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《定积分的简单应用》教学反思《定积分的简单应用》教学反思《定积分的简单应用》教学反思王利本节课内容是选修2-2中第四章最后一个小节，要求学生在充分认识导数与定积分的概念的基础上，通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题，从而进一步体会到导数与积分的工具性作用，认识到数学知识的实用价值。
新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。
学习的全过程需要学生的参与，学生是学习的主体和中心。
围绕这个宗旨，我在课堂内容的`编排和教学课件的制作上作了一定的思考。
在内容编排上，我基本遵循由易到难的过程，从最基本的，学生所熟知的前课知识开始引入，由浅入深的引导学生加以足够地探究，使学生的发现变得自然而水到渠成。
同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间，充分肯定学生的创新发现，对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善，并留出一定课后思考得余地。
在课件制作方面，考虑到多媒体直观形象的特点，让其承担起引导思考与解释的重任。
我想，一堂好的示范课，不应该只是一次简单的表演与展示，如果在上课之前反复编排到一词一句，会让学生疲惫，听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致，这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。
因此我按照正常的教学进度，以便学生在课堂上有充分的暴露与发现的机会，当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高，我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。
当然这节课还有一些不足之处，课堂容量过大，学生板演的次数过多，导致了出现了拖堂的遗憾。
课件的制作也达不到美观的要求，不能更好的发挥其应有的作用。
在今后的教学中我会不断的完善自己的教学技能，提高自己的业务水平。
§1.7.1 定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．教学环节教学活动设计意图一、例题1（1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题1 计算由曲线22,y x y x==所围图形的面积S。
1DC BA1y2=xy=x2O xy生：思考，讨论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、引入课题的面积．师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续且在[],a b 上有()()f x g x ≥,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b[()()]d aA f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
《定积分在几何中的简单应用》教学设计（一） 课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. （二） 情景引入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用 油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？ 答：……【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系， （三） 新课讲授：（四） 【热身训练】问题１．计算dx x ⎰--2224 ２．计算 ⎰-22sin ππdx x【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdx x0sin =⎰-ππdx x问题2．用定积分表示阴影部分面积培养学生复习的学习习惯。
激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。
复习定积分的几何意义yx ππ()y f x =ab1.曲边xy o)(1x f y =)(2x f y =abxyo)(1x f y =)(2x f y =ab 0xy)(x f y =a by x∴s s =曲边梯形OABC s -曲边梯形OABDdx x ⎰=10dx x ⎰-1210310233132x x -=313132=-= 【例题实践】例２．计算由4-=x y 与x y 2=所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分.探讨：X 为积分变量表示不到，那换成Y 为积分变量呢？ 4．计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)选ｙ为积分变量48812044224=+=+--⎰⎰⎰[()]S S S xdx xdx x dx 48844224=+--⎰⎰⎰()()xdx xdx x dx【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数 .【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标．与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
[学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，⎠⎛a b f (x )d x ＞0，所以S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)如图②，f (x )＜0，⎠⎛ab f (x )d x ＜0，所以S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab f (x )d x＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，⎠⎛a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，⎠⎛ab f (x )d x ＞0.所以S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ac f (x )d x＋⎠⎛cb f (x )d x ＝－⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x .2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab g (x )d x＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝⎠⎛a b (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛ab f (x )d x .4.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′分别为： (1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .(3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛c b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .2.定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝⎠⎛ab F (x )d x .思考 下列判断正确的是 .(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t ；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t .答案 (1)(3)解析 (1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解；当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为 －⎠⎛t 1t 2v (t )d t .所以(2)错(3)正确.题型一 利用定积分求平面图形的面积问题例1 求由抛物线y 2＝x5，y 2＝x －1所围成图形的面积.解 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.方法一 以x 为积分变量.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 5，y 2＝x －1，得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫54，12，B ⎝⎛⎭⎫54，－12. 设点P (1,0)，则所求面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎜⎛054x 5d x －⎠⎜⎛154x－1d x＝2()355324420312x x ⎤--⎥⎢⎥⎣⎦＝23. 方法二 以y 为积分变量.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 5，y 2＝x －1，可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫54，12，B ⎝⎛⎭⎫54，－12. 设点P (1,0)，则所求面积S ＝2⎠⎜⎛012 (y2＋1－5y 2)d y＝2⎝⎛⎭⎫y －43y 3⎪⎪⎪⎪120＝23. 反思与感悟 若以x 为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y 为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.跟踪训练1 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112.试求：切点A 的坐标和过切点A 的切线方程.解 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x 得过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0. 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝x ⎰x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，所以x 0＝1. 从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1 题型二 运用定积分求解物理问题例2 一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)此点在t ＝4 s 时的位置； (2)此点在t ＝4 s 时运动的路程.解 因为位置决定于位移，所以它是v (t )在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负. (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪40＝43(m).即在t ＝4 s 时该点在距出发点43 m 处.(2)∵v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0， ∴该点在t ＝4 s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m).反思与感悟 解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.跟踪训练2 有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车.设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？ 解 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s. v 0＝36 km /h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t . 令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)⎪⎪⎪50＝25(m).故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m. 题型三 用定积分解决变力做功问题例3 设有一个长为25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功.解 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数).因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2⎪⎪⎪150＝2 250(N·cm)＝22.5(J).