2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分） 1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22 221(,,0)x y a b R ab a b +=∈≠经过点 ( ) 2,1”的( A )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A. 解答：当a =2， 2b =曲线C ：22 221x y a b +=经过 ( ) 2,1；当曲线C ：22 221x y a b +=经过 点 ( ) 2,1时，即有 2 221 1a b +=，显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22 221x y a b +=经过点 ( ) 2,1”的充分不必要条件。 2．已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )． A ． 1m > B ． 312m << C ．3 32 m << D ．3m > 答案：B. 解答：由题意可知： 222 (1)2(2)(1)(1) m m m m m m m m ++>+??+>++++?解得3 12m <<。 3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )． A ． 36 B ． 1 2 C ． 3 3 D ．63 答案：C. 解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 11 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,) 2 D A C D M ，且平面 1ACD 的法向量为 1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。因此123 cos ,3 n n <>= ，即二面角第3题图 M C 1 B 1D 1 A 1 C D A B
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答. 2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444 y x +的值为（ ）． （A ）7 （B ） （C ） （D ）5 【答】（A ） 解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得 2 12184x +==， 2 1122 y --+==， 所以 444y x +=2 2233y x ++- 2 226y x = -+=7． 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）1 2
（第3题） 【答】（C ） 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知 ?＝24m n -＞0，即2m ＞4n . 通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故17 36 P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )． （A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 【答】（B ） 解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条． 当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）． （A （B ）1 （C （D ）a 【答】（B ） 解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=?-=∠． 又因为 ()11 60180222ABO ABD α∠= ∠=?+?- 120α=?-， 所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． （第4题）
试卷编号：2126 2018年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题 一、选择题共5小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知√x +1√x =3,则x x 2+2018x +1的值是( )(A)2020(B)12020(C)2025(D)12025 2.在非等腰三角形中,一个内角等于另两个内角的差,且一个内角是另一个内角的2倍.己知该三角形的最小边长等于l cm,则这个三角形的面积是 ( )(A)1cm 2(B)√32cm 2(C)√52 cm 2(D)2cm 23.n 是偶数,若从1开始,前n 个正整数的和的尾数是数字8,则后继的n 个正整数的和的尾数是数字( ) (A)6(B)4(C)2(D)0 4.如图,P (x P ,y P )为反比例函数y =2x 在平面直角坐标系xOy 的第一象限图象上一点,过点P 作x 轴、y 轴的平 行线分别交y =10x 在第一象限的图象于点A 和B ,则△AOB 的面积等于( ) (A)26(B)24(C)22(D)20 5.将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串,第m 个数是2018,则m 是( ) (A)134 (B)143(C)341(D)413 二、填空题共5小题。 6.295的约数中大于1000000的共有＿＿＿＿＿个. 7.若x ,y 都是自然数,关于x ,y 的方程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x ,y )共有＿＿＿＿＿个.(其中[x ]表示不大于x 的最大整数)
8.D为锐角△ABC内一点,满足AD=DC,∠ADC= 2∠DBC,AB=12,BC=10,如图,则△BDC的面积等 于＿＿＿＿＿. 9.已知x1,x2,···,x n中每一个x i(i=1,2,···,n)的数值只能取?2,0,l中的一个,且满足 x1+x2+···+x n=?17,x21+x22+···+x2n=37.则(x31+x32+···+x3n)2的值为＿＿＿＿＿. 10.在1～n这n个正整数中,正约数个数最多的那些数叫做这n个正整数中的“旺数”,比如, 正整数1～20中,正约数个数最多的数是l2,18,20,所以12,18,20都是正整数1～20中的“旺数”.在正整数1～100中的所有“旺数”的最小公倍数是＿＿＿＿＿. 三、解答题共3小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 11.正整数a,b,c,d满足a2?ab+b2=c2?cd+d2.求证:a+b+c+d是合数. 12.三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC,DPE和 BEC.如图所示,其中AD=CD,DP=EP,BE=CE; ∠ADC=∠DPE=∠BEC=90?,求证:P是线段AB的中 点. 13.求证:在十进制表示中,数29的某个正整数幂的末三位数字是001.
