人教版 选修4-5 第5讲-绝对值三角不等式

庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立.联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.（2）|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示).记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了.3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有.学法一得要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有：|x|<a⇔-a<x<a，因此，不等式|x|<a的解集是(-a,a)；|x|>a⇔x<-a或x>a，因此，不等式|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞).1.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|<a或|x|>a的不等式的解法即可.2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）分区间讨论法；（3）构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解.典题·热题知识点一： 与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1 若|x-a|<m,|y-a|<n ，则下列不等式一定成立的是（ ）A.|x-y|<2mB.|x-y|<2nC.|x-y|<n-mD.|x-y|<n+m思路分析：注意观察比较|x-y|与|x-a|，|y-a|之间的关系，不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为：|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x -a|+|y-a|<m+n,故选D.答案：D巧解提示对某些式子进行适当的变形，以便创造条件利用某些定理、公式来解题，这是一种常用的技巧，如此题求解过程中的|x-y|=|x-a-(y-a)|就是变形，而变形的基础是必须要熟悉公式. 例2 已知a 、b 、c 、d 都是实数，且a 2+b 2=m 2，c 2+d 2=n 2（m>0,n>0)，求证：|ac+bd|≤222n m +. 思路分析：证明此题时，可将ac 、bd 分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了. 证明：∵a 、b 、c 、d ∈R ,∴|a c+bd|≤|ac|+|bd|≤222222d b c a +++ =222222222r R d c b a +=+++, ∴|ac+bd|≤222R r +. 误区警示如果利用ab≤222b a +来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式|ab|≤222b a +来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用. 知识点二： 绝对值不等式的解法例3 解关于x 的不等式|2x-1|<2m-1(m ∈R ).思路分析：要注意对2m-1的正负情况进行讨论.解：若2m-1≤0，即m≤21，则|2x-1|<2m-1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m-1>0，即m>21，则-(2m-1)<2x-1<2m-1，所以1-m<x<m. 由上可得：当m≤21时，原不等式的解集为∅， 当m>21时，原不等式的解集为：{x|1-m<x<m}. 方法归纳对于不等号右侧是含有参数的式子的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论来求解.例4 解不等式3≤|x -2|<4.思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解：原不等式等价于⎩⎨⎧<-≥-)2.(4|2|)1(,3|2|x x 由（1）得x-2≤-3或x-2≥3，∴x≤-1，或x≥5.由（2）得-4<x-2<4，∴-2<x<6.如上图所示，原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.误区警示有些同学求解这类问题时，为了图省事，往往不爱通过画图来寻找解集，总爱耍点小聪明，这是造成求解出错的主要原因.例5 解不等式|x+7|-|x-2|≤3.思路分析：解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据求解不等式的结构，选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解.图1解：［方法一］ |x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应的点的距离与到2对应的点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x=-1（如图1所示）.从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1，即x ∈(-∞,-1］.［方法二］ 令x+7=0，x-2=0得x=-7，x=2.①当x<-7时，不等式变为-x-7+x-2≤3，∴-9≤3成立,∴x<-7.图2②当-7≤x≤2时，不等式变为x+7+x-2≤3，即2x≤-2，∴x≤-1，③当x>2时，不等式变为x+7-x+2≤3，即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(-∞,-1］.［方法三］ 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0，构造函数y=|x+7|-|x-2|-3，即y=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<-.2,6;27,22;7,12x x x x .作出函数的图象（如图2），从图可知，当x≤-1时，有y≤0，即|x+7|-|x-2|-3≤0，所以，原不等式的解集为(-∞,-1］.巧妙变式针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥”，还可以将不等号右边的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题·探究误区陷阱探究问题1 对此题“写出不等式|2x-1|<3的解集并化简”，某同学的错解如下：不等式|2x-1|<3的解集是{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∪{x|2x-1>-3}={x|x<2}∪{x|x>-1}={x|-1<x<2}.探究过程:这位同学解得的结果是正确的，但解法不对.解法中有两处错误，但却歪打正着得出了正确的结果.