1新高考数学一轮讲义：第二章 第一节 函数及其表示 含解析

第二章 函数 第一节 函数及其表示命题导航 考试要点命题预测(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.1.考向预测:(1)考查简单函数的定义域, (2)与实际背景结合,考查函数的表示方法与分段函数.2.学科素养:主要考查数学抽象、数学运算的核心素养.1.函数与映射的概念 函数映射两集合A 、B设A 、B 是两个① 非空数集设A 、B 是两个② 非空集合对应关系 f:A →B 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的③ 任意 一个数x,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f(x)与之对应按某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的⑤任意 一个元素x,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应名称 称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y=f(x),x ∈A对应f:A →B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧值域.(2)函数的三要素:⑨定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩定义域相同,且对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法:表示函数的常用方法:解析法、图象法、列表法.▶提醒判断两个函数是否相同,抓住两点:①定义域是否相同;②对应关系是否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.,k∈Z}.(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+π2(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4ac-b 24a ,+∞),当a<0时,值域为(-∞,4ac-b24a].(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.(✕)(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数.(√)(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.(✕)(4)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,则对应关系f是从A到B的映射.(✕)(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.(√)(6)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(✕)2.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()答案B3.下面各组函数中为相等函数的是()A.f(x)=√(x-1)2,g(x)=x-1B.f(x)=x-1,g(t)=t-1C.f(x)=√x2-1,g(x)=√x+1·√x-1D.f(x)=x,g(x)=x 2x答案 B4.函数f(x)=√2x-1+1x-2的定义域为()A.[0,2)B.(2,+∞)C.[0,2)∪(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案C5.已知f(12x-1)=2x-5,且f(a)=6,则a等于()A.74B.-74C.43D.-43答案A6.若函数f(x)={x2+1,x≤1,2x,x>1,则f(f(3))=.答案139函数、映射概念的理解典例1(1)给出下列四个对应:①A=R,B=R,对应关系f:x→y,y=1x+1;②A={a|12a∈N*},B={b|b=1n,n∈N*},对应关系f:a→b,b=1a;③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A到B的映射的为()A.①③B.②④C.①④D.③④(2)下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是()A.y=(√x+1)2B.y=33C.y=x 2x+1 D.y=2答案(1)B (2)B解析(1)对于①,当x=-1时,y的值不存在,所以①不是从A到B的映射;对于②,A,B是两个集合,分别用列举法表述为A={2,4,6,…},B={1,12,13,14,…},由对应关系f:a→b,b=1a知,②是从A到B的映射;③不是从A到B的映射,如A中的元素1对应B中两个元素±1;④是从A 到B的映射.(2)对于A,函数y=(√x+1)2的定义域为{x|x≥-1},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y=x 2x+1的定义域为{x|x≠0},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.方法技巧1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是同一函数.2.判断一个从集合A到集合B的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1-1下列对应关系:①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根;②A=R,B=R,f:x→x的倒数;③A=R,B=R,f:x→x2-2;④A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:x→x2.其中是A到B的映射的是()A.①③B.②④C.③④D.②③答案C1-2下列四组函数中,表示相等函数的一组是()A.f(x)=|x|,g(x)=√x2B.f(x)=√x2,g(x)=(√x)2C.f(x)=x 2-1x-1,g(x)=x+1D.f(x)=√x+1·√x-1,g(x)=√x2-1答案 A函数的定义域命题方向一具体函数的定义域考法一已知函数解析式,求函数定义域典例2(1)函数f(x)=√x+1+lg(6-3x)的定义域为()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2](2)(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为()A.2B.3C.4D.5答案(1)C (2)ABC解析(1)要使函数f(x)=√x+1+lg(6-3x)有意义,则{x+1≥0,6-3x>0,即-1≤x<2.故函数f(x)的定义域为[-1,2).(2)易知函数y=x2-4x-4的对称轴方程为x=2,当0≤m≤2时,函数在[0,m]上单调递减,当x=0时,y取得最大值,y max=-4,当x=m时,有m2-4m-4=-8,解得m=2;当m>2时,函数的最小值为-8,而f(0)=-4,由对称性可知,m≤4.综上,2≤m≤4,故选ABC.方法技巧(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.(2)复合函数的定义域:先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数的自变量的取值范围,同时还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可.▶提醒 (1)求函数的定义域时,先不要化简函数解析式; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式. 2-1 (1)函数f(x)=√2x -1-1的定义域是 .(2)函数f(x)=√-x 2+4x +1x -2的定义域是 . (3)函数f(x)=(x -12)0√x+2的定义域是 .答案 (1)(1,3] (2)[0,2)∪(2,4] (3)(-2,12)∪(12,+∞)考法二 已知函数定义域,求参数的取值范围典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y=mx -1mx +4mx+3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )A.(0,34] B .(0,34) C.[0,34] D.[0,34)(2)若函数f(x)=√ax 2+abx +b 的定义域为{x|1≤x ≤2},则a+b 的值为 . 答案 (1)D (2)-92解析 (1)要使函数的定义域为R , 则mx 2+4mx+3≠0恒成立, ①当m=0时,显然满足条件; ②当m ≠0时,由Δ=(4m)2-4m×3<0, 得0<m<34,由①②得0≤m<34.(2)函数f(x)=2+abx +b 的定义域是不等式ax 2+abx+b ≥0的解集. 由题意知不等式ax 2+abx+b ≥0的解集为{x|1≤x ≤2},所以{a <0,1+2=-b,1×2=ba ,解得{a =-32,b =-3, 所以a+b=-32-3=-92.方法技巧求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,然后求解. 2-2 若函数2的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 .答案 [0,12)解析 由题意得ax 2-4ax+2>0恒成立, 则a=0或{a >0,Δ=(-4a)2-4×a ×2<0,解得0≤a<12.命题方向二 抽象函数的定义域典例4 (1)已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是( ) A.[0,52] B.[-1,4] C.[-12,2]D.[-5,5](2)已知函数y=f(x 2-1)的定义域为[-√3,√3],则函数y=f(x)的定义域为 . 答案 (1)C (2)[-1,2]解析 (1)∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3], ∴-2≤2x-1≤3,即-12≤x ≤2,即函数y=f(2x-1)的定义域为[-12,2]. (2)因为y=f(x 2-1)的定义域为[-√3,√3], 所以x ∈[-√3,√3],x 2-1∈[-1,2], 所以y=f(x)的定义域为[-1,2]. 方法技巧求函数y=f(g(x))的定义域:若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域;若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.2-3已知函数f(x)的定义域是[0,4],则g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是.答案[1,3]2-4已知函数f(x2-3)=lg x 2x2-4,则f(x)的定义域为. 答案(1,+∞)函数的解析式典例5(1)已知x与函数f(x),g(x)的关系如下表所示:x123f(x)131g(x)321则f[g(1)]的值为;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是.(2)已知f(x+1x )=x2+1x2,求f(x)的解析式.(3)已知f(2x+1)=lg x,求f(x)的解析式.