学高中数学导数及其应用定积分的概念教师用书教案新人教A版选修

1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程【学习目标】1. 了解曲边梯形面积的求法和变速运动行驶的路程的求法.2. 体会“以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 【重点难点】重点：以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 难点： “以曲代直”, “以不变代变”的思想方法. 【学法指导】注意体会“以曲代直”, “以不变代变”的思想方法 【学习过程】 一.课前预习预习教材1.5.1节思考下列问题: ①面积的分割求和, 以直代曲的原则 ②路程的分割求和, 以不变代变的原则 二．课堂学习与研讨1：探究点一 求曲边梯形的面积问题1 如何计算下列两图形的面积？问题2 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)思考3 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f (i n)，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，in]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？1. 分割: 把区间[0, 1]平均分成n 等份, 得到n 个曲边梯形, 每部份的宽都是____,2. 近似代替: 在第i 个部份取f(x i )作为这部份的"高", 从而分成了n 个小矩形,这样n 个小矩形的面积之和就近似地等于曲边梯形的面积S3. 求和: 第i 个小矩形的面积= 1)ni f(x , 则n 个小矩形的面积之和 S n =11()ni i f x n =∑, x i 取右端点时S n = 11()ni i f n n =∑ 。

4. 取极限: 我们可以想象, 随着n 的不断增大, 小矩形的面积之和与相应的曲边梯形的面积的误差会越来越小, 当n →∞时, 误差→0, 所以当n →∞时S n 的极限就是曲边梯形的面积S, 即 S=∞→n LimS n =11lim()ni n i f x n→∞=∑（二）. 汽车行驶的位移: 汽车以速度v 作匀速直线运动时, 经过时间t 所行驶的位移S=vt. 如果汽车作变速运动, 在时刻t 的速度为v(t)=-t 2+2（t 的单位：h ，v 的单位：km/h ）， 那么在[a, b]这段时间内汽车行驶的位移怎样求呢? 为了直观, 我们求时间[0, 1]这段时间内的路程s （单位：km ）.1. 分割: 把区间[0, 1]平均分成n 等份, 每个时间段的长度都是____2. 近似代替:在第i 个区间取v(x i )作为这段时间内汽车的平均速度, 则第i 个时间段行驶的路程 = __________3. 求和: 这n 段时间内汽车行驶的路程S n =________________4. 取极限: 当n 不断增大时, S n 与汽车实际行驶的路程S 的误差不断缩小, 当n →∞时, 误差→0, 所以当n →∞时S n 的极限就是汽车行驶的路程S, 即S=∞→n LimS n =11lim()nin i v x n →∞=∑课堂学习与研讨21. 用定义求曲边梯形: x=0, x=1, y=0, y=-x 2+1的面积. (提示: 12+22+32+…+n 2=)1n 2)(1n (n 61++, x i 取右端点ni)【当堂检测】1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为 ( ) A ．1nB ．2nC ．3nD ．12n2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n很大时，f (x )的值变化很小3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 【课堂小结】求曲边梯形面积和变力做功的步骤 （1）分割：n 等分区间[a ，b ]；（2）近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；（3）求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； （4）取极限： S ＝lim n →＋∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).【课后作业】1.求曲边梯形: x=0, x=2, y=0, y=x 2的面积的近似值, 其中平均分成10个小区间, x i 取区间的中点. 2.在区间内插入9个等分点后,每个小区间的长度等于 ,第4个小区间是 .3. 由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x 2+2x 围成的图形的面积为 .将区间n等分,每个区间长度为,区间右端点函数值y=+2·.作和i2+i=n(n+1)(2n+1)+,故所求面积S=.4. 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,如果在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?(1)分割.在时间区间上等间隔地插入n-1个分点,将它等分成n个小区间,则第i个小区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δt=,每个时间段上行驶的路程记为Δs i(i=1,2,…,n),则显然有s=Δs i.(2)近似代替.取ξi=(i=1,2,…,n).于是Δs i≈v·Δt=(i=1,2,…,n).(3)求和.s n=(12+22+…+n2)+4=+4=81+1++4.(4)取极限.s=s n==8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.。

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1。

5 定积分的概念[核心必知]1.预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P38~P47的内容,回答下列问题．观察教材图１。

5－２,阴影部分是由抛物线y=ｘ2与直线x=1，y=0所围成的平面图形.（1)通常称这样的平面图形为什么图形?提示：曲边梯形．（２）如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形,求这些小曲边梯形的面积和．（3）如何更精确地求出阴影部分的面积S?提示:分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确.2．归纳总结,核心必记（1)连续函数如果函数ｙ=ｆ（ｘ)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线,那么我们就把它称为区间I上的连续函数．(２）曲边梯形的面积①曲边梯形:由直线x＝a，x=b(a≠b)，y=0和曲线ｙ＝f（x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①).②求曲边梯形面积的方法与步骤:（ⅰ)分割:把区间［ａ,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形（如图②)；(ⅱ)近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；（ⅲ）求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；（ⅳ)取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积.(３）求变速直线运动的位移(路程）如果物体做变速直线运动，速度函数为v=ｖ(ｔ）,那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤ｂ内所作的位移s。

