绝对值三角不等式说课材料
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绝对值三角不等式
太原北辰双语学校高二年级第二学期数学学科作业题
课题：绝对值三角不等式
班级： ________ 姓名：
命题日期：_月日 ㊀预如〕
1. 绝对值的意义.
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对
值.
X, x>0,
即 |x|= 0, x= 0,
—X, XV 0.
2. 绝对值三角不等式
定理1：如果a, b是实数，则|a+ b|w|a|+ |b|,当且仅当ab>0 时，等号成立.关于定理1的几点说明：
(1) 定理 1 的证明：|a+ b|< |a| + |b|? (a + b)2< (|a|+ |b|)2? a2+b2 +
2ab< a2 + b2+ 2|a||b|? ab< |a||b|? ab< |ab|，由已知知识可知 ab< |ab|—
定成立，因而不等式|a+ b|< |a| + |b|成立.又由于上面每一步都是恒等 变形及ab = |ab|? ab>0可知，当且仅当ab> 0时，等号成立.
(2) 对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明 了不等式 |a + b|w |a|+ |b|.
(3) 定理1还可以变形为|a— b| < |a| + |b|,等号成立的充要条件是 ab<
0.
(4) 由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果 a, b是实
数，那么 |a|— |b|< |a + b|< |a| + |b|; |a|— |b|< |a— b|< |a|+ |b|.
思考2说出下列不等式等号成立的条件：
(1) |a| + |b|> |a+ b|;
(2) |a|— |b|< |a + b|;
(3) |a — c| w |a — b| + |b— c|.
3. 含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|>a, |a|> — a及绝对值
的和的性质.
思考 3 当 |a|>a 时，a€ ________ 当 |a|> — a 时，a € (0,+^).
1. 若|x —
a| A . |x— y|<2m B. |x— y|<2n C. |x— y| 2. 设ab>0,下面四个不等式其中正确的是( ) ① |a+ b|>|a|;② |a+ b|v|b|; ③ |a+ b|v|a — b|;④ |a + |b|. A .①②B .①③C.①④D .②④ 3. ___________________________________________________ 若a, b€ R,且|a|< 3, |b|< 2,则|a + b|的最大值是 ___________________ ，最小 值是 ________ . 4. 方程 |x|+ |logax|= |x+ logax|（a>1）的解集是 ______________ 二［层［练r习 £ £ 5. |x—A|<2，ly—A|<_2是 lx— yl<£的（ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 6. 若不等式|x—4| + |x— 3|>a对一切实数x恒成立，则实数a的取 值范围是（） A. （―乂, 1） B . （1,+乂） C. （3, 4） D. ［3，+乂 ） 7. “av4” 是“对任意实数 x, |2x— 1| + |2X+ 3|>a 成立”的（ ） A .必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 8. 函数y=|x— 3— |x + 1|的最大值是 _______ 最小值是 __________ . 9. 对于实数 x, y，若|x — 1|< 1 , |y — 2|< 1 , |x— 2y + 1|的最大值是 10. (2014 江西高考文科)x, y € R,若 |x|+ |y| + |x— 1|+ |y—1|< 2,则 x + y的取值范围为 ____________ . 练 习 1 11. （2014新课标全国卷H高考理科数学）设函数f（x） = x+; + |x a —a|(a>0),证明:f(x)>2. 12. 设 a, b€ R且|a + b+ 1|< 1, |a + 2b+ 4|<4, 求|a|+|b|的最大值. 1 1 5 13. 已知实数 x, y满足:|x + y|<3，|2x—y|<6，求证：M^.
