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[最新]人教版高中数学选修2-2导学案：1.7.2定积分在物理中的应用 [WORD版可编辑]

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1.7.2定积分在物理中的应用

【学习目标】

1.了解应用定积分解决一些简单的物理问题的思想方法.

2．能应用定积分解决变速直线运动的路程、变力所作的功等一些简单的物理问题.

【新知自学】

知识回顾：

1.定积分的几何意义是______________________

______________________.

2.微积分基本定理:一般地，如果)(xf是区间ba,上的连续函数，并且，)()(xfxF，那么dxxfba)(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．即()()|bbaafxdxFx________________________．

3.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数)0)()((tvtvv在时间区间[a,b]上的____________，即s=__________________.

4.如果物体在变力F(x)（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a

新知梳理：

1.类比用定积分求平面图形面积的方法求变速直线运动的路程、变力所作的功等一些简单的物理问题.

2.作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()basvtdt.

3.如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x

=a 移动到x=b (a

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()baWFxdx

对点练习：

1.一物体沿直线以1t2（t的单位：s，的单位：m/s）的速度运动，则该物体在1至2s间行进的路程为（ ）

A.1m B.2m C.3m D.4m

2.如果1N的力使弹簧伸长1cm，在弹性限度内，为了使弹簧伸长10cm，拉力所做的功为（ ）

A.0.5J B.1J C.50J D.100J

3.一物体在力()34Fxx（x的单位：m，F的单位：N）的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从0x处运动到4x处，求力F(x)所作的功.

【合作探究】

典例精析：

例1. 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min行驶的路程.

变式练习：

汽车以每小时32km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a=-1.8m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为___________.（保留小数点后两位）

例2.一物体在力)2(43)20(10)(xxxxF（单位：N）的作用下沿与F(x)相同方向，从x=0处运动到x=4（单位：m）处，则F(x)力所做的功为（ ）

A.44J B.46J C. 48J D.50J

变式练习：

如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．

规律总结：

1.作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数错误！未找到引用源。在时间区间错误！未找到引用源。上的定积分，即错误！未找到引用源。．

2.如果这个力F是一个变力，即物体在变力错误！未找到引用源。的作用下做直线运动，并且物体沿着与错误！未找到引用源。相同的方向从错误！未找到引用源。移动到错误！未找到引用源。，那么变力错误！未找到引用源。所作的功错误！

未找到引用源。．

【课堂小结】

【当堂达标】

1. 如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）

A．0.18J B. 0.26J

C. 0.12J D. 0.28J

2.一物体沿直线以23vt（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度运动，求该物体在3s到4s间行进的路程.

3.一点在直线上从时刻t=0（单位：s）开始以速度34t2t（单位：m/s）运动，求：

（1）在t=4s时的位置；

（2）在t=4s时的运动的路程.

【课时作业】

1. 物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t=0时，物体所在的位置为错误！未找到引用源。，则在错误！未找到引用源。秒末时它所在的位置为（ ）

A．10)(tdttv B．100)(tdttvs

C．001)(sdttvt D．100)(tdttvs

2.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为

（ ）

A．0.28J B．0.12J

C．0.26J D．0.18J

3.有一横截面为4cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为26)(ttt（单位：cm/s）（0≤t≤6），则t=0到t=6这段时间流出的水量为_______________.

4.A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求

（1）A、C间的距离；

（2）B、D间的距离；

（3）电车从A站到B站所需的时间.

5.物体A以速度132tR（米/秒）在一直线上运动，同时物体B也以速度r=10t（米/秒）在同一直线上与A同方向运动，问多少时间后A比B多运动5米，此时，A、B走的距离各是多少？

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最新人教版高中数学选修2-2第一章《微积分基本定理》教学设计

最新人教版高中数学选修2-2第一章《微积分基本定理》教学设计

教学设计

1．6 微积分基本定理

整体设计

教材分析

本节的主要内容是微积分基本定理的含义及运用微积分基本定理计算简单的定积分．教科书采用从局部到整体、从具体到一般的思想，从导数和定积分这两个微积分学中最基本和最重要的概念入手，以寻求二者之间的联系为突破口，先利用物理意义和导数的几何意义，并结合定积分的概念，通过对变速直线运动物体的位移问题进行详细探究，分别用物体的运动规律s＝s(t)和速度函数v＝v(t)表示出物体在时间段[a，b]上的位移s，进而推出一般形式的结论，得出微积分基本定理．