(4)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x)的解析式.(5)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.答案(1)1;2解析(1)f[g(1)]=f(3)=1.当x=1时,f[g(1)]=1,g[f(1)]=g(1)=3,不满足f[g(x)]>g[f(x)],当x=2时,f[g(2)]=f(2)=3,g[f(2)]=g(3)=1,满足f[g(x)]>g[f(x)].当x=3时,f[g(3)]=f(1)=1,g[f(3)]=g(1)=3,不满足f[g(x)]>g[f(x)].故满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是2.(2)(配凑法)由于f (x +1x )=x 2+1x 2=(x +1x )2-2, 所以f(x)=x 2-2,x ≥2或x ≤-2,故f(x)的解析式是f(x)=x 2-2,x ≥2或x ≤-2. (3)(换元法)令2x +1=t,得x=2t -1, 代入得f(t)=lg 2t -1.又x>0,所以t>1, 故f(x)的解析式是f(x)=lg 2x -1,x>1. (4)(待定系数法)设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0), 由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax 2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax 2+bx+x+1, 即ax 2+(2a+b)x+a+b=ax 2+(b+1)x+1, 所以{2a +b =b +1,a +b =1,解得a=b=12,所以f(x)=12x 2+12x.(5)(解方程组法)由f(-x)+2f(x)=2x ,① 得f(x)+2f(-x)=2-x ,② ①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x , 即f(x)=2x+1-2-x3.所以f(x)的解析式是f(x)=2x+1-2-x3.方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后以x 替代g(x),即得f(x)的解析式.(2)换元法:已知函数f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,即令g(x)=t,从中解出x,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f(x)与f(1x)或f(-x)的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式.3-1(1)已知函数f(x),g(x)与x的关系如下表,x123g(x)132f(x)231则方程f(g(x))=x+1的解集是()A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.⌀(2)已知f(√x+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=x2B.f(x)=x2+1(x≥1)C.f(x)=x2-2x+2(x≥1)D.f(x)=x2-2x(x≥1)(3)若g(x+2)=2x+3,则g(x)的表达式为()A.g(x)=2x+1B.g(x)=2x-1C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+7(4)已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x,求f(x)的解析式.(5)已知y=f(x)为一次函数,f[f(x)]=4x+3,求f(x)的解析式.答案(1)A (2)C (3)B解析(4)2f(x)+f(1x)=3x,①将①中的x换成1x ,得2f(1x)+f(x)=3x,②①×2-②,得3f(x)=6x-3x ,∴f(x)=2x-1x.(5)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a≠0),则f [f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b=4x+3, 根据对应项系数相等得a 2=4,ab+b=3, 解得{a =2,b =1或{a =-2,b =-3.所以f(x)的解析式为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.分段函数命题方向一 分段函数的最值问题典例6 已知函数f(x)={x 2-2ax +9,x ≤1,x +4x +a,x >1,若f(x)的最小值为f(1),则实数a 的取值范围是 .答案 a ≥2解析 当x>1时, f(x)=x+4x +a ≥4+a,当且仅当x=2时,等号成立.当x ≤1时, f(x)=x 2-2ax+9,为二次函数,要想在x=1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x=a ≥1,并且f(1)≤4+a,即1-2a+9≤a+4,解得a ≥2.命题方向二 通过分段函数的图象解题典例7 已知函数f(x)={-4(x -12)2+1,0≤x <1,log 2 017x,x >1,若f(a)=f(b)=f(c)且a,b,c 互不相等,则a+b+c 的取值范围是 .答案 (2,2 018) 解析 作出函数f(x)={-4(x -12)2+1,0≤x <1,log 2 017x,x >1的大致图象,当0≤x<1时,函数f(x)=-4(x -12)2+1,其图象的对称轴为直线x=12,当f(x)=1时,由log 2 017x=1,计算出x=2 017,若a,b,c 互不相等,不妨设a<b<c.因为f(a)=f(b)=f(c),所以由图象可知,0<a<12,12<b<1,1<c<2 017, 且a+b 2=12,即a+b=1,所以a+b+c=1+c,又2<1+c<2 018,即2<a+b+c<2 018, 所以a+b+c 的取值范围是(2,2 018).命题方向三 已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例8 设函数f(x)={x 2+2x,x <0,x +1,x ≥0,则f(-1)= ;若f(a)>f(a-1),则实数a 的取值范围是 .答案 -1;(-12,+∞) 规律总结分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 4-1 (1)已知函数f(x)={-|x +1|+1,x ≤0,-12x,x >0,则f(x)的最大值是 .(2)已知函数f(x)={2x ,x <0,a √x,x ≥0,若f(-1)+f(1)=2,则a= .(3)已知f(x)={x -3,x ≥9,f[f(x +4)],x <9,则f(7)= .答案 (1)1 (2)32 (3)61.具有f (1x )=-f(x)性质的函数,我们称之为满足“倒负”变换的函数.给定下列函数: ①f(x)=x-1x ;②f(x)=ln 1-x1+x ;③f(x)={x,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是() A.①②B.①③C.②③D.①答案 B 对于①,f(x)=x-1x ,f (1x)=1x-x=-f(x),满足;对于②,f(x)=ln1-x1+x,f(1x)=ln x-1x+1≠-f(x),不满足;对于③,f(1x)={1x,0<1x<1,0,1x=1,-x,1x>1,即f(1x )={1x,x>1,0,x=1,-x,0<x<1,则f(1x)=-f(x),满足.所以满足“倒负”变换的函数是①③.2.设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针方向旋转π6后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的值只能是()A.√3B.√32C.√33D.0答案 B 设f(1)处的点为A1,若f(x)的图象绕原点逆时针方向旋转π6后与原图象重合,则旋转后的A1的对应点A2也在f(x)的图象上,同理A2的对应点A3也在f(x)的图象上,以此类推.则f(x)对应的图象可以为一个圆周上的12等分的12个点.当f(x)的取值为√3时,在同一个x处可能同时存在2个f(x)值,如A1和A9,不符合函数定义,故A项错误.同理,当f(x)=√33和0时亦不符合函数定义,故C,D项错误.故f(1)的值只能是√32.A 组 基础题组1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( ) A.f(x)=x 2和f(x)=(x+1)2B.f(x)=(√x)2x 和f(x)=(√x)2C.f(x)=log a x 2和f(x)=2log a xD.f(x)=x-1和f(x)=√(x -1)2 答案 B2.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1) 答案 B3.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)=( ) A.3x+2 B.3x+1 C.3x-1 D.3x+4 答案 C4.已知f(10x )=x,则f(5)=( ) A.105 B.510 C.log 510 D.lg 5答案 D5.已知函数f(x)={2x ,x ≤3,x -3,x >3,则f(f(1)-f(5))的值为( )A.1B.2C.3D.-3 答案 A6.已知函数f(x)=1x 2+mx+m 的定义域是R ,则实数m 的取值范围是( )A.0<m<4B.0≤m ≤4C.0≤m<4D.m ≥4答案 A7. 设函数f:R →R 满足f(0)=1,且对任意x,y ∈R 都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, 则f(2 017)=( ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018答案 D 令x=y=0,则f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=1×1-1-0+2=2,令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,将f(0)=1, f(1)=2代入,可得f(x)=1+x,所以f(2 017)=2 018,故选D. 8.已知函数y=f(x-2)的定义域是[0,4],则y=f(x+1)x -1的定义域是 .答案 [-3,1)9.已知函数f(x)满足f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时, f(x)=x 2,则f(3)= . 答案 92解析 ∵f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时, f(x)=x 2,∴f(3)=2f (32)=2×(32)2=92.B 组 提升题组1.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x 2,则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x 2-12x+18B.f(x)=13x 2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3答案 B 由f(x)+2f(3-x)=x 2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=13x 2-4x+6,故选B. 2.