1．5.3 定积分的概念1.了解定积分的概念，会用定义求定积分．2.理解定积分的几何意义．3.掌握定积分的基本性质．1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1__b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf(x) dx ，即⎠⎛a bf (x )dx ＝lim n →∞∑ni ＝1__b －an f (ξi )，其中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf （x ）dx ＝k ⎠⎛abf （x ）dx (k 为常数)．(2)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x )dx ．(3)⎠⎛a bf (x )dx ＝⎠⎛a c f (x )dx ＋⎠⎛cbf (x )dx (其中a <c <b )．1．对定积分概念及几何意义的理解(1)定积分⎠⎛ab f (x )dx 是一个常数——实数，一般情况下，被积函数y ＝f (x )的图象可以在x 轴的上方，也可以在x 轴的下方，在积分区间[a ，b ]上，只有y ＝f (x )≥0(图象不在x 轴的下方)时，⎠⎛abf (x )dx 才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间[a ，b ]上，当y ＝f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，⎠⎛a b f (x )dx <0，－⎠⎛ab f (x )dx 等于曲边梯形的面积，这是对定积分的几何意义的全面理解．(2)对于具有公共区间[a ，b ]上的两个函数，若上界函数为f 1(x )，下界函数为f 2(x )，则直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f 1(x )，y ＝f 2(x )围成平面图形的面积为S ＝⎠⎛ab [f 1(x )－f 2(x )]dx .2．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 3．奇偶函数的定积分(1)若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝0.(2)若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aa g (x )dx ＝2⎠⎛0a g (x )dx .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ab f (t )dt .( )(2)⎠⎛a b f (x )dx 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛ab (x 2＋2x )dx ＝⎠⎛a b x 2dx ＋⎠⎛ab 2xdx .( )答案：(1)√ (2)× (3)√关于定积分a ＝⎠⎛－12(－2)dx 的叙述正确的是( )A ．被积函数为y ＝2，a ＝6B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 答案：C直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝1x围成曲边梯形的面积用定积分表示是( )A.⎠⎛120dxB.⎠⎛021x dxC.⎠⎛211xdxD.⎠⎛121xdx答案：D若⎠⎛ab f (x )dx ＝12，则⎠⎛ab 2f (x )dx ＝________．解析：⎠⎛a b 2f (x )dx ＝2⎠⎛ab f (x )dx ＝1.答案：1探究点1 利用定积分的定义求定积分利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x＋2)dx 的值．【解】 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1，2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1，2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1，2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1，2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（n ＋i －1）n＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（i －1）n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5 ＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)dx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.用定义求定积分的步骤1.定积分⎠⎛ab f(x)dx的大小( )A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法有关解析：选A.当所分小区间无限多时，ξi可以取小区间上任意一点对应的函数值，因此与ξi的取法无关．2．利用定义求定积分⎠⎛3x2dx.解：令f(x)＝x2，(1)分割：在区间[0，3]上等间隔地插入n－1个点，在区间[0，3]分成n等份，其分点为x i＝3in(i ＝1，2，…，n－1)，这样每个小区间[x i－1，x i]的长度Δx＝3n(i＝1，2，…，n)．(2)近似代替、求和：令ξi＝x i＝3in(i＝1，2，…，n)，于是有和式：＝27n3∑i＝1ni2＝27n3·16n(n＋1)(2n＋1)＝92⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n，(3)取极限：根据定积分的定义，探究点2 利用定积分的几何意义求定积分说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其几何意义求出定积分的值： (1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛－111－x 2d x .【解】 (1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32.(3)⎠⎛－111－x 2d x 表示的是图③中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.(1)利用几何意义求定积分，关键是准确理解被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确性．(2)一般地，如果图形的面积是直线段或圆弧围成时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要考虑函数的正负，是否具有对称性．1.由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( )A.⎠⎛01(－x )d xB.⎠⎛01|－x |d xC.⎠⎛－10x d xD ．－⎠⎛01x d x解析：选B.由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S ＝⎠⎛01|－x |d x .2．利用定积分的几何意义证明⎠⎜⎛－π2π2cos x d x ＝2⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x 成立．证明：函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，故曲线y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0与坐标轴围成图形的面积S 1等于曲线y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2与坐标轴围成图形的面积S 2，于是由定积分的几何意义，有⎠⎜⎛－π2π2cos x d x ＝S 1＋S 2＝2S 2＝2⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x .探究点3 利用定积分的性质求定积分(1)已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛－66f (x )d x ＝( )A ．0B ．16C ．12D ．8(2)已知⎠⎛0e x d x ＝e 22，⎠⎛0e x 2d x ＝e 33，求下列定积分的值：①⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ；②⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .【解】 (1)选B.⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝2×8＝16.(2)①⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ＝2⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e x 2d x＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.②⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2⎠⎛0e x 2d x －⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e 1d x ，因为已知⎠⎛0e x d x ＝e 22，⎠⎛0e x 2d x ＝e 33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．本例(1)中把条件改为若f (x )为奇函数，则结果如何？ 解：因为f (x )为奇函数，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝0.2．本例(1)改为试求⎠⎛－66f (|x |)d x ，请解答．解：因为f (|－x |)＝f (|x |)，故f (|x |)为偶函数，且当x >0时，f (|x |)＝f (x )， 故⎠⎛－66f (|x |)d x ＝2⎠⎛06f (|x |)d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.