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湖南省名校2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()f x 为奇函数，当0x >时，()()arccos sin f x x π=-则0x <时，()f x =A ．()arccos sin xB ．()arccos sin x π+C ．()arccos sin x -D ．()arccos sin x π--【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论．【详解】 ()sin x sinx -=-()()()arccos sin arccos ,x sinx ππ∴--=--又()arccos arccos απα-=-，()()()arccos sin arccos x sinx ππ∴--=--()()()arccos arccos ,sinx sinx ππ=--=0x ∴<时，0x ->，()()()()()arccos sin arccos ,f x f x x sinx π-=-=--=()arccos(sin )f x x ∴=-故选：C ．【点睛】本题考查奇函数的定义、反三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题．2．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 轨迹长度为3，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A ．3B ．233C ．3D ．23【答案】D【解析】【分析】 设111,,AA BB CC 的中点分别为,,D E F ，判断出MN 中点S 的轨迹是等边三角形DEF 的高，由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.【详解】设111,,AA BB CC 的中点分别为,,D E F ，连接1,,,DE EF FD AC .由于//MN 平面11ACC A ，所以1A M CN =.当10A M CN ==时，MN 中点S 为平面11ACC A 的中心，即1A C 的中点（设为G 点）处.当12AM CN a ==时，此时MN 的中点S 为1BB 的中点.所以S 点的轨迹是三角形DEF 的高EG .由于三角形DEF 是等边三角形，而3EG =，所以2a =.故正三棱柱111ABC A B C -的体积为232223⨯⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.3．已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()h x x x =的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >> 【答案】B【解析】【分析】 a ，b ，c 分别为()0f x =，()0g x =，()0h x =的根，作出x y e =，y lnx =，y x =y x =-，观察交点的横坐标的大小关系．【详解】由题意可得a ，b ，c 分别为()0f x =，()0g x =，()0h x =的根，作出x y e =，y lnx =，y x =,的图象,与直线y x =-的交点的横坐标分别为a ，b ，c ，由图象可得a c b <<，故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图象，数形结合思想，属于中档题． 4．在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD =A ．14AB +34AC B ．34AB +14AC C ．13AB +23ACD ．23AB +13AC 【答案】C【解析】【分析】根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示AD .【详解】如图：因为22,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-， 所以212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+， 故选C.【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.5．如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线, MN EF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.【详解】 如图所示：在正方体中，//MN EG ，所以FEG ∠直线, MN EF 所成角，由正方体的性质，知EF EG FG ==，所以3FEG π∠=.故选：C【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.6．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平衡6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=-对称 D ．函数()g x 在区间2[,]3ππ上单调递增 【答案】C【解析】【分析】根据函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得到g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论．【详解】 将函数()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得y ＝2sin （2x 6π-）的图象， 再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝2sin （x 6π-）的图象， 故g （x ）的最大值为2，故A 错误；显然，g （x ）的最小正周期为2π，故B 错误； 当3x π=-时，g （x ）＝2-，是最小值，故函数g （x ）的图象关于直线3x π=-对称，故C 正确； 在区间2[,]3ππ上，x 6π-∈[2π，56π]，函数g （x ）＝2sin （x 6π-）单调递减，故D 错误， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题．7．若001a b ><<，，则2a ab ab ，，的大小关系为 A ．2a ab ab >>B ．2a ab ab <<C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>【答案】A【解析】【分析】利用作差比较法判断得解.【详解】①()21ab ab ab b -=-，∵001a b ><<，， ∴20ab ab ->，故2ab ab >.②∵001a b ><<，， ∴(1)0a ab a b -=->，所以a ＞ab.综上2a ab ab >>，故选A.【点睛】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．sin 45sin 75sin 45sin15+=（ ）A ．0B ．12 CD ．1【答案】C【解析】试题分析：sin 45sin 75sin 45sin15+=7sin sin sin sin sin cos cos sin sin()sin 4124124124124123πππππππππππ+=+=+== 考点：两角和正弦公式9．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*212,21,n n a a S n n N +==++∈若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ++++-≥++++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】由()2*212,21n n a a S n n N +==++∈得到a n =n ，任意的*n N ∈，123111120n n a n a n a n a λ++++-≥++++恒成立等价于11112123n n n n n λ++++≥++++，利用作差法求出1111g 1232n n n n n =++++++++的最小值即可. 【详解】 当n=1时，221211a S =++，又22a =，∴11a = ∵a n+12=2S n +n+1，∴当n≥2时，a n 2=2S n ﹣1+n ，两式相减可得：a n+12﹣a n 2=2a n +1，∴a n+12=（a n +1）2，∵数列{a n }是各项均为正数的数列，∴a n+1=a n +1，即a n+1﹣a n =1，显然n=1时，适合上式∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n =1+（n ﹣1）=n ．任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ++++-≥++++恒成立， 即11112123nn n n n λ++++≥++++恒成立 记1111g 123n n n n n n =++++++++ 111111111g 1g 23n 12123n n n n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+++++-++++ ⎪ ⎪+++++++++++⎝⎭⎝⎭， 1111121101212122222122n n n n n n n n n n =+-=+-=-++++++++++＞， ∴g n 为单调增数列，即g n 的最小值为1g12= ∴122λ≥，即14λ≤ 故选C【点睛】已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.10．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线,,a b c 满足a b b c ⊥∥，，则a c ⊥；④若直线1l ，2l 是异面直线，则与1l ，2l 都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.