已知函数f(x)={(a -1)x +4-2a,x <1,1+log 2x,x ≥1,若f(x)的值域为R ,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(-∞,2]C.(0,2]D.[2,+∞)答案 A 当x ≥1时, f(x)=1+log 2x ≥1;当x<1时, f(x)=(a-1)x+4-2a 必须是增函数,且值域区间的右端点的值大于或等于1,才能满足f(x)的值域为R ,可得{a -1>0,a -1+4-2a ≥1,解得a ∈(1,2].3.(2019衡阳模拟)已知函数f(x)=axx -1,若f(x)+ f (1x )=3,则f(x)+f(2-x)= . 答案 6解析 ∵f(x)=ax x -1, f(x)+f (1x )=3, ∴f(x)+f (1x )=axx -1+a x 1x-1=ax x -1-a x -1=a(x -1)x -1=3,解得a=3,∴f(x)=3x x -1,∴f(x)+f(2-x)=3xx -1+6-3x 2-x -1=6(x -1)x -1=6.4.已知函数f(x)=2x+12x -1,则f (12 017)+ f (22 017)+…+f (2 0162 017)= . 答案 2 016 解析 ∵f(x)=2x+12x -1, ∴f(x)+f(1-x)=2x+12x -1+2(1-x)+12(1-x)-1=2,∴f (12 017)+f (22 017)+…+f (2 0162 017)=1 008×2=2 016. 素养拓展5.下图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 D 由题图知,在中间时间段y 的值不变,只有D 符合题意.6.已知[x]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R ),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则{12 018}+{22 018}+…+{2 0182 018}=( ) A.2 017 B.2 0172C.1 008D.2 016答案 B 由题意知,{12 018}=12 018,{22 018}=22 018,……,{2 0172 018}=2 0172 018,{2 0182 018}=0,所以原式=12 018+22 018+…+2 0172 018=2 0172.7.若函数f(x)满足:在定义域D 内存在实数x 0,使得f(x 0+1)=f(x 0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数: ①f(x)=1x ;②f(x)=2x ;③f(x)=lg(x 2+2). 其中是“1的饱和函数”的所有序号为( ) A.①③ B.② C.①② D.③答案 B 对于①,若存在实数x 0,满足f(x 0+1)=f(x 0)+f(1),则1x+1=1x+1,所以x 02+x 0+1=0(x 0≠0,且x 0≠-1),显然该方程无实根,因此①不是“1的饱和函数”;对于②,若存在实数x 0,满足f(x 0+1)=f(x 0)+f(1),则2x 0+1=2x 0+2,解得x 0=1,因此②是“1的饱和函数”;对于③,若存在实数x 0,满足f(x 0+1)=f(x 0)+f(1),则lg[(x 0+1)2+2]=lg(x 02+2)+lg(12+2),化简得2x 02-2x 0+3=0,显然该方程无实根,因此③不是“1的饱和函数”.。

第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．重要结论1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列判断不正确的为( ABC ) A ．函数f (x )的图象与直线x ＝1的交点只有1个 B ．已知f (x )＝m (x ∈R )，则f (m 3)等于m 3 C ．y ＝ln x 2与y ＝2ln x 表示同一函数D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－1≤x ≤1，x ＋3，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－1≤x ≤1，－x ＋3，x >1或x <－1题组二 走进教材2．(必修P 23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．3．(必修1P 24T4改编)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( D ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg132D ．15lg 2[解析] 解法一：由题意知x >0，令t ＝x 5，则t >0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝15lg x (x >0)，∴f (2)＝15lg 2，故选D ．解法二：令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.故选D ．4．(必修1P 25BT1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；值域是[1,5]；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5].题组三 考题再现5．(2019·江苏，5分)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是[－1,7].[解析] 要使函数有意义，则7＋6x －x 2>0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．6．(2015·陕西，5分)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( C )A ．－1B ．14C ．12D ．32[解析] ∵f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f (14)＝1－14＝12，故选C ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 函数的概念及表示考向1 函数与映射的概念——自主练透例1 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？ ①A ＝{1,2,3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4. ②A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝4x . ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：x →y ＝1x2.④A ＝{衡中高三·一班的同学}，B ＝[0,150]，f ：每个同学与其高考数学的分数相对应． (2)(多选题)(2020·河南安阳模拟改编)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( BC )(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ ①f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1；f 3：y ＝x 0.②f 1：y ＝x 2；f 2：y ＝(x )2；f 3：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0.③f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.f 2：x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123f 3：[解析] (1)①是映射，也是函数；②不是映射，更不是函数，因为从A 到B 的对应为“一对多”； ③当x ＝0时，与其对应的y 值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A 不是数集．(2)A 图象不满足函数的定义域，不正确；B 、C 满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D 不满足函数的定义，故选B 、C ．(3)①中f 1的定义域为{x |x ≠0}，f 2的定义域为R ，f 3的定义域为{x |x ≠0}，故不是同一函数； ②中f 1的定义域为R ，f 2的定义域为{x |x ≥0}，f 3的定义域为{x |x ≠0}，故不是同一函数； ③中f 1，f 2，f 3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数． [答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数(3)不同函数①②；同一函数③名师点拨 ☞ 1．映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A ，B 为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．2．判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数． 考向2 求函数的解析式——师生共研例2 已知f (x )满足下列条件，分别求f (x )的解析式． (1)已知f (x －1)＝x －2x ，求f (x )；(2)函数f (x )满足方程2f (x )＋f (1x)＝2x ，x ∈R 且x ≠0.求f (x )；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式． [分析] (1)利用换元法，即设t ＝x －1求解； (2)利用解方程组法，将x 换成1x 求解；(3)已知函数类型，可用待定系数法； (4)由于变量较多，可用赋值法求解．[解析] (1)解法一：设x －1＝t (t ≥－1)，∴x ＝t ＋1，x ＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∴f (t )＝t 2＋2t ＋1－2(t ＋1)＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．解法二：由f (x －1)＝x －2x ＝(x －1)2－1，∵x ≥0，∴x －1≥－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．(2)因为2f (x )＋f (1x )＝2x ，①将x 换成1x ，则1x换成x ，。

