第三章正弦交流电路

线圈电流
I&L =
U&L jX L
=
10 0o = 0.001 90o j10000
电流幅值
IL = 0.001A = 1mA
同一电感在不同频率时，电抗相差很大。
电感元件瞬时功率
iL = 2IL sin ωt
UL = 2UL sin(ωt + 90o)
pL = uLiL = 2IL sin ωt ´ 2U L sin(ωt + 90o )
同时间内消耗的能量。称这一直流电流I为交流电流 i(t) 的有
效值。
ò 交流电功率:
Wi =
T i2Rdt,
0
ò 直流电功率:
WI =
T I 2Rdt = I 2 RT
0
由 Wi = WI 得:
ò 周期交流电流有效值:
I=
1 T i2dt
（有效值又称 为均方根值）
T0
ò 同理，周期交流电压有效值为 U = 1 T u2dt T0
解:当 f = 50H z 时 ω = 314 1 / s ,
线圈电抗 X L = ωL = 314 ´ 31.8 ´10-3 = 10Ω
线圈电流
பைடு நூலகம்
I&L =
U&L = 10 0o = 1 -90o jX L j10
电流幅值 IL = 1A
当 ω = 314000 1 / s( f = 50KHz)
线圈电抗 X L = ωL = 314000 ´ 31.8 ´10-3 = 10000Ω
= U L IL sin 2ωt
电感元件平均功率
u
i Pt
ò PL
=
1 T
T
0 pLdt = 0
电感元件串联在电路中, 当交流电流流过时产生电压降, 但不 会产生功率损耗. 一般交流电扇就是用串联电感来调速的.
3）电容元件
时域表达式 UC = 2U sin ωt
iC
=
C
du c dt
iC
=C
du c dt
时域表达式 iL = 2IL sin ωt
uL
=
L
di L dt
F
iL U L
UL = 2ωLIL sin(ωt + 90o) = 2UL sin(ωt + 90o)
iL uL
相量表达式 : I&L = IL 0 , U&L = ωLIL 90
L
即有: U&L = jωLI&L = jX LI&L
相量形式 欧姆定律
y w
Im
t
yi 初相位
例: u = 311sin(314t + 300 )V
我国电网 f＝50Hz， ω＝314弧度／秒,
T = 20毫秒
电流表达式必须规定参考方向!
例如规定参考方向从1到2，i＝5sin（ 314t+45°），则随时 间变化曲线如图。
对于同一个电流,如果参考方向改为从2到1，记为i′，则
ìï电压与电流有效值关系 U L = ωLIL íïî电感电压超前电感电流 90o
X L = ωL，称为感抗，反映某一频率下电
感电压有效值与电流有效值关系, 具有阻抗
的量纲.
ui t
..
IL UL
. jw L UL
.
IL
例1： 一线圈电感 L = 31.8 ´10-3 H ，试求电压为
u = 210 sin 314t和u = 210 sin 314000t 时的电感电流。
第三章 正弦交流电路
本章主要内容
1. 正弦量.相量 2. 有效值 3． 正弦电路元件 4． 基尔霍夫定律相量形式 5． 无源一端口网络,阻抗,导纳 6． 交流电路功率
本章教学目的: 正弦交流电路是应用最广泛的电路，本章介绍
单相正弦交流电路理论中的基本概念和规律。
本章教学要求: 掌握正弦量的概念及其相量表示法，相量运算；
=
2Uωc sin(ωt + 90o )
单相电压220V是指有效值，其最大值约为311V.
3.4 正弦交流电路的元件电压电流相量表达式（相量欧姆定律）
1）电阻元件
i
时域瞬时式 iR = 2I sin(ωt +φ)
u
uR = 2RI sin(ωt + φ)
uR = RiR
相量表达式 : U&R = RI&R
相量形式 欧姆定律
ì电压与电流有效值关系 íî电压与电流同相位
正弦交流电流的有效值
设电流 i = Im sin wt ,则正弦交流电流的有效值为:
ò ò I =
1 T
t
I
2 m
sin 2
ωtdt
=
0
1 T
T 0
I
2 m
(1
-
cos 2
2 ωt
)dt
=
Im 2
即 I = Im 2
同样可定义电压有效值 U = U m 2
注意：电气工程上电压电流的大小，一般都用有效值来表 示，电气工程测量仪表一般也指有效值。 电路计算中一般用有效值运算。
正弦电路元件特性；交流电路KCL、KVL形式；交流电 路功率、有功功率和无功功率及功率因数的概念；简 单正弦电路分析方法。
3.1 正弦交流电量的基本概念
交流电路:电压或电流是时间的周期性函数,一周期内平均值为零. 正弦交流电路:电压或电流是时间的正弦函数.
1)正弦交流电流描述 (电流参考方向如图所示)
U R = RIR
P
it
u
.
IR
.
.
UR
. IR R
UR
瞬时功率:
p = iRuR = 2U R IR sin2 (wt + f ) = U R IR[1- cos 2(wt + f )]
平均功率
ò P = 1 T
T URiRdt = UI = I 2R
0
. . IR R
UR
.
IR
.
UR
2）电感元件
瞬时值 i
瞬时表达式 i(t) = Im sin(wt +yi )
i iR
电流波形图 瞬时表达式需规定参考方向!
Im
y
t
w
2)正弦交流电的三要素
瞬时表达式
i = Im sin(wt +yi )
1> Im 幅值(最大值)
2> ω 角频率, ω= 2pf ,
iR
i
f 频率 , T 周期, T=1/f
3> (ωt＋yi) 相位，
i′＝－i＝－5sin（314t＋45°）＝5sin（314t－135°），
即把时间起点沿ωt轴移动180°。i与i′表示同一电流，由于 正方向不同，初相位相差180°。
1i
2
1 i'
2
t
t
2）相位差: 同频率正弦交流电相位差
两个同频率正弦量，见图 i1＝I1 sin（ωt＋φi1）， i2＝I2 sin（ωt＋φi2）
相位差： φ＝（ωt＋φi1）－（ωt＋φi2）＝φi1－φi2 可见，相位差＝初相位之差。 若 φ＞0，φi1＞φi2，i1超前i2；
i1 i2
φ i2 φ i1
i1超前i2
3.2 周期交流电量的有效值
iR
有效值物理意义：周期交流电流 i(t) 流过电阻R时，在一个
周期内消耗的能量等于某一大小的直流电流I在同一电阻相