【详解】①为假命题.可举反例，如a ，b ，c 三条直线两两垂直；②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；③若直线,,a b c 满足a b b c ⊥∥，，则a c ⊥，是真命题；④是假命题，如图甲所示，c ，d 与异面直线1l ，2l 交于四个点，此时c ，d 异面，一定不会平行；当点B 在直线1l 上运动（其余三点不动），会出现点A 与点B 重合的情形，如图乙所示，此时c ，d 共面且相交. 故答案为B【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．已知数列的通项公式是()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，则23⋅a a 等于（ ） A ．70B ．28C ．20D ．8【答案】C【解析】【分析】【详解】 因为()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数， 所以，所以23⋅a a =20.故选C.12．已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π【答案】C【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O '，则12AO AC =='，2PA =，PO '⊥平面ABCD ，故PO ='，而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=则球的半径R =O 的表面积248S R ππ==，故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.二、填空题：本题共4小题13．在三棱锥A BCD -中，已知6AB CD ==，5AC AD BC BD ====，则三棱锥A BCD -内切球的表面积为______. 【答案】63π16【解析】【分析】先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。
2019-2020学年高一数学下学期期末考试测试题（含解析）一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的)1.在复平面内，复数(是虚数单位)，则复数的共轭复数所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，然后再求出其共轭复数在复平面内对应的点的坐标判断即可.【详解】，，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2这个圆柱全面积与侧面积的比为,故选A3.如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则（）A. B. C. D. 以上均有可能【答案】B【解析】∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN⊂平面PAC，∴MN∥PA.故选B.考点：直线与平面平行的性质.4.已知中，，，分别是，，的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形法则求解即可.【详解】依题意，，故故选A．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.5.在中，分别是角的对边，满足，则的最大角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件和余弦定理可得选项.【详解】根据方程可知：，故，由余弦定理得：，又，故.故选：B.【点睛】本题主要考查三角形中余弦定理应用，熟记余弦定理的形式是关键，属于基础题.6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可．解：∵，∴==，．故选B．7.在中，分别是角的对边，满足，则的形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 锐角三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理表示出,代入已知等式变形后得到,即可结论.【详解】,,即,整理得:,即,则为等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题.8.掷一枚骰子试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．【详解】解：事件表示“小于5的点数出现”，的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，表示事件是出现点数为5和6．事件表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现点数为2和4，，．故选：．【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件，属于基础题．二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. 的虚部为B.C. 为纯虚数D. 的共轭复数为【答案】ABC【解析】【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A：的虚部为，正确；对于B：模长，正确；对于C：因为，故为纯虚数，正确；对于D：的共轭复数为，错误.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（）A. 至少有1件次品与至多有1件正品B. 至少有1件次品与都是正品C. 至少有1件次品与至少有1件正品D. 恰有1件次品与恰有2件正品.【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件的定义，对每个选项做出判断，从而得到结论．【详解】对于A，至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于B，至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故满足条件；对于C，至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥事件，故满足条件．【点睛】本题考查互斥事件的判断，考查逻辑思维能力和分析求解能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 11.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】ABC【解析】【分析】根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.【详解】选项A：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6％和17％，则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的.“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A正确；选项B：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，其中从事技术岗位的人数占的比为39.6％，则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的.“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20％，故选项B正确；选项C：“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，大于“80前”的总人数所占比3％，故选项C正确；选项D：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，“80后”的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于中档题.12.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则（）A. 正方体的外接球的表面积为B. 正方体的内切球的体积为C. 正方体的棱长为2D. 线段的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】设正方体的棱长为，由此确定内切球和外接球半径，由的最小值为两球半径之差可构造方程求得，进而求得外接球表面积和内切球体积；由的最大值为两球半径之和可得到最大值.【详解】设正方体的棱长为，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即；内切球半径为棱长的一半，即.分别为外接球和内切球上的动点，，解得：，即正方体棱长为，正确，正方体外接球表面积为，正确；内切球体积为，正确；线段最大值为，错误.故选：.【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最小值为，最大值为.三､填空题13.已知向量，，其中，，与的夹角为________.【答案】【解析】【分析】根据题意，根据平面向量坐标加减法运算和模的求法，分别求出和的坐标和，再利用平面向量的数量积运算，即可求出与的夹角.【详解】解：由题可知，，，则，，得，，所以，又因为两向量的夹角范围为，所以与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，以及向量的坐标加减法运算和模的求法，属于基础题.14.在中，若，，，则等于________.【答案】或.【解析】【分析】由正弦定理，求得，得到或，分类讨论，即可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，所以，因为，所以或，当时，，可得；当时，，此时，综上可得或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得的值，得出的大小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.15.