知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质理解函数的单调性、奇偶性,会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义,会求简单函数的最大(小)值. 指数函数了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算．理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式． 理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数了解幂函数的概念．掌握幂函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x,y ＝x 12的图象和性质.函数与方程 了解函数零点的概念,掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题,并给予解决.第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合 A 、B设A,B 是两个非空的数集设A,B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 y ＝f(x)(x∈A)对应f ：A→B 是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然,值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f(x)＝x 2－2x 与g(t)＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R,B ＝{x|x ＞0},f ：x→y＝|x|,则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P18例2改编)下列函数中,与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A,函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x|x≥－1},与函数y ＝x ＋1的定义域不同,不是相等函数；对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数；对于C,函数y ＝x2x ＋1的定义域为{x|x≠0},与函数y ＝x ＋1的定义域不同,不是相等函数；对于D,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.2．(必修1P25B 组T1改编)函数y ＝f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]3．(必修1P19T1(2)改编)函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，⇒x ≥2.答案：[2,＋∞) [易错纠偏](1)对函数概念理解不透彻； (2)换元法求解析式,反解忽视范围．1．已知集合P ＝{x|0≤x≤4},Q ＝{y|0≤y≤2},下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x→y＝12x ；②f：x→y＝13x ；③f：x→y＝23x ；④f：x→y＝x.解析：对于③,因为当x ＝4时,y ＝23×4＝83∉Q,所以③不是函数．答案：③2．已知f(x)＝x －1,则f(x)＝________．解析：令t ＝x,则t≥0,x ＝t 2,所以f(t)＝t 2－1(t≥0),即f(x)＝x 2－1(x≥0)． 答案：x 2－1(x≥0)函数的定义域(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝x ＋2x2lg （|x|－x ）的定义域为________．(2)若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域为________．(3)若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R,则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)要使函数f(x)有意义,必须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x 2≥0，|x|－x>0，|x|－x≠1，解得x<－12.所以函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－12.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1,即定义域是[0,1)．(3)因为函数f(x)的定义域为R,所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x∈R 恒成立,即2x 2＋2ax －a ≥20,x 2＋2ax －a≥0恒成立,因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0,解得－1≤a≤0.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－12 (2)[0,1) (3)[－1,0](变条件)若将本例(2)中“函数y ＝f(x)”改为“函数y ＝f(x ＋1)”,其他条件不变,如何求解？ 解：由函数y ＝f(x ＋1)的定义域为[0,2], 得函数y ＝f(x)的定义域为[1,3],令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x≠1.所以g(x)的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a ＜g(x)＜b 即可求出y ＝f(g(x))的定义域；②若y ＝f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得y ＝f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组),然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简； (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式．1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f(x)＝3x21－x＋lg(－3x 2＋5x ＋2)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析：选B.依题意可得,要使函数有意义,则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0－3x 2＋5x ＋2>0,解得－13<x<1.故选B. 2．(2020·浙江新高考预测卷)已知集合A ＝{x|y ＝x －x 2},B ＝{x|y ＝ln(1－x)},则A∪B＝( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(－∞,1]D ．(－∞,1)解析：选C.因为由x －x 2≥0得0≤x≤1, 所以A ＝{x|0≤x≤1}． 由1－x>0得x<1,所以B ＝{x|x<1},所以A∪B＝{x|x≤1}． 故选C.3．若函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域为实数集,则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时,1≥0恒成立；当m≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝m 2－4m≤0， 解得0<m≤4. 综上可得0≤m≤4. 答案：[0,4]求函数的解析式(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2,求f(x)的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x,求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)＝0,f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1,求f(x)； (4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x,求f(x)的解析式．【解】 (1)(配凑法)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2,所以f(x)＝x 2－2,x ≥2或x≤－2,故f(x)的解析式是f(x)＝x 2－2,x ≥2或x≤－2. (2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1,代入得f(t)＝lg 2t －1,又x ＞0,所以t ＞1,故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x －1,x ＞1. (3)(待定系数法)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0), 由f(0)＝0,知c ＝0,f(x)＝ax 2＋bx, 又由f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1,得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1, 即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f(x)＝12x 2＋12x,x ∈R.(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x,① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x,② ①×2－②,得,3f(x)＝2x ＋1－2－x.即f(x)＝2x ＋1－2－x3. 所以f(x)的解析式是f(x)＝2x ＋1－2－x3,x ∈R.求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替代g(x),便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f(－x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(2020·杭州学军中学月考)已知f(x ＋1)＝x ＋2x,则f(x)的解析式为f(x)＝__________． 解析：法一：设t ＝x ＋1,则x ＝(t －1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f(x)＝x 2－1(x≥1)．法二：因为x ＋2x ＝(x)2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1,所以f(x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1), 即f(x)＝x 2－1(x≥1)． 答案：x 2－1(x≥1)2．设y ＝f(x)是二次函数,方程f(x)＝0有两个相等的实根,且f′(x)＝2x ＋2,则f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0), 则f′(x)＝2ax ＋b ＝2x ＋2, 所以a ＝1,b ＝2,f(x)＝x 2＋2x ＋c. 又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根, 所以Δ＝4－4c ＝0,c ＝1,故f(x)＝x 2＋2x ＋1. 