利用定积分的性质求定积分的方法(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．(3)如果函数具有奇偶性，应借助图象的对称关系及定积分的几何意义求值．1.若⎠⎛－11f (x )d x ＝2，⎠⎛12f (x )d x ＝3，则⎠⎛－122f (x )d x 的值为( )A ．5B ．10C ．7D ．8解析：选B.⎠⎛－122f (x )d x ＝2⎠⎛－12f (x )d x＝2⎣⎡⎦⎤⎠⎛－11f （x ）d x ＋⎠⎛12f （x ）d x ＝2×(2＋3)＝10.2．已知⎠⎛02x d x ＝2，则⎠⎛－22|x |d x ＝________．解析：法一：⎠⎛－22|x |d x ＝⎠⎛－20|x |d x ＋⎠⎛02|x |d x ＝⎠⎛－20(－x )d x ＋⎠⎛02x d x ＝－⎠⎛－20x d x ＋⎠⎛02x d x＝2＋2＝4.法二：因为y ＝|x |在[－2，2]上为偶函数， 所以函数图象关于y 轴对称， 所以⎠⎛－22|x |d x ＝2⎠⎛02x d x ＝2×2＝4.答案：41.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1C ．2 D. 12解析：选B.由定积分的几何意义知，⎠⎛011d x 的值等于由x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形的面积S ，S ＝1×1＝1，故选B.2.图中阴影部分的面积用定积分表示为( ) A.⎠⎛012xd xB.⎠⎛01(2x－1)d x C.⎠⎛01(2x＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x解析：选B.根据定积分的性质，得阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .3．若⎠⎛a b f (x )d x ＝1，⎠⎛a b g (x )d x ＝－3，则⎠⎛ab [2f (x )＋g (x )]d x ＝________．解析：⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab g (x )d x＝2×1＋(－3)＝－1. 答案：－14.⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________．解析：原式＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011－x 2d x ，因为⎠⎛012d x ＝2，⎠⎛011－x 2d x ＝π4，所以⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝π4＋2.答案：π4＋2知识结构深化拓展利用定积分的几何意义求定积分的两个关注点由直线x＝a，x＝b(a<b)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：(1)在区间[a，b]上，若f(x)≥0，则S＝⎠⎛ab f(x)d x.如图(1)所示，即⎠⎛ab f(x)d x＝S.(2)在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则S＝－⎠⎛abf(x)d x，如图(2)所示，即⎠⎛ab f(x)d x＝－S.[A基础达标]1．下列各式中不正确的是( )A.⎠⎛ba f(x)d x＝⎠⎛ba f(t)d tB.⎠⎛ba－f(x)d x＝－⎠⎛ba f(x)d xC.⎠⎛ac f(x)d x＋⎠⎛bc f(x)d x＝⎠⎛ba f(x)d xD.⎠⎛ac f(x)d x＋⎠⎛cb f(x)d x＝⎠⎛ab f(x)d x解析：选C.根据定积分的性质(3)，可知C不正确．2．设f(x)在[a，b]上连续，且t与x无关，则( )A.⎠⎛ab xf(x)d x＝x⎠⎛ab f(x)d xB.⎠⎛ab tf(x)d x＝t⎠⎛ab f(x)d xC.⎠⎛ab tf(x)d x＝⎠⎛ab f(t)d xD.⎠⎛ab xf(t)d t＝x⎠⎛ab f(t)d x解析：选B.A中，x是一个变量，xf(x)是被积函数，不能直接把x提到积分符号的外边，所以A 错误；B 中，t 是一个与积分变量x 无关的数，可以应用定积分的性质(1)将t 提到积分符号的外边；C 显然错误，改变了被积函数；D 同时犯了A ，C 中的错误，所以D 错误．3．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 表示的是( )解析：选D.定积分S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x (a <b )的几何意义是求由曲线f (x )，g (x )，直线x ＝a ，x ＝b 所围成的图形的面积，且函数f (x )的图象要在函数g (x )的图象上方．对照各选项，可知D 选项中函数f (x )的图象不全在函数g (x )的图象上方．故选D.4．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的图形的面积S ＝( ) A.⎠⎛01(x －x 2)d xB.⎠⎛01(x 2－x )d xC.⎠⎛01(y 2－y )d yD.⎠⎛01(y －y )d y解析：选A.画出曲线y ＝x 2与直线y ＝x (如图所示)，由图象，得曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋1，0≤x ≤13x ，－1≤x <0，则⎠⎛－11f (x )d x ＝( )A .⎠⎛－11(3x 2＋1)d xB .⎠⎛－113x d xC .⎠⎛－10(3x 2＋1)d x ＋⎠⎛013x d xD.⎠⎛－103x d x ＋⎠⎛01(3x 2＋1)d x解析：选D.因为f (x )在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与相应的解析式一致．由定积分的性质，知选D.6．计算⎠⎛23(3x ＋2)d x ＝________．解析：由定积分的几何意义，知所求积分值为直线x ＝2，x ＝3，y ＝0，y ＝3x ＋2围成的直角梯形的面积，即12×(8＋11)×1＝192.答案：1927．定积分⎠⎛－12|x |d x ＝________．解析：如图，⎠⎛－12|x |d x ＝12＋2＝52.答案：528.⎠⎛－416－x 2d x 的值为________．解析：由于⎠⎛－416－x 2d x 表示曲线y ＝16－x 2(－4≤x ≤0)与x 轴、y 轴所围成的图形的面积，即以原点为圆心，以4为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛－416－x 2d x ＝14×π×42＝4π.答案：4π9．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，利用定积分的性质求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .解：(1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3(⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x )＝3×(14＋154)＝12.(2)⎠⎛146x 2d x ＝6(⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6×(73＋563)＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2）4－x ，x ∈[2，3）52－x 2，x ∈[3，5]，求函数f (x )在区间[0，5]上的定积分．解：作出函数f (x )的图象，如图所示，由定积分的几何意义，知⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32，⎠⎛35(52－x 2)d x ＝12×2×1＝1，所以函数f (x )在区间[0，5]上的定积分⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35(52－x2)d x ＝2＋32＋1＝92. [B 能力提升]11．若定积分⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.根据定积分的几何意义知，定积分⎠⎛－2m－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而⎠⎛－2m－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1.12．⎠⎜⎜⎛π25π2 (1＋sin x)d x＝________．解析：函数y＝1＋sin x的图象如图所示．由正弦型函数图象的对称性可知，⎠⎜⎜⎛π25π2 (1＋sin x)d x＝S矩形ABC D＝2π.答案：2π13．利用定积分的几何意义求下列定积分：(1)⎠⎛6(2x－4)d x；(2)⎠⎛－2316＋6x－x2d x.解：(1)所求定积分是由y＝2x－4，x＝0，x＝6，y＝0所围成的图形面积．如图阴影部分，A(0，－4)，B(6，8)，M(2，0)，C(6，0)，所以S△AOM＝12×2×4＝4，S△MBC＝12×4×8＝16，所以⎠⎛6(2x－4)d x＝12.(2)设y＝16＋6x－x2，即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)．如图所示，因为⎠⎛－2316＋6x－x2d x表示以5为半径的圆的四分之一面积，所以⎠⎛－2316＋6x－x2d x＝254π.14．(选做题)如图所示，抛物线y＝12x2将圆面x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，试求⎠⎛02(8－x 2－12x 2)d x 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8y ＝12x 2，得x ＝±2.所以阴影部分的面积为⎠⎛－22(8－x 2－12x 2)d x .因为圆的面积为8π，所以由几何概型的概率公式，可得阴影部分的面积是 8π×(14＋16π)＝2π＋43，即⎠⎛－22(8－x 2－12x 2)dx ＝2π＋43.由定积分的几何意义，得⎠⎛02(8－x 2－12x 2)d x ＝12⎠⎛－22(8－x 2－12x 2)d x ＝π＋23.。