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及 答案 一、选择题（满分36分） 1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1
C. a1，a3，a5的倒数成等差数列 D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列 二、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ，] 6、49/4 7、1/16 8、62
2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.若5=+b a ，则ab b ab a b b a a 32 2 4 224+++++=（ ） A ．5 B. 253 C. 52 D. 2 5 5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则 S A =（ ） A ．41 B. 31 C. 22 D. 2 3 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ） A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998 4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 = 在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分） 1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个. 2. =?+++] 2015[]2014[] 2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实 数x 的最大整数）. 3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= . 4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个. 5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则
2016年浙江省高中数学竞赛卷 一、选择题（每题6分，共48分） 1.曲线22(2)()0x y a x y ++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是 （ ） A.0a = B.1a = C.1a =- D.a R ∈ 2.函数3 2()4sin sin 2(sin cos )22 x x f x x x =-+-的最小周期 （ ） A.2π B. 2 π C.23 π D.π 3.设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ， 点A 是过2F 且倾斜角为4 π 的直线与双曲线的一个交点.若12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A. 1 2 1 C. 1 2 1 4.已知正三棱锥S ABC -，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2.若过直线AB 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ） A. 10 B. 15 C. 15 D. 15 5.已知,a b R ∈，函数()f x ax b =-.若对任意[1,1]x ∈-，有0()1f x ≤≤，则 3122 a b a b +++-的取值范围为 （ ） A.1 [,0]2 - B.4 [,0]5 - C.12[,]27 - D.42[,]57 - 6.已知向量OA ，OB 垂直，且|||| 2O A O B == .若[0,1]t ∈，则5|||(1)|12 t AB AO BO t BA -+-- 的最小值为 （ ） A. B.26 C. D.24 7.设集合*{(,)| ,,} M x y x y N ==∈，则集合M 中的元素个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.记[]x 为不超过x 的最大正数，若集合{(,)||[]||[]|1}S x y x y x y =++-≤，则集合S 所表示的平面区域的面积为 （ ） A. 5 2 B.3 C. 9 2 D.4
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答 一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中） 1．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22011，则这样的二次三项式共有 个． 答：1341． 我们发现，实际上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22011–k ，则判 别式Δ=a 2– 4b =22k – 422011–k =22k – 22013–k ≥0，得2k ≥2013–k ，因此k ≥ 3 2013 =671，但k ≤2011，所以k 能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k 恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个. 2．如右图，在半径为1 的圆O 中内接有锐角三角形ABC ， H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC = ． 解：易知，圆心O 及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由 AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2． 由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1． 