答案：x 2＋2x ＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)分段函数求值；(2)已知函数值,求参数的值(或取值范围)； (3)与分段函数有关的方程、不等式问题． 角度一 分段函数求值(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，f （x ＋2），x ≤0，g(x)＝x 2,则f(8)＝________；g[f(2)]＝________；f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．【解析】 f(8)＝log 28＝3,g[f(2)]＝g(log 22)＝g(1)＝1,f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＝f(－1)＝f(1)＝log 21＝0.【答案】 3 1 0角度二 已知函数值求参数的值(或取值范围)(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1（x≥1）log 2（1－x ）（x<1）,若f(f(a))＝3,则a ＝________．【解析】 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1（x≥1）log 2（1－x ）（x<1）,若f(f(a))＝3,当a≥1时,可得f(－2a 2＋1)＝3,可得log 2(2a 2)＝3,解得a ＝2.当a<1时,可得f(log 2(1－a))＝3,log 2(1－a)≥1时,可得－2(log 2(1－a))2＋1＝3,解得a∈∅. log 2(1－a)<1时,可得log 2(1－log 2(1－a))＝3,即1－log 2(1－a)＝8,log 2(1－a)＝－7,1－a ＝1128,可得a ＝127128.综上得a 的值为2或127128.【答案】 2或127128角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题(2020·镇海中学5月模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2，x ≤－1，（x －2）（|x|－1），x ＞－1，则f(f(－2))＝________,若f(x)≥2,则x 的取值范围为________．【解析】 由分段函数的表达式得f(－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝4－2＝2,f(2)＝0,故f(f(－2))＝0.若x≤－1,由f(x)≥2得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2≥2,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥4,则2－x≥4,得－x≥2,则x≤－2,此时x≤－2.若x ＞－1,由f(x)≥2得(x －2)(|x|－1)≥2, 即x|x|－x －2|x|≥0,若x≥0,得x 2－3x≥0,则x≥3或x≤0,此时x≥3或x ＝0； 若－1＜x ＜0,得－x 2＋x≥0,得x 2－x≤0,得0≤x≤1,此时无解． 综上得x≥3或x ＝0或x≤－2. 【答案】 0 x≥3或x ＝0或x≤－2(1)根据分段函数解析式,求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值,求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值,切记要代入检验．(3)已知分段函数的函数值满足的不等式,求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来．1．(2020·浙江教育评价高三第二次联考))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1log 2（1－x ），x<1,则f(f(4))＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C.f(f(4))＝f(－31)＝log 2 32＝5.故选C.2．(2020·Z20联盟开学联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|－1，x ≤0log 2 x ，x>0,若f(a)≤1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－4]∪[2,＋∞)B ．[－1,2]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－4,2]解析：选D.f (a)≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，|a ＋2|－1≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2 a ≤1， 解得－4≤a≤0或0<a≤2,即a∈[－4,2],故选D.核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新问题．在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N *)个整点,则称函数f(x)为n 阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin 2x ；②g(x)＝x 3； ③h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x)＝ln x.其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】 对于函数f(x)＝sin 2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D ；对于函数g(x)＝x 3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A ；对于函数h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(－1,3),…,所以它不是一阶整点函数,排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解．如本例,若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点,问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y ＝x 2＋1,值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.由x 2＋1＝1得x ＝0,由x 2＋1＝3得x ＝±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,－2},{0,2,－2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个．2．若定义在R 上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x,使得f(－x)＝f(x),则称f(x)为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f(x)＝cos xB ．f(x)＝sin xC ．f(x)＝x 2－2xD ．f(x)＝x 3－2x解析：选D.A 中函数为偶函数,则在定义域内均满足f(x)＝f(－x),不符合题意；B 中,当x ＝k π(k∈Z)时,满足f(x)＝f(－x),不符合题意；C 中,由f(x)＝f(－x),得x 2－2x ＝x 2＋2x,解得x ＝0,不符合题意；D 中,由f(x)＝f(－x),得x 3－2x ＝－x 3＋2x,解得x ＝0或x ＝±2,满足题意,故选D.[基础题组练]1．函数f(x)＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( )A ．(2,＋∞)B ．(3,＋∞)C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C. 2．(2020·嘉兴一模)已知a 为实数,设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x<2，log 2（x －2），x ≥2，则f(2a＋2)的值为( )A ．2aB ．aC ．2D ．a 或2解析：选B.因为函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x<2，log 2（x －2），x ≥2，所以f(2a ＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a,故选B. 3．下列哪个函数与y ＝x 相等( ) A ．y ＝x2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x)3解析：选D.y ＝x 的定义域为R,而y ＝x2x的定义域为{x|x∈R 且x≠0},y ＝2log 2x 的定义域为{x|x∈R ,且x>0},排除A 、B ；y ＝x 2＝|x|的定义域为x∈R ,对应关系与y ＝x 的对应关系不同,排除C ；而y ＝(3x)3＝x,定义域和对应关系与y ＝x 均相同,故选D.4．(2020·杭州七校联考)已知函数f(x)＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1,若f(a)＝2,则f(－a)的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.因为函数f(x)＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1,所以f(x)＝x 3＋sin x ＋1,因为f(a)＝2,所以f(a)＝a 3＋sin a ＋1＝2,所以a 3＋sin a ＝1,所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故选B.5．已知a,b 为两个不相等的实数,集合M ＝{a 2－4a,－1},N ＝{b 2－4b ＋1,－2},f ：x→x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x,则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由已知可得M ＝N,故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0， 所以a,b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根,故a ＋b ＝4. 6．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R 都有( ) A ．f(sin 2x)＝sin x B ．f(sin 2x)＝x 2＋x C ．f(x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f(x 2＋2x)＝|x ＋1| 解析：选D.取特殊值法．