1.5定积分的概念教学目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3、理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1．2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

1.5 第二课时 定积分的定义一、课前准备 1.课时目标1. 借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2. 会用定积分的几何意义求积分值；3. 能熟练应用定积分的性质解题。

2.基础预探1.如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式________，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的________，记作________，即________，区间[a ，b ]叫做________，函数f (x )叫做________. 2．当f (x )≥0时，定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由________所围成的曲边梯形的________.当f (x )≤0时，⎠⎛ab f (x )dx 是________(填“正数”或“负数”)．3．(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝________(k 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝________；(3)⎠⎛ab f (x )dx＝________(a <c <b )．二、学习引领1.定积分含义的理解求曲边梯形的面积与变速直线运动物体的路程，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在本质上，都利用了“分割-----代替----求和-------取极限”这种方法，体现了由曲化直，由变转化不变的思想．若抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样就得到了定积分的定义． 2.定积分应注意问题(1)定积分⎠⎛ab f (x )dx 是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f (x )的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a b f (u )du ＝⎠⎛ab f (t )dt ＝…．(2)当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．在定积分⎠⎛a b f (x )dx 的定义中，总是假设a <b ，而当a ＝b 及a >b 时，不难验证，⎠⎛aa f (x )dx＝0，⎠⎛a b f (x )dx ＝－⎠⎛ba f (x )dx .(3)定积分的值可以是正数、零或负数，定积分的值也不一定等于曲边梯形的面积． 3.函数的奇偶性与定积分的关系根据定积分的几何意义知，若f (x )是区间[－a ，a ](a >0)上的连续函数，则 (1)当f (x )是偶函数时，⎠⎛-a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx ;(2)当f (x )是奇函数时，⎠⎛-aa f (x )dx ＝0.三、典例导析题型一 利用定积分定义求值例1 利用定积分定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)dx 的值．思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决． 解析：（1）令f (x )＝3x ＋2，在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )。

1.7.2 定积分在物理中的应用【学习目标】1.理解定积分的概念与性质，掌握定积分的计算方法.2.掌握定积分的物理意义并能计算变速直线运动的路程与变力作功这两类问题. 【重点难点】重点：用定积分计算变速直线运动的路程与变力作功. 难点：对积分物理意义的理解. 【学法指导】复习物理中的变速直线运动的路程与变力作功等相关内容 【学习过程】 一．课前预习阅读课本1.7.2节，记下疑惑之处，并回答下列问题：1．已知路程函数t t t s 32)(2+=，则物体在第3秒末时的速度是.2．反过来，若已知速度函数34)(+=t t v ，如何求物体在前3秒内的路程呢？结论：（1）作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰。

（2）物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x ) 相同的方向从x =a 移动到x =b (a<b) ，那么变力F(x ）所作的功()baW F x dx =⎰。

二．课堂学习与研讨例1．一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程． 分析：要求路程，根据定积分的物理意义，只需求出速度函数即可。

注意分段函数的表示方法.动动手：1.一物体沿着直线以32+=t v 的速度运动，求该物体在5~3s 间行进的路程。

2．以初速度s m /40垂直上抛一物体，t 时刻的速度为t v 1040-=，求物体运动到最高点所经过的路程。

例2．在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．动动手：一物体在力43)(+=x x F ，（x 的单位：m ，F 的单位：N ）的作用下，沿着与力F相同的方向，从0=x 处运动到4=x 处，求力)(x F 所作的功。