连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形， 所以CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得 BC == 3．已知定义在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，若F (x )=f (g (x )) – g (f (x )) 的最小值为1 4，则m = ． 答：1 4 -． 解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得 F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m ) =2x 2+8mx +4m 2–2m ， F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像顶点的纵坐标 () 2 222242(42)84284242 m m m m m m m m ??--=--=--?．
2016年北京市中学生数学竞赛（初二） 一、选择题（每小题5分，共25分） 1. 如图，用16张不同的直角三角形纸片拼成一个海螺的图形．直角的 位置、长为1的线段均已标出．则与这海螺图形周长最接近的整数值为（ ）． A ．2 B ．2 C ．1 D ．2 2. 命题甲：在ABC △中，AB AC =，D 为边BC 的中点，则 90ABC CAD ∠+∠=?； 命题乙：在Rt ABC △中，AD 为边BC 上的中线，则90ABC CAD ∠+∠=?． 这两个命题（ ）． A ．甲真乙假 B ．甲假乙真 C ．甲真乙真 D ．甲假乙假 3. 如图，反比例函数()0k y x x = >的图像过面积等于4的长方形OABC 的对角线OB 的中点，P 为函数图像上任意一点．则OP 的最小值为（ ）． A ．1 B C D ．2 4. 已知201655 5a =个 ．则a 除以84所得的余数为（ ）． A ．0 B ．21 C ．42 D ．63 5. 一张三角形纸片的长为1的边仅与一个边长为1的正12边形纸片的一条边重合，平放在桌面上．则 所得到的凸多边形的边数一定不为（ ）． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 二、填空题（每小题7分，共35分） 1. 2= ________=． 2. 设正数 a b c 、、满足()()()()()() 222111111a a b b c c a a b b c c ?+?+?=?+?+?，则 222195619862016a b c ++=_______． 3. 某单位发年终奖100万元，其中一等奖每人1.5万元，二等奖每人1万元，三等奖每人0.5万元．若三 等奖与一等奖人数之差不少于93人，但小于96人，则该单位获奖的总人数为________． 4. 在ABC △中，45BAC ∠=?，60ABC ∠=?，高线AD 与BE 交于点H ．若1AB =，则四边形CDHE 的 面积为_________． A
第 1 页 共 8 页 G F E'C' E A D B C 浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷 （检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容） 一、单项选择题（本大题分4小题，每题5分，共20分） 1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( ). A ．a (x 1-x 2)=d B ．a (x 2-x 1)=d C ．a (x 1-x 2)2=d D ．a (x 1+x 2)2=d 2、如图，ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角 形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当ΔEFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( ). A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ， 然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°)，被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为( ). A ．72° B ．108° C ．144° D ．以上选项均不正确 4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ). A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题分16小题，每题5分，共80分） 5、如图，在矩形ABCD 中，AB =64，AD =10，连接BD ，DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE ?绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE ?为''E BC ?，当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ，若BFD ?为等腰三角形，则线段DG 长为 . 6、如图，在平面直角坐标系中，点M 是第一象限内一点，过M 的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴，y 轴于C 、D 两点，交直线AB 于点E (位于点M 右下方)， 连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0 2019-2020年初二数学竞赛初赛试题及答案 一、选择题（每小题4分，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。 1、 将a 千克含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x 千克，则由此可列出方程 （ ） （A ）( )()().001510 101-+=-x a a （B ）().00150010?