12.5 薛定谔方程和能量本征方程

量子物理
量子力学简介 • 波函数 概率密度 • 薛定谔方程 • 一维势阱问题 • 对应原理 • 一维方势垒 隧道效应
复 习
• 德布罗意波 实物粒子的二象性
E h
• 不确定关系
P＝
h

h ＝ P
xpx h
19-8 量子力学简介
薛定谔 (Erwin Schrö dinger, 1887–1961)
1 2 有势力场中粒子的总能量为： E p U ( x, t ) 2m
由（1）（2）式解出E和p引入上式的得：
2 2 U i 2 2m x t
这是势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程
5、关于薛定谔方程的说明
薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的 一个基本原理； 薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程 时，还要加上一些条件： •波函数平方可积，且满足归一化条件； •波函数及其对空间的一阶导数连续； •波函数为单值函数。
f (t )
i Et Ce
因而薛定鄂方程的特解为
iEt / r , t E r e
ΨE(r)满足下列方程
2 2 2m E P E ( r ) EE ( r )
该方程称为定态薛定鄂方程 E —— 能量本征值 ΨE(r) —— 本征函数 定态薛定鄂方程也称为本征方程。 满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下，可 以证明： ①粒子分布概率不变； ②能量不变； ③其它力学量平均值不变。
dW / dV
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率为：
dW x, y, z, t dV
2
•用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)人射强电子流

k0 a =0 , k0 a = 2π ,4π ,6π ,… 2 (8) k0 a k0 a = π ,3π ,5π ,… 奇宇称 cos 2 = 0 , 亦即阱口刚好出现束缚态能级的条件为 k0 = nπ , n = 1 , 2 ,3 ,… (9)
偶宇称 sin
(10) 即 2mV0 a2 h2 = n2π 2 . 2 2 2 一维势阱至少有一个束缚能级.因此, 如 2mV0a h < π , 2 2 2 只存在一个束缚态,偶宇称(基态). 如 2mV0a h = π , 除基态外,阱口将再出现一个奇宇称能级,共二个能级. 2 2 2 如 2mV0a h = (2π ) , 阱口将出现第三个能级(偶宇称). 依次类推.由此可知,对于任何 V0a2值,束缚态能级总数 为 a Nn = 1+ 2mV0 , (11) hπ
ψ = sin η x
x <a
ψ = D sin k ( L − x ) a< x <L (-L<x<-a区间的ψ 可以按偶函数条件写出）能级方程为
(12)
kctgk ( L − a ) = −η cthη a,
(13)
11
讨论
如
a → 0, V0 → ∞,
2aV0 → U0
0
，则
−a
∫ V ( x)dx = 2aV
∑
C n (ih
(12 )
ˆ = ih 其中 x
∂ ∂p
(13 )
代入式(10),即得
p2 ∂ Ψ ( p) + V (ih )Ψ( p) = EΨ ( p) 2m ∂p (14)
例四 粒子在图示之势场： 粒子在图示之势场：
V0 , V ( x ) = 0 , ∞,

如何理解薛定谔方程？
根据量子力学，一个物理系统运动的状态由波函数，或态矢量来描述。

那么下一步就要研究波函数是如何随时间演化的，这就是薛定谔方程。

薛定谔方程最一般的形式可以写成这样：
如果是经典力学的话，我们是用粒子的位置和粒子的动量（相空间中的一点）来描述粒子的运动状态的。

粒子在相空间中的演化满足一组联立的动力学方程。

对经典力学来说，我们直接对x, 和p进行运算，而在量子力学里我们要对ψ(x,t)整体进行运算，前者对应一个局域的理论，而后者对应的是一个全局的理论。

刚刚写的那个薛定谔方程是最一般的形式，不仅适用于非相对论情形，也适用于相对论情形，比如狄拉克方程也可以写成这个形式的薛定谔方程，具体细节体现在哈密顿算符H里面。

对氢原子来说，由于氢原子中电子运动的速度很慢，单电子的非相对论性薛定谔方程就够用了。

这里物理问题是由V(x)决定的，氢原子中的电子是库仑势：
最后说一下能量算符E，就是波函数对时间求导的一项：
考虑最简单的波函数，单色平面波：
可计算出：
这里hbar ω就是粒子的能量。

因此i hbar对波函数的求导对应的就是能量算符。

第二十七章薛定谔方程§27.1 薛定谔方程§27.2 无限深方势阱中的粒子§27.3 势垒穿透§27.4 一维谐振子*§27.5 力学量算符§27.1 薛定谔方程薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。

薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。

和牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。

▲薛定谔方程是线性的，满足解的叠加原理。

▲薛定谔方程关于时间是一阶的，经典波动方程关于时间是二阶的。

▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。

若和是方程的解，),(1t r Ψ ),(2t r Ψ 则也是方程的解。

),(),(2211t r Ψc t r Ψc ▲方程含有虚数i ，其解是复函数，不可直接测量，是概率密度，可直接测量。

Ψ2||Ψ一. 一维无限深方势阱模型极限理想化U (x )U =U 0U =U 0E U =0x 0§27.2 无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U =0EU →∞U (x )x 0U →∞-a /2a /2n 很大时，阱内粒子概率分布趋于均匀| n|2E n-a/2a/2玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为向经典过渡。

§27.3 势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧>≤=)0( , )0( ,0 )(0x U x x U 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。

势垒的物理模型：xII 区I 区U 0U (x )1.一维势垒模型粒子从x = - 处以特定能量E (E < U 0) 入射，xII 区0I 区U 0U (x )2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。

粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U 0有限。