取x ＝0,π2,可得f(0)＝0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误；取x ＝0,π,可得f(0)＝0,π2＋π,这与函数的定义矛盾, 所以选项B 错误；取x ＝1,－1,可得f(2)＝2,0,这与函数的定义矛盾, 所以选项C 错误；取f(x)＝x ＋1,则对任意x∈R 都有f(x 2＋2x)＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|,故选项D 正确．7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝x1＋x2B ．f(x)＝－2x1＋x2C ．f(x)＝2x1＋x 2 D ．f(x)＝－x1＋x2解析：选C.令1－x 1＋x ＝t,则x ＝1－t 1＋t ,所以f(t)＝（1＋t ）2－（1－t ）2（1＋t ）2＋（1－t ）2＝2t1＋t 2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2,故选C. 8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2(a≠b)的值为( )A ．aB ．bC ．a,b 中较小的数D ．a,b 中较大的数解析：选C.若a －b ＞0,即a ＞b,则f(a －b)＝－1, 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2＝12[(a ＋b)－(a －b)]＝b(a ＞b)；若a －b ＜0,即a ＜b,则f(a －b)＝1, 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2＝12[(a ＋b)＋(a －b)]＝a(a ＜b)．综上,选C.9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1,若f(f(34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D.因为f(34)＝2×34＋n ＝32＋n,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f(f(34))＝2(32＋n)＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意；当32＋n≥1,即n≥－12时,f(f(34))＝log 2(32＋n)＝2,即32＋n ＝4,解得n ＝52,故选D. 10．设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R ,(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f·f)(x)＝f(x)B ．(f·g)(x)＝f(x)C ．(g·f)(x)＝g(x)D ．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A.对于A,(f·f)(x)＝f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）＞0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x ＞0时,f(x)＝x ＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x ；当x ＜0时,f(x)＝x 2＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x 2；当x ＝0时,(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02,因此对任意的x∈R ,有(f·f)(x)＝f(x),故A 正确,选A.11.若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为________．解析：由题图可知,当－1≤x<0时,f(x)＝x ＋1；当0≤x≤2时,f(x)＝－12x,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－12x ，0≤x ≤212．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1,则f(1)＝________． 解析：令x ＝1,得2f(1)－f(－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f(－1)－f(1)＝－2,② 联立①②得f(1)＝2. 答案：213．函数f(x),g(x)分别由下表给出．x 1 2 3 x 1 2 3 f(x)131g(x)321则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x 的值为________． 解析：因为g(1)＝3,f(3)＝1,所以f(g(1))＝1.当x ＝1时,f(g(1))＝f(3)＝1,g(f(1))＝g(1)＝3,不合题意． 当x ＝2时,f(g(2))＝f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝1,符合题意． 当x ＝3时,f(g(3))＝f(1)＝1,g(f(3))＝g(1)＝3,不合题意． 答案：1 214．设函数f(x)＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f(x)≥1的自变量x 的取值范围是________．解析：f(x)≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1或⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1，得x≤－2或0≤x＜1. 由⎩⎨⎧x≥1，4－x －1≥1，得1≤x≤10. 综上所述,x 的取值范围是x≤－2或0≤x≤10. 答案：(－∞,－2]∪[0,10]15．已知实数a≠0,函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.若f(1－a)＝f(1＋a),则a 的值为________．解析：当a>0时,1－a<1,1＋a>1,此时f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a,f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a ＝－1－3a,解得a ＝－32.不合题意,舍去． 当a<0时,1－a>1,1＋a<1,此时f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a, f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝2＋3a,由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a ＝2＋3a,解得a ＝－34.综上可知,a 的值为－34.答案：－3416．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋6x －6，x>1,则f(f(－2))＝________,f(x)的最小值是________．解析：由题意可得f(－2)＝(－2)2＝4, 所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋64－6＝－12；因为当x≤1时,f(x)＝x 2,由二次函数可知当x ＝0时,函数取最小值0； 当x>1时,f(x)＝x ＋6x－6,由基本不等式可得f(x)＝x ＋6x －6≥2x ·6x－6 ＝26－6,当且仅当x ＝6x 即x ＝6时取到等号,即此时函数取最小值26－6；因为26－6<0,所以f(x)的最小值为26－6. 答案：－1226－617．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x<0.若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得,当a>0时,则－a<0,故a[f(a)－f(－a)]＝a(a 2＋a －3a)>0,化简可得a 2－2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则－a>0,故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a －(a 2－a)]>0,化简可得a 2＋2a>0,解得a>0或a<－2,又因为a<0,所以a<－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案：(－∞,－2)∪(2,＋∞)[综合题组练]1．设x∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D.当x<0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,x ·sgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A,B,C,故选D.2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x 2＋1；②f(1x 2＋1)＝x ；③f(x 2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R 都成立的序号为________．解析：①f(|x|＋1)＝x 2＋1,由t ＝|x|＋1(t≥1),可得|x|＝t －1,则f(t)＝(t －1)2＋1,即有f(x)＝(x －1)2＋1对x∈R 均成立；②f(1x 2＋1)＝x,令t ＝1x 2＋1(0＜t≤1),x ＝±1t－1,对0＜t≤1,y ＝f(t)不能构成函数,故不成立；③f(x 2－2x)＝|x|,令t ＝x 2－2x,若t ＜－1时,x ∈∅；t≥－1,可得x ＝1±1＋t (t≥－1),y ＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x,当x≥0时,f(x)＝3x＋3－x；当x ＜0时,f(－x)＝3x＋3－x；将x 换为－x 可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．答案：①④3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3,f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，2x ，x ≥0.(2)f(x)的图象如图：4．已知f(x)＝x 2－1,g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，2－x ，x<0.(1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．解：(1)g(2)＝1,f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x>0时,f(g(x))＝f(x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x<0时,f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x 2－4x ＋3.所以f(g(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x>0，x 2－4x ＋3，x<0.同理可得g(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x<－1或x>1，3－x 2，－1<x<1. 5．设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a(常数),∠ABC ＝120°,写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数,并求它的定义域和值域．解：如图,因为AB ＋BC ＋CD ＝a,所以BC ＝EF ＝a －2x>0, 即0<x<a2,因为∠ABC＝120°,所以∠A＝60°,所以AE ＝DF ＝x 2,BE ＝32x,y ＝12(BC ＋AD)·BE＝3x 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2＝34(2a －3x)x ＝－34(3x 2－2ax) ＝－334⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋312a 2, 故当x ＝a 3时,y 有最大值312a 2,它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，312a 2. 6．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0, f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2；当x∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。