例3．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(紧急刹车至停止.求：（1）从开始紧急刹车到火车停止所经过的时间； （2）紧急刹车后至停止火车运行的路程.【当堂检测】1．物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t=0时，物体所在的位置为0s ，则在1t 秒末时它所在的位置为（） A ．⎰1)(t dtt v B ．⎰+10)(t dtt v s C ．1)(s dt t v t -⎰D ．⎰-10)(t dtt v s2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面 B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在0t 时刻，两车的位置相同 D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面3.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车的速度v (t )=27-0.9t ,则列车刹车后至停车时的位移为( ) A.405 B.540C.810D.9454..由胡克定律知,弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比,现已知1 N 的力能使一个弹簧伸长0.01 m,则把弹簧拉长0.1 m 所做的功等于( ) A.200 J B.100 JC.50 JD.0.5 J【课堂小结】（1）作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.（2）物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么变力F(x ）所作的功()baW F x dx =⎰.（3）要求路程，先找到速度函数，时间作为积分区间；要求作功，先找到变力关于位移的函数关系，位移作为积分区间. 【作业】 课本P60页4,5,6。

1.5 定积分的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P38～P47的内容，回答下列问题．观察教材图1.5－2，阴影部分是由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形．(1)通常称这样的平面图形为什么图形？提示：曲边梯形．(2)如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和．(3)如何更精确地求出阴影部分的面积S?提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确．2．归纳总结，核心必记(1)连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数．(2)曲边梯形的面积①曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．②求曲边梯形面积的方法与步骤：(ⅰ)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；(ⅱ)近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；(ⅲ)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；(ⅳ)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．(3)求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .(4)定积分①定积分的概念如果函数f (x )在某个区间[a ，b ]上连续，用分点a=当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义．③定积分的基本性质(ⅰ)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；(ⅱ)⎠⎛a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a bf 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x ；(ⅲ)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a ＜c ＜b)．[问题思考](1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．(2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小．(3)在“近似代替”中，如果取任意ξi ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 处的函数值f(ξi)作为近似值，求出的S 有变化吗？提示：没有变化．(4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．(5)⎠⎛a bf(x)d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf(x)d x 与积分变量有关系吗？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf(x)d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a b f(t)d t ＝⎠⎛a bf(u)d u.(6)在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)<0，⎠⎛a bf(x)d x 表示什么？提示：如果在区间[a ，b]上，函数f(x)<0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于Δx i >0，f(ξi )<0，故f(ξi )·Δx i <0，从而定积分⎠⎛a bf(x)d x<0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即⎠⎛a b f(x)d x ＝－S 或S ＝－⎠⎛a bf(x)d x.(7)⎠⎛024－x 2d x 的几何意义是什么？提示：是由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝4－x 2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即⎠⎛024－x 2d x ＝π.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)连续函数的定义是什么？； (2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么？；(3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么？； (4)定积分的概念、几何意义是什么？有哪些基本性质？．.讲一讲1．如图所示，求直线x ＝0，x ＝3，y ＝0与二次函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3所围成的曲边梯形的面积．(提示：12＋22＋32＋…＋n 2＝16n·(n＋1)(2n ＋1))[尝试解答](1)如图，分割，将区间[0,3]n 等分，则每个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n，3i n (i ＝1,2，…，n)的长度为Δx ＝3n.分别过各分点作x 轴的垂线，把原曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n 个小矩形．则当n 很大时，用n 个小矩形面积之和S n 近似代替曲边梯形的面积S. (3)求和S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫－n Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－2n2＋2×－n＋3×3n ＝－27n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋18n2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋9＝－27n 3×16(n －1)n(2n －1)＋18n 2×n n －12＋9＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋9. 所以S≈S n ＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋9.(4)取极限＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9 ＝9，即所求曲边梯形的面积为9.求曲边梯形面积的思想和步骤(1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积；“逐步逼近”，即用n 个小矩形的面积的和S n 来逼近曲边梯形的面积S.(2)求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限．练一练1．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．解：因为y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝4得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2(x≥0)围成的曲边梯形的面积． (1)分割将区间[0,2]n 等分，则Δx ＝2n ，取ξi ＝－n.(2)近似代替求和S n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2·2n ＝8n 3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n . (3)取极限所以所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.所以2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.[思考] 求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处？ 名师指津：与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程．讲一讲2．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v(t)＝－t 2＋2t(单位：km /h )，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？[尝试解答] 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n.所以s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n)2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋6－＋＋6＋2n 2·＋1＋2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，所以这段时间行驶的路程为23 km .求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．练一练2．已知作自由落体运动的物体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．解：①分割．将时间区间[0，t]等分成n 个小区间，其中第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝tn，在各小区间内物体下落的距离，记作Δs i .②近似代替． 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n 上取ξi ＝i －1n t ，则v(ξi)＝g·i －1n t ，因此在每个小区间内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g·i －1n t·tn(i ＝1,2，…，n)． ③求和．∑i ＝1nΔs i ≈∑i ＝1ng ·i －1n t·tn＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝12gt 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .④取极限．讲一讲3．求下列定积分的值： (1)⎠⎛12(x ＋1)d x ；(2)⎠⎛－3 39－x 2d x.[尝试解答] (1)法一：(定义法)f(x)＝x ＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n 个小区间1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx ＝1n，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)，∴f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，∴∑i ＝1nf(ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n，法二：(几何意义)⎠⎛12(x ＋1)d x 表示如图所示阴影部分的面积．由于梯形的面积S ＝12(2＋3)×1＝52，故⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.(2)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心、以3为半径的上半圆如图所示，其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛－3 39－x 2d x ＝92π.(1)用定义求定积分⎠⎛ab f(x)d x 的一般方法是：①分割：将区间[a ，b]n 等分，记第i 个小区间为[x i －1，x i ]，区间长度Δx ＝x i －x i －1；②近似代替、求和：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，⎠⎛abf(x)d x≈∑i ＝1nf(ξi )Δx ；(2)利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．练一练3．求下列定积分的值：(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛－1 11－x 2d x. 解：(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x＝32. (3)⎠⎛－111－x 2d x 表示的是图③中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.讲一讲4．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x.[尝试解答] (1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.(1)定积分性质的推广①⎠⎛a b[f 1(x)±f 2(x)±…±f n (x)]d x ＝⎠⎛a bf 1(x)d x±⎠⎛a bf 2(x)d x±…±⎠⎛a bf n (x)d x ；(2)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )在[－a ，a ]上连续，②若偶函数y ＝g (x )在[－a ，a ]上连续，练一练4．已知⎠⎛a b[f(x)＋g(x)]d x ＝12，⎠⎛abg(x)d x ＝6，求⎠⎛abd x.解：∵⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛a b g(x)d x ＝⎠⎛ab [f(x)＋g(x)]d x ，∴⎠⎛a b f(x)d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛ab 3f(x)d x ＝3⎠⎛ab f(x)d x ＝3×6＝18.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是定积分的几何意义及定积分的性质，难点是定积分的概念． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)会用定义或定积分的几何意义求定积分，见讲3； (2)会用定积分的性质求定积分，见讲4. 3．在利用定积分的几何意义求定积分时，要注意积分上、下限及积分函数f(x)的符号，这是本节课的易错点．课下能力提升(九)[学业水平达标练]题组1 求曲边梯形的面积1．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1nC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，i ＋n解析：选C 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n .2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127 D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.3．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积． 解：(1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －n＝1n.把每个小曲边梯形的面积记为 ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替根据题意可得第i 个小曲边梯形的面积 ΔS i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n ·⎝⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝i －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n 个小矩形的面积的和S n ＝∑i ＝1n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝∑i ＝1ni －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2， 从而得到所求图形面积的近似值S ≈16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2.(4)取极限即直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为16.题组2 求变速直线运动的路程4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：选B 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．5．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，求a 的值．解：将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为a i －n，ai n(i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．∴a33＝9，解得a ＝3. 题组3 定积分的计算及性质 6．下列等式不成立的是( )解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022xd x ＝4，但⎠⎛022xd x ≠⎠⎛02xd x ·⎠⎛022d x .7．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A.⎠⎛012xd x B.⎠⎛01(2x－1)d xC .⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x.8．S 1＝⎠⎛01x d x 与S 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．S 1＝S 2B ．S 21＝S 2C ．S 1>S 2D ．S 1<S 2解析：选C ⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以S 1>S 2.9．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.解析：由定积分的性质可知⎠⎛02(x 2＋1)d x＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛021d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋2＝13＋73＋2＝143. 答案：14310．用定积分的几何意义计算下列定积分：而S ＝52×52＝254，(2)令y ＝4－x 2＋2，则y ＝4－x 2＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，[能力提升综合练]1．若⎠⎛a b f(x)d x ＝1，⎠⎛a b g(x)d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f(x)＋g(x)]d x ＝( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4解析：选C ⎠⎛a b [2f(x)＋g(x)]d x ＝2⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛a bg(x)d x ＝2×1－3＝－1.2．若f(x)为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．3．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3 解析：选A∵⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，∴⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.又y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：0解析：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB·BC＝2 3.答案：2π3＋ 36．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝|sin x|，y ＝0，x ＝2，x ＝5；解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S，(2)曲线所围成的平面区域如图所示．解：如图，。

