湖南省宁乡一中、攸县一中2019届高三4月联考数学(理)试题 Word版含解析

2019年5月宁乡一中仿真模拟考试试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则A B =U （ ）A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)-【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 和B ，再求并集即可.【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-. 故选A【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.14B.13C.25D.12【答案】B 【解析】 【分析】利于小三角形的面积和与所有三角形的面积和比值即可求得概率. 【详解】设小三角形的直角边长度为12，则小三角形的面积和为411122⨯⨯⨯=，大三角形的面积和为4142⨯=， 则飞镖落在阴影部分的概率为21243=+， 故选B【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；3.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+（e 是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θπ=时，就有10i e π+=，根据上述背景知识试判断3i e π-表示的复数在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据欧拉公式及复数的几何意义，即可求得对应点的坐标，进而判断在复平面对应的点所在象限. 【详解】欧拉公式cos sin i e i θθθ=+， 在3i e π-中，3πθ=-，所以3cos 33sin iei πππ-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭=122i =-，对应点的坐标为1,2⎛ ⎝⎭，所以在第四象限， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义的简单应用，属于基础题. 4.函数2ln ||y x x =+图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

宁乡一中2019年高三年级5月仿真考试试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1. 已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2. (2015新课标全国Ⅰ理科)o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A. B.C. 12-D.12【答案】D 【解析】【详解】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3. 设（1+i ）a ＝1+bi （i 是虚数单位），其中a ，b 是实数，则|a +bi |＝（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a与b的值，再由复数模的计算公式即可求解. 【详解】由（1+i）a＝1+bi，得a+ai＝1+bi，∴1aa b=⎧⎨=⎩，则a＝b＝1.∴|a+bi|＝|1+i|＝2.故选：B.4. （2017新课标全国I理科）记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524a a+=，648S=，则{}na的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【详解】设公差为d，45111342724a a a d a d a d+=+++=+=，611656615482S a d a d⨯=+=+=，联立112724,61548a da d+=⎧⎨+=⎩解得4d=，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a为等差数列，若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.6. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A. 13B.12C.23D.34【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.7. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的A. 7B. 12C. 17D. 34【答案】C 【解析】【详解】第一次循环：2,2,1a s k === ；第二次循环：2,6,2a s k === ；第三次循环：5,17,32a s k ===> ；结束循环，输出17s = ，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A. x=26k ππ-（k∈Z ） B. x=26k ππ+（k∈Z ）C. x=212k ππ-（k∈Z ） D. x=212k ππ+（k∈Z ） 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．9. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】B 【解析】【详解】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 10. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是A. 1433AD AB AC =-+ B. 1433AD AB AC =- C .4133AD AB AC =+D. 4133AD AB AC -=【答案】A 【解析】【详解】∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.11. 已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |= A.32B. 3C. 23D. 4【答案】B 【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,2M N，利用两点间距离公式求得MN的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为(2,0)F，从而得到30FON︒∠=，所以直线MN的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为2)y x=-，分别与两条渐近线y x=和y x=联立，求得3(,2M N，所以3MN==，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12. 设函数()(21)xf x e x ax a=--+，其中1a<，若存在唯一的整数x，使得()0f x<，则a的取值范围是（）A.3,12e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,2e4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,2e4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】设()()21xg x e x=-，()1y a x=-，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01g x a x<-，求导可得出函数()y g x=的极值，数形结合可得()01a g->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a的取值范围. 【详解】设()()21x g x e x=-，()1y a x=-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 若x，y满足约束条件20x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z＝3x－4y的最小值为________.【答案】1-【解析】【分析】作出可行域，结合目标函数与可行域的关系，寻找满足条件的最值点即可【详解】画出可行域如图阴影部分所示.由z＝3x－4y，得344z y x=-，作出直线34y x=，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处时取最小值，故z min＝3×1－4×1＝－1.故答案为1-【点睛】本题考查由可行域求目标函数最值，正确作图是解题关键，属于基础题15. 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是______．