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高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法

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高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书

高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法

高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法

解：电子的动量为
p mv 9.1 1031 200 1.8 1028 kg m s1
子弹的动量的不确定量为
p p 0.01% 1.8 1032 kg m s1
由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为
h 6.63 10 x 3.7 10 2 m p 1.8 10 32
h 电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 l ，经过 p
狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：
d sin l
x方向上，粒子坐标的不确定度为
x d 2
粒子动量的不确定度为
sin px p
又
px p sin l l sin d 2x
p x l p 2x
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有 确定的值。
x 0
x p x h / 2
px
二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
p / 2
* 玻恩对波函数的统计诠释 —哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点 •玻恩假定 r , t 描述粒子在空间的概率 分布的“概率振幅”
2 * r , t r , t r , t 概率密度
例题2：光子自由平面波波函数
i ( t ) p r ( r , t ) Ae 2 r , t ＝常数
对x、y、z分别求二次偏导：
i p x p x
2 p
2 p
p i px 2 x x
p2 x p 2
p i p y p y

高级中学奥赛-薛定谔方程及其求解方法

高级中学奥赛-薛定谔方程及其求解方法

狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2
E为一常数
i df (t) Ef (t) dt
df (t) f (t)
i
Edt
解出：
f
(t
)
Ce
i
Et
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
――定态波函数
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
(r ,
t
)
*
(r ,
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思 想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕 的一角”。
德布罗意假设
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E
和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的
波动性。 德布罗意波，也叫物质波。
E hn
P＝ h
l
(p
h
n
k )
l
德布罗意 公式
l＝ h
例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长
(1) 质量100g, v = 10m·s1运动的小球。

薛定谔方程及其解法

薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程一． 定义及重要性薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验.是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验.二． 表达式三． 定态方程()()222V r E r m ηψψ+⎡⎤-∇=⎢⎥⎣⎦所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场,比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。

其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z ）是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2222222z y x ∂∂∂∂∂∂++=∇可化为d 0)(222=-+ψψv E h m dx薛定谔方程的解法一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法龙格库塔法(对欧拉法的完善)给定初值问题).()()((3)),(),()( ,,(2))(),( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dyi i i i i i i i =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββαβα.))(,(,,(3) )()(2)()( ,))(,())(,())(,()( ))(,()( )()(2)()()( )( 3213211处的函数值分别表示相应函数在点其中得代入上式将处展成幂级数在首先将i i y t y t i i y t i i i i i i t y t f f f h O ff f h hf t y t y t y t f t y t f t y t f t y t y t f t y h O t y h t y h t y t y t t y '++++=+'=''='+''+'+=+++.)(21 1 ,,021,01 ),()()())(21()1()( ,)( 3221212213113222111的计算公式局部截断误差为可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，满足条件即常数当且仅当要使局部截断误差得下假设在局部截断误差的前提h O c c c c c c c c h O y t y h O ff f c h f c c h y t y t y y i i y t i i i i ==+=-=-+=-++-+-+-=-=++++ββββ有限元方法有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。

薛定谔方程的含义和求解方法

薛定谔方程的含义和求解方法

薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。

本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。

一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。

该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。

薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。

Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。

薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。

通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。

二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。

但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。

1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。

例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。

对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。

然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。

因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。

2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。

变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。

微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。

3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。

这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。

数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。

但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。

总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。

通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。

2022-2023高中物理竞赛课件：薛定谔方程的建立

2022-2023高中物理竞赛课件：薛定谔方程的建立
典物理中的地位相当。
薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没有 什么更基本的原理可以证明它的正确性。
从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验 事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
例: 设一粒子在一维空间运动， 其定态波函数为：
求：1) 归一化的波函数； 2) 粒子的概率密度函数； 3) 在何处发现粒子的概率最大？
薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立
（薛定谔方程是量子力学基本假设之一， 不能理论推导证明）
1、一维自由粒子薛定谔方程
(适用条件 v << c，非相对论条件下讨论，低速微观粒子)
以一维自由粒子为例：
Ψ
e
i
(
Et
px
)
0
(1)
（1）式对 t 求导：
（1）式对 x 求二阶偏导数：
薛定谔方程的建立
1、一维自由粒子薛ຫໍສະໝຸດ 谔方程概率最小粒子出现的 概率最大的位置:
能量与时间的不确定性关系
能量和时间也存在不确定度关系
设一个粒子在一段时间 ∆ t 内的动量为 p，能量为E
根据相对论，有：E2 p2c2 E02, E mc2, E0 m0c2
p1 c
E 2 E02
p 1 c
E 2 E02
E c2 p
E
在时间 ∆ t 内，粒子可能发生的位移x： vt
薛定谔方程的建立
3、一维定态薛定谔方程
若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数 分离变量:
粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。 定态：若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数，
微观粒子在各处出现的概率与时间无关
薛定谔方程的建立