微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法．通过本节的学习，使学生经历定理的发现过程，直观了解微积分基本定理的含义．通过计算简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的威力，从而引发学生进一步学习微积分知识的兴趣．

课时分配

《微积分基本定理》的教学分两个课时完成：第1课时内容为微积分基本定理；第2课时内容为定积分的几何意义．

第1课时

教学目标

知识与技能目标

通过实例了解导数和定积分的联系，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿—莱布尼兹公式求简单的定积分．

过程与方法目标

通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的思想方法．

情感、态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点，提高理性思维能力和逆向思维能力，激发学生学习数学的兴趣，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力及思维能力． 重点难点

重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用微积分基本定理计算简单的定积分．

难点：了解微积分基本定理的含义．

教学方法

问题驱动、启发式、自主探究式教学法，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

高中数学定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用教案新课标人教A版选修2

高中数学定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用教案新课标人教A版选修2

第四节 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用

一．复习要点：

1．定积分的实质

如果在区间[,]ab上函数连续且有()0fx，那么定积分()bafxdx表示由直线,xaxb（ab），0y和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积。

如果在区间[,]ab上函数连续且有()0fx，那么定积分()bafxdx表示由直线,xaxb（ab），0y和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积的相反数。

如果在区间[,]ab上函数连续且()fx有正有负时，那么定积分()bafxdx表示介于,xaxb（ab）之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。

()bafxdx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1 abdxba1

性质2 babadxxfkdxxkf)()( （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质3 1212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx （定积分的线性性质）性质4

()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中

（定积分对积分区间的可加性）

PCNMBAabOyxy=1yxOba

3.微积分基本定理

一般的，如果()fx是闭区间[,]ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么()()()bafxdxFbFa。可以把0()2()0aaafxdxfxdx()()FbFa记作()|baFx，即()()|()()bbaafxdxFxFbFa。

4.定积分的求法

（1）微积分基本定理

（2）几何意义法：例如1211xdx

（3）利用奇偶函数的性质求：若()fx是[-a,a]上的奇函数，则()0aafxdx；

若()fx是[-a,a]上的偶函数，则0()2()aaafxdxfxdx。 性质1 性质4 二、例题

高中数学人教版选修2

高中数学人教版选修2

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高中数学人教版选修(xuǎnxiū)2

高中数学人教版选修(xuǎnxiū)2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数(dǎo shù)及其应用知识点必记

1．函数(hánshù)的平均变化率是什么？答：平均变化率为

f(某2)f(某1)f(某1某)f(某1)yf某2某1注1：其中(qízhōng)某是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？

答：函数yf(某)在某某0处的瞬时变化率是limf(某0某)f(某0)y，那么称lim某0某某0某函数yf(某)在点某0处可导，并把这个极限叫做yf(某)在某0处的导数，记作f"(某0)或y"|某某0，即f"(某0)=limf(某0某)f(某0)y.lim某0某某0某3.平均变化率和导数的几何意义是什么？

答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？

答：〔1〕切线的斜率；〔2〕瞬时速度；〔3〕边际本钱。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0某n1某d某n1ny某nnN某y"n某n1ya某a0,a1y"alnay"e某某a某ad某lna某ye某ed某e某某yloga某a0,a1,某0yln某y"1某lna1某1某d某ln某y"ysin某y"cos某cos某d某sin某sin某d某cos某ycos某y"sin某6、常见的导数和定积分

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运算公式有哪些？答：假设f某，g某均可导〔可积〕，那么有：和差的导数运算f(某)g(某)f(某)g(某)""f"(某)g"(某)f"(某)g(某)f(某)g"(某)积的导数运算特别地：Cf某"Cf"某商的导数运算f(某)f"(某)g(某)f(某)g"(某)(g(某)0)g(某)2g(某)"1g"(某)特别地："2g某g某复合函数的导数y某yuu某微积分根本定理f某d某ab〔其中F"某f某〕和差的积分运算ba[f1(某)f2(某)]d某f1(某)d某f2(某)d某aabb特别地：积分的区间可加性bakf(某)d某kf(某)d某(k为常数)abbaf(某)d某f(某)d某f(某)d某(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(某)的导数f"(某)

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

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高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结

数学选修2-2导数及其应用学问点必记

1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？

答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？

答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？

答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.本文格式为Word版，下载可任意编辑