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１绍兴文理学院数学专业论文应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则并列举克拉默法则的应用院系：数理信息学院专业：数学与应用数学（师范）2012级曹炼壹 陈楚群 陈杭宇 陈瑶 陈羽白指导老师：何济位目录一、摘要及关键词 (3)二、克拉默法则介绍 (3)三、克拉默法则的局限与推广 (4)四、应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则（1）矩阵秩与线性方程组解的关系关系 (5)(2)应用关系推导克拉默法则 (6)五、克拉默法则的应用 (8)六、结束语 (11)七、参考文献 (12)２３一、摘 要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。
而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。
本文描述了克拉默法则产生的背景与局限，归纳了克拉默法则及其推广及其证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。
关键词：克拉默法则；线性方程组；矩阵秩；克拉默法则的应用二、克拉默法则介绍克拉默法则（Cramer's Rule ），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
线性代数是代数学的一个重要的组成部分，广泛地应用与现代科学的许多分支。
其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
对此通常有两种方法，即消元法和克拉默法则。
在中古代，《九章算术》的成书年代就已经将消元法运用自如了，它与现代的矩阵初等变换法则非常相似，而在西方，类似的方法到1826年才被高斯（1777-1855）发现并创建，因而称之为高斯消元法。
至于克拉默法则，它是瑞士数学家克拉默（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的，它是按行列式形式来求解线性方程组的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，其简洁、优美的表述方式堪称数学学科符号化的一个典范。
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
第三章矩阵的秩和线性方程组§3.1. 矩阵的秩矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
定义1. 在m⨯n矩阵A中，任意决定k行和k列 (1≤k≤min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k 阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2. A=(a ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r A，或rankA。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然r A≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置A T的秩与A的秩是一样的。
例1. 计算下面矩阵的秩，而Ａ的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所有的三阶子式全为零，所以r A＝２。
定理一. 任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。
证明我们分别关于三种初等行变换加以证明。
(1)对矩阵A施行行交换变换，设交换矩阵A中某两行得矩阵B，显然B中的任一子式经过行重新排列必是矩阵A的一个子式，两者之间只可能有符号差别，而是否为零的性质不变，因此进行交换变换后，秩不变。
(2)对矩阵A施行行的倍法变换，，用k 0乘矩阵A的第I行得矩阵C，C矩阵的子式或是A的子式；或是A的相应子式的k倍，因而任一子式是否为零的性质不变，所以秩不变。
(3)设r A=r，A的i行元素加上第j行对应元素的k倍，得矩阵D。
考虑D中的r+1阶子式，设M为D中的r+1阶子式，那么有三种可能：(a)M不包含D中的第i行元素，这时M也是矩阵A中的r+1阶子式，由r A=r的定义，M=0。
矩阵的秩与线性方程组线性代数的应用技巧矩阵是线性代数中的重要概念，对于解决线性方程组以及其他相关问题非常有用。
在矩阵的运算中，秩是一个重要的指标，它可以帮助我们判断矩阵的性质以及求解线性方程组的解。
一、矩阵的秩的定义矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关行数，用r(A)表示。
换言之，矩阵的秩是指矩阵经过初等行变换后，行阶梯形矩阵中非零行的个数。
二、线性方程组的解与矩阵的秩的关系线性方程组可以用矩阵来表示，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。
1. 当矩阵A的秩小于n时，即r(A) < n，存在自由变量，线性方程组有无穷多个解。
这是因为秩小于n时，矩阵A的行向量之间存在线性相关性，会导致方程组中存在冗余的方程，从而使得方程组的解不唯一。
2. 当矩阵A的秩等于n时，即r(A) = n，不存在自由变量，线性方程组有唯一解。
