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矩阵求秩方法(一)矩阵求秩方法什么是矩阵求秩？矩阵求秩是一种数学运算，用于确定一个矩阵的秩（rank）。
矩阵的秩是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数。
矩阵求秩在线性代数、计算机科学和工程学等领域中都有广泛的应用。
列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种常用的矩阵求秩方法。
它的基本思想是通过一系列基本行变换将矩阵转化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵中非零行的个数确定矩阵的秩。
具体步骤如下： 1. 选取第一个列向量中绝对值最大的元素作为主元，与第一列交换位置。
2. 用第一列的主元将后面各行第一元素消为零。
3. 选取第二个列向量中绝对值最大的元素作为主元，与第二列交换位置。
4. 用第二列的主元将后面各行第二元素消为零。
5. 重复上述步骤，直到矩阵变为阶梯形矩阵。
基本行变换法基本行变换法是另一种常见的矩阵求秩方法。
它的基本思想是通过一系列基本行变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵，然后根据行简化阶梯形矩阵中非零行的个数确定矩阵的秩。
具体步骤如下： 1. 将矩阵化为行简化阶梯形矩阵，即确保每一行的主元（第一个非零元素）为1，且每一主元所在列的其余元素都为0。
2. 将行简化阶梯形矩阵中所有主元所在行上方的元素都消为零。
奇异值分解法奇异值分解法是一种较为复杂但有效的矩阵求秩方法。
它的基本思想是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，然后利用特殊的奇异值矩阵来确定矩阵的秩。
具体步骤如下： 1. 计算矩阵的奇异值分解，得到三个矩阵：左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。
2. 统计奇异值矩阵中非零奇异值的个数，作为矩阵的秩。
其他方法除了上述提到的方法，还有其他一些矩阵求秩的方法： - 基于行列式的方法：计算矩阵的行列式，非零的子式的阶数即为矩阵的秩。
- 基于特征值的方法：计算矩阵的特征值，非零特征值的个数即为矩阵的秩。
总结矩阵求秩是一项重要的数学运算，常用于线性代数和计算机科学等领域。
列主元高斯消元法、基本行变换法和奇异值分解法是常见的矩阵求秩方法，而基于行列式和特征值的方法也有其独特的优势。
矩阵秩的计算方法：将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B，梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。
在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值，类似地，行秩是A的线性独立的水平行数的最大值，一般说来，如果将矩阵看作行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即包含在最大不相关群中的向量的个数。
矩阵秩的性质；
1.矩阵的行秩、列秩、秩均相等。
2.初等变换不改变矩阵的秩。
3.矩阵Rab<=min{Ra，Rb}乘积的秩。
4.如果p和q是可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5.当r(A)<=n-2时，最高阶非零子公式的阶数<=n-2，n-1阶子公式为零，而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号，所以伴随矩阵是零矩阵。
6.当r(A)<=n-1时，最高阶非零子公式的阶数为<=n-1，因此n-1
阶子公式可能不为零，因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。
求矩阵的秩的例题讲解
矩阵的秩的定义
矩阵的子式：从矩阵中任意选取n行，再任意选取n列，这n 行n列的公共部分所组成的行列式就是该矩阵的一个n阶子式。
例题：
理解了矩阵的子式，现在来一起学习“矩阵的秩的定义”
矩阵的秩：
如果某矩阵
1. 至少有一个a阶子式不为0
2. 所有大于a阶的所有子式都等于0
则称该矩阵的秩为a。
PART02矩阵的秩的求法
特殊情况：奇数步遇0
解决办法：若正下方有非0的数，则换行；若正下方没有非0的数，则关注点右移
例题：
解答：
PART03矩阵的秩的公式。
矩阵秩的概念矩阵秩的概念矩阵是线性代数中的重要概念，它是由若干行和列组成的矩形数组。
在矩阵中，每个元素都可以用一个行列坐标来表示。
而矩阵秩则是描述了一个矩阵所包含的信息量大小的指标。
一、定义在数学中，一个m×n（m行n列）的矩阵A的秩，也称为矩阵A的维数或者等级，通常记作rank(A)。
它表示该矩阵所包含信息量大小的指标。
简单来说，就是该矩阵所包含非零行或非零列的最大个数。
二、求解方法1. 高斯消元法高斯消元法就是将一个增广矩阵通过初等变换化为行最简形式，然后统计出非零行（列）个数即可得到该矩阵的秩。
2. 初等变换法初等变换法就是将一个矩阵通过初等变换化为行最简形式，然后统计出非零行（列）个数即可得到该矩阵的秩。
3. 行列式法对于一个n*n方阵A，在进行初等变换时如果其主对角线上有0，则可以通过行列式法将其转化为一个上三角矩阵。
此时，该矩阵的秩就等于其主对角线上非零元素的个数。
三、性质1. 对于任意矩阵A，rank(A) <= min(m,n)，其中m和n分别表示A 的行数和列数。
2. 对于任意矩阵A，rank(A) = rank(A^T)，其中A^T表示A的转置矩阵。
3. 对于任意矩阵A和B，有rank(AB) <= min(rank(A), rank(B))。
4. 对于任意矩阵A和B，有rank(A+B) <= rank(A) + rank(B)。
四、应用1. 线性方程组求解对于一个线性方程组Ax=b，如果rank(A)=rank([A|b])，则该方程组有唯一解；如果rank(A)<rank([A|b])，则该方程组无解；如果rank(A)<n且rank([A|b])=n，则该方程组有无限多解。
2. 线性变换求解对于一个线性变换T：V→W（其中V和W分别表示两个向量空间），其维数为dim(V)*dim(W)，而T的秩则是指T所映射出来的向量空间的维数。
求矩阵的秩的三种方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它由一个数域中的矩形阵列组成，是线性变换的一种表现形式。
矩阵的秩是矩阵的重要性质之一，它可以告诉我们矩阵中行向量或列向量之间的关系。
在实际应用中，求解矩阵的秩是非常常见的问题。
本文将介绍矩阵的三种求解秩的方法。
方法一：高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种基础方法。
对于一个矩阵A，如果它的秩为r，则A必然存在一个大小为r的非零行列式。
我们可以通过对矩阵A进行初等行变换将矩阵转化为行简化阶梯矩阵，然后统计矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行高斯列变换，将A转化为行简化阶梯矩阵形式。
2. 统计矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。
对于下面的矩阵A，我们可以通过高斯消元法求解矩阵的秩：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$按照高斯消元法的步骤对A进行初等行变换，得到行简化阶梯矩阵：方法二：矩阵的列空间对于一个矩阵A，其列空间是由A中所有列向量所张成的向量空间。
