山腰中学九年级数学综合题辅优
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1 FECBAB'C' 山腰中学九年级上数学综合题辅优（二）
---相似三角形的应用
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1. 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
2. 如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
A
D E
B F C 演
2 3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
DEQBACPH
3 4. 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点 D的坐标为 (0，23)，点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G.
(1)求∠DCB的度数；
(2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标；
(3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF’，记直线EF’与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标.
5. 如图1，在RtABC△中，9068ACBACBC°，，，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，CMBD垂足为MENCD，，垂足为N.
（1）当AD=CD时，求证：DEAC∥； （图1） （图2）
（备用图）
4 （2）探究：AD为何值时，BME△与CNE△相似？
（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与BDE△的面积相等？
6.已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．
（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点第24题 C
E
N
D M B A
图1 C
B A C
B A
图2（备用图） 图3（备用图）
5 时，求证：OPOQ；
（2）如图乙，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若46010ADDCBBS，∠，，求AS和OR的长．
1. 如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 练
6
2. 如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．
若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．
A．1 : 2 B．1 : 3
C．2 : 3 D．11 : 20
3. 如图在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．
（1）若31PCBP，求AQAB的值；
（2）若P为BC边上的任意一点，求证1BQABBPBC．
4.在左图的方格纸中有一个Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C=90°。
（1）请你画出将Rt△A BC绕点C顺时针旋转90°后得到的Rt△A′B′C′，其中A、B的对应点分别是A′、B′（不必写画法）；
（2）设（1）中AB的延长线与A′B′相交于D点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD的长（精确到0.1）。
5.如图，直线8kxy分别与x轴、y轴相交于A、B两点，O为坐标原点，A点的坐标 P Q D C
B A G A
B D
C O
7 为（4，0）。
（1）求k的值；（2）若P为y轴（B点除外）上的一点，过P作PC⊥y轴交直线AB于C。设线段PC的长为l，点P的坐标为（0，m）。
①如果点P在线段．．BO．．（．B．点除外）．．．．上移动，求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②如果点P在射线BO（B、O两点除外）上移动，连结PA，则△APC的的面积S也随之发生变化。请你在面积S的整个变化过程中，求当m为何值时，S=4。
6.如图，在RtABC中，90B，30C，12AB厘米，质点P从A点出发沿线路ABBC作匀速运动，质点Q从AC的中点D同时．．出发沿线路DCCB作匀速运动逐步靠近质点P，设两质点P、Q的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（1a），它们在t秒后于BC边上的某一点E相遇。
（1）求出AC与BC的长度；
（2）试问两质点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？
（3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出a与t的值；
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA＝90°，BC∥OA， OB＝8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单
8 位长度沿OB向点B运动. 现点E、F同时出发，当F点到达B点时，E、F两点同时停止运动.
（1）求梯形OABC的高BG的长.
（2）连接EF并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形.
（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由.
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D A C B
O G E
F
x y