这是因为秩等于n时，矩阵A的行向量之间线性无关，不会存在冗余的方程，方程组的解是唯一的。
三、矩阵的秩的计算方法1. 初等行变换法：通过初等行变换把矩阵A化为行阶梯形矩阵，然后矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的个数。
2. 矩阵的秩与其特征值的关系：矩阵A与其特征值λ有关，矩阵A 的秩等于特征值λ不等于0的个数。
四、矩阵的秩在实际应用中的意义矩阵的秩在很多实际问题中都有广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。
1. 线性回归分析：在线性回归分析中，我们可以通过计算相关系数矩阵的秩来判断自变量之间的相关性。
如果相关系数矩阵的秩小于自变量的个数，说明自变量之间存在冗余，可以进行变量选择。
2. 图像处理：在图像处理中，我们可以使用矩阵的秩来判断图像的压缩比例或图像的清晰度。
秩越小的矩阵代表图像的冗余信息越多，而秩越大的矩阵则代表图像的信息丢失越少，图像越清晰。
3. 线性规划：在线性规划中，我们可以通过计算约束矩阵的秩来判断约束条件是否完全满足，进而判断解的可行性。
矩阵的秩的定义矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它描述了矩阵中线性无关的行或列的个数。
矩阵秩的定义可以通过矩阵的行阶梯形式来描述，即将矩阵化简为上三角形式时，非零行的个数就是矩阵的秩。
矩阵的秩在很多应用中都扮演着重要的角色。
首先，在线性方程组的求解中，矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
当矩阵的秩等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组有无穷多解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组无解。
在线性映射和线性变换中，矩阵的秩也起着重要的作用。
对于一个线性映射或线性变换，矩阵的秩等于其定义域的维数和值域的维数中的较小值。
这个结论可以用来判断线性映射或线性变换是否是一一对应的。
在求解矩阵的逆和矩阵的特征值等问题中，矩阵的秩也是一个重要的参考指标。
矩阵的逆存在的充分必要条件是矩阵的秩等于其行（或列）的个数；而矩阵的特征值的个数等于矩阵的秩。
矩阵的秩还与矩阵的行列式有密切的关系。
对于一个n阶矩阵，它的秩r等于其非零行列式的最高次数。
这个结论可以用来求解矩阵的秩，特别是对于较大的矩阵，可以利用行列式的性质来简化计算。
总结来说，矩阵的秩是一个非常重要的概念，它在线性代数中有着广泛的应用。
通过矩阵的秩，我们可以判断线性方程组的解的情况，判断线性映射或线性变换是否是一一对应的，求解矩阵的逆和矩阵的特征值等等。
了解和掌握矩阵的秩的定义和性质，对于深入理解线性代数的基本概念和方法是非常重要的。
希望通过这篇文章的阐述，读者能够对矩阵的秩有一个清晰的认识，并在实际问题中能够灵活运用矩阵的秩来解决各种线性代数相关的问题。
通过深入理解矩阵的秩的定义和性质，读者可以更好地理解线性代数的基本概念和方法，从而提高数学思维能力和问题解决能力。
利用线性方程组证明矩阵秩的有关问题宋杰【摘要】矩阵的秩是矩阵的重要数字特征.是高等代数课程中的一个基本概念.但证明关于矩阵秩的命题是一个难点.讨论如何利用线性方程组的理论证明矩阵的秩的有关问题能更好的解决问题.【期刊名称】《韶关学院学报》【年(卷),期】2010(031)012【总页数】4页(P1-3,42)【关键词】高等代数;矩阵的秩;线性方程组【作者】宋杰【作者单位】韶关学院,数学与信息科学学院,广东,韶关,512005【正文语种】中文【中图分类】O151.21高等代数课程是数学类专业基础课，课程内容较为抽象，有些概念、性质和定理学生不容易理解，要达到活学活用更有难度.矩阵的秩的概念及有关理论是高等代数课程中十分重要的教学内容.矩阵的秩是矩阵本身的一个数字特征，可用于判断矩阵是否可逆、判断向量组的线性相关性、判断线性方程组是否有解、有多少解、判断矩阵可否对角化等很多问题［1］.于是也就出现了许多与秩有关的问题，但这些问题的证明比较困难，学生往往难以下手.与矩阵的秩有关的问题主要是关于矩阵的秩的一些等式或者不等式的证明.这些问题的解决有的可以利用矩阵的秩的概念及教材中的基本结论［1］，有的可以利用熟悉的、较简单的矩阵秩的等式或不等式［2,3］，还可以利用广义初等变换［3,4］等.本文主要讨论利用线性方程组的理论来证明与矩阵的秩有关的问题,这方面的文献还比较少［5,6］.定义［1］矩阵A中不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩.本文记矩阵A的秩为r(A).利用向量空间以及空间的维数的概念可知矩阵的秩等于矩阵行空间的维数，也等于矩阵列空间的维数.关于矩阵秩的基本结论有：矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩，当其中一个因子可逆时，乘积的秩等于另一个因子的秩；矩阵的初等变换不改变矩阵的秩等.线性方程组的一般形式如下：简记为AX=b，其中A=(aij)mn，X=(x1,x2,…,xn)′，b=(b1,b2,…,bm)′.本文中()′表示向量或矩阵的转置.A称为该线性方程组的系数矩阵，=(A,b)称为增广矩阵.如果b=0，则称该方程组为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组.定理1 线性方程组有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩［1］.