1.5.3定积分的概念【学习目标】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 【学习重难点】重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P45-47内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1.定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx=⎰，即1()lim ()nbi ax i b af x dx f nζ→∞=-=∑⎰. 2.定积分的相关名称3.定积分的几何意义（1）前提条件：函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()0f x ≥.（2）定积分()baf x dx ⎰的几何意义：由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积. 4.定积分的基本性质（1）()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数）(2)1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（3）()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a cb <<）【合作探究】 （利用定义求定积分） 问题1：（1）将111lim()122n n n n→∞+++++表示为定积分为111dx x +⎰.（2）利用积分定义求2badx ⎰的值.答案：2()b a -（利用定积分的几何意义求定积分） 问题2：（1）131(3)x x dx -+⎰=0（2）31(31)x dx -+⎰= 16 （3）1-⎰=2π（定积分性质的应用） 问题3：（1）计算232)x dx -⎰的值；答案：2π（2）已知[)[)[],0,2()4,2,35,3,522x x f x x x xx ⎧⎪∈⎪=-∈⎨⎪⎪-∈⎩，求()f x 的区间[]0,5上的定积分.答案：92【深化提高】利用定积分的几何意义求2222()sin f x dx xdxππ--+⎰⎰的值，其中21,0()31,0x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩. 答案：-6●当堂检测A 组（你一定行）： 1.定积分()baf x dx ⎰的大小 （ A ）A ．与()y f x =和积分区间[,]a b 有关，与i ζ的取法无关B. 与()y f x =有关，与积分区间[,]a b 和iζ的取法无关C. 与()y f x =和i ζ的取法有关，与积分区间[,]a b 无关D. 与()y f x =、积分区间[,]a b 、i ζ的取法均无关 2. 定积分31(3)dx -⎰等于 （ A ）A.-6B.6C.-3D.3 B 组（你坚信你能行）： 3.已知12013x dx =⎰，22173x dx =⎰，则220(1)x dx +=⎰143. 4. 求由曲线xy e =，直线2,1x y ==围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为 []0,2 .C 组（我对你很有吸引力哟）：5.计算322(25sin )x dx ππ-⎰的值.答案：2π【小结与反思】。