首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合{x|2x-1<3}与{x|2x-1>-3}的中间不应当用并的符号“∪”，而应改为“∩”.这两个集合是应该取交集的.另外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.{x|x<2}∪{x|x>-1}的结果应为{x|-∞<x<+∞}，而不是{x|-1<x<2}.探究结论:如果按照这位同学的思路求解，可以修改为：不等式|2x-1|<3的解集是： {x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∩{x|2x -1>-3}={x|x<2}∩{x|x>-1}={x|-1<x<2}.不过，更简单的解法应是：不等式|2x-1|<3的解集是：{x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2}.思维发散探究问题2 已知a 、b 、c 是实数，函数f(x)=ax 2+bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，试探究当x ∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.探究过程:这是一个通过关联二次函数、一次函数考查不等式的变换能力的问题，因此在证明中要注意合理应用绝对值不等式的性质定理，由于g(x)是一次函数，可将|g(x)|≤2转化为g(-1)与g(1)与2的关系加以证明，也可挖掘g(x)与f(x)的隐含关系，构造函数模型，寻求整体突破.探究结论:［方法一］ 当a>0时g(x)=ax+b 在［-1,1］上是增函数，∴g(-1)≤g(x)≤g(1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2，g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，当a<0时，g(x)=ax+b 在［-1,1］上是减函数， ∴g(1)≤g(x)≤g(-1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2，g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，∴|g(x)|≤2.当a=0时，g(x)=b ，f(x)=bx+c ，∵-1≤x≤1，∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上所述,当x ∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.［方法二］ ∵x=4)1()1(22--+x x ， ∴g(x)=ax+b=a ［(21+x )2-(21-x )2］+b(21+x -21-x ) =a ［(21+x )2+b(21+x )+c ］-［a(21-x )2+b(21-x )+c ］ =f(21+x )-f(21-x ). 当-1≤x≤1时，有0≤21+x ≤1，-1≤21-x ≤0， ∴|g(x)|=|f(21+x )-f(21-x )|≤|f(21+x )|+|f(21-x )|≤2，∴|g(x)|≤2.。

1.3 课时3 绝对值三角不等式一、教学目标（一）核心素养通过学习绝对值三角不等式，体会转化和数形结合的数学思想.（二）学习目标1.了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法.2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明.3.掌握运用绝对值三角不等式求函数的最值.（三）学习重点绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用.（四）学习难点绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第11页至第15页，填空：①||+，当且仅当时，等号成立；a ba b+||||②||a b b c-+-，当且仅当时，等号成立；-||||a c（2）想一想：（1）中两个结论具有怎样的几何意义？2.预习自测（1）在三角形中，两边之和第三边.A.大于B.小于C.不大于D.不小于【知识点】三角形知识【解题过程】在三角形中，两边之和大于第三边.【思路点拨】在三角形中，两边之和大于第三边.【答案】A.（2）在||||||,||||,||||,||-+--中最大的是（）a b a b a b a bA.||||||a b -B.||||a b +C.||||a b -D.||a b -【知识点】绝对值三角不等式【解题过程】由绝对值三角不等式得，||||||||||||||||a b a b a b a b +≥-≥-≥-【思路点拨】注意联系绝对值不等式的几何意义解题【答案】B（3）函数|4||6|y x x =-+-的最小值为（ ）A.10B.7C.4D.2【知识点】绝对值三角不等式【解题过程】|4||6||(4)|6||2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(4)(6)0x x --≤即46x ≤≤取等号.【思路点拨】注意使用绝对值三角不等式求最值时的不等号方向以及取等条件.【答案】D(二)课堂设计1.知识回顾（1）绝对值的意义。

数学人教B选修4-5第一章1.4 绝对值的三角不等式1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值的不等式的几何意义证明不等式．2．会用绝对值三角不等式的两个性质定理证明简单的含绝对值的不等式以及解决含绝对值的不等式的最值问题．1．定理1(绝对值的三角不等式)及推论(1)若a，b为实数，则|a＋b|____|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立．(2)推论1：______≤|a＋b|.推论2：______≤|a－b|.(1)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0.(2)这个定理是含有绝对值的不等式中一个非常重要的不等式，证明的最重要依据是对于一切实数a，b，都有|a|≤|b|a2≤b2|a|2≤|b|2.(3)注意等号成立的条件是ab≥0，与以前学习过的不等式有所不同．(4)根据定理及推论易得：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【做一做1－1】已知实数a，b满足ab＜0，那么有()A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a|－|b|C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b||【做一做1－2】若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|C．b＞||c|－|a|| D．b＜|a|－|c|2．定理2(三个实数的绝对值的三角不等式)设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立______，即b落在a，c之间．