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.【答案】【解析】【分析】解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.【详解】解法1：因为，所以，又，所以因为点三点共线，所以，解得：.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，所以解得：，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.16.在平行四边形中，，，且，以为折痕，将折起，使点到达点处，且满足，则三棱锥的外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】先由余弦定理求得，在四面体中，根据棱长关系可知，将四面体放在长方体中，则三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，根据棱长关系求出长方体的长、宽、高，利用长方体的体对角线等于外接球的直径，求出外接球半径，从而可求得外接球的表面积.【详解】解：在中，，，且，由余弦定理，得，即：，解得：，在四面体中，，，，三组对棱长相等，可将四面体放在长方体中，设长方体的相邻三棱长分别为，，，设外接球半径为，则，，，则，即，所以.所以，四面体外接球的表面积为：.故答案为：.【点睛】本题考查外接球的表面积，涉及长方体的外接球的性质，考查转化思想和计算能力.四､解答题(本题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.已知复数w满足为虚数单位，．求z；若中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．【答案】（1）．（2），，．【解析】【分析】利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．把代入关于x的方程，利用复数相等解出p，q，即可得出．【详解】，，．是关于x的方程的一个根，，，，q为实数，，解得，．解方程，得实数，，方程的另一个根为．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.在中，，，分别是角，，的对边，并且.已知________，计算的面积.请①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.【答案】答案不唯一，见解析【解析】【分析】根据余弦定理求出，若选择①，②，，根据余弦定理求出，然后根据面积公式可求得结果；若选择①，③，根据正弦定理和余弦定理求出和，然后根据面积公式可求得结果；若选择②，③,根据正弦定理求出，再根据面积公式可求得结果.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，若选择①，②，由，得，即，解得（负值舍去）所以.若选择①，③，由以及正弦定理可得，由得，得，，所以.若选择②，③,由以及正弦定理可得，所以，所以.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题.19.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解析】【详解】试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离20.若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲､乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）记甲中奖为事件A，5张奖券中有2张是中奖的，由等可能事件的概率公式计算可得答案；（2）记甲、乙都中奖为事件B，由（1）可得，首先由甲抽一张，中奖的概率，分析此条件下乙中奖的概率，由相互独立事件的概率的乘法公式计算可得答案；（3）记只有乙中奖为事件C，首先计算由对立事件的概率性质计算甲没有中奖的概率，进而分析此条件下乙中奖的概率，由相互独立事件的概率的乘法公式计算可得答案.【详解】（1）根据题意，甲中奖为事件A，5张奖券中有2张是中奖的，则甲从中随机抽取1张，则其中奖的概率为.（2）记甲、乙都中奖事件B，由（1）可得，首先由甲抽一张，中奖的概率为，若甲中奖，此时还有4张奖券，其中1张有奖，则乙中奖的概率为，则甲、乙都中奖的概率.（3）记只有乙中奖为事件C，首先甲没有中奖，其概率为，此时还有4张奖券，其中2张有奖，则乙中奖的概率为，则只有乙中奖的概率为.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意在甲中奖与否的条件下，乙中奖的概率不同，属于中档题. 21.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为………8分（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;受访职工评分在[40,50)的有：50×0.004×40＝2（人），即为.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为考点：1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型.【名师点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.22.在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角的余弦值为.【解析】分析：（Ⅰ）连接AC交BE于O，并连接EC，FO，由题意可证得四边形ABCE为平行四边形，则，//平面.（Ⅱ）由题意可得，且，则，故.（Ⅲ）取中点，连，由题意可知的平面角，由几何关系计算可得二面角的余弦值为．详解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，,为中点AE//BC，且AE=BC四边形ABCE为平行四边形O为AC中点又F为AD中点，，//平面（Ⅱ）由BCDE为正方形可得由ABCE为平行四边形可得//为即，侧面底面侧面底面平面，，.（Ⅲ）取中点，连，，，平面，的平面角，又，，所以二面角的余弦值为．点睛：(1)求直线与平面所成角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．2019-2020学年高一数学下学期期末考试测试题（含解析）一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的)1.在复平面内，复数(是虚数单位)，则复数的共轭复数所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，然后再求出其共轭复数在复平面内对应的点的坐标判断即可.【详解】，，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2这个圆柱全面积与侧面积的比为,故选A3.如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则（）A. B. C. D. 以上均有可能【答案】B【解析】∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN⊂平面PAC，∴MN∥PA.故选B.考点：直线与平面平行的性质.4.已知中，，，分别是，，的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形法则求解即可.【详解】依题意，，故故选A．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.5.在中，分别是角的对边，满足，则的最大角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件和余弦定理可得选项.【详解】根据方程可知：，故，由余弦定理得：，又，故.故选：B.【点睛】本题主要考查三角形中余弦定理应用，熟记余弦定理的形式是关键，属于基础题.6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可．解：∵，∴==，．故选B．7.在中，分别是角的对边，满足，则的形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 锐角三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理表示出,代入已知等式变形后得到,即可结论.【详解】,,即,整理得:,即,则为等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题.8.掷一枚骰子试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．【详解】解：事件表示“小于5的点数出现”，的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，表示事件是出现点数为5和6．事件表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现点数为2和4，，．故选：．【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件，属于基础题．二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. 的虚部为B.C. 为纯虚数D. 的共轭复数为【答案】ABC【解析】【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A：的虚部为，正确；对于B：模长，正确；对于C：因为，故为纯虚数，正确；对于D：的共轭复数为，错误.故选：ABC.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（）A. 至少有1件次品与至多有1件正品B. 至少有1件次品与都是正品C. 至少有1件次品与至少有1件正品D. 恰有1件次品与恰有2件正品.【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件的定义，对每个选项做出判断，从而得到结论．