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薛定谔方程、量子力学简介

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薛定谔方程

薛定谔方程
量子物理
量子力学简介 • 波函数 概率密度 • 薛定谔方程 • 一维势阱问题 • 对应原理 • 一维方势垒 隧道效应
复 习
• 德布罗意波 实物粒子的二象性
E h
• 不确定关系
P＝
h

h ＝ P
xpx h
19-8 量子力学简介
薛定谔 (Erwin Schrö dinger, 1887–1961)
1 2 有势力场中粒子的总能量为： E p U ( x, t ) 2m
由（1）（2）式解出E和p引入上式的得：
2 2 U i 2 2m x t
这是势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程
5、关于薛定谔方程的说明
薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力学的 一个基本原理； 薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定鄂方程 时，还要加上一些条件： •波函数平方可积，且满足归一化条件； •波函数及其对空间的一阶导数连续； •波函数为单值函数。
f (t )
i Et Ce
因而薛定鄂方程的特解为
iEt / r , t E r e
ΨE(r)满足下列方程
2 2 2m E P E ( r ) EE ( r )
该方程称为定态薛定鄂方程 E —— 能量本征值 ΨE(r) —— 本征函数 定态薛定鄂方程也称为本征方程。 满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下，可 以证明： ①粒子分布概率不变； ②能量不变； ③其它力学量平均值不变。
dW / dV
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率为：
dW x, y, z, t dV
2
•用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)人射强电子流

薛定谔方程是量子力学的基本原理

薛定谔方程是量子力学的基本原理

薛定谔方程是量子力学的基本原理量子力学是描述微观世界的理论框架，而薛定谔方程则是量子力学的基本方程之一。

薛定谔方程描述了微观粒子的波函数随时间的演化规律，从而揭示了微观粒子的运动规律和性质。

本文将从宏观角度出发，深入探讨薛定谔方程在量子力学中的地位和重要性，以便更深入地理解这一基本原理。

1. 量子力学的发展历程1.1 经典力学的局限性1.2 波动理论的兴起1.3 波粒二象性的提出1.4 薛定谔提出波函数概念1.5 薛定谔方程的提出2. 薛定谔方程的物理意义2.1 波函数的物理解释2.2 叠加原理与量子纠缠2.3 波函数坍缩的概念2.4 算符与观测量的本征值问题2.5 微观粒子的运动规律3. 薛定谔方程的数学形式3.1 薛定谔方程的时间无关性3.2 薛定谔方程的一般形式3.3 薛定谔方程的解与波函数的性质3.4 波函数的物理量与测量规律3.5 薛定谔方程的近似解法4. 个人观点与理解薛定谔方程作为量子力学的基本原理之一，深刻揭示了微观粒子的波粒二象性和运动规律。

在我看来，薛定谔方程不仅是物理学的重要成果，更是人类认识世界的突破和进步。

通过深入学习和理解薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的奥秘，从而推动科学技术的发展和进步。

总结回顾通过本文的介绍，我们对薛定谔方程的物理意义、数学形式和发展历程有了更深入的了解。

薛定谔方程作为量子力学的基本原理之一，对我们理解微观世界具有重要意义。

在今后的学习和工作中，我们应该深入学习薛定谔方程，不断提高对量子力学的理解和应用能力。

结论薛定谔方程作为量子力学的基本原理，对我们认识和理解微观世界具有重要意义。

通过深入学习和应用薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的规律和奥秘，推动科学技术的发展和进步。

希望本文能够对大家有所帮助，也希望大家能够对薛定谔方程保持持续的兴趣和热爱。

通过深入学习和理解薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的奥秘，从而推动科学技术的发展和进步。

薛定谔方程

薛定谔方程

薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。

而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。

薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。

海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。

理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。

用方程表达，。

其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。

所以，第个粒子的位置是。

[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。

顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。

爱因斯坦薛定谔方程

爱因斯坦薛定谔方程

爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦-薛定谔方程（Einstein-Schrödinger equation）是一个量子力学中的方程，将爱因斯坦的相对论和薛定谔方程结合在一起，描述了物质和场相互作用的行为。