(1)在应用定理1证明定理2时，用到了a－c＝(a－b)＋(b－c)这一条件，这种处理问题的方法在解决不等式问题时常用到，在处理实际问题时应特别注意．(2)应用定理时应特别注意条件、适用范围及等号成立的条件．【做一做2】函数y＝|x－1|＋|x＋3|的最小值为__________．答案：1．(1)≤ab≥0(2)||a|－|b||||a|－|b||【做一做1－1】C∵ab＜0，∴a，b异号，∴|a－b|＞|a＋b|成立．【做一做1－2】D由|a－c|＜b，可知b＞0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|，故选项A成立．同理，由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|＜b，∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故选项B成立．而由选项A成立，得|c|－|a|＞－|b|，由选项B成立，得|c|－|a|＜|b|，∴－|b|＜|c|－|a|＜|b|，即||c|－|a||＜|b|＝b.故选项C成立．由选项A成立知选项D不成立．故选D.2．(a－b)(b－c)≥0【做一做2】4y＝|x－1|＋|x＋3|＝|1－x|＋|x＋3|≥|1－x＋x＋3|＝4，当且仅当(1－x)(x＋3)≥0，即－3≤x≤1时，等号成立，∴当－3≤x ≤1时，函数取得最小值4.如何理解绝对值的三角不等式的几何意义？剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并利于定理的应用．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些同学就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的，|a |－|b |不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确．题型一 利用绝对值不等式证明不等式【例题1】设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋b x 2|＜2. 分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |,1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．题型二 利用绝对值的三角不等式求函数的最值【例题2】求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．分析：若把x －3，x ＋1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而可转化求解．另一种思路是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．反思：对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应的问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果．题型三 绝对值不等式的综合应用【例题3】两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10 km 和第20 km 处，现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次．要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：如果生活区建于公路路碑的第x km 处，两个施工队每天往返的路程之和为s (x ) km ，那么s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|)．于是，上面的问题就转化为数学问题：当x 取何值时，函数s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|)取得最小值．这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解．根据定理：若a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |可以逆用，有|a －b |＋|b －c |≥|(a －b )＋(b －c )|＝|a －b ＋b －c |＝|a －c |，即|a －b |＋|b －c |≥|a －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．答案：【例题1】证明：∵|x |＞m ≥|a |，⎭⎪⎬⎪⎫|x |>m ≥|b ||x |>m ≥1|x |2＞|b |，∴|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2. 故所证不等式成立．【例题2】解：解法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4.解法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.【例题3】解：设生活区应该建于公路路碑的第x km 处，两个施工队每天往返的路程之和为s (x )km ，则s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|)．因为|x －10|＋|x －20|＝|x －10|＋|20－x |≥|(x －10)＋(20－x )|＝10，当且仅当(x －10)(20－x )≥0时取等号．解不等式(x －10)(20－x )≥0，得10≤x ≤20.所以，当10≤x ≤20时，函数s (x )＝2(|x －10|＋|x －20|)取最小值20.于是，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路程之和最小．1若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |＜2hB ．|x －y |＜2kC ．|x －y |＜h ＋kD ．|x －y |＜|h －k |2已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ；命题乙：|a －1|＜h ，且|b －1|＜h ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则有( )A ．|a |＞|b |＞|c |B ．|ab |＞|bc |C ．|a ＋b |＞|b ＋c |D ．|a －c |＞|a －b |4设|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是____________．5已知|x －a |＜1，求证：|a |－1＜|x |＜|a |＋1.答案：1．C |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|y －a |＜h ＋k .2．B 显然a 与b 的距离可以很近，满足|a －b |＜2h ，但此时a ，b 与1的距离可以很大，因此甲不能推出乙．