高三艺术生高中数学基本知识汇编含答案

高三数学知识点大全及答案高三是每个年轻学子都必须面对的重要阶段，也是决定大学录取的关键时期。

其中，数学作为一门重要的学科，占据了高考试卷中的很大比例。

为了帮助同学们更好地备战高考，本文将从基础知识到高级技巧，列举出高三数学必备知识点，并提供答案和解析。

一、数与代数1. 实数：实数包括有理数和无理数，有理数又分为整数、分数和小数。

例如，π、√2都是无理数。

2. 复数：复数由实部和虚部组成，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

3. 多项式：多项式是由常数与变量的乘积相加减所得到的代数表达式。

例如，3x^2+5x-2就是一个二次多项式。

4. 因式分解：因式分解是将一个多项式拆解为更简单的乘积形式。

例如，x^2+5x+6可以因式分解为(x+3)(x+2)。

5. 线性方程：线性方程是指未知数的最高次数为1的方程。

例如，2x+3=7就是一个线性方程。

6. 二次方程：二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。

例如，x^2-5x+6=0就是一个二次方程。

解二次方程的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

二、平面几何1. 直线与角度：直线是没有弯曲的线段，可以用斜率来表示。

角度是由两条射线共享同一端点而形成的图形。

2. 三角形：三角形是由三条边和三个角组成的图形。

根据三边关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

3. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形的对应边长成比例。

4. 圆和圆周率：圆是由一条不断延伸的弯曲线组成的图形，圆周率π≈3.14159，是一个无理数。

5. 平行线和垂直线：平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的斜率相等。

垂直线是指在同一平面内相交成直角的两条直线，它们的斜率互为负倒数。

三、立体几何1. 立体图形的表面积和体积：立体图形的表面积是指其所有表面的总面积，体积是指其所包围的空间容量。

2. 空间几何体：常见的空间几何体包括球体、圆柱、锥体和棱柱等。

高考数学艺体生百日突围专题(11)立体几何（基础篇，含答案）《2021艺体生文化课-百日突围系列》专题11立体几何三视图[背诵基础知识]1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图――是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图――光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图――光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图――光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图在前视图下方，“长度”等于前视图；侧视图图片位于前视图的右侧，“高度”等于前视图，“宽度”等于顶视图。

（缩写为“正面和侧面一样高，正面和顶部一样长，底部和侧面一样宽。

”（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。

3.视觉图表——通过观察站在某一点的空间几何图形绘制的图形。

视觉图像通常是在平行投影下绘制的空间图形。

【谈论基本技能】1必备技能：三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．通常，如果在俯视图中出现一个圆，几何体可能是一个球或一个旋转体。

如果俯视图是多边形，则几何体通常是多面体；如果前视图和左视图中出现三角形，则几何体可能是椎体。

2个典型例子例1某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）1b.2c.3d.2a。

【答案】c【解析】【试验场地定位】三视图【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可．示例2如果图中显示了几何图形的三个视图，则几何图形的表面积等于（）2111a、 8岁？22b.11？22c.14？22天。

15[答]B[分析]【考点定位】三视图和表面积．【名师注】三视图检查和表面积计算的关键是根据三视图恢复体积，掌握常用几何的三视图，如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、棱锥、圆锥、球、圆锥及其组合，并理解几何尺寸与三视图尺寸之间的关系；有时，还可以使用外部形状补充方法将几何体补充到普通几何体（如立方体或立方体）中，这属于中级问题1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16?20?，则r?()（a） 1（b）2（c）4（d）8[回答]b[分析]【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【著名老师的注意】这个问题考察了三种简单组合观点的识别，这是一个常规问题。