+=?x a a （C ）.00150010?=+?a x a （D ）()().0 015100101-=-x a 2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a ﹪，则所用的时间减少b ﹪， 则a 、b 的关系是（ ） （A ）001100a a b += （B ）0 01100 a b += （C ）a a b +=1 （D ）a a b +=100100 3、当1≥x 时，不等式211--≥-+ +x m x x 恒成立， 那么实数m 的最大值是（ ） （A ）1． （B ）2。 （C ）3。 （D ）4。 4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数 12-=x y 与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有（ ）个 （A ）2． （B ）3。 （C ）4。 （D ）5。 5、（英语意译）已知整数x 满足不等式6122≤-≤x ，则x 的值是（ ） （A ）8． （B ）5。 （C ）2。 （D ）0。 6、若三角形的三条边的长分别为a 、b 、c ，且.03 2 2 2 =-+-b c b c a b a 则这个三角形一定是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形 7、如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 是一个正方形，AG 与BD 、CD 分别相交于点E 和F ，如果AE=5，EF=3，则FG=（ ） （A ） 316。 （B ）3 8 。 （C ）4。 （D ）5。 8、1216 -能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（ ） （A ）6． （B ）5。 （C ）4。 （D ）3。 9、若关于x 、y 的方程组???=+-=++0 2, 01a y bx ay x 没有实 数解，则（ ） ２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分） 1．“a＝2， b=”是“曲线C： 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的（A)． A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过)；当曲线Ｃ：22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a＝ 2, b=”是“曲线C： 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 ２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++，则实数m的取值范围为( Ｂ)． Ａ．1 m>B．3 1 2 m < 2005年北京市中学生数学竞赛_高一试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如果{}1,2,3,4,5S =，{}1,3,4M =，{}2,4,5N =，那么，( )()S S M N ?等于 （ ）. A ．? B ．{}1,3 C ．{}4 D ．{}2,5 2．已知a 、b 都是整数.命题甲：a +b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数；命题乙：a +b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数.则（ ）. A ．甲真，乙假 B ．甲假，乙真 C ．甲真，乙真 D ．甲假，乙假 3．若c 、d 是不共线的两个非零平面向量，则下面给出的四组a 、b 中，不共线的一组是（ ） A ．a =?2(c +d )，b =2(c +d ) B ．a =c ?d ，b =?2c +2d C ．a =4c ?2 5d ，b =c ?1 10d D ．a =c +d ，b =2c ?2d 4．对定义在区间[a,b ]上的函数f (x )，若存在常数c ，对于任意的x 1∈[a,b ]有唯一的x 2∈[a,b ]，使得 f (x 1)+f (x 2) 2 =c ，则称函数f (x )在[a,b ] 上的“均值”为c .那么，函数f (x )=lgx 在[10,100]上的均值为（ ）. A ．10 B ．1 10 C ．3 2 D ．3 4 5．在三角形中，三条边长成等差数列是三边的比为3 ：4 ：5的（ ）. A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如()1,7-就是一个整点. 若直线l 过点11,23A ?? ???和11,45B ?? ??? ，则在l 上与点A 距离最近的整点是______. 7．在ABC ?中，AB ，30ACB ∠=?.则AC BC +的最大值是______. 8．2005个实数122005,,,x x x ???满足122320042005200511x x x x x x x x -+-+???+-+-=.则122005x x x ++???+的最小值等于______. 2021年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案 一、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ， ] 6、49/4 7、1/16 8、62 二、选择题（满分36分） 1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1 2018年北京市中学生数学竞赛初二试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）． （A）25% （B）24% （C）23% （D）22% 2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形 （C）恰有两边相等的三角形 （D）恰有一个内角为60°的三角形 3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，9 4．