这个方程是在广义相对论和量子力学之间的理论框架下提出的。

具体而言，爱因斯坦-薛定谔方程描述了物质在引力场中的行为，以及粒子与电磁场的相互作用。

它是一个偏微分方程，通常被写成：iħ∂ψ/∂t = (c^2√(p^2c^2 + m^2c^4) + eφ)ψ。

其中，ψ是波函数，描述了量子态的演化；t是时间；ħ是约化普朗克常数；c是光速；p是动量算符；m是粒子的静质量；e是元电荷；φ是电磁场势。

爱因斯坦-薛定谔方程是一个非常复杂的方程，它描述了物质在引力场和电磁场中的量子行为。

这个方程在理论物理的研究中扮演着重要的角色，帮助我们理解微观世界的行为。

但是，由于其复杂性，解析解很难找到，通常需要使用数值方法进行求解。

薛定谔方程的含义和求解方法

薛定谔方程的含义和求解方法

薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。

本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。

一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。

该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。

薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。

Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。

薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。

通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。

二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。

但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。

1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。

例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。

对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。

然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。

因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。

2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。

变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。

微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。

3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。

这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。

数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。

但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。

总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。

通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。

薛定谔方程

薛定谔方程

薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。

而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。

薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。

海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。

理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

薛定谔方程 量子力学

薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。

它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。

薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。

薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。

薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。

它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。

薛定谔波动方程

薛定谔波动方程薛定谔波动方程，又称薛定谔方程，它是量子力学著名的基础性方程，由俄国物理学家普利斯特罗[1]·薛定谔于1925年提出。

一、概述：薛定谔波动方程是物理学家薛定谔提出的一个重要的物理模型，它的作用是对量子物理系统建模。

它试图解决量子力学的极小粒子如电子和原子层面的运动历史，即量子力学的本质描述。

它关于极小粒子动态行为的主要模型，称孤立粒子量子力学方程。

二、原理：薛定谔波动方程是量子物理学中最重要的理论描述。

它表示，在量子物理的角度，微观物质的运动受到一个非常重要的约束：所有的物理量不能同时具备完全确定的值，而是必须遵循某种统一的规律，以解决不确定性和波动性问题，从而保证其普遍有效性，从而使量子物理得以成立。

薛定谔波动方程表明，当各物理量变化时，他们之间的变化会影响其它变量，即波动函数变化，从而形成一个关联性强的动态系统，由椭圆型波函数及其关联性组成。

三、算法：薛定谔波动方程本身是一个微分方程，可以使用常用的数值计算或解析解的方法来解决。

其中数值计算的算法便是著名的Crank-Nicolson方法，它可以帮助解决非线性的微分方程。

此外，还有由理查德·贝尔设计的卡算法和乔治·马丁的下次近似法等。

通过应用它们，人们可以算出给定条件下的解决方案，从而模拟物理现象。

四、应用：薛定谔波动方程在量子物理学上有非常重要的作用，它可以解决许多实际难题，如量子散射、量子态拓扑转移、量子晶体场等。

而且，薛定谔波动方程在材料科学研究、化学模拟、药物分子设计以及量子信息等领域中也具有广泛的应用，是研究具有量子效应的物质运动状态的基础性理论，在量子物理中具有重要的影响。

薛定谔方程

在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于 德布罗意的波粒二象性博士论文。那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱因斯坦统 计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽 致，大家都听的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程。 他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这波动方程。
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为