高三数学知识点带题及答案作为高中阶段的关键年级，高三对于学生们来说是充满挑战的一年。

在备战高考的过程中，数学作为一门重要科目，同样也是考试成绩的关键因素之一。

本文将针对高三数学中的一些重要知识点进行讲解，并提供相应的题目和答案，帮助同学们更好地复习和应对考试。

1.函数与方程函数是高中数学中的基础概念之一，掌握函数的性质和解题方法对于理解和应用数学知识至关重要。

题目1：已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。

答案：将x = 2代入函数中，得到f(2) = 2*(2)^2 + 3*2 - 4 = 14。

题目2：已知方程2x^2 - 3x + 1 = 0，求其根的个数和和根的值。

答案：根据一元二次方程求根公式，可得x = (3±√(3^2 -4*2*1))/(2*2) = (3±√(1))/4。

由于判别式为1，有两个不相等的实数根，分别为x = (3+1)/4 = 1和x = (3-1)/4 = 1/2。

2.数列与数列求和数列是指按一定规律排列的一串数值，在高中数学中占据重要位置。

掌握数列的性质和求和公式对于解决数列相关问题至关重要。

题目3：已知等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的公差。

答案：等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2，其中a1为首项，an为末项。

将Sn的表达式与公式相比较，可知a1 = 2/2 = 1，an = 2n^2 + n。

由于公差为d，则an = a1 + (n-1)d，代入值后得到2n^2 + n = 1 + (n-1)d。

整理后可得d = 4。

题目4：已知等比数列的前n项和为Sn = 3(2^n - 1)，求该数列的首项和公比。

答案：等比数列的前n项和公式为Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中a1为首项，q为公比。

将Sn的表达式与公式相比较，可知a1 = 3，q = 2。

高三艺术生数学基础知识点在高三阶段，作为艺术生的同学们，除了注重专业课程的学习，数学也是必不可少的一门学科。

虽然艺术生相对于理科生来说，对于数学的要求并不像他们那样高，但数学作为一门基础学科，仍然有其重要性。

本文将为高三艺术生总结一些数学基础知识点，以帮助他们更好地备考。

一、函数与方程函数与方程是数学中的基本概念，对于解决各种数学问题起到重要作用。

首先，艺术生需要掌握函数的概念和性质，包括函数的定义、函数的图像、函数的性质等。

其次，方程也是数学中常见的问题形式，艺术生需要学会解一元一次方程、一元二次方程等基本的方程式，并了解方程在实际问题中的应用。

二、数列与数列的应用数列是一系列按照一定规律排列的数，对于解决一些序列问题非常重要。

高三艺术生需要熟悉数列的概念、等差数列和等比数列的性质以及数列求和的方法。

此外，数列的应用也是艺术生需要掌握的，比如利用数列推断某种规律、预测未来的情况等。

三、平面与空间几何艺术生在学习数学时，需要掌握平面几何和空间几何的基本知识。

在平面几何中，艺术生需要学会判断点、线、面等图形的位置关系，熟悉各种图形的性质和计算面积、周长等基本操作。

在空间几何中，艺术生需要学会理解和分析立体图形的特点和各种投影，熟悉体积、表面积等计算方法。

四、概率与统计概率与统计是数学中非常实用的一门学科，也是艺术生需要掌握的。

在概率方面，艺术生需要了解事件的概念、概率的计算方法以及概率的性质。

在统计方面，艺术生需要熟悉统计调查的基本方法、数据的处理与分析等，以求得准确的统计结果。

五、数学思维与解题方法除了基础知识点外，艺术生还需要培养良好的数学思维和解题方法。

数学思维是指运用逻辑、抽象和推理等思维方式解决数学问题的能力。

解题方法包括理解问题、分析问题、选用合适的解法、检查结果等。

艺术生需要通过多做题和多实践，逐渐培养出自己的数学思维和解题方法。

总结：通过学习以上提到的数学基础知识点，高三艺术生可以提高数学水平，更好地备考数学考试。

[全国通用]高中数学高考知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n（3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。

）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。

）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？[]0义域是_。

>->=+-如：函数的定义域是，，，则函数的定())()()f x a b b a F(x f x f x[]a a-（答：，）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）()()如：求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002()()（答：）f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110() 13. 反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？∴……）15. 如何利用导数判断函数的单调性？()在区间，内，若总有则为增函数。

（{1,2,3}B)U B ={4}{1,2,3}.，，则实数B ．1 ．2，而，（ ，故选：A、已知集合（ D ．【答案】C.，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有AB B =A B B = C ．()U A B =∅D ()U A B =∅【答案】B 、D 【解析】A B ，A B A ∴=，A B B =，()U C A B =≠∅，()U AC B =∅，{0,3,4}UB =(){3}U B =}1,2{2,B a a ={}1B ={}1B =1{|2A x =-<}20x ->B =}1x <-B R =A = RB =()2,1-(-∞{ R|B x = RB =(),1-∞{5,7,11B =B 中元素的个数为年高考全国Ⅲ卷理数已知集合{(A x = ） B ．3C ．4B 中的元素满足y x ≥的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)B 中元素的个数为【新课标】已知集合A =B ={(,)x y │AB ．21相交于两点(1,1B 中有两个元素，T（）∅【答案】C【解析】任取t T∈因此，S T T=.故选：1、（2021·苏州·一模）如图，阴影部分表示的集合为(B)BM N P PB A B=∅【答案】B【解析】A=（－1，故B⊂≠A，故选4、（2021·山东青岛市·高三二模）已知的子集，且，则下面选项中一定成立的是（）．的子集，且，，，C方法总结(1)若B⊆A，应分两种情况讨论.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系考向三集合的运算)RA B A⋂=A⊆A B R=B=∅R B=R)R B A=RBB=∅B=（，则：}0P Q ({B x=又全集所以，图中阴影部分所表示的集合为故选：D.方法总结：集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，{3,2,3B =-{3,U =-){2,0B =-M P=，则[-1，1]M P=，所以a P∈，得的取值范围是[1,1]-={x|x2－2x＞＜5＝，则（B．A∪B，0)∪(2，N M=．高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（【答案】AD【解析】：由图可知，阴影部分是集合与C的交集，()B C()UB C⋂⋂)(A B A C⋂⋃⋂。