【详解】对于A，至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于B，至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故满足条件；对于C，至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥事件，故满足条件．故选：BD．【点睛】本题考查互斥事件的判断，考查逻辑思维能力和分析求解能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.11.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】ABC【解析】【分析】根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.【详解】选项A：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6％和17％，则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的.“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A正确；选项B：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％，其中从事技术岗位的人数占的比为39.6％，则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的.“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20％，故选项B正确；选项C：“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，大于“80前”的总人数所占比3％，故选项C正确；选项D：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，“80后”的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于中档题.12.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则（）A. 正方体的外接球的表面积为B. 正方体的内切球的体积为C. 正方体的棱长为2D. 线段的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】设正方体的棱长为，由此确定内切球和外接球半径，由的最小值为两球半径之差可构造方程求得，进而求得外接球表面积和内切球体积；由的最大值为两球半径之和可得到最大值.【详解】设正方体的棱长为，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即；内切球半径为棱长的一半，即.分别为外接球和内切球上的动点，，解得：，即正方体棱长为，正确，正方体外接球表面积为，正确；内切球体积为，正确；线段最大值为，错误.故选：.【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最小值为，最大值为.三､填空题13.已知向量，，其中，，与的夹角为。
湖南省2019学年高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三四五六总分得分一、选择题1. 已知 a>b ，则下列不等式一定成立的是A. a 2 >b 2B. ac>bcC. |a|>|b|D. 2 a >2 b2. 如图，给出的 3 个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前 3 项，则这个数列的一个通项公式是A. 2n＋1B. 3nC.D.3. 在△ ABC 中，内角 A ， B 所对的边分别为 a ， b ，若 a cos A＝b cos B ，则△ ABC 的形状一定是A. 等腰三角形________B. 直角三角形C. 等腰直角三角形________D. 等腰三角形或直角三角形4. 设等差数列的前 n 项和为 S n ， a 2 ， a 5 是方程 2x 2 －3x－2＝0 的两个根，则 S 6 ＝A. B. 5 C. －________ D. －55. 满足 a＝4 ， b＝3 和 A＝45 °的△ ABC 的个数为A. 0 个________B. 1 个________C. 2 个________D. 不确定6. 已知函数 f(x)＝ax 2 ＋bx＋c ，不等式 f(x)<0 的解集为，则函数 y＝f(－x) 的图象可以为A. B. C.D.7. 设集合 A＝，若 A＝?，则实数 a 取值的集合是A. (0,4)B. [0,4]C. (0,4)D. [0,4]8. 若数列满足 a 1 ＝1 ， log 2 a n ＋ 1 ＝ log 2 a n ＋1(n ∈ N * ) ，它的前 n 项和为 S n ，则 S n ＝A. 2－2 1 － nB. 2 n － 1 －1C. 2 n －1D. 2－2 n － 19. 已知钝角△ ABC 的面积是， AB ＝1 ， BC ＝，则 AC ＝A. 1B.C. 1 或 ________D. 510. 已知数列的前 n 项和为 S n ＝aq n ( aq ≠ 0 ，q ≠ 1) ，则为A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列，也不是等比数列D. 既是等差数列，又是等比数列11. 设 a ＞0 ， b ＞0, a ＋4 b ＝1 ，则使不等式t ≤ 恒成立的实数 t的取值范围是A. t ≤ 8B. t ≥ 8C. t ≤ 9D. t ≥ 912. 已知点 P ( x ， y ) 的坐标 x ， y 满足，过点 P 的直线 l 与圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝14 相交于 A 、 B 两点，则 |AB| 的最小值为A. 2B. 4C. 4D. 8二、填空题13. 已知集合 P＝， Q＝，则P ∩ Q＝ ______ ．14. △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知三个内角成等差数列，且 A 为等差中项，若 a＝3 ， b＝5 ，则 sin B＝ ________ ．15. 某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为 2 m 2 与 3 m 2 . 用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个，乙种产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个．设A ，B 两种金属板各取 x 张， y 张．当 x＝ ______ ， y＝ ________ 时，可使总的用料面积最省．16. 等比数列 {a n } 的公比为 q ，其前 n 项的积为 T n ，并且满足条件 a1 >1 ， a 49 a 50 －1>0 ， (a 49 －1)(a 50 －1)<0. 给出下列结论：① 0<q<1；② a 1 a 99 －1<0；③ T 49 的值是 T n 中最大的；④使 T n >1 成立的最大自然数 n 等于 98.其中所有正确结论的序号是 ____________ ．三、解答题17. 已知等差数列的前三项分别为λ， 6 ， 3λ，前 n 项和为 S n ，且S k ＝165.(1) 求λ及 k 的值；(2) 设 b n ＝，且数列的前 n 项和 T n ，证明：≤ T n <1.18. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量 Q( 万件 )与广告费 x( 万元 ) 之间的函数关系为 Q＝ (x>1) ，已知生产该产品的年固定投入为 3 万元，每生产 1 万件该产品另需再投入 32 万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本 ( 生产成本不含广告费 ) 的150% ”与“年平均每件所占广告费的50% ”之和．(1) 试将年利润 W( 万元 ) 表示为年广告费 x( 万元 ) 的函数； ( 年利润＝销售收入－成本 )(2) 当年广告费为多少万元时，企业的年利润最大？最大年利润为多少万元？19. 在中，设．（Ⅰ）求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若且，求的取值范围．四、选择题20. 过点 (2 ， 0) 引直线 l 与曲线 y＝相交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于 ( )A. B. －________ C. ± D. －21. 已知定义在 R 上的函数 y ＝ f ( x ) 对于任意的 x 都满足 f ( x ＋1)＝－ f ( x ) ，当－ 1 ≤ x ＜1 时， f ( x )＝ x 3 ，若函数 g ( x )＝ f ( x )－log a | x | 至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( )A. ∪ (5 ，＋∞ )B. ∪C. ∪ (5 ， 7)D. ∪ [5 ， 7)五、填空题22. 已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ________ ．六、解答题23. 设 f(x)＝ si n －2 cos 2 ＋1.(1) 求 f(x) 的最小正周期；(2) 若函数 y＝f(x) 与 y＝g(x) 的图象关于直线 x＝1 对称，求当x ∈ 时， y＝g(x) 的最大值．24. 如图 1 ，在Rt △ ABC 中，∠ ABC＝60°，∠ BAC＝90°， AD 是 BC 边上的高，沿 AD 将△ ABC 折成60 °的二面角 B－AD－C ，如图 2.(1) 证明：平面ABD ⊥平面 BCD；(2) 设 E 为 BC 的中点， BD＝2 ，求异面直线 AE 与 BD 所成的角的大小．25. 设函数 f(x)＝|ax－x 2 |＋2b(a ， b ∈ R)．(1) 当 b ＝0 时，若不等式 f ( x ) ≤ 2 x 在x ∈ [0 ， 2] 上恒成立，求实数 a 的取值范围；(2) 已知 a 为常数，且函数 f ( x ) 在区间 [0 ， 2] 上存在零点，求实数 b 的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。