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形的最小值是（）． ABCD （A）22 （B）25 （C）28 （D）32 （1）(2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分） 1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm． 2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________． 4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______． 5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________． 三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证： （1）a3+b3+c3=3abc； G F E' C' E A D B C 浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷 （检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容） 一、单项选择题（本大题分4小题，每题5分，共20分） 1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( ). A ．a (x 1-x 2)=d B ．a (x 2-x 1)=d C ．a (x 1-x 2)2=d D ．a (x 1+x 2)2=d 2、如图，ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当ΔEFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( ). A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°)，被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为( ). A ．72° B ．108° C ．144° D ．以上选项均不正确 4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ). A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题分16小题，每题5分，共80分） 5、如图，在矩形ABCD 中，AB =64，AD =10，连接BD ，DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE ?绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE ?为''E BC ?，当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ，若BFD ?为等腰三角形，则线段DG 长为 . 6、如图，在平面直角坐标系中，点M 是第一象限内一点，过M 的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴，y 轴于C 、D 两点，交直线AB 于点E (位于点M 右下方)， 连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0 2016年小学数学竞赛决赛试卷 （国奥赛决赛） （2016年4月10日下午2:00-3:30） （本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。） 1.）（）（）（40375.08.041545.2? ÷??? = 。 【考点】计算 【难度】★ 【答案】9 64 【分析】原式 = 0.5×4×0.2÷（ 43×403） = 52×9 160 = 964 2.1 811611*********－＋－＋－＋－ = 。 【考点】计算（平方差公式利用） 【难度】★★ 【答案】9 4 【分析】原式 = ) 18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（????） = 971751531311????＋＋＋ = （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×2 1 = （1－ 91）×21 = 98×2 1 = 94 3.)]3 2152(347[163)25.016743(＋－＋－÷?÷ = 。 【考点】计算 【难度】★ 【答案】28 69 【分析】原式 = )1215347(163)4171643(??? －＋－ = 3 16163)41712(?＋－ = 28 41 + 1 = 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是 。 【考点】最值问题 【难度】★ 【答案】54 【分析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。 2003年北京市初二数学竞赛试题 初 赛 一、选择题(满分36分) 1．2003+2003×2003-2003÷2003的值是 (A)4065 (B)2003 (C)4014011 (D)8014017 2．如图1，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB ，CD ，EF ，GH 四条 线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 (A)CD ，EF ，GH (B)AB ，CD ，EF (C)AB ，CD ，GH (D)AB ，EF ，GH 3．已知a c c b y b a x -=-=-1，则x+y 的值等于 (A)0 (B)一1 (C)1 (D)0．5 4．平面内的7条直线任两条都相交，交点数最多有a 个，最少有b 个.