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注：在解一元二次方程时, 要先观察方程,选择适当的方法.配 方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先 要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二 次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化为一次方程, 即降次.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
一元二次方程的解法： （因式分解法）
例：（y 2) 2
3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 把y+2看作一个 (y+2)(y-1)=0 整体，变成 a×b=0形式(即 y+2=0 或 y-1=0 两个因式的积 ∴y1=-2 y2=1 的形式)。
较简便。
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一元二次方程的解法： （公式法）
一元二次方程的根与系数： 韦达定理：
一元二次方程的根与系数的关系： 若 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，则
c b x1+x2=_______；x1x2=___； a a
以x1、x2为根（二次项系数为1）的 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 一元二次方程为_________________.
练习：
• 1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是 ； 当k 时，方程有实根。 • 2、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则 m= 。 • 3、关于x的方程x2-(2k-1)x+(k-3)=0.试说明 无论k为任何实数,总有两个不相等的实数根. • 4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－ 2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。
选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 →公式法→配方法
练习：选用适当方法解下列方程：
(1)、 x 3) 27 (3
2
(2)、 4)( x 4) 12 (x
3 (3)、 2) x (1 2) x (4)、x 12 x 7 0 (1
2
2
一元二次方程的根与系数：
ax2 bx c 0
2
ax bx c a( x x1 )( x x2 )
例题讲解
例1 把
5x 6 x 8 分解因式
2
解：方程5 x 2 6 x 8 0的根是 6 6 2 4 5 (8) 6 196 6 14 x 25 10 10
解法巩固练习2： 1.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式 （每两队之间都赛一场），计划安排15场比 赛，应邀请多少个队参加比赛？ x(x－1) 解：设邀请x个队参加比赛。则 ＝ 15 2 2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两 次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加 比赛？ 解：设有x个队参加比赛。则x(x－ ＝90 1)
快乐学习 5
几何与方程
• 1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容 积是400cm3,求原铁皮的边长.
解 : 设原正方形铁皮的边长为xcm, 根据题意, 得
4( x 8) 400.
2
解这个方程 : ( x 8) 2 100, x 8 10, x 8 10, x1 18; x2 2(不合题意, 舍去). 答 : 原正方形铁皮的边长为18cm.
一元二次方程的概念
等号两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的 方程叫做一元二次方程
①都是整式方程;
特点:
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax 2 bx c 0 的形式,我们把 ax bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
x 6x 7 0
2
配方时应注意 ①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方
解： x2 6 x 7 2 x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2
x3 2
x1 3 2 , x2 3 2
注：当一元二次方程二次项系数为1时用配方法比
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元 一次方程解应用题的步骤类似，
即审、设、列、解、验、答．
简单应用：
1.我市要组织一次少年组足球比赛，参赛的每 两个球队之间都要比赛一场，根据场地和时 间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场 比赛，那么我市有多少个球队参加比赛？ 讨 论㈠： 7 4 28 ⑴共安排___________场比赛？ ⑵设我市有x个球队参加比赛，每两个球队之间 都要比赛一场（单循环），那么用x表示比赛 x( x 1) 总场数为______。 2 ⑶因为比赛总场数相同，所以可列方程为： x( x 1) ________________. 28
已知两数的和是4,积是1，则此两数为 .
拓展练习：
• １、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数， 则m= 。 • 2、 已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一 个根β小4，则α= ；β= ； m= . • 3、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求 方程的另一根及m的值。 • 4、关于x的方程2x2－3x+m=0，当 时， 方程有两个正数根；当m 时，方程有一 个正根，一个负根；当m 时，方程有一 个根为0。
解： 原方程转化为(2a-4) x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一 2x2-3x-1=0 般形式是：___________, 其二次项 系数是____,一次项系数是____,常数 -3 2 项是____. -1
练习
选用适当方法解下列一元二次方程
• • • • • • • • 1、 (2x+1)2=64 ( 直接开平方 法） 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 因式分解 法） 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 因式分解 法） 4、 x２-４x-10=０ ( 公式 法） 5、 ３x２-４x-５=０ ( 公式 法） 6、 x２＋６x-1=0 ( 公式 法） 7、 ３x２ -８x-３=０ ( 因式分解 法） 8、 y2- 2 y-1=0 ( 公式 法）
2
(6) y 0
y 4 2
× (√ )
(
)
一元二次方程的一般形式
ax bx c 0
2
(a,b,c为常数，a≠0）
当 a 0 时,它是一元二次方程; 当 a 0 时,它是一元一次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
例：（3） 2 x 3x 4 0 解： a 2, b 3, c 4
2
b 4ac 3 4 3 41 2 2
3 41 3 41 x1 , x2 4 4 注：当一元二次方程二次项系数不为1且 难以用因式分解时常用公式法比较简便。
4 即：x1 , x2 2 5
4 5 x 6 x 8 5( x )( x 2) 5 此步的目的是去掉括号内的分母 (5x 4)( x 2)
2
练习:
• 1、如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点， AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、 C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一 直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动. • （1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形 PBCQ的面积为33 cm2？ • （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q 的距离是10 cm？
a x 2+ b x + c = 0
二次项系数 一次项系数
(a ≠ 0)
练习二 1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x -3x+4=x -7 (2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - 1 2 0 x
2 2 2
2
2
(× ) (√ ) ( ) × (× )
(5) x 1 3
解法巩固练习2： 3.参加一次商品交易会的每两家公司之间都 签订了一份合同，所有公司共签订了45份合 同，共有多少家公司参加商品交易会？ x(x－1) 解：设有x个公司参加。则 ＝45 2 4.参加一次聚会的每两人都握手一次，所有 人共握手10次，有多少人参加聚会？
x(x－1) 解：设有x人参加聚会。则 ＝10 2
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则 （ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