另一方面，若|a －1|＜h ，|b －1|＜h ，则|a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，即乙可以推出甲．因此甲是乙的必要不充分条件．3．D ∵a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，令a ＝2，b ＝1，c ＝－6.∴|a |＝2，|b |＝1，|c |＝6，∴|b |＜|a |＜|c |，故排除选项A.又|ab |＝2，|bc |＝6，∴|ab |＜|bc |，故排除选项B.又|a ＋b |＝3，|b ＋c |＝5，∴|a ＋b |＜|b ＋c |，故排除选项C.故选D.4．|a ＋b |＋|a －b |＜2 当a ＋b 与a －b 同号时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2.当a ＋b 与a －b 异号时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.综上，可知|a ＋b |＋|a －b |＜2.5．证明：∵|x －a |＝|a －x |，根据绝对值不等式定理可得||x |－|a ||≤|x －a |，∴|x |－|a |≤|x －a |＜1或|a |－|x |≤|x －a |＜1，∴|x |＜|a |＋1或|a |－1＜|x |.∴|a |－1＜|x |＜|a |＋1.1不等式||1||||a b a b +≤+成立的充要条件为( ) A ．a ，b 都不为零 B ．ab ＞0C ．a ，b 为非负数D ．a ，b 中至少有一个不为零答案：B2若|a ＋b |＜－c ，则不等式：①a ＜－b －c ；②a ＋b ＜c ；③a ＋c ＜b ；④|a |＋c ＜|b |；⑤|a |＋|b |＜－c 中，一定成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B 由|a ＋b |＜－c ，得c ＜a ＋b ＜－c ，∴a ＜－b －c ，故①正确；由|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ，得|a |＋c ＜|b |，故④正确．故选B.3若实数a ，b 满足ab ＞0，则不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a －b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④答案：C ∵ab ＞0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |＞|a |，|a ＋b |＞|b |，|a ＋b |＞|a －b |.故①④正确．4如果a ，b 都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( )A ．|a ＋b |＞a －bB ．|+|a b ≤(ab ＞0)C ．|a ＋b |≤|a |＋|b |D ．2b a a b+≥ 答案：A 当a ＞0，b ＜0时，|a ＋b |＜a －b .5若a ，b ∈R ，则以下命题正确的是( )A ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |B ．|a |－|b |＜|a －b |＜|a |＋|b |C ．当且仅当ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．当且仅当ab ≤0时，|a －b |＝|a |－|b |答案：A 由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A 正确；在选项A 中，以－b 代b ，可得|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，所以选项B 不正确；当且仅当a ，b 同号或a ，b 中至少有一个为零，即ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以选项C 不正确；当ab ≤0，且|a |≥|b |时，|a －b |＝|a |－|b |，所以选项D 不正确．故选A.6若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a ＋b |的最大值是__________，最小值是__________． 答案：5 1 由||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，易得|a ＋b |的最大值是5，最小值是1.7若不等式|x －a |＋|x －2|≤1对任意的实数x 均成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案：[1,3] ∵|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|2－a |，∴|2－a |≤1，解得1≤a ≤3.8若x ＜5，n ∈N *，有下列不等式： ①lg<5lg 11n n x n n ++；②||lg <5lg 11n n x n n ++；③lg <5lg 11n n x n n++；④||lg <5lg 11n n x n n ++.其中能够成立的是__________． 答案：④ 因为0＜1n n +＜1，所以lg 1n n +＜0. 由x ＜5，并不能确定|x |与5的大小关系，也不能确定x 与0的大小关系，所以①②③不成立． 而lg <01n x n +，5lg >01n n +，故④成立． 9已知：||<2x a M ε-，0<||<2||y b a ε-，y ∈(0，M )．求证：|xy －ab |＜ε.答案：证明：∵|xy －ab |＝|xy －ya ＋ya －ab |＝|y (x －a )＋a (y －b )|≤|y ||x －a |＋|a ||y －b | ＜+||=22||22M a M a εεεεε⋅⋅=+， ∴|xy －ab |＜ε.10关于x 的实系数二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实根分别为α，β.若|a |＋|b |＜1，求证：|α|＜1，且|β|＜1.答案：证明：∵α，β是x 2＋ax ＋b ＝0的两实根，∴α＋β＝－a ，αβ＝b .又∵|a |＋|b |＜1，∴|α＋β|＋|αβ|＜1.而|α|－|β|≤|α＋β|，|αβ|＝|α||β|，∴|α|－|β|＋|α||β|＜1，即(|α|－1)(|β|＋1)＜0.∵|β|＋1＞0，∴|α|－1＜0，即|α|＜1，同理可证|β|＜1.。