反思与感悟 (1)根据物理学知识，求出变力f (x )的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f (x )的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式W ＝⎠⎛ab f (x )d x 求出变力所做的功.跟踪训练3 如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V 1变为V 2，求气体压力所做的功.解 由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P ＝CV (V 表示气体体积，C 为常数)，而活塞上的压力为F ＝PQ ＝CQ V ＝CL (Q 表示截面积，L 表示活塞移动的距离，V ＝LQ ).记L 1，L 2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有W ＝⎠⎛L 1L 2F (L )d L ＝⎠⎛L 1L 2C L d L ＝C ⎠⎛V 1V 21V d V＝C (ln V )⎪⎪⎪V 2V 1＝C (ln V 2－ln V 1).所以气体体积由V 1变为V 2，气体压力所做的功为C (ln V 2－ln V 1).用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误例4 求由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积. 错解 由题意，作出图形如图由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x (y ＞0)，x ＋y －6＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)，所以所求面积为S ＝⎠⎛04(6－x －8x )d x＝324201262223x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝24－8－423×324＝16－3223.错因分析 S ＝⎠⎛04(6－x －8x )d x ＝⎠⎛04(6－x )d x －⎠⎛048x d x .⎠⎛04(6－x )d x 表示由直线y ＝6－x 与直线x ＝0，直线x ＝4，直线y ＝0围成的图形的面积，⎠⎛048x d x 表示由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＝0，直线x ＝4，直线y ＝0围成的图形的面积.上述S 显然不是所求图形的面积.正解 S ＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x＝3223x ⎫⎪⎭⎪⎪⎪ 20＋⎝⎛⎭⎫6x －12x 2⎪⎪⎪62＝163＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫6×6－12×62－⎝⎛⎭⎫6×2－12×22 ＝163＋8＝403. 防范措施 合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.1.在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛ba [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x③ ④A.①③B.②③C.①④D.③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确.故选D.2.曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A.2B.3C.52 D.4答案 B解析 S ＝⎠⎜⎛0π2cos x d x －⎠⎜⎜⎛π23π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π20- sin x⎪⎪⎪3π2π2＝sin π2－sin 0－ sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A.405B.540C.810D.945 答案 A解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30， ∴s ＝⎠⎛30v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)⎪⎪30＝405.4.由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是 . 答案193解析 由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋4x －52x 2⎪⎪⎪ 10＋⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x ⎪⎪⎪41 ＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4 ＝193. 5.一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功. 解 设F (x )＝kx ，∵弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，∴k ＝4. ∴弹簧克服弹力所做的功为W ＝4⎠⎛05x d x ＝4×⎝⎛⎭⎫12x 2⎪⎪⎪50＝50(N·cm)＝0.5(J).1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤：(1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积. 2.路程问题.(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算. 3.变力做功问题.(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步.(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题.一、选择题1.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A. ⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛ac f (x )d xC. ⎠⎛ab f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时， f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0，∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2.一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m答案 D 解析 s ＝⎠⎛12(2t ＋1)d t ＝(t 2＋t )⎪⎪⎪21＝4(m). 3.一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m /s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A.120 m B.437.5 m C.360 m D.480 m答案 B解析 从A 处到B 处所用时间为25 s.所以|AB |＝⎠⎛251.4t d t ＝0.7t 2⎪⎪⎪25＝437.5 (m). 4.若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a b [g (x )－f (x )]d xC.⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d xD.⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x答案 C解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .5.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 答案 A解析 v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s. ∴h ＝⎠⎛2(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝1603(m). 6.如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( )A.0.5 JB.1 JC.50 JD.100 J答案 A解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝⎠⎛010F (x )d x ＝⎠⎛010x d x ＝ 12x 2⎪⎪⎪100＝50 (N·cm)＝0.5 (J). 二、填空题7.由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为 .答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x 解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .8.有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6).则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为 cm 3.答案 144解析 由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4 ⎠⎛06(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎫3t 2－13t 3⎪⎪⎪60＝144 (cm 3).故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3. 9.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为 J.答案 12kl 2 解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数.由变力做功公式得W ＝ ⎠⎛0l kx d x ＝12kx 2⎪⎪⎪10＝12kl 2(J). 10.由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是 .答案 43解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积 S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.三、解答题11.求抛物线y ＝－x 2＋4x －3与其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积.解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－ ⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23. 12.物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？解 依题意知物体A ，B 均做变速直线运动.设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为s A ＝⎠⎛0a v A d t ＝⎠⎛0a (3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ； B 从开始到a 秒末所走的路程为s B ＝⎠⎛0a v B d t ＝⎠⎛0a 10t d t ＝5a 2. 由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5.此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米).故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米.13.定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A 、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.解 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y ， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9，故A (0,9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝n 2－4n ＋9，t n＝2n －4，解得B (3,6). ∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝ ⎝⎛⎭⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪ 30＝9.。
