2019-2020学年山西运城市景胜中学高二下学期期末模考数学试题(文)(解析版)
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期末考试数学试题
1 山西运城市景胜中学2019-2020学年高二下学期期末模考（文）
一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）
1. 已知复数𝑧=5𝑖2−𝑖+5𝑖，则|𝑧|＝（）
A.√5 B.5√2 C.3√2 D.2√5
2. 已知命题𝑝:∀𝑥∈R+，ln𝑥>0，那么命题￢𝑝为( )
A.∃𝑥∈R+，ln𝑥≤0 B.∀𝑥∈R+，ln𝑥<0
C.∃𝑥∈R+，ln𝑥<0 D.∀𝑥∈R+，ln𝑥≤0
3. 已知命题𝑝:∀𝑥∈𝑅，𝑥2>𝑥−1，𝑞:∃𝑥0∈𝑅，sin𝑥0>1，下列命题为真命题的是（）
A.𝑝∧𝑞 B.￢𝑝∨𝑞 C.￢𝑝 D.𝑝∧￢𝑞
4. 若输出的𝑆的值等于22，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）
A.𝑖>5 B.𝑖>6 C.𝑖>7 D.𝑖>8
5. 设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑是非零实数，则“𝑎𝑑=𝑏𝑐”是“𝑎，𝑏，𝑐，𝑑成等比数列”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.命题：“若𝑎2+𝑏2=0(𝑎, 𝑏∈𝑅)，则𝑎=𝑏=0”的逆否命题是（）
A. 若𝑎≠𝑏≠0(𝑎, 𝑏∈𝑅)，则𝑎2+𝑏2≠0
B. 若𝑎=𝑏≠0(𝑎, 𝑏∈𝑅)，则𝑎2+𝑏2≠0
C. 若𝑎≠0且𝑏≠0(𝑎, 𝑏∈𝑅)，则𝑎2+𝑏2≠0
D. 若𝑎≠0或𝑏≠0(𝑎, 𝑏∈𝑅)，则𝑎2+𝑏2≠0 期末考试数学试题
2 7.函数𝑦＝𝑓(𝑥)在𝑃（1, 𝑓(1)）处的切线如图所示，则𝑓(1)+𝑓′(1)＝（）
A.0 B.12 C.32 D.−12
8. 已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√22，直线𝑥=√2与椭圆𝐶交于𝐴，𝐵两点，𝑂为坐标原点，且𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，则椭圆的方程为( )
A.𝑥22+𝑦2=1 B.𝑥24+𝑦22=1 C.𝑥28+𝑦24=1 D.𝑥26+𝑦23=1
9. 函数𝑓(𝑥)=12𝑥2−𝑙𝑛𝑥的单调减区间是( )
A.(−1，1) B.(0，1) C.(1，+∞) D.(−∞，1)
10. 点𝑃是双曲线𝐶1：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)与圆𝐶2:𝑥2+𝑦2=𝑎2+𝑏2的一个交点，且2∠𝑃𝐹1𝐹2=∠𝑃𝐹2𝐹1，其中𝐹1、𝐹2分别为𝐶1的左右焦点，则𝐶1的离心率为( )
A.√3+12 B.√3+1 C.√5+12 D.√5−1
11. 若点𝐴的坐标为(3, 2)，𝐹为抛物线𝑦2=2𝑥的焦点，点𝑃是抛物线上的一动点，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|取得最小值时点𝑃的坐标是( )
A.(0, 0) B.(1, 1) C.(2, 2) D.(12，1)
12. 设𝐹1，𝐹2为椭圆𝐶1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)与双曲线𝐶2的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点𝑀，△𝑀𝐹1𝐹2是以线段𝑀𝐹1为底边的等腰三角形，若双曲线𝐶2的离心率𝑒∈[32, 4]，则椭圆𝐶1的离心率取值范围是( )
A.[49, 59] B.[0, 38] C.[38, 49] D.[59, 1]
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）
13. (2−5𝑖)(4+3𝑖)＝________．
14. 若“𝑥>𝑎”是“𝑥2−5𝑥+6≥0”成立的充分不必要条件，则实数𝑎的取值范围是________． 期末考试数学试题
3 15.已知双曲线𝐶1:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0, 𝑏>0)的离心率为2，若抛物线𝐶2:𝑥2＝2𝑝𝑦(𝑝>0)的焦点到双曲线𝐶1的渐近线的距离为2，则抛物线𝐶2的方程为________．
16.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐶=90∘，𝐴𝐶=𝑏，𝐵𝐶=𝑎，则三角形𝐴𝐵𝐶的外接圆半径𝑟=√𝑎2+𝑏22，把此结论类比到空间，空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长分别为𝑎，𝑏，𝑐，则此三棱锥外接球的半径是𝑅=________．
三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分，）
17.(10分)为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工的月工资均在[25, 55]（百元）内，且月工资收入在[45, 50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：
(1)求𝑛的值；
(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名．
①完成如下所示2×2列联表;
技术工 非技术工 总计
月工资不高于平均数 50
月工资高于平均数 50
总计 50 50 100
②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？
