高考数学 2020最新艺体生冲刺知识点 第30讲 直线方程学生

第30讲 直线方程

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．

2．直线的斜率

(1)定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan α.

(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.

(3) 直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系

每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：

α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°

k 0 k>0 不存在 k<0

3．直线方程的五种形式

名称 方程 适用范围

点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线

斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线

两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1

(y1≠y2)

截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0

(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用

4．两直线平行、垂直与斜率的关系

条件 两直线位置关系 斜率的关系

两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1， k2 平行 k1＝k2

k1与k2都不存在

垂直 k1k2＝－1

k1与k2一个为零、另一个不存在

说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．

5．利用一般式方程系数判断平行与垂直

设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0.

l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

6．三种距离公式

(1)两点间距离公式

点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离：|AB|＝ x2－x12＋y2－y12.

(2)点到直线的距离公式

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝ |Ax0＋By0＋C|A2＋B2.

说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．

(3)两平行线间距离公式

两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝|C2－C1|A2＋B2.

说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x，y前系数要化为相同．

[玩转典例]

题型一 直线的倾斜角和斜率

例1 已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB的倾斜角等于( )

A．π3 B．2π3

C．π6 D．56π

[玩转跟踪]

1．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝( )

A. －1 B. －3 C. 0 D. 2

题型二 直线方程的求解

例2 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2，1)，C(－2,3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE的方程．

[玩转跟踪]

1．根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

题型三 两直线平行与垂直的判定

例3 “a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的( )

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

[玩转跟踪]

1．已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的( )

题型三 距离公式的应用

例3 正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．

[玩转跟踪]

1.已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．

[玩转练习]

1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为( )

A．－32 B.32 C．3 D．－3

2．已知直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( )

A．－1 B．2 C．0或－2 D．－1或2

3．已知A(3,4)，B(－1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是( )

A. 3x－y＋2－3＝0 B. 3x－y＋1－23＝0

C. 3x＋y－2－3＝0 D. 3x＋3y－6－3＝0

4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0平行，则l的方程是( )

A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0

5．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )

A．1 B．4 C．1或3 D．1或4

6．已知直线PQ的斜率为－3，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )

A. 3 B．－3 C．0 D．1＋3

7．“λ＝3”是“直线λx＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )

A．－4 B．－2 C．0 D．2

9．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是( )

A．m＝1或m＝－2 B．m＝1 C．m＝－2 D．m的值不存在

10．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )

A．－12 B．－2 C．0 D．10

11．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )

A．12 B．32 C．22 D．322

12．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则两平行线间的距离是( )

A．131313 B．5513 C．5135 D．1355

13．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )

A．0 B．2 C. 13 D．4

14．若A(－3，－4)，B(6,3)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a等于( )

A．－13 B. 79 C．－79 D．－79或－13

15．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是( )

A．(2,3) B．(3,2) C．(－2,3) D．(3，－2)