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一 绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2， 解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解； 当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立； 当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2， 解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|， 两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0， 解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4.由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二 绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037， 所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三 绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1， 解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意， 当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， 即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立； 当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ， 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4， 即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1； 当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1； 当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2， 解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3， 解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.第二节 不等式的证明一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一 比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [题组训练]1．当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，求证：(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2. 解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b.考点二 综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a ，b ，c ，d 均为正数，若a ＋b ＝c ＋d ，且ab >cd ，求证：a ＋b >c ＋d . 证明：因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd . 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此 a ＋b >c ＋d .2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， ∴⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy . 考点三 分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解] (1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2，得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语． [题组训练]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ， 只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 即证2a 2－ab －b 2>0， 即证(a －b )(2a ＋b )>0， 即证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0， ∴(a －b )(a －c )>0显然成立， 故原不等式成立． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b )． 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角． 证明：要证∠B 为锐角，只需证cos B >0， 所以只需证a 2＋c 2－b 2>0， 即a 2＋c 2>b 2，因为a 2＋c 2≥2ac ， 所以只需证2ac >b 2， 由已知得2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证b (a ＋c )>b 2，即a ＋c >b ，显然成立． 所以∠B 为锐角．2．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4； (2)若a ，b 满足(1)中不等式，求证：2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.解：(1)当x <－3时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1－x －3＝－2x －4<4，解得x >－4，所以 －4<x <－3；当－3≤x <－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1＋x ＋3＝2<4恒成立， 所以－3≤x <－1；当x ≥－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝x ＋1＋x ＋3＝2x ＋4<4，解得x <0，所以－1≤x <0. 综上，不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4的解集为{x |－4<x <0}． (2)证明：因为4(a －b )2－(ab ＋2a ＋2b )2 ＝－(a 2b 2＋4a 2b ＋4ab 2＋16ab ) ＝－ab (b ＋4)(a ＋4)<0， 所以4(a －b )2<(ab ＋2a ＋2b )2， 所以2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.4．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1， 解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1， 解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝(t －3)(t 2＋1)t ，∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴(t －3)(t 2＋1)t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .6．