1992年北京市初二数学竞赛初赛试题
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1992年北京市初二数学竞赛初赛试题
一、选择题:
1.设x =y =z =x y 、、z 的大小关系是 ( )
A .x y z ≤≤
B .y z x ≤≤
C .z x y ≤≤
D .z y x ≤≤
【解析】 D 0a ≤,于是991992993a a a ≥≥,因此x y z ≥≥.
2.凸1992边形的内角中,非锐角的个数至少有( ). A .1988个 B .1989个 C .1990个 D .1991个 【解析】 B .因为凸n 边形的外角和为360︒,所以为钝角的外角至多有3个,也就是说至多只有3个锐
角内角.因此凸1992边形非锐角的内角至少有1989个.
3.若12x x 、是方程220x x k +-=的两个不等的实数根,则22122x x +-是( ). A .正数
B .负数
C .零
D .不小于0的数
【解析】 D .()2
2212121222242222x x x x x x k k +-=+--=+-=+.
而440k =+△≥,∴1k -≥ ∴22122x x +-≥0
4.给出以下四个命题:
(Ⅰ)若0a b <<,则4a b <-. (Ⅱ)若22a b <,则a b <.
(1)a b =-,则0a ≥且1b ≥. (Ⅳ)若22x x +=--,则0x <. 其中正确命题的个数是( ). A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
【解析】 B .只有(I )(IV )正确.
5.若1x <等于( ). A .1
B .32x -
C .23x -
D .2-
【解析】 B 1232x x x =-+-=-.
6.设b 取1~11间的偶数,c 取任意正整数,则可以组成有两个不等的实数根的一元二次方程20x bx c ++=的个数是( ). A .50个 B .55个
C .57个
D .58个
【解析】 A .方程2
0x bx c ++=有两个不等的实数根即2
40b c =->△,也即2
2b c ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
.
于是所有形如20x bx c ++=的方程有22222112131415150-+-+-+-+-=个.
二、填空题:
1.如图,在ABC △中,100ABC ∠=︒,AM AN CN CP ==,
,求MNP ∠的度数. A
B
M N
P
C
【解析】
180MNP ANM PNC ∠=︒-∠-∠ ()()11
180********A C =︒-︒-∠-︒-∠
()1
2A C =∠+∠ ()1
1802B =︒-∠ 40=︒
2.设x y z 、、都是实数,并且()()
2111x a y a a a =-=---,,试求21x y a +++的值等于多少?
【解析】 ∵()()2
10
110
a a a a -⎧⎪⎨---⎪⎩≥≥,而210a a --<,∴10a -=,1a = 于是0x =,0y =,1a =,212x y a +++=.
3.若a b c 、、为非零实数,且0a b c ++=,试求
a b b c c a a b
b c
c a
++的值.
【解析】 不妨设a b c ≥≥,则由303c a b c a ++=≤≤得0a >,0c <.
因此
11a b b c c a b
b a b b
c c a b b
++=--=-
4.在浓度为%x 的盐水中加入一定数量的水,则变为浓度是20%的新溶液,在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐,溶液浓度变为30%,求x =? 【解析】 设第一次加入水和第二次加入盐的相对重量为m ,则
20100100
301002100x
m x m m ⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩,解得x =7023.333≈.
5.若x 、y 的值满足方程组3234571103
177543897
x y x y +=⎧⎨+=⎩,求4224199245x x y y ++=?
【解析】 解得2x =,1y =,于是4224199245x x y y ++19921616531893=⨯++=.
6.若0m >,0n >,实数a b c d 、、
、满
足a b c d +++=,2ac bd n ==,试求
d a 的值(用m n ,
表示).
【解析】
7.凸四边形ABCD 中,105ADB ABC ∠=∠=︒,45DAB DCB ∠=∠=︒,若A 点到直线BD 的距离为101,试求线段CD 的长度. 【解析】 ∵30ABD ∠=︒,∴202AB =
在ABD △中,sin sin AB BD
ADB DAB =
∠∠; 在BCD △中,sin sin BD CD
BCD DBC
=
∠∠ ∴sin sin AB CD ADB DBC =∠∠,即202sin105sin 75CD =︒︒,∴202CD =.
8.立方体的每个面上都写有一个自然数,并且相对的两个面上所写的二数之和都相等,若18的对面写的是质数a ,14的对面写的是质数b ,35的对面写的是质数c .试求222a b c ab bc ca ++---的值.
1835
14
【解析】
181435a b c +=+=+, ∴222a b c ab bc ca ++---()()()222
12a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣
⎦
222
1421173732⎡⎤=++=⎣
⎦.