导数及其使用复习【知能目标】1.认识导数看法的某些实质背景（如瞬时速度，加速度、圆滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的看法。

2、熟记基本导数公式：x m(m 为有理数 ) 、sinx 、cosx 、 e x、 a x、 lnx 、 log a x 的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法规和复合函数的求导法规，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；认识可导函数在某点获取极值的必要条件和充分条件 ( 导数在极值点两侧异号) ；会求一些实责问题( 一般指单峰函数) 的最大值和最小值。

[ 授课方法 ]1.采用“教学设计导学”方式进行授课。

2.谈论法、启发式、自主学习、合作研究式授课方法的综合运用。

[ 授课流程 ] ：独立完成基础回顾，合作交流纠错, 老师谈论；尔后经过题目落实双基，依照学生出现的问题有针对性的讲评.[ 授课重点和难点]授课重点：导数的看法、四则运算、常用函数的导数，导数的使用理解运动和物质的关系、授课难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的使用【综合脉络】1.知识网络导数的实质背景导数定义导数的几何意义导函数基本求四则运算复合函数求导法规导公式求导法规求简单函数的导数导数的使用判断函数的单调性求函数的极大(小)值求函数的最大 (小)值2.考点综述有关导数的内容，在2000 年开始的新课程试卷命题时，其测试要求都是很基本的，今后逐渐加深，察看的基根源则是重点察看导数的看法和计算，力求结合使用问题，不过多地涉及理论商议和严格的逻辑证明。

本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要察看导数的看法，求导的公式和求导法规；第二层次是导数的简单使用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合察看，包括解决 使用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，经过将新课程内容和传统内 容相结合，加强了能力察看力度，使试题拥有更广泛的实质意义，更表现了导数作为工具分 析和解决一些函数性诘问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

1.5.3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃbaf (x )d x ，即ʃb af (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52.思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃba f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃba f (x )d x <0，－ʃba f (x )d x 等于曲边梯形的面积． 知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？ 答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃba f (x )d x (k 为常数)． (2)ʃba [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃba f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x . (3)ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )．1．ʃba f (x )d x ＝ʃba f (t )d t .( √ )2．ʃb a f (x )d x 的值一定是一个正数．( × )3．ʃb a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x d x ＝ʃb a x 3d x ＋ʃb a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x d x .( √)类型一 利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值． 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n ＋i －1)n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n.(3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋in ，i ＝1,2，…，n . 取ξi ＝x i ＝2＋i n，则f (ξi )＝2＋in＋2＝4＋i n.则∑ni ＝1f (ξi )Δx i ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋i n ·1n ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋i n 2＝n ·4n＋1＋2＋…＋n n2＝4＋n ＋12n. ∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎪⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. (2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －xd x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －xd x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3， S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2.∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞ ∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D．被积函数为y＝2，a＝－6考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 C解析由定积分的概念可知，ʃ2－1(－2)d x中的被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x等于由直线x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x＝－2×3＝－6.3．已知定积分ʃ60f(x)d x＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)d x等于( )A．0 B．16C．12 D．8考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 B解析ʃ6－6f(x)d x＝2ʃ60f(x)d x＝16.4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A．ʃ10(－x)d x B．ʃ10|－x|d xC．ʃ0－1x d x D．－ʃ10x d x考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 B解析由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为S＝ʃ10|－x|d x.5．计算ʃ3－3(9－x2－x3)d x.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb af (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1nC.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2·2nD ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D解析 根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n.2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d xB ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d xD ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12，B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 定积分S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ113x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ1013x d x ，即a >b >c ，故选A.8．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016，得ʃa－a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6. 故正数a 的最大值为6. 二、填空题9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________.考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用答案 83解析 ∵ʃ1012 f (x )d x ＝12ʃ10f (x )d x ＝1， ∴ʃ10 f (x )d x ＝2.又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1 f (x )d x ＝2，∴ʃ0－1f (x )d x ＝23. ∴ʃ1－1 f (x )d x ＝ʃ0－1 f (x )d x ＋ʃ10 f (x )d x＝23＋2＝83. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x . 因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，求ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋16π＝2π＋43.由定积分的几何意义得， ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x＝12ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。

导数及其应用一、教材分析导数是本章的主要研究对象，导数与科研、生产以及人类的生活有着密切的关系，导数是变化率的一种特殊的情况，在以前我们已经学习了有关变化率的知识，对变化率有了实步的因而在本章中把导数作为一个整体来研究.我们将从它的定义，几何意义来讨论，导数作为一个新增的知识内容，是教学的重点，涉及的要领是全新的，因此要通过直观的才具演示来探究，使学生理解并明确概念.二、设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟.三教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．四、教学设想1、§3.1.1变化率问题.（1）教具的准备.(a)一个气球充气,随着空气容量的增加,气球半径的半径增加得越来越慢.(b)一根粉笔从手中落下,随着时间的变化,粉笔的距地而的高度也在变化、通过这些日常生活中的例子熟悉的例子，来加深学生对变化率的理解。

