o）对称9.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任意取两个，这两个都恰是两面涂色的概率是（）92402822A.117b.117c.117D.11710.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈.若三棱锥P-AB C为鳖瞒，PAl^ABC, PA=AB=2,AC=2^2-三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。