高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法共92页

高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书

波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质

狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2
E为一常数
i df (t) Ef (t) dt
df (t) f (t)
i
Edt
解出：
f
(t
)
Ce
i
Et
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
――定态波函数
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
(r ,
t
)
*
(r ,
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思 想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕 的一角”。
德布罗意假设
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E
和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的
波动性。 德布罗意波，也叫物质波。
E hn
P＝ h
l
(p
h
n
k )
l
德布罗意 公式
l＝ h
例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长
(1) 质量100g, v = 10m·s1运动的小球。

E t / 2
不确定关系的数学表示与物理意义
1927年，海森堡首先推导出不确定关系： ： x表示粒子在x方向上的位置的不确 x px / 2 定范围，px表示在x方向上动量的不 确定范围，其乘积不得小于一个常数。
t E 2
h 2
若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间 为无限长， t= 。
y( x, t ) A cos2 nt l
y( x, t ) Ae
x i 2 nt l
2、自由粒子的波函数
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：
n E/h
波函数可以写成
l h/ p
i 2 nt x / l
为归一化常数11精品文档第n激发态的概率密度有n1个极大值波函数和概率密度如图315和图316精品文档精品文档精品文档精品文档331力学量的平均值33量子力学中的力学量当测量粒子的位置的时候每次所得结果可能是不同的但其概率密度分布是正确的也就是位置的平均值是确定的如粒子的位置坐标改成以下由归一化后的我们可求出在空间处发现粒子的平均值为的概率密度为dx361势能函数是粒子位置坐标的函数势能的平均值362精品文档下面来求动量的分量的平均值但是在量子力学中根据不确定关系动量不可能是坐标的函数
h 6.625 1034 l 2.0 1010 m mv 1.67 10 27 2.0 103
(3) 动能为 1.6 107 J 的电子 1 P2 E K mv 2 2 2m
P 2mEK
h l3 P h 2mE K 1.2 1010 m
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）

薛定谔方程
薛定谔方程
是波函数所遵从的方程— 量子力学的基本方程,
是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导， 其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
( x, t )
e
i
(
E
t
p
x
x
)
0
e
i
px
x
0
e
i
Et(x) Nhomakorabeae
i
E
t
与驻波类比
式中：
(x)
d2(x) dx 2
px2 2
(x)
*
非相对论考虑
自由粒子： 势函数 U 0
代入
E
Ek
1 2
mv
2 x
px2 2m
d2(x) dx 2
px2 2
(x)
*
p
2 x
2mE
得
d2(x) dx 2
2mE 2
(x)
0
即 一维自由粒子的振幅方程
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
Ek
3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本 方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满 足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程
2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有E取某些特定值时才有解
Ψ(r1,r2,…,t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:
i
t
(

薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在《量子化就 是本征值问题》的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方 程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和 量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要 的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔 对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄 拉克共获诺贝尔物理奖。
2 x2
2 y2
2 z2
U (r ,
t )
若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程，分离变量
(r,t) (r )T(t)
代入薛定谔方程，得
i
d
dTt(t)
(r )
[Hˆ
(r )]T(t)
除以
(r
)
T
(t
)
，得
i
dT(t) dt
1 T(t)
1
(r )
Hˆ
(r )
=E
(常数)
上式
左边是 右边是
•从数学上讲，E 不论取何值，方程都有解。
•从物理上讲，E只有取一些特定值，方程的解才能满足 波函数的条件（单值、有限、连续）
•满足方程的特定的E值，称为能量本征值
•各E值所对应的E (r )叫能量本征函数，故该方程又称
为：能量本征值方程
•定态(stationary state): 能量取确定值的状态
量子力学唯一可以和实验进行比较的是力学量的平均值 ——平均值的假定
整理得
d 2
dx 2
2m E
2
0
令
k2
2m E 2
d 2Ψ dx2
k 2Ψ
0
方程解为： Ψ x Asin kx B cos kx

∑∑ c c S
i j i
H ij = Eiδ ij
= ∑ | ci |2 Ei
i
∑| c
i
|2
ε ≥ E2
这个推理有重要意义 逐步解波函数的基础
(三) 氦原子基态
（1） 氦原子薛定谔方程 能量算符 方程
e2 Z Z h2 1 2 ˆ H =− (∇1 + ∇ 2 ) − ( + − ) 2 2m 4πε 0 r1 r2 r12
, 令ψ (1 2) = φ (1)φ (2) 代 后 离 量 入 分 变
0 0 1 0 2
0 0 ˆ ˆ [ H 0 (1) + H 0 (2)]φ10 (1)φ 2 (2) = E 0φ10 (1)φ 2 (2)
ˆ ˆ H 0 (1)φ10 (1) H 0 (2)φ10 (2) 0 + = E 0 = E10 + E2 φ10 (1) φ10 (2)
左边为零,所以
ˆ E' j = ∫ψ 0H'ψ 0dτ = H' jj j j
λ Ej = E0 + λE' j =1→E0 + E' j = E0 + H' jj j j j
0 ψk* 左乘二边积分 一级近似波函数：
* ˆ 0 ˆ aij ∫ψk (H0 − E0 )ψi0 = E' j δkj − ∫ψk *H'ψ 0dτ ∑ j j i
如果已有 Φ 已经与基态波函数 Φ =
同样：
ψ 1正交：
∑ cψ ；c
i i i
i j
1
= ψ1 Φ = 0
∫ ∑ cψ ∑ c ψ
i * i j i j ij j j