1.7 定积分的简单应用预习课本P56～59，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？[新知初探]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x .[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t .3．力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛a bF (x )d x .[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分⎠⎛a b v (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为⎠⎛a b|v (t )|d t .[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(2)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为⎠⎛－2 2(4－x 2)d x .( )(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为⎠⎛24(t 2－4t )d t .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是( )A ．2B ．3 C.52 D ．4答案：B3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20 B. gt 20 C. 12gt 20 D.14gt 20 答案：C4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．答案：405利用定积分求平面图形的面积[典例] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28()2x －x ＋4d x＝423x 3220＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18. 法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4－y －y 22d y＝⎝⎛⎭⎪⎫4y －y 22－y 362－4＝18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]求曲线y ＝e x，y ＝e －x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解： 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e －x，解得交点为(0,1)，所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝e ＋1e －2.求变速直线运动的路程、位移[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动，在时刻为t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.(2)依题意，⎠⎛0t(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．[活学活用]一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．解：在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪4＝43(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m.又因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0.所以在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪1－⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪43＝4(m).求变力做功[典例] 一物体在变力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，0≤x ≤2，x 2＋2x ，2≤x ≤5，(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝5处，求变力所做的功．[解] 变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛02(2x ＋4)d x ＋⎠⎛25(x 2＋2x )d x ＝(x 2＋4x ) ⎪⎪⎪2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪52＝12＋60＝72(J)．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [活学活用]在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功． 解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ， 所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛00.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪1＝10(J)．层级一 学业水平达标1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m解析：选B S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.3.如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353解析：选C S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.4．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )A.14B.12 C.13D ．1解：选A 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x＝⎠⎛0134x 2d x＝14x 310＝14. 5．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10D ．9解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪20＝8，故选B.6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛026t d t ＝3t 2⎪⎪⎪2＝12，所以v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13. 答案：137．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．解析：S ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪10＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－1. 答案：23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－18．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．解析：画出曲线y ＝1x(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积．∴S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＝ln 2.答案：ln 29．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10(x 2＋2x ＋1)d x ＝13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪-1＝13. 层级二 应试能力达标1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选 D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) ⎪⎪⎪31＝14(J)，故应选D.2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2解析：选D ⎠⎛3636td t ＝6t ⎪⎪⎪63＝6－32，故应选D.3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2.∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪2＝80－803＝1603(m)．故选A.4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02－x3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.5．椭圆x 216＋y29＝1所围区域的面积为________．解析：由x 216＋y 29＝1，得y ＝±3416－x 2. 又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4⎠⎛043416－x 2d x ＝3⎠⎛0416－x 2d x.由y ＝ 16－x 2，得x 2＋y 2＝16(y≥0)．由定积分的几何意义知⎠⎛0416－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2＋y 2＝16(y≥0)及x 轴所围成图形的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×16＝4π，∴S＝3×4π＝12π.答案：12π6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．解析：∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x)d x ＝2(e x －e x) ⎪⎪⎪1＝2，S 正方形＝e 2，∴P＝2e2.答案：2e27．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，8．函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.当a ≠0时，f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－19b 2且a ≥－1.因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－19x 2与直线y ＝－1所围成的封闭图形．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－19x 2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，如图，其面积S ＝⎠⎛3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 327⎪⎪⎪3-3＝(3－1)－(－3＋1)＝4.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0， 22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎥⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫103a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67.故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.解析：S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：4915．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x2x 2＋2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2e ＋2，f ＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)， 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )(a ＞0，b ＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零， 可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)． 设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元， 设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1) ＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增； 当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减． 所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时， 他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点； (2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)，f ′(－1)＝－2a －1＝0，所以a ＝－12.f ′(x )＝－x －21－x ＝x ＋x －1－x.∵x <1，∴1－x >0，x －2<0， 因此，当x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时f ′(x )<0， ∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立，即2ax －21－x ≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立∴a ≤1－x 2＋x在x ∈[－3，－2]上恒成立，∵－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14∈[－12，－6]，∴1－x 2＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，－112， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋ x min＝－16，a ≤－16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )， 得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x ln x，则g ′(x )＝ln x －1x2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点． ②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ≥－e2，则l n(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)内单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0. 由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2， 而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.。

定积分的概念教学目标：了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.理解定积分及几何意义.掌握定积分的基本性质及其计算教学重点与难点：定积分的概念及几何意义定积分的基本性质及运算教学过程：定积分的定义：怎样用定积分表示：x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 35)2()(102102⎰⎰=+-==dt t dt t v S 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰b a dx x f )(的几何意义是什么? 梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f ba ==≠==⎰ 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.⎰-2024dx x 的大小由直线x=0，x=2，y=0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴⎰dx x 2.0113=⎰-dx x5. 例：利用定积分的定义，计算13=⎰dxx的值.6.由定积分的定义可得到哪些性质？常数与积分的关系⎰⎰=b abadxxfkdxxkf)()(和差的积分推广到有限个也成立⎰⎰⎰±=±bababadxxfdxxfdxxfxf)()()]()([2121区间和的积分等于各段积分和)()()()(bcadxxfdxxfdxxf bccaba<<+=⎰⎰⎰其中7练习：计算下列定积分⎰-312)2(dxxx。