高二物理竞赛课件：量子力学之薛定谔方程

薛定谔方程
薛定谔方程
是波函数所遵从的方程— 量子力学的基本方程,
是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导， 其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
( x, t )
e
i
(
E
t
p
x
x
)
0
e
i
px
x
0
e
i
Et(x) Nhomakorabeae
i
E
t
与驻波类比
式中：
(x)
d2(x) dx 2
px2 2
(x)
*
非相对论考虑
自由粒子： 势函数 U 0
代入
E
Ek
1 2
mv
2 x
px2 2m
d2(x) dx 2
px2 2
(x)
*
p
2 x
2mE
得
d2(x) dx 2
2mE 2
(x)
0
即 一维自由粒子的振幅方程
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
Ek
3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本 方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满 足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程
2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有E取某些特定值时才有解
Ψ(r1,r2,…,t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:
i
t
(

物理竞赛教程(经典)-27薛定谔方程


同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性 4 也只能靠实验来检验。
一、自由粒子薛定谔方程 一维：设一质量为m、动量为p的自由粒子，沿x轴运 动，波函数为：
Ψ ( x, t ) Ae
i ( px Et)
将波函数对t取一级偏导数，得：
i Ψ ( x,t ) EΨ ( x, t ) t
表述为：
Ψ ( x, y, z, t ) ( x, y, z )e
代入薛定谔方程可得：
i Et
2 2 U E 2m
该方程不含时间，称定态薛定谔方程。
定态波函数
Ψ ( x, y, z,t) ( x, y, z)
i Et e
9
定态：能量取确定值的状态。
2 2 2m U ( r ) (r ) E (r )
数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上： E 只有取一些特定值，方程的解才能满足 波函数的条件（单值、有限、连续）。 满足方程的特定的E 值，称为能量本征值。 E 称为与E对应的本征波函数。若粒子处于 E ， 则粒子的能量为E。
2 2
Ψ 2 Ψ U ( x, y, z, t )Ψ i 2m t
2
7
2 2 Ψ U ( r , t ) Ψ i t 2m
是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒子波函 数随时间演化规律。
是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理
E Ek
p2 2m
i
Ψ ( x,t ) EΨ ( x, t ) t
(1)
2 Ψ ( x,t ) p2 2 (2) Ψ ( x , t ) 带入(1)式，并与(2)式联立， x2 得自由粒子薛定谔方程：

高二物理竞赛课件：薛定谔方程的建立与算符

薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在《量子化就 是本征值问题》的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方 程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和 量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要 的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔 对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄 拉克共获诺贝尔物理奖。
2 x2
2 y2
2 z2
U (r ,
t )
若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程，分离变量
(r,t) (r )T(t)
代入薛定谔方程，得
i
d
dTt(t)
(r )
[Hˆ
(r )]T(t)
除以
(r
)
T
(t
)
，得
i
dT(t) dt
1 T(t)
1
(r )
Hˆ
(r )
=E
(常数)
上式
左边是 右边是
•从数学上讲，E 不论取何值，方程都有解。
•从物理上讲，E只有取一些特定值，方程的解才能满足 波函数的条件（单值、有限、连续）
•满足方程的特定的E值，称为能量本征值
•各E值所对应的E (r )叫能量本征函数，故该方程又称
为：能量本征值方程
•定态(stationary state): 能量取确定值的状态
量子力学唯一可以和实验进行比较的是力学量的平均值 ——平均值的假定
整理得
d 2
dx 2
2m E
2
0
令
k2
2m E 2
d 2Ψ dx2
k 2Ψ
0
方程解为： Ψ x Asin kx B cos kx