m
xp
p m
t
E c2 p
E
E mc 2
Et Et 2
Et
2
能级自然宽度和寿命
5
讨论
xpx 2
yp y 2
zpz 2
1. 不确定关系说明：微观粒子在某个方向上的坐标和 动量不能同时准确地确定，其中一个不确定量越小，
另一个不确定量越大，若 x 为零，p则无穷大。
2. 不确定关系对宏观物体不显现作用。如m=1g的物体，
§12.5 不确定关系
(Uncertainty relation)
一、不确定关系
经典力学：任意时刻质点在轨道上有确定的位置和
速度，表示为: r ( x, y, z),
p( px , py , pz )
量子力学：粒子的空间位置用概率波描述，任一时 刻粒子不能同时具有确定的位置和动量。在某一方 向，粒子位置的不确定量和该方向上动量的不确定 量有一个简单的关系，被称为不确定关系。
按 10eV 估算，求原子中电子运动速度的不确定量。
解 原子的线度就是原子中电子的位置不确定度，
即
x 1010 m
由不确定关系
x px 2
电子速度的不确定度为
v
2mx
1.05 1034 2 9.11 1031 1010
0.6 106 m s1
按照经典力学计算，电子的速度为
v
2EK m
2 10 1.6 1019 9.11 10 31
19
薛定谔（1926）提出了描述 微观粒子运动规律的非相对 论性的薛定谔方程：
2 2m
2Ψ x 2
2Ψ y 2
2Ψ z 2
U(x,
y, z, t)Ψ

bU
k i
)
k R ,i

k R ,i1

a
k I,i

k 1 I ,i 1

a
, k 1
R ,i
k 0,
,N ,K
1



k I ,i 1

(2

bU i k
)
k I,i

k I ,i 1

a
k R ,i
利用 k 时的 值，求 k1 时的 值
要求解线性方程组——隐式的
U
k i

1 2
(U
k i

U
k i
1
)
√
含时方程的解法(4/10)
b1 1
a

1 b2 1
a





1 bN 1 1
a


Bk


a
1 bN b1 1
a

a
1 b2 1






a
1 bN 1 1
例：求解 f x 2 的一维 G-P 方程( 0 x l )
迭代方程

k 1 n1
[2

d
2
fn

ad
2
|
k
(xn )
|2 ]
k 1 n

k 1 n1

bd 2
k 1 n
系数矩阵
ck 1

Ak

Bk

0
0
B
k
,

∂ f (t ) 1 h 2 ∂ 2 ψ (x ) 1 ih =− ∂ t f (t ) 2 m ∂ x 2 ψ (x )
引进常数 E
定 态
df (t ) 1 ih =E dt f (t )
h 2 d 2ψ ( x ) − = E ψ (x ) 2 2 m dx
d 2ψ ( x ) 2 m + 2 E ψ (x ) = 0 2 ∂x h
2.推广 一维力场中的粒子 推广(一维力场中的粒子 推广 一维力场中的粒子)
P x2 E = 2m
∂ψ h ∂ ψ =− ih ∂t 2 m ∂x 2
2 2
P x2 + V (x , t ) E = 2m
P x2 + V (x , t ) E = 2m
∂ψ h 2 ∂ 2ψ ih + V (x , t ) ψ =− 2 ∂t 2 m ∂x
ψ (r , t ) = ψ (r )e
2 2 i − Et h
= ψ (r )e
i − Et h

*
i − Et 2 h ψ (r )e = ψ (r )
2.有确定能量 有确定能量 3.波函数满足定态方程 ψ ( x , t ) = ψ ( x )e 波函数满足定态方程
第二十二章
薛定谔方程
（Schrodinger equation） ）
薛定谔
Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学
获1933年诺贝尔 年诺贝尔 物理学奖
薛定谔方程? 薛定谔方程?
波粒二象性 概率波 波函数 波动方程
第一节
自由粒子的薛定谔方程
− i (E t − p x ) h