参考公式及数据：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．
𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.05 0.01 0.005 0.001
𝑘0 3.841 6.635 7.879 10.828
期末考试数学试题
4 18.(12分)某校医务室欲研究昼夜温差大小与高三患感冒人数多少之间的关系，他们统计了2019年9月至2020年1月每月8号的昼夜温差情况与高三因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期 2019年9月8日 2019年10月8日 2019年11月8日 2019年12月8日 2020年1月8日
昼夜温差𝑥(∘𝐶) 5 8 12 13 16
就诊人数𝑦 10 16
26 30 35
该医务室确定的研究方案是先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．假设选取的是2019年9月8日与2020年1月8日的2组数据．
（1）求就诊人数𝑦关于昼夜温差𝑥的线性回归方程𝑦=𝑏𝑥+𝑎（结果精确到0.01）
（2）若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过3人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该医务室所得线性回归方程是否理想？
参考公式：𝑏=∑ 𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥¯)(𝑦𝑖−𝑦¯)∑ 𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥¯)2=∑−𝑖=1𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑛𝑥𝑦¯∑−𝑖=1𝑛 𝑥𝑖2𝑛𝑥¯2，𝑎=𝑦¯−𝑏𝑥¯．
19.(12分) 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知椭圆𝐶的中心在原点𝑂，焦点在𝑥轴上，短轴长为2，离心率为√22，过左顶点𝐴的直线𝑙与椭圆交于另一点𝐵．
(1)求椭圆𝐶的方程；
(2)若|𝐴𝐵|=43，求直线𝑙的倾斜角．
20.(12分)一个圆经过点𝐹(2, 0)，且和直线𝑥+2＝0相切． 期末考试数学试题
5 （1）求动圆圆心的轨迹𝐶的方程；
（2）已知点𝐵(−1, 0)，设不垂直于𝑥轴的直线𝑙与轨迹𝐶交于不同的两点𝑃、𝑄，若𝑥轴是∠𝑃𝐵𝑄的角平分线，证明直线𝑙过定点．
21. （12分）设函数𝑓(𝑥)＝ln𝑥+2𝑥2−5𝑥．
(Ⅰ)求函数𝑓(𝑥)的极小值；
(Ⅱ)设函数𝑔(𝑥)＝2𝑥2+(𝑚−6)𝑥，若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)＝𝑔(𝑥)在区间[1, 𝑒2]上有唯一实数解，求实数𝑚的取值范围．
22.(12分)
设𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥−𝑎𝑥2+(2𝑎−1)𝑥，𝑎∈R．
(1)令𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)，求𝑔(𝑥)的单调区间；
(2)已知𝑓(𝑥)在𝑥=1处取得极大值，求实数𝑎的取值范围．
期末考试数学试题
6 ——★ 参 考 答 案 ★——
一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）
1.[答案]B
[解答]
解：∵𝑧=5𝑖2−𝑖+5𝑖=5𝑖(2+𝑖)5+5𝑖=−1+7𝑖，
∴|𝑧|=√(−1)2+72=5√2．
故选B.
2.[答案]A
[解答]
解：因为全称命题的否定是特称命题，
故命题“𝑝:∀𝑥∈R+，ln𝑥>0”的否定命题￢𝑝为：∃𝑥∈R+，ln𝑥≤0．
故选A.
3.[答案]D
[解答]
∵𝑥2−𝑥+1＝(𝑥−12)2+34>0恒成立，
∴∀𝑥∈𝑅，𝑥2>𝑥−1恒成立，即命题𝑝是真命题，
∵∀𝑥∈𝑅，sin𝑥≤1，
∴𝑞:∃𝑥0∈𝑅，sin𝑥0>1为假命题，
则𝑝∧￢𝑞为真命题，其余为假命题，
4.[答案]B
[解答]
𝑆=1+1=2，𝑖=2，不满足条件，执行循环；
𝑆=2+2=4，𝑖=3，不满足条件，执行循环；
𝑆=4+3=7，𝑖=4，不满足条件，执行循环；
𝑆=7+4=11，𝑖=5，不满足条件，执行循环；
𝑆=11+5=16，𝑖=6，不满足条件，执行循环；
𝑆=16+6=22，𝑖=7，满足条件，退出循环体，输出𝑆=22
故判定框中应填𝑖>6或𝑖≥7
5.[答案]B 期末考试数学试题
7 [解答]解：若𝑎，𝑏，𝑐，𝑑成等比数列，则𝑎𝑑=𝑏𝑐，
反之数列−1，−1，1，1．满足−1×1=−1×1，
但数列−1，−1，1，1不是等比数列，
即“𝑎𝑑=𝑏𝑐”是“𝑎，𝑏，𝑐，𝑑成等比数列”的必要不充分条件．
故选B．
6.[答案]D
[解答]
解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若𝑎≠0或𝑏≠0，则𝑎2+𝑏2≠0”；
故选D．
7.[答案]A
[解答]
∵切线过点(2, 0)与(0, −1)，∴𝑓′(1)=−1−00−2=12，
则切线方程为𝑦=12𝑥−1，取𝑥＝1，得𝑓(1)=−12，
∴𝑓(1)+𝑓′(1)=−12+12=0．
故选：𝐴．
8.[答案]D
[解答]
解：设直线𝑥=√2与椭圆在第一象限的交点为𝐴(√2,𝑦0)，
因为𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，所以𝑦0=√2，即𝐴(√2,√2)，
由{ 2𝑎2+2𝑏2=1,𝑐𝑎=√22,𝑎2=𝑏2+𝑐2, 可得𝑎2=6，𝑏2=3，
故所求椭圆的方程为𝑥26+𝑦23=1．
故选D.
9.[答案]B
[解答]
解：由已知，
𝑓′(𝑥)=𝑥−1𝑥=𝑥2−1𝑥，
