广东省广州市白云区汇侨中学九年级数学《弦切角定理》课件
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初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲一. 本周教学内容:弦切角及和圆有关的比例线段二. 重点、难点:1. 弦切角的概念:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。
注意:弦切角必须具备三个条件:(1)顶点在圆上(切点),(2)一边和圆相切,(3)一边和圆相交(弦),三者缺一不可。
2. 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
3. 弦切角定理的推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
弦切角是和圆有关的角之一,其他几种有圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
这四种角之间的关系及转换是与圆有关的论证及计算的基础。
4. 相交弦定理:圆内两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
5. 相交弦定理的推论:如果弦与直径相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
6. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
7. 切割线定理的推论(或称割线定理):从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
本节是本章中综合性最强的部分,是本章及初中平面几何中难点之一。
其中,相交弦定理、切割线定理及割线定理在证明等积式、比例式和线段长度的计算中起着极其重要的作用。
这三个定理实际是一个整体,可以看做相交弦交点从圆内移到圆外,由割线旋转到切线时的结果。
应用定理和推论解题时,要注意数形结合的思想、方程思想的运用。
由于定理和推论的结论都是两条线段乘积的形式,所以一元二次方程更显威力。
例1. 如图,经过⊙O求证:∠ATC=∠证明一:∵TC为⊙∵∠TBC=∠A+∠∴∠TBC=∠BTC即∠ATC=∠TBC证明二:∵∠ETA又∵∠ATC=180°-∠ETA ∠TBC=180°-∠TBA104,==AB PABP6∴=OP OC CO =∴⨯=-∴=564549222,, CO CO >∴=07,答:⊙O 半径为7cmOD =24,进而求出例3. 如图,△ABC (1)求证:AE 2=PE (2)若AE =4,PE (1)证明:∵PA ∵PF//AC ,∴∠C 又∠∠ AEP = ∴=∴AE DE PEBE, BD DC PF AC =,// ∴=BE AE∴=⋅AE PE DE 2(2)解:根据相交弦定理:AE ·BE =GE ·EF AE EF GE GE ==∴4=⋅∴=48822,,, PE PG PE GE =∴=-=-=5523,∴=+=+=PF PE EF 5813 ∵PA 是⊙O 的切线∴=⋅=⨯=PA PG PF 23133939=15,sin C =35,求Rt △AD 、DB 的比值,又 解:连结OD 、DB∵CD 是⊙O 切线,∴OD ⊥CD 在中,Rt ODC C OD OC ∆sin ==35设,,则OD k OC k DC k ===354OD OB BC k k k AB k =∴=-==,,5326 ∠=∠∠=∠CDB A C C , ∴∆∆CDB CAD ~∴===DB AD BC CD k k 2412AD DB AD =∴==151275,.∵AB 是⊙O 直径 ∴∠=︒ADB 90 ()∴=+=+=AB AD DB 222215751525. ∴=61525k ∴==BC k 2525注意:将Rt △ADB 中,DB 、AD 两边的比转化为切线、割线的比,(即)在这类图形中常用。
【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理一、弦切角1、定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图:2、弦切角的三种情况(1)圆心在弦切角外;(2)圆心在弦切角的一条边上;(3)圆心在弦切角内;二、弦切角定理及证明定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角;弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。
已知:如图,PQ是圆O的切线,切点为P。
求证:∠APQ=∠ABP,2∠APQ=∠AOP.(1)当圆心在弦切角外部时证明:连接OA,OP,在非弦切角所夹弧优弧PA上任取一点B,连接BP和BA。
∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠POA=180°∴2∠OPA+∠POA=180°∵ PO为圆的切线,OP为半径∴ ∠OPA+∠APQ=90°∴ ∠OPA=90°-∠APQ∴ 2(90°-∠APQ)+∠POA=180°∴∠POA=2∠APQ∵ ∠POA=2∠ABP(同弧所对的圆心角是圆周角的2倍)∴ ∠APQ=∠ABP(2)当圆心在弦切角的一边上时证明:在非弦切角所夹弧AP上任取一点B,连接AB、PB ∵ AP为直径∴ ∠ABP=90°∵ PQ为圆的切线,OP为半径∴ ∠APQ=90°∴∠APQ=∠ABP∴2∠APQ=∠AOP(同弧所对的圆心角是圆周角的2倍). (3)当圆心在弦切角的内部时证明:连接OA,OP,在非弦切角所夹弧劣弧PA上任取一点B,连接BP和BA。
∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠1=180°∴2∠OPA+∠1=180°∵ PO为圆的切线,OP为半径∴ ∠OPA=∠APQ-90°∴ 2(∠APQ-90°)+∠1=180°∴ ∠1+2∠APQ=360°∵ ∠1+∠2=360°∴∠2=2∠APQ∴ ∠POA=2∠APQ(这里的∠POA是大于180°的角,是优弧AP所对的圆心角)∵ ∠POA=2∠ABP(同弧所对的圆心角是圆周角的2倍)∴ ∠APQ=∠ABP三、例题例1、已知:如图,直线BC切⊙O于B点,AB=AC,AD=BD,求∠A.解:由弦切角定理可得,∠DBC=∠A∵ AD=BD∴ ∠A=∠ABD∵ AB=AC∴ ∠ABC=∠ACB=2∠A∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴5∠A=180°∴ ∠A=36°例2、已知:如图,直线DC与⊙O相切于点C,AB为⊙O直径,AD⊥DC于D,∠DAC=28°,求∠CAB的值。