如果线性方程组有解，而系数矩阵和增广矩阵的秩同为r，则当r等于未知量的个数n时，方程组有唯一解；当r＜n时，方程组有无穷多解.2.1 利用线性方程组有解的充分必要条件有些秩的问题，可以通过构造线性方程组，利用定理1来解决.例1 设A,B,均为n阶方阵，d为n维列向量，证明若r(AB,d)=r(AB)，则r(A,d)=r(A).证构造线性方程组ABX=d，因为r(AB,d)=r(AB)，所以ABX=d有解，设X0为其一解.另设A=(α1,…，αn)，B=(b ij)n×n，X0=(x10,…,xn0)′,则：2.2 利用齐次线性方程组基础解系中向量的个数与系数矩阵的秩的关系设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0永远有解，若r(A)=r，则AX=0的基础解系，即解空间的基含有n-r(A)个解向量.命题1 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)≤n.证因为AB=0，所以B的n个列向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量，则AX=0的基础解系中恰有n-r(A)个解向量，所以r(B)≤n-r(A)，故r(A)+r(B)≤n.2.3 利用线性方程组同解与系数矩阵的秩之间的关系有许多秩的问题，可以通过构造两个甚至多个线性方程组，先证明它们同解，然后得出矩阵的秩之间的关系.命题2 设A和B分别为m×n和l×n矩阵，则：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)；(2)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B).证（1）因为AX=0的解都是BX=0的解，所以AX=0的解空间WA包含于BX=0的解空间WB，从而解空间的维数dim WA≤dim WB，即n-r(A)≤n-r(B)，故r(A)≥r(B).（2）由（1）容易得出.例4 设A为n阶方阵，证明：r(An)=r(An+1)=….由于AnX=0与An+1X=0同解，故由命题2知r(An)=r(An+1)，同理可证r(An+1)=r(An+2),…，故r(An)=r(An+1)=….例5 设A为m×n实矩阵，证明r(AA′)=r(A′A)=r(A).证构造齐次线性方程组AX=0，于是A′AX=0；反之由A′AX=0可得X′A′AX=0，即(AX)′AX=0，因为A为实矩阵，AX为实m维列向量，所以AX=0.即方程组AX=0与A′AX=0同解，故由命题2知r(A′A)=r(A).显然r(AA′)=r(A′A).命题3 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则r(AB)=r(B)的充分必要条件是方程组ABX=0与BX=0同解.证充分性.由命题2可得.必要性.若r(AB)=r(B)，则方程组ABX=0与BX=0的基础解系含有相同个数的解向量，又因BX=0的解必是ABX=0的解，故BX=0的基础解系也是ABX=0的基础解系，因此它们含有完全相同的解.例6 设A,B,C,D分别是k×l,l×m,m×n,n×k,矩阵，证明：（1）若r(DA)=r(A)，则r(DAB)=r(AB)；（2）若r(BC)=r(B)，则r(ABC)=r(AB).证（1）由命题2，只需证方程组(DAB)X=0与方程组(AB)X=0同解.显然方程组（AB）X=0的解是都是方程组(DAB)X=0的解.假设X0为(DAB)X=0的一个解,则(DAB)X0=0,即(DA)BX0=0，所以BX0是方程组(DA)Y=0的解.但r(DA)=r (A)，由命题3知方程组(DA)Y=0与方程组AY=0同解，因此BX0也是方程组AY=0的解.故A(BX0)=0，亦即X0是方程组(AB)X=0的解.综上所证，方程组(DAB)X=0与方程组(AB)X=0同解，从而r(DAB)=r(AB). （2）因为r(ABC)=r((ABC)′)=r(C′B′A′)，r(AB)=r((AB)′)=r(B′A′)，所以只需证明r(C′B′A′)=r(B′A′).因为r (BC)=r(B)，所以r(C′B′)=r(B′)，于是由（1）的结果知r(C′B′A′)=r(B′A′).本文通过实例分类介绍了线性方程组的理论在处理矩阵秩的问题中的应用.因为线性方程组的求解是高等代数的核心内容之一，而矩阵的秩对于线性方程组的重要性学生已有认识，对相关结果的记忆也比较深刻，因此这种方法学生比较容易理解，也比较自然.有些复杂的秩的问题可能需要综合考虑各种方法.学生应重视解决与矩阵的秩有关的问题，多加训练，使所学高等代数的相关知识前后联系，达到融会贯通.【相关文献】［1］张禾瑞,郝炳新.高等代数［M］.第四版.北京:高等教育出版社,1997.［2］黎伯堂,刘桂真.高等代数解题技巧与方法［M］.济南:山东科学技术出版社，2001. ［3］王品超.高等代数新方法［M］.济南：中国矿业大学出版社，2003.［4］王磊,赵静.矩阵秩的不等式的证明［J］.滨州学院学报,2010(3):73-75.［5］毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳［M］.武汉：华中科技大学出版社,2003.［6］林大华,戴立辉.线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用［J］.赤峰学院学报,2010(3):6-7.。
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
