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关于Hermite矩阵迹的几个不等式

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文 章编 号 ：１０ — ８ １（ ０２）０ －０ １０ ０７ ９ ３ ２ １ ２０ １— ３
关 于 Ｈ ｒ ｉ 矩 阵迹 的几个不 等式 ｅ ｔ ｍｅ
赵秀芳 ，王希彬 ，翟晓红 。 ，马丽丽 ，李立
（． １ 齐齐哈尔大学 理学院 ， 黑龙江 齐齐哈尔 １ １０ ；２ 齐齐哈尔市朝鲜族中学 ， ６０６ ． 黑龙江 齐齐哈尔 １ １ ６ ６０ ； ０ ３ 齐齐哈尔中 ，黑龙江 齐齐哈尔 １１０ ） ． 学 ６０ ２
１ 引言及预备知识 来受到了许 多学者的广泛关注Ｉ ． ９０ ， １８ 年
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等式 ２ｒ Ｂ ≤ ｔＡ ） （ ＋ 和 ｔ Ａ ） （ｒ 。 ＋（ ） １９ 年 ， ｒ Ｂ ≤ ｔ ） 缸 ｎ ． ９０ （ Ａ ‘ 席博彦在文献【 中将矩阵迹的 Ｂ ｌ ａ ２ 】 ｅｍ ｎ ｌ 不等式进行了推广 ： Ａ 曰为 Ｈ ｒ ｉ 正半定矩阵 ，ｎ 设 ， ｅ ｔ ｍｅ 为正整数 ，则 ｔ Ａ ） ≤ ｒ ． ｒ Ｂ ｔＡ Ｂ ） （ （ 本文利用矩阵恒等变形的方法 ，得到了 Ｈ ｒ ｉ 正半定矩阵和 Ｈ ｒ ｉ 正定矩阵迹的几个重要不等式 ， ｅ ｔ ｍ ｅ ｅ ｔ ｍｅ 推广了相关文献的结果． 引理 设 Ａ 曰为任意 ２ Ｈ ｒ ｉ 正半定矩阵 ，则 ， 个 ｅ ｔ ｍｅ
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第 ３ 卷 第 ２ ２ 期
２ １ 年 ３月 ０２
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ａ ｈ ｒ Ｃｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｏ ｍ ｌ ｉｎ ｅｏ ｃ ｅｓ ｏＳ Ｔｅ Ｈ ｇ ｎ ｉｅ ｔ ｓ ｙ
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ２ １３ ． Ｍａ ． ２ ２ ｒ ０１
摘要： 研究 了 Ｈ ｒ ｉ 正半定矩阵和 Ｈ ｒ ｉ 正定矩阵的迹的不等式问题． ｅ ｔ ｍｅ ｅ ｔ ｍｅ 利用矩阵恒等 变形的方 法， 得到 了Ｈ ｒ ｉ 正半定矩阵和 Ｈ ｒ ｉ 正定矩阵迹的几个重要不等式， ｅ ｔ ｍｅ ｅ ｔ ｍｅ 推广了相关文献的结果． 关 键词 ：Ｈｅｍｔ 阵 ；正 定矩 阵 ；半正 定矩 阵 ；矩 阵 的迹 ｒｉ ｅ矩 中图分类号 ：０ ５ ． １１ １ ２ 文献标识码 ：Ａ ｄ ｉ ０ ９９ ．ｓ． ０ － ８ １ ０２ ２ ０ ｏ：１． ６ ￣ ｓ １ ７ ９ ３ ． １． ． ４ ３ ｉｎ ０ ２ ００
ｍａｒ ｅ ． Ｔ ｒｕ ｈ ｉｅ ｆ Ｍ ｅｏｍａｉｎ ｏ ｔ ｘ ｏ ｔｉｅ ｅ ｅａ ｍｐ ｒ ｎ ｎ ｑ ａｉｅ ｆ Ｈｅｍｉ ｏ ｉ ｖ ｔｉ ｓ ｃ ｈ ｏ ｇ ｄ ｎ ｃ ｄ ｆｒ ｔ ｆｍａｒ ， ｂａｎ ｄ ｓｖ ｒｌ ｉ ｏｔ ｔｉｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｒ ｔ ｐ ｓｔ ｅ ｉ ｏ ｉ ａ ｌ ｉ ｅ ｉ

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南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵

南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵


(10) 若A B，P为n m列满秩矩阵,则P H AP P H BP; (11) 若A B，P为n m矩阵,则P H AP P H BP; (12) 若A 0( A 0)，C 0(C 0),且AC CA,则
AC 0( AC 0).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0， 则
定理5.3.4 设A, B均为n 阶Hermite矩阵，则 (1) 若A B 0，则B1 A1 0 ; (2) 若A B 0，则B1 A1 0. 定理5.3.5 设A,B均为n 阶Hermite矩阵,且AB = BA,则 (1) 若A B，则A2 B2; (2) 若A B，则A2 B2 . 定理5.3.6 设A是m n行满秩矩阵, B是n k矩阵,则
In( A) { ( A), ( A), ( A)}
则称In( A)为矩阵A的惯性。
定理5.1.6(Sylvester惯性定律） 设 A,B是n 阶Hermite 矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是
In( A) In(B)
(5.1.6)
5.1.3 Hermite二次型
由n个复变量
x1
,
,
x
，系数为复数的二次齐
(1) B A的充分必要条件是 ( AB1 ) 1; (2) B A的充分必要条件是 ( AB1 ) 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
min ( A)I A max ( A)I
其中max ( A) 和min ( A)分别表示A的最大和最小特征值。
推论5.3.1 设A是Hermite非负定矩阵，则 A≤ tr(A) I 。
矩阵，并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。
利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可
一类矩阵迹的不等式