高中奥赛--定态薛定谔方程求解及自洽场方法


∑∑ c c S
i j i
H ij = Eiδ ij
= ∑ | ci |2 Ei
i
∑| c
i
|2
ε ≥ E2
这个推理有重要意义 逐步解波函数的基础
(三) 氦原子基态
（1） 氦原子薛定谔方程 能量算符 方程
e2 Z Z h2 1 2 ˆ H =− (∇1 + ∇ 2 ) − ( + − ) 2 2m 4πε 0 r1 r2 r12
, 令ψ (1 2) = φ (1)φ (2) 代 后 离 量 入 分 变
0 0 1 0 2
0 0 ˆ ˆ [ H 0 (1) + H 0 (2)]φ10 (1)φ 2 (2) = E 0φ10 (1)φ 2 (2)
ˆ ˆ H 0 (1)φ10 (1) H 0 (2)φ10 (2) 0 + = E 0 = E10 + E2 φ10 (1) φ10 (2)
左边为零,所以
ˆ E' j = ∫ψ 0H'ψ 0dτ = H' jj j j
λ Ej = E0 + λE' j =1→E0 + E' j = E0 + H' jj j j j
0 ψk* 左乘二边积分 一级近似波函数：
* ˆ 0 ˆ aij ∫ψk (H0 − E0 )ψi0 = E' j δkj − ∫ψk *H'ψ 0dτ ∑ j j i
如果已有 Φ 已经与基态波函数 Φ =
同样：
ψ 1正交：
∑ cψ ；c
i i i
i j
1
= ψ1 Φ = 0
∫ ∑ cψ ∑ c ψ
i * i j i j ij j j
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爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思 想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕 的一角”。
4
德布罗意假设
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E
和动量P所描述的粒子性，也具有以频率和波长所描述的
波动性。 德布罗意波，也叫物质波。
(r,t) B0 ＝ h
P
德布罗意 公式
h 1.31025nm
mv
2021/3/9
9
§3.1 不确定关系
Hn()(1)ne2 ddnne2
2021/3/9
10
一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)
电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长d 2
x方向上，粒子坐标的不确定度为 pxpsin
粒子动量的不确定度为
电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
2021/3/9
3
德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960)
如速度v=5.0102m/s飞行的子 弹，质量为m=10-2Kg，对应的 德布罗意波长为：
如电子m=9.110-31Kg，速 度v=5.0107m/s, 对应的德 布罗意波长为：
h 1.4102nm
mv
太20小21/3测/9 不到！
px u*(x)pˆxu(x)dx
X射线波段
5
2021/3/9
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
xpxh/2
2021/3/9
xpxh/2
ypy/2
12
二、不确定关系
1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
zp/2 px u*(x)(ix)u(x)dx
z
p/2
E t/2En(n1 2)(n0,1,2, )
2021/3/9
13
2021/3/9
14
例题1：一颗质量为10g的子弹，具有200m/s的速度， 动量的不确定量为0.01%，问在确定该子弹的位置时， 有多大的不确定范围？
i ( x y
y
x
)
不确定关系 海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976）
xpx/2 德国理论物理学家。他于1925年为量 子力学的创立作出了最早的贡献，而 于25岁时提出的不确定关系则与物质 波的概率解释一起奠定了量子力学的 基础。为此，他于1932年获得诺贝尔 物理学奖金。
pˆx
i
x
法国物理学家，1929 年诺贝尔物理学奖获 得者，波动力学的创 始人，量子力学的奠 基人2之021/一3/9 。
德布罗意原来学习历史，后来改学 理论物理学。他善于用历史的观点，用 对比的方法分析问题。
1923年，德布罗意试图把粒子性和 波动性统一起来。1924年，在博士论文 《关于量子理论的研究》中提出德布罗 意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实 验的想法。
EK
1m v 2 P2
2
2m
(3) 动能为 1.6 107 J 的电子
P 2mEK
3
h P
h 1.21010m 2mK E
Lˆ x
yp ˆ z
zp ˆ y
i ( y z
z
y
)
2021/3/9
Lˆ y
zp ˆ x zp ˆ z
i ( z
x
x
) z
8
Lˆ z
xp ˆ y
zp ˆ x
学的重要奠基人之 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉
一，同时在固体的 克共获诺贝尔物理奖金。
比热、统计热力学、 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，
原子光谱及镭的放 1944年，他发表一本名为《什么是生命 —
射性等方面的研究 —活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗
都有很202大1/3/成9 就。
传和信息方面来探讨生命的奥秘。 2
内容：
薛定谔方程
1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例
1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态
2021/3/9
1
薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961)
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出
x 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 y(x,t)Aco2st 论性量子力学的基础，并由此预言了正负
sin px
p
sin
d 2x
又
px
p 2x
2xpxph xpxh/2 n 0
2021/3/9
px 11
狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝
宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了
变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子
的坐标，又能避免动量发生变化。 如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量
薛定谔在德布罗意思想的基础上，于
1926年在《量子化就是本征值问题》的论
文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方
程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程
为基础的波动力学和量子力学的近似方法。
薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的
奥地利著名的理论 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的
物理学家，量子力 价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献
6
X 射 线 衍 射
中 子 衍 射
2021/3/9
7
例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长
(1) 质量100g, v = 10m·s1运动的小球。
m h 1 v .6 6 .1 7 6 2 0 2 1 72 . 0 5 3 0 4 13 02 .0 1 1 0 m 0
(2) 以 2.0 103m·s 1速度运动的质子。
不确定关系的数学表示与物理意义
1927年，海森堡首先推导出不确定关系： ：
x表示粒子在x方向上的位置的不确
t E
定范围，px表示在x方向上动量的不
2 确定范围，其乘积不得小于一个常数。
h
2
若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间 为无限长， t= 。
pm0.v2102k0mgs1