则a+b 等于 (A)42 (B)41 (C)21 (D)22 5．已知a-b=5且c-b=10，则a 2+b 2+c 2-ab —bc —ca 等于 (A)105 (B)100 (C)75 (D)50 6．存在这样的有理数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，使得分式 +-+-c b b a 11a c -1的值等于 (A)-2003 (B)0 (C)2003 (D)2003- 二、填空题(满分64分) 1．大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于2003，中数减小数之差等于l000．试确定这三个正整数的和． 2．在△ABC 中，AB=BC ，高线AD=2 1BC ，AE 为∠BAC 的平分线，确定∠EAD 的度数。 3．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数a 1的最大值． 4．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB+CD=12，AD+BC=8，M 为∠A 的平分线和∠B 的平分线的交点，N 为∠C 的平分线和∠D 的平分线的交点，求MN 的长． 5.若x,y 是实数，且,44642 2y x y xy x m --+-=确定m 的最小值． 6．如图2，四边形ABCD 中，AB=BC=CD ，,150,90οο=∠=∠BCD ABC 求BAD ∠的度数． 7．兄弟二人养了一群羊．当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出．兄弟二人平分卖羊得来的钱；哥哥先取l0元，弟弟再取l0元；这样依次 2018年北京市中学生数学竞赛初二年级获奖名单 一等奖（94名） 姓名学校年级姓名学校年级唐锦琪人大附中初一樊骏一人大附中初一袁浩然人大附中初二杨丽鸿清华附中初二陈竞帆人大附中初二段睿思清华附中初二关乃粼人大附中早六宋知轩清华附中初一张世奇人大附中初二沈芸伍清华附中初二张世潇北师大实验中学初一许易清华附中初二赵亦阳十一学校初二张一锐清华附中初二王浩霖人大附中初一潘宇锐北京一零一中初二廖昱博人大附中初一陈昕宇北京一零一中初二李永一人大附中初一李昊轩人大附中初一王原北大附中初二苗硕人大附中初二邹听雨十一学校初一黄安辀人大附中初一张书豪十一学校初二梁恒睿人大附中分校初一黄亦骐人大附中早六王俣涵北大附中初二宋嘉玺人大附中初二武正坤人大附中初一胡殊闻人大附中早六卢远人大附中初一王誉墨北师大实验中学初二谢昊霖人大附中初一贾博暄人大附中初二黄鹤鸣人大附中初一黄子萌北师大实验中学初二曲兆轩牛栏山一中实验学校初二张涵之人大附中初二阮宗泽人大附中初一陈嘉雪人大附中初二王慕涵人大附中初二徐健十一学校初一许睿泽北师大实验中学初二徐文昕人大附中初一许远航北京一零一中初二周亚琪清华附中初二刘若易北师大实验中学初二肖子健清华附中初一李海峰清华附中初一孙胤博人大附中初一许子涵人大附中初一王小龙人大附中早六朱祎然北京二中分校初二陈吉轲人大附中初二张元之清华附中初二李思学北大附中初二郭逸远北京一零一中初一廖原北京五中分校初二吴迪北师大实验中学初二王默涵清华附中初一钟沐阳人大附中初二刘星彤清华附中初二陈宇轩人大附中早六张皓翔北京一零一中初一蓝漩十一学校初二张章北京一零一中初二邓宇晨人大附中初一修时雨人大附中初二邓怡馨人大附中初一游天宇人大附中初一刘馨阳人大附中初一孙晓森清华附中初二吕博涵清华附中初二刘睿韬清华附中初一高子昂清华附中初一邹岳桐人大附中初二虞明达清华附中初一何翰韬十一学校初一李祖豫人大附中早六徐烨堃十一学校初二王中天人大附中初二张翔宇人大附中初二左泽成北师大实验中学初二张皓天北师大实验中学初一吴紫菱北师大实验中学初二张远洋人大附中初一罗天择人大附中初二高梓博人大附中初二卢天戈北大附中初二陈坤宁人大附中初二范唯楚清华附中初一张庭语人大附中初一付紫成人大附中初一 2018年全国初中数学联赛北京赛区获奖名单 一等奖（93名） 姓名性别学校年级姓名性别学校年级王天齐男人大附中初三高国雄男北京二中分校初三张雨诗女清华附中初三李斯羽女清华附中初三曾冠宁男人大附中初三孙怿辰男北京二中分校初三刘陌溪男人大附中早八郭晟毓男十一学校初二鲍阳男北京二中分校初三李飞跃男十一学校初二张潇翰男北师大实验中学初一王惟雅女十一学校初三吴闻道男人大附中初三孙晓森女清华附中初二曹陈华睿男人大附中初三邹岳桐男人大附中初二谭立男人大附中初三赵轩男人大附中早七刘曜玮男人大附中早七李元桢男人大附中初三武正坤男人大附中早七李成竺男北京二中分校初三张世奇男人大附中早八罗方舟男人大附中早七周浩钧男人大附中早八王进一男清华附中初三王程男清华附中初三魏子淇男人大附中初三钟奕飞男十一学校初三仇成宇男清华附中初三高唯真男北京二中分校初三吴迪男北师大实验中学初二刘稼新男清华附中初二李效轩男北师大实验中学初三路原男清华附中初一周亚琪女清华附中初二姚亦李男人大附中初三侯翰飞男人大附中早八陈九如男人大附中早九贾天源男人大附中早八龙韬智男十一学校初二关乃粼男人大附中初一汪昕男人大附中早七王宇航男人大附中初三戴云初男北京二中分校初三马鸿远男北师大实验中学初三郭映阳男北师大实验中学初三李安之男北京二中分校初二张远洋男人大附中早七王誉景女北师大实验中学初二卢思翰男人大附中早六李沐冉女清华附中初三代奇岳男人大附中早七高萌彦男人大附中早九赵树祺男清华附中初三张皓中男人大附中早八李沐涵男人大附中早八李润时男清华附中初三周卞思宁男十一学校初三盖景初男人大附中初三李昊轩男人大附中早七高子昂男清华附中初一钱海天男人大附中早七钟嘉意男人大附中早八李沅臻男清华附中初三武远溪女北京二中分校初三肖子健男清华附中初一孙胤博男人大附中早七薄乃千男人大附中初二黄子萌男北师大实验中学初二王梓畅男人大附中早七许景粟男人大附中早七游天宇男人大附中早七田心洋男清华附中初二张绍博男清华附中初一陈誉霄男人大附中早八沈芸伍男清华附中初二闫昕男人大附中初一王雨轩男人大附中早八卜佳木男清华附中初三苏政渊男人大附中早九张海墨男人大附中早九葛皓天男人大附中早七王京逸男人大附中初三石昕潼男人大附中初一廖正阳男北京八中素五王孟晨男人大附中早九黄安辀男人大附中初一段睿思男清华附中初二蔡涵宇男人大附中早七董天诺男人大附中早八刘诺铭男人大附中初三严绍波男清华附中初三
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