【答案】92π【解析】【详解】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为32，此时球的体积为43πR3=92π，故填92π.16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10,记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：2019b 是数列{}n a 中的第________项． 【答案】5049 【解析】【分析】先求数列{}n a 通项公式，再确定{}n b 取法，即得结果. 【详解】因为()1122n n n a n +=+++=,所以当*n 5k 1,5k,k N =-∈时,n a 可被5整除, 因此2019b 是数列{}n a 中的第2019151150492-⨯+-=项． 【点睛】本题考查数列通项公式以及项数，考查基本分析转化与求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分．17. 在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1（2）5. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可以得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，根据题设条件，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos ADB ∠==（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos sin BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以sin ADB ∠=由题设知，90ADB ∠<，所以223cos 125ADB ∠=-=； （2）由题设及（1）知，2cos sin BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 258252225BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=. 所以5BC =.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.18. 如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得22A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以22PC ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =，22PA ⎛= ⎝⎭，()0,1,0AB =.设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,20,x y z x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n =--.设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,0.x z y ⎧=⎪⎪=⎩可取()1,0,1m =. 则3cos ,n m n m n m ⋅==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为3【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 【答案】（1）AM的方程为2y x =-或2y x =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =. 由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛ ⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =-或2y x =（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <，直线MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++.则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,28=i ）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iii x x yy =--∑()()81iii w w yy =--∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1.469 108.8表中=i i w x ，8118==∑i i w w（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋯，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆβ==∑--=∑-n i i i ni i u u v v u u ，ˆˆv u αβ=-． 【答案】（1）y c =+（2）ˆ100.6y =+（3）①576.6，,6.32；②46.24x = 【解析】 【分析】（1）由图中散点的大致形状，可以判断y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型； （2）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，进而可得到y 关于x 的回归方程.（3）①由（2），可求出49x =时，年销售量y 的预报值，再结合年利润0.2z y x =-，计算即可； ②根据（2）的结果，可求得年利润z的预报值ˆ20.12z x =-+，求出最值即可.【详解】（1）由图中散点的大致形状，可以判断y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （2）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8ˆ681.6iii i i w w y y dw w ==--===-∑∑，ˆˆ56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668yw =+， 因此y 关于x的回归方程为ˆ100.6y =+（3）①由（2）知，当49x =时，年销售量y的预报值ˆ 100.6576.6=+=y ，年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯-=. ②根据（2）的结果可知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.620.12zx x =+-=-+，13.66.82==时，即当46.24x =时，ˆz 取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．【点睛】本题考查回归方程及其应用，考查利用二次函数求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 21. 已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m +++<，求m 的最小值． 【答案】（1）1a =；（2）3． 【解析】【详解】试题分析：（1）由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点，列方程解得1a =；（2）由题意结合（1）的结论对不等式进行放缩，求得2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知实数m 的最小值为3. 试题解析：（1）()f x 的定义域为()0+∞，. ①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意； ②若0a >，由()1'a x a x f xx -=-=知，当()0,x a ∈时，()'0f x <；当()，+x a ∈∞时，()'0f x >，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()+a ∞，单调递增，故x =a 是()f x 在()0+∞，的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥.故a =1. （2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->. 令112nx =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.从而 221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3. 