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9，x <32，－x ＋3，32≤x ≤2，5x －9，x >2.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115. (2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1， 由基本不等式可知a ＋b2≤ a ＋b2＝ 14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 7．已知函数f (x )＝|2x －1|－⎪⎪⎪⎪x ＋32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：3|a ＋b |<|ab ＋9|.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧52－x ，x <－32，－3x －12，－32≤x ≤12，x －52，x >12.当x <－32时，f (x )<0，即52－x <0，无解；当－32≤x ≤12时，f (x )<0，即－3x －12<0，得－16<x ≤12；当x >12时，f (x )<0，即x －52<0，得12<x <52.综上，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－16<x <52. (2)证明：要证3|a ＋b |<|ab ＋9|，只需证9(a 2＋b 2＋2ab )<a 2b 2＋18ab ＋81， 即证a 2b 2－9a 2－9b 2＋81＞0， 即证(a 2－9)(b 2－9)＞0.因为a ，b ∈M ，所以－16<a <52，－16<b <52，所以a 2－9<0，b 2－9<0， 所以(a 2－9)(b 2－9)>0， 所以3|a ＋b |<|ab ＋9|.8．已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)法一：依题意知f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0， 即|x ＋2|≤m ⇔－m －2≤x ≤－2＋m .由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，解得m ＝1.法二：因为不等式f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]，所以－3，－1为方程f (x －2)＝0的两根，即－3，－1为方程m －|x ＋2|＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －|－3＋2|＝0，m －|－1＋2|＝0，解得m ＝1.(2)证明：由(1)可知1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号。

1.4 绝对值的三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2及其2个推论.2.会用定理1、定理2及其2个推论解决比较简单的问题.自学导引1.a，b∈R，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.2.|a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a与b之间的距离.3.a，b，c∈R，|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间时等号成立.4.||a|－|b||≤|a＋b|；||a|－|b||≤|a－b|.基础自测1.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )A.1B.2C.3D.4解析 利用三角不等式直接求解.∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x|≥|(x －1)－x|＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x|＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x|＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. 答案 C2.设ab>0，下面四个不等式①|a ＋b|>|a|；②|a ＋b|<|b|；③|a ＋b|<|a －b|；④|a ＋b|>|a|－|b|中，正确的是( ) A.①和② B.①和③ C.①和④D.②和④解析 ∵ab>0，①|a ＋b|＝|a|＋|b|>|a|，正确， ②|a ＋b|＝|a|＋|b|>|b|，所以②错， ③|a ＋b|＝|a|＋|b|>|a －b|错，④|a ＋b|＝|a|＋|b|≥|a －b|≥|a|－|b|对， 所以①④正确应选C. 答案 C3.若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________. 解析 根据去绝对值符号后函数的图象求解. 由于f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|， 当a>－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1 （x<－1），－x ＋2a ＋1（－1≤x ≤a ），3x －2a ＋1（x>a ）.作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4. 同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6. 答案 －6或4知识点1 利用绝对值的三角不等式证明变量不等式【例1】已知|x|<1，|y|<1，求证：（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.分析：本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2. 证明|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，|y|<1⇔1－y2>0，x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2⇔（1－x2）（1－y2）≤|1－xy|所以（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即1－xy≠0.●反思感悟：通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键.1.证明：|x －a|＋|x －b|≥|a －b|. 证明 ∵|x －a|＋|x －b|＝|x －a|＋|b －x| ≥|x －a ＋b －x|＝|b －a|＝|a －b|. ∴|x －a|＋|x －b|≥|a －b|.