矩阵的秩等于它的列空间的维度。
我们可以先求解矩阵A的列空间的维度，然后确定矩阵A的秩。
具体步骤如下：2. 取矩阵A中与非零列对应的列向量，将它们作为张成列空间的一组基。
3. 求解列空间的维度，即为矩阵A的秩。
阶梯矩阵中非零列的位置分别是1和2，因此取A中的第1列和第2列作为列空间的一组基。
可以看出，这组基中存在一个线性关系：第2列 = 2*第1列。
矩阵A的列空间实际上只由A中的第1列张成，其维度为1，因此矩阵A的秩为1。
总结：本文介绍了求解矩阵秩的三种方法：高斯消元法、矩阵的列空间和矩阵的行空间。
对于一般的矩阵，三种方法的求解结果并不一定相同。
但无论采用哪种方法，都能够有效地求解矩阵的秩。
还有一些特殊的矩阵，它们的秩具有一些特殊性质：1. 对于一个n阶矩阵A，如果它是一个可逆矩阵，那么它的秩为n。
第五节：矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的
阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而
为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩
定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全
为0 ,
称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .
注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .
(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解
由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——
非零行的行数。
()
n m ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1
10145641321A 182423=C C 43334=C C 101
22--=
D 1
0156
43213-=D n m ⨯k
n k m c
c ()
n
m ij a A ⨯=0,
r D ≠()().
T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=000007204321B 0
2
021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭2
123508153000720
000
0E ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3
R E =
例2 设 如果 求 a .
解
或 例3
则
2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 则 注： 只改变子行列式的符号。
是 A 中对应子式的 k 倍。
是行列式运算的性质。
求矩阵A 的秩方法：
1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B
2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩。
例4 求
解 R(A ) = 2
⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R a
a a
A 1111
1
1=0)1)(2(2
=-+=a a 1=∴a 2-=a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=K K K K A 1
11111111111()3=A R
=K 3-()3
11111113(1)(3)111
111K A K K K K K
=+=-+B A →)
()(B R A R =j i r r ↔.1i r k .2j
i kr r +.3⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=211163124201A ().A R −−→
−-1
22r r A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----211021104201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000021104201
例5
三、满秩矩阵
定义3 A 为 n 阶方阵时， 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见： 对于满秩方阵A 施行初等行变换可以化为单位阵E , 又根据初等阵的作用：每对A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,
由此得到下面的定理. 定理3 设A 是满秩方阵，则存在初等方阵
使得
对于满秩矩阵A ，它的行最简形是 n 阶单位阵 E . 例如
A 为满秩方阵。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5 R (AB ) R (A ),
R (AB ) R (B ), 即R (AB ) min{R (A )，R (B )}
设A 是 矩阵，B 是 矩阵， 性质1 性质2 如果 A B = 0 则 性质3 如果 R (A )= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。
性质4 设A,B 均为 矩阵，则 例8 设A 为n 阶矩阵，证明R （A+E ）+R （A-E ）≥n 证： ∵ （A+E ）+（E-A ）=2E
∴ R （A+E ）+ R （ E-A ）≥ R （2E ）=n 而 R （ E-A ）=R （ A-E ）
∴ R （A+E ）+R （A-E ）≥n
μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=A R A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6352132111μλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→458044302111μλ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----+-→01504430211
1μλλ,
2)(=A R 1
,5==∴μλ0
1,05=-=-∴μλ(),n A R =(),n A R <()0
≠⇔=A n A R .
,,,21s P P P E
A P P P P s s =-121, ()E
A n
A R ~= ()n
E A n A R ~⇔=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→320430321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→320110001E
=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→100010001()3
=∴A R ≤
≤≤
n m ⨯t n ⨯).
()()(AB R n B R A R ≤-+.
)()(n B R A R ≤+n m ⨯).()()(B R A R B A R +≤±。