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-4；极坐标与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．【答案】（1）221416x y +=，当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =；（2）2-【解析】【分析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos 0α≠ 与cos 0α=两种情况.(2)将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin ,cos αα之间关系，求得tan α，即得l 的斜率．【详解】详解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程()()2213cos 4280tcos sin t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得()1224213cos cos sin t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．[选修4-5；不等式选讲]23. 已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤. 所以()()f xg x ≥解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。

2019学年湖南省、攸县一中高二上期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 对于任意实数 a 、 b 、 c 、 d ，命题: ①若 a ＞ b ，则＜；②若a ＞b ，c ＞d ，则 a － c ＞ b － d ；③ 若，则；④ 若，则．其中真命题的个数是（）A ． 0____________________B ． 1____________________C ． 2____________________________D ． 32. 已知条件，条件，则是的（___________ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 等比数列的前项和为，已知，，则（________ ）A ．____________________________B ．_________C ．___________D ．4. 在中，且，则 BC= （）A ．____________________B ． 3______________C ．____________________ D ． 75. 已知△ ABC 的周长为 20 ，且顶点 B （ 0 ，－ 4 ）， C （ 0 ， 4 ），则顶点 A 的轨迹方程是（）A ．（x ≠ 0 ）_________________________________B ．（x ≠ 0 ）C ．（x ≠ 0 ）_________________________________D ．（x ≠ 0 ）6. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13 吨， B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是（）A ． 12 万元___________B ． 20 万元________C ． 25 万元_________________________________ D ． 27 万元7. 在 R 上定义了运算“ ”：；若不等式对任意实数 x 恒成立，则实数的取值范围是（______________ ）A ．___________B ．___________C ．___________D ．8. 已知数列为等比数列，且，设等差数列的前 n 项和为，若，则 = （_________ ）A ． 32____________________________B ． 36____________________C ． 24________________________D ． 229. 已知，且，若恒成立，则实数的值取值范围是（___________ ）A ．或______________B ．或C ．____________________________D ．10. 已知的一个内角为 120 o ，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则的面积（______________ ）A ．B ．____________________________C ．____________________ D ．二、填空题11. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n ，若 a 2015 =3S 2014 +2016 ， a 2014 =3S 2013 +2016 则公比 q= （______________ ）A ． 2______________B ． 1 或 4___________________________________C ． 4________D ． 1 或 2三、选择题12. 椭圆过右焦点有 n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差为的取值集合为（___________ ）A 、｛ 4 ， 5 ， 6 ， 7 ｝ _________B 、｛ 4 ， 5 ， 6 ｝C 、 {3 ， 4 ， 5 ， 6} ______________D 、 {3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}四、填空题13. 给出下列命题：① 命题“同位角相等，两直线平行”的否命题为：“同位角不相等，两直线不平行，” ．② “ ”是“ ”的必要不充分条件．③“ 或是假命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件．④ 对于命题 : 使得，则： R 均有其中真命题的序号为____________________ （把所有正确命题的序号都填在横线上）14. 已知，满足约束条件，若的最小值为 1 ，则_________15. 椭圆的左．右焦点分别为，焦距为 2c ，若直线与椭圆的一个交点 M 满足，则该椭圆的离心率等于 _________ ．16. 已知各项为正的等比数列中， a 3 与 a 2015 的等比中项为，则2a 4 +a 2014 的最小值为________________________17. 已知命题 P ：（ 1-x ）（ x+4 ）， q ： x 2 -6x+9-m 2 ，，若 P 是 q 的充分不必要条件，求 m 的取值范围。

2019届湖南省长沙市宁乡一中高三下学期5月高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则A B =U （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-【答案】A【解析】分别求出集合A 和B ，再求并集即可. 【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-. 故选A 【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.2．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A ．14B ．13C ．25D ．12【答案】B【解析】利于小三角形的面积和与所有三角形的面积和比值即可求得概率. 【详解】设小三角形的直角边长度为12， 则小三角形的面积和为411122⨯⨯⨯=， 大三角形的面积和为412242⨯=，则飞镖落在阴影部分的概率为21243=+， 故选：B 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+（e 是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θπ=时，就有10i e π+=，根据上述背景知识试判断3i e π-表示的复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】根据欧拉公式及复数的几何意义，即可求得对应点的坐标，进而判断在复平面对应的点所在象限. 【详解】欧拉公式cos sin i e i θθθ=+， 在3i e π-中，3πθ=-，所以3cos 33sin iei πππ-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭=12=，对应点的坐标为1,2⎛ ⎝⎭，所以在第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义的简单应用，属于基础题. 4．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。