2019-2020年高一下学期期末数学试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．原点到直线的距离为（）A. B.0 C. 2 D.12.在△中，角的对边为，若，则边等于( )A. B. C. D.3.圆心为（1,2）且过原点的圆的方程是（）A. B.C. D.4.若实数满足，则的最大值为（）A. B.0 C. 2 D.45.若直线过点，则的最小值为（）A. B.4 C. 5 D.86.椭圆的长轴长与短轴轴长之和等于其焦距的倍，且一个焦点的坐标为（，0），则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.7.已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则( )A. B. C. D.8．已知分别是椭圆的左，右焦点，为直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A．B．C．D．9.已知数列是等差数列，其前项和为，若首项且，有下列四个命题:；；数列的前项和最大；使的最大值为；其中正确的命题为（）A. B. C. D.10.已知点满足条件：，若的最大值为，则的值为（）A. B.6 C.8 D.不确定11.已知正实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.12.设点是椭圆与圆在第一象限的交点，分别是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13.已知过点和的直线与直线平行，则的值为14. 已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为15.在△中，角的所对边分别为，若，则的值为16.已知是直线上的动点，是圆：的两条切线，切点坐标为，则四边形面积的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)过点作直线，分别交正半轴于两点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在轴上的截距是直线在轴上截距的2倍，求直线的方程.18.(本小题满分12分)设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知且，构成等差数列。
2020年高一数学试题（0329）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6,7}T =，则()U C S T =I （ ）A. {2,4,7,8}B. {67,8}，C. {1,3,5,6}D. {6,7}【答案】D【解析】【分析】先求出U C S ={2,4,6,7,8}，再与{3,6,7}T =求交集.【详解】全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =,则U C S ={2,4,6,7,8}，又{3,6,7}T =，所以()U C S T =I {6,7}，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题.2.函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值是（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 与a 有关 【答案】C【解析】【分析】设sin [1,1]x t =∈-，转化为1y at =+在[1,1]-上的最大值是3,分a 的符号进行分类讨论，先求出a 的值，再求其最小值.【详解】设sin [1,1]x t =∈-，当0a =时，不满足条件.当0a >时,1y at =+当1t =时，y 有最大值3，即13a +=，则2a =，则当1t =-时，y 有最小值-1，当0a <时, 1y at =+当1t =-时，y 有最大值3，即13a -+=，则2a =-，则当1t =时，y 有最小值-1，综上sin 1y a x =+的最小值是-1.故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的最值，还可以由函数sin 1y a x =+的最大值是3，得到||2a =，函数的最小值为1-||a ，从而得到函数的最小值，属于基础题.3.设0.20.22log 0.330.3a b c ===,，，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】D【解析】【分析】 由22log 0.3<log 10a ==，0.200.30.31c =<=且0.20.3>0，0.20331b =>=，可得,,a b c 的大小关系.【详解】由对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数有：22log 0.3<log 10a ==，由指数函数3xy =在R 上是增函数有： 0.20331b =>=，由指数函数0.3xy =在R 上是减函数有：0.200.30.31c =<=且0.20.3>0.所以a c b <<.故选：D【点睛】本题考查对数值和指数值大小的比较，考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.4.设()338x f x x =+-用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间( )A. (1,1.25)B. (1.25,1.5)C. ()1.5,2D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】因为()338x f x x =+-,(1.5)0,(1.25)0f f ><,根据零点存在定理,即可求得答案. 【详解】Q ()338xf x x =+-又Q (1.5)0,(1.25)0f f >< ∴ (1.5)(1.25)0f f ⋅<由零点存在定理可得()f x 在区间(1.25,1.5)存在零点.∴ 3380x x +-=方程的根落在区间(1.25,1.5)故选:B ．【点睛】本题考查了判断零点的范围和求解方程根的范围,解题关键是掌握零点存在定理和二分法求方程根的解法,考查了分析能力,属于基础题.5.某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y 与投放市场月数x 之间的关系的是A. y=100xB. y=50x 2–50x+100C. y=50×2xD. y=100log 2x+100【答案】C【解析】【分析】根据题设的选项给定的函数，逐一进行验证，即可得到能较好反映销售量和投放市场月数之间的关系，得到答案.【详解】对于A 中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C 中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小，故选C ．【点睛】本题主要考查了函数的解析式应用问题，其中熟记指数函数、二次函数及对数函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（ ）A. ()()()123f f f <-<B. ()()()231f f f -<<C. ()()()213f f f -<<D. ()()()312f f f <<- 【答案】B【解析】【分析】由条件有()f x 在[1,)+∞上单调递减，函数()1f x +为偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =对称，由对称性和单调性可得()()()213f f f -，，的大小关系.【详解】对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-, 即对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠,设12x x <，都有12()()f x f x >，所以()f x 在[1,)+∞上单调递减.又函数()1f x +为偶函数，即(1)(1)f x f x +=-.则()f x 的图像关于直线1x =对称.所以(2)(4)f f -=, 则()()()-2(4)31f f f f =<<.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的定义及其应用，考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题.7.函数()2=1sin 1x f x x e ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭的图象形状大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断出函数()f x 是偶函数，则其图像关于轴y 对称，可以排除C,D ，然后再由(2)f 的符号可得出答案.【详解】()f x 的定义域为R ，()21=1sin sin 11x x x e f x x x e e -⎛⎫-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭. 11()sin()sin ()11x xx xe ef x x x f x e e -----=⋅-=-⋅=++. 所以()f x 为偶函数，排除C,D. 又221(2)sin 201e f e -=⋅>+，则排除A. 故选：B【点睛】本题考查函数图像，函数的奇偶性，已知函数解析式选择图像的试题要对定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等进行研究，属于中档题. 8.