知识点2 利用绝对值的三角不等式证明函数不等式【例2】函数f(x)的定义域为[0，1]，f(0)＝f(1)，且对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有|f(x 2)－f(x 1)|<|x 2－x 1|，求证：|f(x 2)－f(x 1)|<12.证明 设0≤x 1<x 2≤1，①若x 2－x 1≤12，则|f(x 2)－f(x 1)|<|x 2－x 1|≤12.即|f(x 2)－f(x 1)|<12.②若12<x 2－x 1≤1，则|f(x 2)－f(x 1)|＝|f(x 2)＋f(0)－f(1)－f(x 1)| ＝|f(x 2)－f(1)＋f(0)－f(x 1)| ≤|f(x 2)－f(1)|＋|f(0)－f(x 1)| <|x 2－1|＋|x 1－0|.而|x 2－1|＋|x 1|＝1－x 2＋x 1＝1－(x 2－x 1)<1－12＝12.综上所述，对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有 |f(x 2)－f(x 1)|<12.●反思感悟：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.证明∵|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(0)|≤1，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7.知识点3 绝对值的三角不等式的应用【例3】若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|<a的解集为∅，求实数a的取值范围.解方法一：∵|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，∴当a≤3时，原不等式解集为∅.方法二：式子|x＋2|＋|x－1|可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a的范围是a≤3.●反思感悟：解此类不等式有三种方法：分区间(分类)讨论法、图象法、几何法.3.已知函数f(x)、g(x)，设不等式|f(x)|＋|g(x)|<a (a>0)的解集为M ，不等式|f(x)＋g(x)|<a (a>0)的解集是N ，则集合M 与N 的关系是( ) A.N ?M B.M ＝N C.M ⊆ND.M ?N解析 ∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x 0∈M ， |f(x 0)|＋|g(x 0)|<a ，故|f(x 0)＋g(x 0)|<a ， 所以x 0∈N. 答案 C课堂小结证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值的三角不等式即 |a|－|b|≤|a ＋b|≤|a|＋|b|； |a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|； |a|－|b|≤|a －b|≤|a|＋|b|.随堂演练1.若a ，b 都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( ) A.|a ＋b|≥a －b B.a 2＋b 2≥2|a·b| C.|a ＋b|≤|a|＋|b| D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 解析 当a>0，b<0时，|a ＋b|<a －b.故A 不恒成立. 答案 A2.若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，3) B.(－∞，3] C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析 |x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x<－1，2x －1，－1≤x<2，3，x ≥2.∴|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立时，a<－3，故选C. 答案 C3.若1<1a <1b ，则下列结论中不正确的是( )A.log a b>log b aB.|log a b ＋log b a|>2C.(log b a)2<1D.|log a b|＋|log b a|>|log a b ＋log b a| 解析 ∵1<1a <1b，∴0<b<a<1，∴log a b>1＝log a a ＝log b b>log b a ，∴A 正确； |log a b ＋log b a|＝log a b ＋1log a b ≥2，∴B 正确；0<log b a<log b b<1，∴(log b a)2<1，C 正确.∵log a b>0，log b a>0，∴|log a b|＋|log b a|＝|log a b ＋log b a|故D 错. 答案 D4.x ，y ∈R ，若|x|＋|y|＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________.解析 利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x|＋|x －1|是数轴上的点x 到原点和点1的距离之和，所以|x|＋|x －1|≥1，当且仅当x ∈[0，1]时取“＝”. 同理|y|＋|y －1|≥1，当且仅当y ∈[0，1]时取“＝”. ∴|x|＋|y|＋|x －1|＋|y －1|≥2. 而|x|＋|y|＋|x －1|＋|y －1|≤2， ∴|x|＋|y|＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，∴(x ＋y)∈[0，2]. 答案 [0，2]基础达标1.若|a －c|<b ，则下列不等式不成立的是( ) A.|a|<|b|＋|c| B.|c|<|a|＋|b| C.b>||c|－|a||D.b<||a|－|c||解析 b>|a －c|>|a|－|c|， b>|a －c|>|c|－|a|，故A 、B 成立， ∴b>||a|－|c||，故C 成立. 应选D(此题代入数字也可判出). 答案 D2.若|x －a|<h ，|y －a|<k ，则下列不等式一定成立的是( ) A.|x －y|<2h B.|x －y|<2k C.|x －y|<h ＋kD.|x －y|<|h －k| 解析 |x －y|＝|x －a ＋a －y|≤|x －a|＋|a －y|<h ＋k ，∴应选C. 答案 C3.如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋12x 成立，那么实数x 的集合是( )A.{－1，1}B.{x|x<0或x ＝1}C.{x|x>0或x ＝－1}D.{x|x ≤－1或x ≥1}解析 由|cosα|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ≤1. 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ＝|x|2＋12|x|≥1. ∴|x|2＋12|x|＝1，当且仅当|x|＝1时成立，即x ＝±1.答案 A4.