量子力学中的薛定谔方程和量子力学


薛定谔方程的物理意义
它决定了粒子在给定势能下 的波函数和概率密度
薛定谔方程是描述量子力学中 粒子运动状态的偏微分方程
薛定谔方程是量子力学的基本 方程之一，是理解和预测物质
行为的关键工具
薛定谔方程的解可以揭示粒子 的能量、动量和角动量等属性
薛定谔方程的解 法
分离变量法
分离变量法：将薛定谔方程中的波 函数分离为空间和动量两个部分， 从而简化求解过程
无法处理量子纠缠 和量子误差问题
在某些情况下会导 致波函数塌缩的不 确定性问题
不能解释量子纠缠现象
不能解释量子纠缠现象 无法描述粒子间的相互作用 对初始条件的敏感性 无法预测量子系统的长期演化
量子力学的其他 重要概念和方程
波函数的概念和性质
波函数定义：描 述微观粒子状态 的函数
波函数的性质： 概率幅、复数、 归一化
波函数的物理意义： 微观粒子在空间中 的概率分布
波函数与薛定谔方 程的关系：薛定谔 方程用于求解波函 数的演化
量子态的概念和描述
定义：量子态是量子力学中一个物理系统的状态，由波函数描述
特性：量子态具有叠加性和相干性，即一个量子态可以表示为其他量子态的线性 组合，且不同量子态之间存在干涉现象 描述方法：通常使用波函数来描述量子态，波函数满足薛定谔方程，并具有归一 化条件
为
薛定谔方程的应 用
在原子物理中的应用
解释原子光谱的线型
描述原子状态的波函数
揭示原子能级的分布规律
预测原子辐射和吸收光子的 过程
在固体物理中的应用
描述电子行为： 薛定谔方程是描 述固体中电子行 为的基石。
计算能带结构： 通过求解薛定谔 方程，可以计算 出固体的能带结 构。
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薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
由归一化条件求C 由归一化条件求 归一化条件 归一化条件
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
a
0
nπ C sin xd x = 1 a
2 2
C=
2 a
2 nπ ψ ( x) = sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a 2 nπ x) n =1,2,3,4,5,L sin( ψ(x) = a 势 内 阱 a
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E = Ek + Ep
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
一、薛定谔方程（1925 年） 薛定谔方程（ 思考】 【思考】 波函数来自哪个方程？ 波函数来自哪个方程？ 薛定谔方程
特殊情况 一般情况 .. 薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger,1887~1961） ） 奥地利物理学家. 奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 动力学 并建立了量子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 力学和波动 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高速运 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运 动的粒子的波动方程 .
波函数
2 nπ sin x, (0 < x < a) a a 2 2 n π 2 sin （ x）势阱内 概率密度 ψ ( x) = a a 0 势阱外 能量 h2 量子数 2 En = n n = 1, 2 ,3 , L 8ma2
ψ (x) =
0,
( x ≤ 0, x ≥ a )
o
2 2 2 2
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
定态波函数 定态波函数
8π m ∇ ψ + 2 ( E − Ep )ψ = 0 h
2
2
ψ ( x, y , z )
−h2 2 ∇ ψ + EPψ = Eψ 2m 哈密顿 h2 2 ˆ H =− ∇ +EP 算符 2m
当 > a, λ →∞ x 因波函数有限 ψ( x ) = A′ ⋅ ∞+ B′ ⋅ 0
A =0
'
当 < 0, λ →∞ x ψ( x ) = A′ ⋅ 0+ B′ ⋅ ∞
ψ( x ) = 0
B' = 0
概率密度（势阱外） 概率密度（势阱外） ψ ( x) 2 = 0
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
定态薛定谔方程
ˆ Hψ =Eψ
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
对左区、右区（势阱外）： E = ∞ 左区、 势阱外）： ∞ Ep ∞ P 2 d ψ(x) 2m = 2 (EP − E) (x) ψ 2 dx h 2m 2 E 令 λ = 2 (EP − E) 当 P →∞, λ →∞ a x o h d2ψ( x ) 2 = λ ψ( x ) 通解为 ψ( x ) = A eλx + B′e−λx ′ 2 dx
向传播的波的叠加） 向传播的波的叠加）
8ma
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
一 维 无 限 深 势 阱 中 的 粒 子
ψ ( x) =
2 nπ sin x a a
ψn
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a 2 ψn
2
n =4
