第二讲 经典单方程计量经济学模型

第二讲 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型

学习目标：

1. 理解变量间的相关关系并掌握相关系数的计算

2. 理解回归分析与相关分析的区别与联系

3. 理解回归分析的基本内涵

4. 理解总体回归函数与样本回归函数

5. 了解并理解一元线性回归模型的基本假设

6. 掌握一元线性回归模型参数估计的普通最小二乘法，了解参数估计的最大似然法和矩法

7. 掌握一元线性回归模型的统计学检验——拟合优度检验、变量的显著性检验

8. 理解一元线性回归模型的预测问题

9. 学会用EViews软件估计简单一元线性回归模型，并进行模型检验和预测

§2.1 回归分析概述

一、回归分析的基本概念

1. 变量间的关系

（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象、非随机变量间的关系。

（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象、随机变量间的关系。

消费者嗜好供求平衡价格成本企业利润,,,f

财政税收政策产业结构经济增长财政收入,,f

表示为：Y= f（X）+u (u为随机变量)

 当一个或若干个变量x取一定值时，与之相对应的变量Y的值不确定，但按某种规律在一定范围内变化。

 影响因素比较多且不确定。

 变量之间的相关关系可以用坐标图（又称散点图）去描述。

例如：变量x和y之间的散点图

2,半径半径圆面积f施肥量阳光降雨量气温农作物产量,,,f

（3）二者在一定条件下可以相互转换

函数关系

考虑对变量的测量误差 相关关系

相关关系 考虑全部影响因素 函数关系

2． 相关关系的种类

(1) 从涉及的变量（或因素）数量看

1) 单相关——又称一元相关，指两个变量之间的相关关系。

 例：广告费支出和产品销售量之间的相关关系

2) 复相关——又称多元相关，是指三个或三个以上变量之间的相关关系。



例：商品销售额与居民收入、商品价格之间的相关关系

(2) 从变量相关关系的表现形式看

1) 线性相关——散点图接近一条直线(左图)

2) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)

线性相关 非线性相关

（3）从变量相关关系变化的方向看

正相关——变量同方向变化

 例：生产率提高↑，产品产量增加↑

负相关——变量反方向变化

 例：价格上升↑，产品需求量下降↓

051015202530350102030XY05101520250246810121010.210.410.610.81111.20510

正相关 负相关

3.相关分析和回归分析

（1）相关分析，有线性相关和非线性相关，前者往往表现为变量的散点图接近于一条直线。相关程度可以通过相关系数来测度,两变量X和Y的总体相关系数为：

如果给出X和Y的一组样本 ,i=1,2,……n,则样本相关系数为：

其中，X与Y分别是变量X和Y的均值。

（2）回归分析,是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。前一个变量称为被解释变量或应变量。后一个变量称为解释变量或自变量。

回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：

①根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；

②对回归方程、参数估计值进行显著性检验；

③利用回归方程进行分析、评价及预测。

4.相关分析与回归的联系与区别

①两者都是研究非确定性变量间的统计相关关系，并能度量线性依赖程度的大小。

②两者间存在明显的区别。相关分析仅仅是从统计上测度变量间的相关程度，无需考查两者间是否存在因果关系。

 相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。

 回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分因变量（被解释变量）05101520250246810120510152025024681012)()(a),(CXYYVarXrVYXov）（iY,Xi2112XY)()())((rniniiiiiYYXXYYXX和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者是非随机变量。

③相关分析只关注变量间的相关程度，不关注具体的依赖关系，而回归分析要关注具体的依赖关系。

二、 总体回归函数（PRF）

1. 案例导入

例2.1：一个社区有99户家庭，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月可支配收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。

为达到此目的，将该99户家庭组成的总体按可支配收入水平划分为10组，并分析每一组的家庭消费支出。

 由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；

 但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。

 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（conditional

mean）或条件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。该例中：E(Y | X=800)=605 表2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表

每月家庭可支配收入X（元）

800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500

561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299

594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321

627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530

638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629

935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860

968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871

1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552

1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585

1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640

1188 1364 1573 1771 2035 2310

1210 1408 1606 1804 2101

1430 1650 1870 2112

1485 1716 1947 2200

每

月

家

庭

消

费

支

出

Y

（元）

2002

共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510

 描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。

2. 相关概念

在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望的轨迹称为总体回归线，或更一般地称为总体回归曲线。

相应的函数：

)()X|E(iiXfY

称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。

含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。

函数形式：可以是线性或非线性的

X)X|E(10iY

为一元线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression

coefficients）。

三、 随机干扰项

对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。个别值聚集在E(Y|X）的周围。

)E(-XYY

称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机误差项（stochastic error）。

iiYi10iiX)X|E(Y

称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他没有包括在模型中的诸多因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。

随机误差项主要包括下列因素：

（1）代表未知的影响因素；

（2）代表残缺数据；

（3）代表众多细小影响因素；

（4）代表数据观测误差；

（5）代表模型设定误差；

（6）变量的内在随机性。

——包含（3）和（6）时，称为“原生”的随机干扰项；包含（1）、 （2）、 （4）、

（5），称为“衍生”的随机干扰项

四、样本回归函数（SRF）

问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？

画一条直线以尽可能好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可用该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sample regression lines）。

记样本回归线的函数形式为：

称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。

同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：

iiiYYˆˆiieX10ˆˆ

iiiYYˆ-e

其中，ie称为（样本）残差（或剩余）项（residual），代表了其他影响Yi的随机因素集合，可以看成是i的估计量iˆ。由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sample regression model）。

回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。

即，根据

iiiYYˆˆiieX10ˆˆ

估计

——该式为一元线性回归模型

即：设计一种“方法”，使得jˆ 尽可能接近j iiiXXfY10ˆˆ)(ˆiiiiiXXYEY10)|(