第二章 函数的概念及其基本性质第1讲 函数的概念及其表示考纲展示 命题探究考点一 函数的概念及其表示1 函数与映射的概念函数映射两集合 A ，BA ，B 是两个非空数集 A ，B 是两个非空集合 对应关系 f ：A →B按照某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数f (x )和它对应 按某一个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 名称 那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B 是一个映射在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．3 函数的三要素定义域、值域和对应关系．4 相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．5 函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 注意点 求函数的定义域需注意的问题 (1)求定义域时对于解析式先不要化简．(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.1．思维辨析(1)f (x )＝x 2x 与g (x )＝x 是同一个函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一函数．( ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( ) (5)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )(6)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．(1)函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 (1)C (2)B解析 (1)由f (x )解析式得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，∴f (x )的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．(2)由函数的概念知C 错，由函数的定义域M 知A 错，再由函数的值域N 知D 错，故选B.3．函数f (x )＝ln (x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，需满足x 2－x >0，解得x <0或x >1，故选C.[考法综述] 求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解．函数解析式的求解与应用是函数内容的基础，要求在熟练掌握有关技能的同时，注意换元法、待定系数法等数学思想方法的运用．高考中以选择题或填空题形式考查，属于基础题．命题法1 求函数的定义域典例1 (1)f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．(2)∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， ∴0≤x <1，即函数g (x )的定义域是[0,1)． [答案] (1)C (2)[0,1)【解题法】 函数定义域的求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题法2 求函数的解析式典例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝f (－2)，f (－1)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝f (－2)＝f (－3)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－12x (x ＋1)．[答案] (1)C (2)－12x (x ＋1)【解题法】 求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．(2)换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f (－x ))的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f (x )．1.函数y ＝x ln (1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.故函数y ＝x ln (1－x )的定义域为[0,1)．故选B.2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )． ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.3.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析 令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.4．已知f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝x －2，则f [g (2)]与g [f (2)]的大小关系是( )A ．f [g (2)]>g [f (2)]B ．f [g (2)]＝g [f (2)]C ．f [g (2)]<g [f (2)]D ．无法确定答案 A解析 g (2)＝0，∴f [g (2)]＝f (0)＝0.又f (2)＝0， ∴g [f (2)]＝g (0)＝－2.∴f [g (2)]>g [f (2)]．故选A.5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 解法一：当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.解法二：当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1a 0＋b ＝0，显然无解． 所以a ＋b ＝－32.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.答案 23x ＋13解析 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x －1， ①将①式代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝4f (x )－2x －1， 故f (x )＝23x ＋13.考点二 分段函数及其应用1 分段函数的定义若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．2 分段函数的定义域分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．注意点 分段函数求值时需注意的问题 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.1．思维辨析(1)分段函数分几部分就是几个函数．( )(2)f (x )＝|x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥0－x x <0是同一函数．( )(3)函数是特殊的映射．( )(4)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( )(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)，x ＋1 (x >1或x <－1)，则f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2 (－1≤x ≤1)，－x ＋1 (x >1或x <－1).( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23D.139(2)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 (1)D (2)D解析 (1)由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.(2)由函数图象可知，张大爷先是离家越来越远，然后在一段时间内他离家的距离不变，最后他离家越来越近，分析可知D 正确．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析 若a >2，则f (2)＝2与已知矛盾；若a ≤2，则f (2)＝22＝4成立．故a 的取值范围是(－∞，2]．[考法综述] 在分段函数的考查中，主要以分段函数求值、解分段函数有关的不等式、分段函数求参数(范围)等形式出现，主要以选择题的形式出现，题目一般不难，偶尔也会出现难度较高的题目．命题法 分段函数求值典例 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.(2)当a ≥0时，f (a )＝－a 2≤0，又f (0)＝0，故由f (f (a ))＝f (－a 2)＝a 4－a 2≤2，得a 2≤2，∴0≤a ≤ 2.当－1<a <0时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)<0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝(a 2＋a )2＋(a 2＋a )≤2，得a 2＋a －1≤0，得－1＋52≤a ≤－1＋52，则有－1<a <0.当a ≤－1时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)≥0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝－(a 2＋a )2≤2，得a ∈R ，故a ≤－1.