()()2log 02()1222x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a b c 、、互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()0,2C. ()1,2D. ()2,4【答案】D【解析】【分析】作出函数()f x 的图像，然后令()()()f a f b f c k ===，则可得,,a b c 为函数()f x 图像与y k =的交点的横坐标，根据图像可得,,a b c 的范围，同时22|log ||log |a b =,可得1ab =,即可得答案. 【详解】由()()2log 02()1222x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩作出函数的图像如下:不妨设a b c <<,则22|log ||log |a b =，即22log log a b =-，则2log ()0ab =，所以1ab =,又由图可知24c <<，则(2,4)abc c =∈，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数运算性质及数形结合思想，正确画出函数图像和熟练掌握对数函数的图像是解决本题的关键，属于中档题.二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 1y x =- B. y x = C. 2y x = D. 1()2xy = 【答案】ABC【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.【详解】选项A ，1y x=-在(0,)+∞上单调递增，所以A 正确. 选项B ，y x =在(0,)+∞上单调递增，所以B 正确.选项C ，2y x =在(0,)+∞上单调递增，所以C 正确.选项D ，1()2xy =在(0,)+∞上单调递减，所以D 不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题.10.下列函数，最小正周期为π的有（ ） A. sin y x = B. sin y x = C. 2cos 1y x =- D. sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】【分析】根据三角函数的图像性质和函数sin(),cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+的最小正周期的公式可判断出答案.【详解】选项A ，sin y x =为偶函数，图像关于y 轴对称，其图像如下，不是周期函数,所以A 不正确.选项B ，作出函数sin y x =的图像如下，观察可得其最小正周期为π，所以B 正确.选项C ，由周期的计算公式2=||T πω可得2cos 1y x =-的最小正周期为2π，所以C 不正确. 选项D ，由周期的计算公式2=||T πω可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以D 正确. 故选：BD【点睛】本题考查三角函数的周期，三角函数的图像性质，属于基础题.11.已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数B. 函数为偶函数 C 若1x >，则()1f x > D. 若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【分析】将点(4,2)代入函数()f x x α=，求出α的值，根据幂函数的性质对选项进行逐一判断即可得答案. 【详解】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α. 所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确. ()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<. 即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查幂函数的基本性质，其中选项D 还可以直接由基本不等式进行证明，属于中档题.12.定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12x f x -=⊕，则下列命题正确的有（ ） A. ()f x 的值域为 [)1,+∞B. ()f x 的值域为 (]0,1C. 不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D. 不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞【分析】根据题目给出的定义运算法则先求出()f x 的表达式，然后作出函数图像，根据函数图像可得答案.【详解】由函数()12xf x -=⊕，有1(12)()2(12)x x x f x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞，若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有当210x x <+≤即1x ≤-时成立，当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立. 所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <.故选：AC.【点睛】本题考查在新的概念下解决函数的性质问题，考查指数函数的性质，关键是弄清楚新定义的意义，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())4f f =________ 【答案】14. 【解析】【分析】 先求出211()log 244f ==-，再求(2)f -即可. 【详解】因为211()log 244f ==-，又(2)f -=2124-=. 所以1(())4f f =14. 故答案为：14. 【点睛】本题考查分段函数和复合函数的函数值的求法，属于基础题.14.已知35a b A ==，且2b a ab +=，则A 的值是________.1【解析】【分析】由35a b A ==，结合指数对数互化，可用A 表示出,a b ,再代入2b a ab +=化简，可解出A 的值.【详解】由35a b A ==，得35log ,log a A b A ==. 当=0a b =时，1A =,满足条件.当0ab ≠时，由2b a ab +=，即112a b+=，将,a b 代入得: 35112log log A A+=,即log 3log 5log 152A A A +==,得A =所以A = 1.1.【点睛】本题考查利用对数的定义解决问题，以及对数换底公式的灵活应用，属于中档题. 15.设()()()sin cos 2f x a x b x παπβ=++++，其中a 、b 、α、β为非零常数．若()20191f =，则()2020f = ________.【答案】3【解析】【分析】由()20191f =结合诱导公式，可得sin cos a b αβ+=1，()2020f =sin cos +2a b αβ+可得答案.【详解】由()20191f =，有(2019)sin(2019)cos(2019)2f a b παπβ=++++=sin()cos()2a b παπβ++++ =sin cos 21a b αβ--+=. 即sin cos 1αβ+=a b .又()2020f =sin(2020)cos(2020)2a b παπβ++++ =sin cos a b αβ++2=3. 故答案为：3.【点睛】本题考查利用诱导公式进行化简求值，整体代换的方法，属于中档题.16.在△ABC 中，若()()sin 2A B ππ-=-()A B π=-，则A=________ 【答案】4π 【解析】 【分析】由条件利用诱导公式化简可得：sin A B =A B =，两式平方相加可解出cos A ，进一步求出角A .【详解】由()()sin 2A B ππ-=-，得sin A B = (1).()A B π=-A B =(2).由22(1)(2)+得：22sin 3cos 2A A +=,即22cos 1A =.由(2)和,A B 为三角形的内角，可知角,A B 均为锐角，则cos A = 所以4A π=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查利用诱导公式化简和同角三角函数间的基本关系，属于中档题.四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：(1)()()sin 1395cos1110cos 1020sin750-︒︒+-︒︒；(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭．【答案】（1）14（2）12【解析】 【分析】（1）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果； （2）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果. 【详解】解：（1）原式()()()(sin 436045cos 336030cos 336060sin 236030)︒=-⨯︒+︒⨯︒+︒+-⨯︒+︒⨯︒+︒111sin 45cos30cos 60sin 30224=︒︒+︒︒=⨯==； （2）原式221sin 2cos 2tan(40)sin cos 065652πππππππ⎛⎫⎛⎫=-++++=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值问题，熟记诱导公式即可，属于常考题型. 18.（1）已知cos 2sin 22ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()23sin 2sin sin 12ππααα⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭的值；（2）已知1cos 63πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求55cos 2sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）1；（2）-1. 