16E1
n =3 n =2
n =1 x =0
a2
0
概率密度
势 外 2 2 n π 阱 2 sin （ x）势阱内 ψ ( x) = a a 0 势阱外
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 能量 粒子的能量
k = 2mE
h
ka = nπ n = 1,2,L 2 h , (n = 1) 基态能量 基态能量 E1 = 2 8ma h2 2 激发态能量 激发态能量 En = n 2 8ma (n = 2,3, L)
9 E1
4E1
a
x =0
a2
a
E1
∞ Ep ∞
Ep =
意义
0,
0< x<a
o
a
Ep → ∞, x ≤ 0, x ≥ a
x
数学运算简单，量子力学的基本概念、 数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 .
2
用定态薛定谔方程来求解 定态薛定谔方程来求解
8π m ∇ ψ + 2 ( E − Ep )ψ = 0 h
2
a
x
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
【总结】一维势阱问题 总结】 波函数 0 , ( x ≤ 0, x ≥ a )
∞ Ep ∞
2 nπ sin x, (0 < x < a) a a h2 能量 E = n2 n 2 8ma
ψ (x) =
o
a
x
1）一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . ）一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 能量 2）粒子的最低能量不能为零（若能量为 ，则n=0,则波 ）粒子的最低能量不能为零（若能量为0， 能量不能为零 则波 2 函数为0， 函数为 ，无意义） h , ( n = 1) 基态能量 基态能量 E1 = 2 3）粒子的物质波在势阱中形成驻波（波函数可分解为两反 ）
2 2 2
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 势场中运动粒子的定态
∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ 8π m + 2 + 2 + 2 ( E − Ep )ψ = 0 2 ∂x ∂y ∂z h ψ ( x, y , z ) 定态波函数 定态波函数
2
拉普拉斯算符
∂ ∂ ∂ ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
对中间区（势阱内）： E 中间区 势阱内）：
d2ψ( x ) 2m E + 2 ψ( x ) = 0 2 dx h
h
P
=0
∞ Ep
∞
令 k = 2mE
通解为： ( x ) = Ae 通解为： ψ
d2ψ( x ) 2 + k ψ( x ) = 0 2 dx −ikx ikx
o
a
x
+ Be
或 (x) = Csin kx+ D) ψ （
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )φ (t ) = ψ 0 ( x ) e
只是空间坐标的函数
只是时间的函数
பைடு நூலகம்
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 运动粒子的定态
2 2
d ψ 8π m + ( E − E p )ψ ( x ) = 0 2 2 dx h 定态波函数 定态波函数 ψ (x )
能量量子化是求解薛定谔方程的必 然结果， 然结果，无需任何人为的硬性假设
En = (
πh
2 2 2
2ma n =1 2, 3⋅⋅⋅ ,
∞ Ep ∞
)n
2
o
a
x
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
【总结】一维势阱问题 总结】
2
d ψ 8π mE + ψ =0 波动方程 2 2 dx h
2
∞ Ep ∞
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推演过程 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数
ψ( x,t ) =ψ0e
∂Ψ 4π p =− Ψ 2 2 ∂x h
2 2 2
i − ( Et − px ) h
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
定态薛定谔方程
ˆ Hψ =Eψ
薛定谔方程 ih ∂ Ψ = H ˆΨ ∂t r 粒子在势场中运动的波函数 Ψ = Ψ ( r , t )
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定态薛定谔方程
ˆ Hψ =Eψ
定态波函数性质
定态波函数 定态波函数
ψ ( x, y , z )
1）能量 E 不随时间变化； ） 不随时间变化； 2）概率密度 ）
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1933诺贝尔物理学奖 1933诺贝尔物理学奖
E.薛定谔 . 量子力学的 广泛发展
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二、一维势阱问题 固体物理金属中自由电子的简化模型 固体物理金属中自由电子的简化模型 粒子势能 Ep 满足的边界条件 粒子势能 满足的边界条件 边界
ka = nπ n = 1,2,L
因波函数连续，故当 因波函数连续，故当x=0和a的边缘处波函数应也为零 和 的边缘处波函数应也为零
Csin 0 +D) = 0 （
Csin( ka+D) = 0