综上，a 的取值范围为(－∞，2]． [答案] (1)1 (2)(－∞，2]【解题法】 分段函数问题的解题策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式，代入求解．(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)． 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 由题意知，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <12a ，a ≥1.由f (a )<1，解得a <23.所以f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )<12f (a )，f (a )≥1⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a <2323a －1，23≤a ＜122a，a ≥1故当a <23时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为9a －4＝23a －1，即18a －8＝23a . 如图，分别作出直线y ＝18x －8与函数y ＝23x ＝8x 的图象，根据图象分析可知，A 点横坐标为23，故a <23不符合题意．当23≤a <1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为23a －1＝23a －1，显然方程恒成立．当a ≥1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为22a ＝22a ，显然方程恒成立．所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.3．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析 因为f (x )是R 上的增函数，又a >1，所以当x >0时，f (x )<f (ax )，即g (x )<0；当x ＝0时，f (x )＝f (ax )，即g (x )＝0；当x <0时，f (x )>f (ax )，即g (x )>0.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0知，sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x >0，0，x ＝0，1，x <0∴sgn[g (x )]＝－sgn x .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D解析 作出f (x )的图象如图所示，可排除A 、B 、C ，故D 正确．5．设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2 D ．9答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 故应选C. 7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34 D.32或－34[错解][错因分析] 在解题过程中误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论，直接代入求解，导致错误．[正解] (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1则 f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a ， ∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴2－a ＝－1－3a ， ∴a ＝－32(舍)；(2)当a <0时，1－a >1,1＋a <1，则 f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴－1－a ＝3a ＋2，∴a ＝－34.综上可知a ＝－34，故选B. [答案] B [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[·枣强中学周测]已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18x B ．f ：x →y ＝14x C ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x答案 D解析 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．2. [·冀州中学预测]函数f (x )＝ln (x ＋3)1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 ∵f (x )＝ln (x ＋3)1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，即－3<x <0. 3．[·冀州中学猜题]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1答案 D解析 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上a ＝±1.4．[·武邑中学仿真]已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10.其中n ∈N *，则f (6)的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 B解析 由函数解析式，可知f (6)＝f (f (11))＝f (8)＝f (f (13))＝f (10)＝10－3＝7.5．[·衡水中学模拟]已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30答案 C解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.6．[·冀州中学期中]函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.45B.54C.34D.43答案 D解析 1－x (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以0<11－x (1－x )≤43.7．[·衡水中学仿真]已知函数f (x )的定义域为(0,2]，则函数f (x ＋1)的定义域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1,3]C ．[5，3)D ．(0，5)答案 B解析 根据题意，得0<x ＋1≤2，即0<x ＋1≤4，解得－1<x ≤3，故选B.8．[·枣强中学预测]设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝________.答案 4解析 因为x ＝－4<0，所以f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，因为x ＝16>0，所以f (16)＝16＝4.9．[·冀州中学一轮检测]函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________． 答案 (－∞，1]解析 函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)， 故t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故值域为(－∞，1]． 10．[·武邑中学一轮检测]已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .11．[·武邑中学月考]甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解 当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ； 当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．[·衡水中学热身]已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0. 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32.∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174. ∴f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减． ∴－194≤f (a )≤4.即f (a )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 能力组13.[·衡水二中期中]函数y ＝log 12 (x 2－1)的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．(－3，－1)∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)答案 A 解析由题意得⎩⎨⎧log 12(x 2－1)≥0，x 2－1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤1，x 2－1>0，也就是1<x 2≤2，所以x ∈[－2，－1)∪(1，2]．14．[·枣强中学模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13 ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13 ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]． 15．[·衡水二中期末]若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝23－x解析 ∵f (x )＋2f (1－x )＝x ，① ∴f (1－x )＋2f (x )＝1－x .② ①－2×②，得f (x )＝－x ＋23.16. [·武邑中学猜题]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cx ＋1 (0<x <c )，2－xc 2＋1(c ≤x <1)满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解 (1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ， 由f (c 2)＝98得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f (x )>28＋1，得当0<x <12时，则有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12； 当12≤x <1时，则有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58.所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪24<x <58.。