【解析】 【分析】（1）由条件利用诱导公式得sin 2cos αα=，即tan 2α=，将所求式子转化为含tan α的式子再代入求值. （2）由56πθ+=6ππθ-+，53πθ-=2=2[()]326ππππθπθ----+，进行角变换，将所求角的三角函数转化为已知角的三角函数进行求解. 【详解】解：（1）由cos 2sin 22ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有sin 2cos αα-=-,即tan 2α=， 所以()23sin2sin sin 12ππααα⎛⎫-+-+⎪⎝⎭=2sin 2sin cos 1ααα-+=222sin 2sin cos 1sin cos ααααα-++ =22tan 2tan 1tan 1ααα-++=44111+4-+=. 所以()23sin 2sin sin 12ππααα⎛⎫-+-+⎪⎝⎭的值为1. （2）55cos 2sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=cos()2sin(2)63πππθπθ-++--=cos()2sin()63ππθθ---+ =cos()2sin[()]626πππθθ----- =cos()2cos()66ππθθ----=3cos()16πθ--=-. 所以55cos 2sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为1-. 【点睛】本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，角之间的变换，寻找所求角与已知角之间的关系，属于中档题.19.已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】 【分析】 （1）函数()g x 对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩.解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立 所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.20.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14,40]时，曲线是函数()log 583a y t =-+（0a >且1a ≠）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．(1)试求()p f t =的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】（1）213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（；（2）能，见解析.【解析】(1)根据所给的函数图像先求出当t ∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点14,81（），代入函数()log 583a y t =-+求出t ∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.(2)对分段函数，分别解不等式80p ≥，求出t 的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.【详解】解：（1）当t ∈(0,14]时，设p ＝f (t )＝c (t －12)2＋82(c <0)，将点(14,81)代入得c ＝－14， ∴当t ∈(0,14]时，p ＝f (t )＝－14(t －12)2＋82；当t ∈(1440]时，将点(14,81)代入y ＝log a (t －5)＋83，得a ＝13. 所以p ＝f (t )＝213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（(2)当t ∈(0,14]时，－ 14(t －12)2＋82≥80，解得:1212t -≤≤+所以[1214]t ∈-；当t ∈(14,40]时，log 13(t －5)＋83≥80，解得5<t ≤32，所以t ∈(14,32]，综上[1232]t ∈-时学生听课效果最佳.此时(32122022t =--=+V 所以，教师能够合理安排时间讲完题目.【点睛】本题考查分段函数，函数与方程的思想，用函数解决实际问题的关键是建立数学模型，属于基础题.21.已知函数()221x f x a =-+为奇函数 (1)探究()f x 的单调性，并证明你的结论； (2)若存在实数[]1,2x ∈，使得不等式()()20xf x m f -+>成立，求m范围【答案】（1）()f x 为增函数，证明见解析；（2）6m <.,【分析】(1)根据函数单调性的定义，先在区间上任取两个自变量12,x x 且12x x <，然后作差()()12f x f x -比较其函数值的大小关系，从而得到函数的单调性. (2)由()f x 为奇函数，则不等式()()20xf x m f -+>可化为()2()x f f x m >--，即()2()xf f m x >-，结合（1）得到的单调性和定义域可解. 【详解】解：（1）()f x 为增函数.证明：()f x 定义域为R ，任取12,,x x R ∈设12x x <()()()()()122121122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++ 12121222,220x x x x x x <∴<∴-<Q ，()()120,f x f x ∴-<即()()12f x f x <所以()f x 为增函数.（2）由已知存在实数[]1,2x ∈，使得不等式()2()()xf f x m f m x >--=-成立由（1）可知只需存在实数[]1,2x ∈,使得2x m x >-，即2+x x m >成立即可 令()[]2+,1,2xg x x x =∈，易知()2+xg x x =在[]1,2x ∈时单调递增所以()()max 26g x g ==，所以6m <.【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性等知识，应用单调性解不等式，考查不等式能成立问题，分离参数的思想，属于难题. 22.()2()lg 101xf x kx =+-是偶函数，(1) 求k 的值；(2)当0a >时，设()()lg 102xg x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1k =；（2）1a >. 【解析】 【分析】(1)根据()f x 为偶函数，有()()f x f x -=可求出k 的值.(2)函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,即()210110210x xxa +-=有且只有一个解且满足102x >，然后换元()102xt t =>转化为方程()21210a t at ---=在()2,+∞有且只有一个实根，根据二次方程根的分布求解.【详解】解：（1）因为()f x 为偶函数. 所以()()f x f x -=，即()()22lg 101lg 101xx kx kx -++=+-.2221012lg lg102101x x x kx x -⎛⎫+∴=== ⎪+⎝⎭.1k ∴=.(2) 由已知，方程()()22101lg 102lg 101lg 10x xxxa a x ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭有且只有一个解. ∴()210110210xxx a +-=有且只有一个解，且满足102x >. 整理得()211021010xxa a --⋅-=.令()102xt t =>，则方程()21210a t at ---=在()2,+∞有且只有一个实根.当1a =时，12t =-，不满足题意，舍去. 当1a >时，设方程对应二次函数为()()2121u t a t at =---.抛物线开口向上，对称轴01at a =>-，且()010u =-<. 只需()20u <，则方程只有一个大于2 的根. 而()250u =-<，即1a >时满足题意.当10a >>时，抛物线开口向下，对称轴01at a =<-，且()010u =-<. 此时方程无大于2 的实根. 综上1a >.【点睛】本题考查了偶函数的性质，对数函数图像与性质的综合应用，二次方程根的分布问题，分类讨论思想，属于难题.的。
2019-2020年高一下学期期末考试数学试题 含答案说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页，第Ⅱ卷第2页。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题5分，共60分.） （1）等差数列{}n a 中，2589a a a ++=，那么方程246()100x a a x +++=的根的情况（ ）A.没有实根B.两个相等实根C.两个不等实根D.无法判断 （2）已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式中成立的是（ ）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．||||x y z y > （3）抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为（ ）A.13 B.12 C.536 D.512（4）已知在ABC ∆中，2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角（5）高三某班有学生60人，现将所有同学从0160-随机编号，然后用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为17的同学在样本中，则以下会被抽到的编号为（ ）A ．08B ．25C ． 41D ．54 （6）等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知S 4＝a 2＋a 3＋9a 1，a 5＝32，则a 1＝ （ ）A. － 1 2 B 12C. 2D. —2（7）已知实数[][]1,1,0,2x y ∈-∈，则点(),P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，内的概率为（ ） A ．