已知－2≤a ≤3，－3<b<4，则a －|b|的取值范围为______________. 解析 ∵－3<b<4，∴0≤|b|<4，－4<－|b|≤0， 又－2≤a ≤3，∴－6<a －|b|≤3. 答案 (－6，3]5.若|x －4|＋|x ＋5|>a 对于x ∈R 均成立，则a 的取值范围为__________. 解析 ∵|x －4|＋|x ＋5|＝|4－x|＋|x ＋5| ≥|4－x ＋x ＋5|＝9.∴当a<9时，不等式对x ∈R 均成立. 答案 (－∞，9)6.已知定义在R 上的函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a. (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. (1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f(x)的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数， 所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r)2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.综合提高7.若函数f(x)＝|x ＋1|＋|2x ＋a|的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a. (1)当－1≤－a2，即a ≤2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x<－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a2. 易知函数f(x)在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.(2)当－1>－a2，即a>2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x<－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f(x)在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.答案 D8.已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足： ①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f(x)－f(y)|<12|x －y|.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18解析 先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y ＝0，则|f(x)－f(0)|<12|x －0|，即|f(x)|<12x ，取y ＝1则|f(x)－f(1)|<12|x －1|，即|f(x)|<12(1－x).∴|f(x)|＋|f(x)|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f(x)|<14.不妨取f(x)≥0，则0≤f(x)<14，0≤f(y)<14，∴|f(x)－f(y)|<14－0＝14，要使|f(x)－f(y)|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.答案 B9.若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切x ∈R 恒成立，那么实数a 的取值范围是________.解析 令f(x)＝|x －4|－|x －3|，不等式f(x)≤a 对一切x ∈R 恒成立的充要条件是a ≥f(x)的最大值，因为|x －4|－|x －3|≤|1(x －4)－(x －3)|＝1，即f(x)的最大值等于1，所以a ≥1. 答案 a ≥110.关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集是∅，则a 的取值范围是________. 解析 |x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3， ∴a ＜3.答案 a ＜311.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值. 解 (1)因为f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c ≥|(x ＋a)－(x －b)|＋c ＝|a ＋b|＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立.又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b|＝a ＋b.所以f(x)的最小值为a ＋b ＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c)2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立.故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87. 12.若a 、b ∈R ，且|a|＋|b|<1，证明方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1. 证明 方法一：设方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，根据韦达定理，有a ＝ －(x 1＋x 2)，b ＝x 1x 2，代入|a|＋|b|<1得|x 1＋x 2|＋|x 1x 2|<1，①若用|x 1|－|x 2|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有|x 1|－|x 2|＋|x 1|·|x 2|<1，即(|x 1|－1)(|x 2|＋1)<0.∵|x 2|＋1>0，得|x 1|－1<0，∴|x 1|<1.若用|x 2|－|x 1|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有|x 2|－|x 1|＋|x 1|·|x 2|<1.同理，由(|x 2|－1)(|x 1|＋1)<0，得|x 2|<1.因此，方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1.方法二：假设方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x 1|≥1，则根据一元二次方程的韦达定理，有|a|＝|－(x 1＋x 2)|＝|x 1＋x 2|≥|x 1|－|x 2|≥1－|x 2|，|b|＝|x 1x 2|＝|x 1|·|x 2|≥|x 2|.将以上两个不等式相加，得|a|＋|b|≥1.这与已知|a|＋|b|<1矛盾.究其原因是假设错误所致.因此方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值均小于。