1 高考数学一轮总复习学案：
第1讲 函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数 映射
两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的 2 并集，值域是各段值域的并集．
常用结论
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
2．几个常用函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z.
一、思考辨析
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1．已知集合M＝{－1,1, 2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则，其中能构成从M到N的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝x＋1
C．y＝2x D．y＝log2|x|
解析：选D.用排除法，易验证选项A，B，C都存在M中的元素在N中没有元素和它对应，所以排除A，B，C，故选D.
2．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )
A．－2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：选D.f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7，故选D
3．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________.
x 0 y 2 3 4 5 解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}． 答案：{2,3,4,5} 4．(2011·高考陕西卷)设f(x)＝ lg x，x＞0，10x，x≤0，则f(f(－2))＝________. 解析：∵f(－2)＝10－2＝1100＞0， ∴f(f(－2))＝f1100＝lg1100＝－2. 答案：－2
一、选择题
1．下列各组函数中，表示相等函数的是( )
A．y＝5x5与y＝x2
B．y＝ln ex与y＝eln x
C．y＝x－1x＋3x－1与y＝x＋3
D．y＝x0与y＝1x0
解析：选D y＝5x5＝x，y＝x2＝|x|，故y＝5x5与y＝x2不表示相等函数；B、C选项中的两函数定义域不同；D选项中的两函数是同一个函数．
2．设A＝{0,1,2,4}，B＝12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A到B的映射的是( )
A．f：x→x3－1 B．f：x→(x－1)2
C．f：x→2x－1 D．f：x→2x
解析：选C 对于A，由于集合A中x＝0时，x3－1＝－1∉B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项A不符合；同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射，C符合．
3．已知函数f(x)＝ 2x－2，x≥0，lg－x，x<0，则f(f(－10))＝( )
A.12 B.14
C．1 D．－14
解析：选A 依题意可知f(－10)＝lg 10＝1，
f(1)＝21－2＝12.
4．(2013·杭州模拟)设函数f(x)＝ x，x≥0，－x，x<0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )
A．－3 B．±3
C．－1 D．±1
解析：选D ∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝ 1＝1，
∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝ a＝1，∴a＝1；
当a<0时，f(a)＝ －a＝1，∴a＝－1. 5．(文)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝( )
A．x－1 B．x＋1
C．2x＋1 D．3x＋3
解析：选B 由题意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1.①
将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1.②
①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，
2022
第二章 函数、导数及其应用
第一讲 函数及其表示
知识梳理·双基自测
错误!错误!错误!错误!
知识点一 函数的概念及表示
1．函数与映射的概念
函数 映射
两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__ 设A，B是两个__非空集合__
对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应
名称 称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数 称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f（x），x∈A 对应f:A→B是一个2022
映射
2。函数
（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。
（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。
(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．
知识点二 分段函数及应用
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
错误!错误!错误!错误!
1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；
(2)映射的两个特征：
第一,在A中取元素的任意性；
第二，在B中对应元素的唯一性；
(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．
2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系2022
完全一致．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
双错误!错误!错误!
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）
(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．( × ）