34 B ．14C ．18D ．38（8）在2013年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：3.2y x a =-+，那么a 的值为 （ ）A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．40（9）如图所示的程序框图描述的算法，若输入2010,1541m n ==，则输出的m 的值为（ ）A ．2010B ．67C ．134D ．1541 (10) 已知{}n a 是等差数列，395,17a a ==，数列{}n b 的前n 项和31n n S =-，若41m a b +=，则正整数m 等于（ ） A ．29 B ．28 C ．27 D ．26 （11）ABC ∆的三内角,,A B C 所对边长分别是c b a ,,，若sin sin sin B A C -=，则角B 的大小为（ ） A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π（12）若对任意20,31xx a x x >≤++恒成立，则a 的最小值是（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）在ABC ∆中，已知5=a ，15=b ，030=A ，则c 等于 . （14）将八进制53转化为二进制的数结果是：（15）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．（16）数列{}n a 满足：1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.18．(本小题满分12分) 已知函数()()()2212f x x m x m m R =-++∈.（1）当1m =时，解关于x 的不等式()0xf x ≤； （2）解关于x 的不等式()0f x >.19. (本小题满分12分)在正项等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当nS S S n +⋅⋅⋅++2121取最大值时，求n 的值.20.（本小题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估．将各连锁店的评估分数按[)[)[)[]60,70,70,8080,90,90,100分成4组，其频率分布直方图如下图所示．集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A B C D 、、、四个等级，等级评定标准如下表所示． ⑴估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；⑵从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率．21．（本小题满分12分）在ABC ∆中，三边c b a ,,所对应的角分别是C B A ,,，已知c b a ,,成等比数列.（1）若332tan 1tan 1=+C A ，求角B 的值； （2）若ABC ∆外接圆的面积为π4，求ABC ∆面积的取值范围.22．在等比数列{}n a 中，21=a ，5423,,a a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足)(221*∈=+⋅⋅⋅++N n a nb b b n n ，{}n b 的前n 项和为n S ，求使06≥+-n n na S 成立的正整数n 的最大值.2015-2016高一下学期期末数学答案 一.A C D A C C D D B C B C二.13.（2） 15.2∞（-，-） 16. 102117. （1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.4sin sin sin cos cos sin 4445C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅==⎪⎝⎭（2）在ACD ∆中，由sin sin AD ACC ADC=∠∠，得74sin sin AC C AD ADC ⨯⋅∠===∠所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. 18.( 1）当1m =时，()2320x x x -+≤，即0)2)(1(≤--x x x方程0)2)(1(=--x x x 的三根为2,1,0321===x x x ； 所以不等式的解集为{}210≤≤≤x x x 或 （2）不等式可化为则()()210x m x -->， 当121,2m m <<时，解集为{}|2,1x x m x <>或；当12m =时，解集为{}|1x x ≠；当12m >时，则不等式的解集为{}|1,2x x x m <>或 19.（1）252534231=++a a a a a a ，()252242244222=+=++∴a a a a a a ，{}n a 是正项等比数列，542=+∴a a ，23=a ，21,10,522=∴<<=+∴q q q q .n n n a a --=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∴413221.（2）,27,2)7(,4log 2nn S n n S n a b n n n n -=-=-== 1112n n S S n n --=-- 12n S n ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭数列是公差为首项为3的等差数列，且为递减数列当,76,0,7或=∴==n n S n n 当nS SS n +⋅⋅⋅++2121取最大值时，76或=n 20. （1）众数是75，平均数是75.4；（2）35．21.（1）又∵c b a ,,成等比数列，得ac b =2，由正弦定理有C A B sin sin sin 2=， ∵B C A -=+π，∴B C A sin )sin(=+，得332sin sin 2=B B ，即23sin =B ， 由ac b =2知，b 不是最大边，∴3π=B .（2）∵ABC ∆外接圆的面积为π4，∴ABC ∆的外接圆的半径2=R ，由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得acb c a B 2cos 222-+=，又ac b =2，∴21cos ≥B .当且仅当c a =时取等号，又∵B 为ABC ∆的内角，∴30π≤<B ，由正弦定理R Bb2sin =，得B b sin 4=. ∴ABC ∆的面积B B b B ac S ABC 32sin 8sin 21sin 21===∆，∵30π≤<B ，∴23sin 0≤<B ，∴]33,0(∈∆ABC S . 22.（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴25342)(a a a a +=+，∴4121311)(2q a q a q a q a +=+， ∴)1()1(2222q q q q +=+，∴2=q ，∴n n n n q a a 222111=⋅==--.（2）n n a n b b b =+⋅⋅⋅++221①，112112--=-+⋅⋅⋅++n n a n b bb )2(≥n ②， ①-②得，111222---=-=-=n n n n n n a a nb ，∴)2(21≥⋅=-n n b n n .①中令1=n ，∴211==a b 不符合上式. ∴⎩⎨⎧≥⋅==-2,2,1,21n n n b n n . ∴当2≥n 时，12223222-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=n n n S ③，n n n S 223224232⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=④，③-④得nn n n S 22222132⋅-+⋅⋅⋅+++=--n n n 212)12(21⋅---=-n n n 222⋅--=， ∴22)1(+-=n n n S .当1=n 时，211==b S ，符合上式，∴22)1(+-=n n n S )(*∈N n .826222)1(6+-=+⋅-+-=+-n n n n n n n na S ,∴082≥+-n ，即82≤n ，∴3≤n ，∴n 的最大值为3.。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学 含答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1.的值是 ．2.化简 .3.函数的定义域是 ．4.函数的最小正周期是 .5.若，则点位于第 象限.6.函数取最大值时的值是 .7.若函数的零点则_________.8.函数的递增区间是 .9.为了得到函数)的图象，只需把函数的图象向右平移个___长度单位.10.若，且，则向量与的夹角为 ．11.已知扇形的周长为，则该扇形的面积的最大值为 ．12.设若函数在上单调递增，则的取值范围是________.13.如图，在△中，则________.14.在直角坐标系中, 如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）.函数关于原点的中心对称点的组数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且.（1）求点坐标；（2）求的值.C16.平面内给定三个向量．（1）若，求实数k；（2）若向量满足，且，求向量．17．已知函数（为常数），．（1）若在上是单调增函数，求的取值范围；（2）当时，求的最小值．18.已知的顶点坐标为,,, 点P的横坐标为14，且，点是边上一点,且. （1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.（2）求函数的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当时，函数的图像与轴有交点，求实数的取值范围．20.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.二、解答题。