一类矩阵迹的不等式

一类矩阵迹的不等式周其生;金乐乐【摘要】In this paper, inequality on trace of a class of matrix are provided, by using Young inequality and Lieb-Thirring inequality, and the result of some of the literature is generalized.%本文利用Young不等式和Lieb-Thirring不等式，给出一类矩阵迹的新的不等式，且推广了一些文献的结果。

【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P1-4,56)【关键词】矩阵;迹;不等式【作者】周其生;金乐乐【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133;安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O178;O151.21矩阵的迹是矩阵的一个重要数值特征，由于矩阵迹的运算在数值计算、逼近论以及统计估计、随机控制、滤波和经济计量学等理论中应用广泛，因此，对于它的讨论引起众多数学工作者的重视。

由于矩阵的乘法无实数乘法所具有的交换性，这使得许多关于实数的不等式不能直接推广到矩阵论中，一些看似平常的代数不等式，推广为按Löwner偏序的矩阵不等式一般可能不成立。

由于矩阵迹运算克服了矩阵乘法交换性的困难，又使得实数不等式的推广成为可能，鉴于矩阵乘积的迹一般不等于矩阵迹的乘积，故而又成为推广的障碍，因此，研究矩阵不等式不仅具有应用价值，而且也极具挑战性。

本文将利用矩阵迹的Young不等式和Lieb-Thirring 不等式，以及关于迹的性质，将一些熟知的实数不等式推广到矩阵论中，得到关于矩阵迹的不等式。

杨晋和稽国平、汤正谊等人分别在文[1]和[2]中给出如下一些实数不等式。

1.Jacobsthal不等式设x≥0,y≥0，对任意正整数n，有xn+(n-1)yn≥nxyn-1；当y>0时，上式可变形为。

矩阵(南航)5章

矩阵(南航)5章


定理5.3.1 阵,则
设 A, A1, B, B1, C 均为 n 阶 Hermite 矩
(1) A ≥ B( A > B ) A ≤ B( A < B );
( 2 ) A ≥ B ( A > B ) 对任意 n 阶可逆矩阵 P 都有
P H AP ≥ P H BP ( P H AP > P H BP );
其中 r = rank(A).上式称为二次型的规范形.
5.2
Hermite正定(非负定)矩阵
n
定义5.2.1 设A是n阶Hermite矩阵 , 如果对任意 x ∈ C
n H
且x ≠ 0, 都有 x H Ax > 0,则称 A为正定矩阵 , 记作 A > 0; 如果 对任意 x ∈ C 都有 x Ax ≥ 0, 则称 A为非负定(半正定 )矩阵 , 记作 A ≥ 0.
A11 A= H A 12 A12 A22 A11 ∈ C k ×k ,
H 则 A > 0 的充分必要条件是 A11 > 0, A22 A12 A111 A12 > 0,此时
H | A |=| A11 | | A22 A12 A111 A12 | .
例5.2.3
若 A = (a ij ) 是 n 阶Hermite 正定矩阵,则
推论5.2.1 设 A 是 n 阶 Hermite 正定矩阵 , 其特征值
为 λ1 , λ 2 , L , λ n,则
(1) A 1 是正定矩阵;
( 2) 如果 Q 是任一 n × m 列满秩矩阵 , 则 Q AQ > 0;
H
( 3) A > 0 ; tr ( A) > λ i ( i = 1, 2, L , n) .
关于复正规矩阵的2个不等式

关于复正规矩阵的2个不等式

关于复正规矩阵的2个不等式沈浮;夏必腊;周堂春【摘要】给出了复正规矩阵的2个不等式,其中一个可看成是对文献[1]中定理3.9的推广,另一个是对文献[2]定理6.2.2的进一步研究,它们具有一定的理论价值和应用价值.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2014(032)001【总页数】3页(P5-7)【关键词】Hermite矩阵;正定矩阵;满秩矩阵;酉相似【作者】沈浮;夏必腊;周堂春【作者单位】解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031;解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031;解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031【正文语种】中文【中图分类】O151.210 引言矩阵不等式是矩阵理论中的一个很重要内容。

随着矩阵理论的迅速发展及其在自然科学、工程技术和社会经济等领域的广泛运用，关于矩阵不等式的新结果层出不穷。

文献［1］中的定理3.9指出:当A是Hermite矩阵时，则有λmin(A)E≤A≤λmax(A)E。

文献［2］中定理6.2.2又指出:当A和B为2个非负定的Hermite矩阵时，则有0≤trAB≤λmax(A)trB≤rtA·trB。

这2个结果都是针对Hermite矩阵的，本文对复正规矩阵进行了研究，得出了更进一步的结论。

本文中，用Re(z)表示复数z的实部，用λmin (A)和λmax(A)分别表示Hermite矩阵A的最小特征值和最大特征值，用λRmin(A)和λRmax(A)分别表示复矩阵A 实部最小的特征值和实部最大的特征值，用tr(A)记矩阵A的迹，向量x的共轭转置用xH，E表示n阶单位矩阵。

1 基本概念及相关引理定义1:设A∈Cn×n，若对任意非零列向量x∈Cn×1，都有则称A为复正定矩阵(或复非负定矩阵)，记作A＞0(或A≥0)。

显然，当A为Hermite正定(非负定)矩阵时，它也是复正定(非负定)矩阵。

定义2:设A、B∈Cn×n，如果A－B是复正定矩阵(或复非负定矩阵)，则称复矩阵A大于复矩阵B(或称复矩阵A大于或等于复矩阵B)，记作A＞B(或A≥B)。