第35讲 圆锥曲线基础过关小题【知识点总结】一．椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （>122||a F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}+=>=>1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c注明：当=22a c 时，点的轨迹是线段；当<22a c 时，点的轨迹不存在. 二．椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质22三、双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{}-=<<12122(02)MMF MF a a F F .注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当=122a F F 时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当=20a 时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.（3）>122a F F 时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“>122F F a ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意+=222a b c 的应用.四、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质.图形焦点坐标 -1(,0)F c ，2(,0)F c-1(0,)F c ，2(0,)F c对称性 关于x ，y 轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 -1(,0)A a ，2(,0)A a1(0,)A a ，-2(0,)A a范围 ≥x a≥y a实轴、 虚轴 实轴长为2a ，虚轴长为2b离心率==+>221(1)c b e e a a渐近线方程令-=⇒=±22220y x b y x a a b，焦点到渐近线的距离为b令-=⇒=±22220y x a y x b a b，焦点到渐近线的距离为b点和双曲线 的位置关系 ⎧>⎪⎪-⎨=⎪⎪<⎩点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)x y y x x y a b x y ⎧>⎪⎪-⎨=⎪⎪<⎩点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)x y y x x y a b x y 共渐近线的双曲线方程λλ-=≠2222(0)y x a b λλ-=≠2222(0)y x a b弦长公式设直线与双曲线两交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，=AB k k . 则弦长=+⋅-=+⋅-≠212122111(0)AB k x x y y k k ， ()∆-=+-=21212124x x x x x x a，其中“a ”是消“y ”后关于“x ”的一元二次方程的“2x ”系数.A 2B 1F 1 xy A 1 F 2B 2=-a y x b=a y x bF 1A 1 y xB 1 B 2 F 2 A 2 =b y x a=-b y x a通径通径（过焦点且垂直于12F F 的弦）是同支中的最短弦，其长为22b a五、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线∉()l F l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有∈F l ，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 六、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：==-==->22222,2,2,2(0)y px y px x py x py p ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）表10-3标准方程=>22(0)y px p=->22(0)y px p=>22(0)x py p=->22(0)x py p图形对称轴 x 轴y 轴顶点 原点(0,0)焦点坐标 (,0)2p -(,0)2p (0,)2p -(0,)2p 准线方程=-2p x =2p x =-2p y =2p y 三、抛物线中常用的结论1. 点00(,)P x y 与抛物线=>22(0)y px p 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）⇔<202y px . （2）P 在抛物线上⇔=202y px . （3）P 在抛物线外⇔>202y px . 2. 焦半径抛物线上的点00(,)P x y 与焦点F 的距离称为焦半径，若=>22(0)y px p ，则焦半径=+02p PF x ，=max 2pPF.3. >(0)p p 的几何意义 p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.y xOF ly x OF ly x OF lFy xO l4. 焦点弦若AB 为抛物线=>22(0)y px p 的焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有以下结论： （1）=2124p x x .（2）=-212y y p .（3）焦点弦长公式1：=++12AB x x p ，+≥=12x x p ，当=12x x 时，焦点弦取最小值2p ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p .焦点弦长公式2：α=22sin pAB （α为直线AB 与对称轴的夹角）. （4）∆AOB 的面积公式：α∆=22sin AOBp S （α为直线AB 与对称轴的夹角）. 【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A ．22143y x +=B ．22143x y +=C ．22142x y +=D ．22142y x +=例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1，下列结论不正确的是（ ） A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则CC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线2y =的准线交于A 、B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）A ．B ．C ．4D ．8（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则有（ ）A ．渐近线方程为y x =B ．e =C ．e =D ．渐近线方程为y =（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（ ）A ．椭圆22143x y +=的长轴长为4，短轴长为B ．离心率为23的椭圆较离心率为12的椭圆来得扁C ．椭圆22134x y +=的焦点在x 轴上且焦距为2D ．椭圆22143x y +=的离心率为12（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则下列结论中正确的是（ ）A ．2m =B ．C C ．CD ．C （多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1 C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，且一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的方程可能为（ ） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交拋物线于,A B 两点，若两点的横坐标之和为5，则AB =___________.例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12、F F ，若椭圆上的点P 满足2PF x ⊥轴，122PF PF =，则该椭圆的离心率为___________．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知P 为椭圆22194y x +=上一点，若P 到一个焦点的距离为1，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．122．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，椭圆上任意一点到1F ，2F 的距离之和为4，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 的长为3，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2213y x +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22132x y +=3．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得122PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．1(0,]2B ．1[.1)2C ．D ． 5．（2022·全国·高三专题练习）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 A ．4B ．5C ．8D ．106．（2022·浙江·高三专题练习）若动点(),M x y 8=，则动点M 的轨迹方程为（ ） A ．2211612x y +=B ．2211216x y +=C ．2211216x y -=D ．2211612x y -=7．（2022·全国·高三专题练习）设圆()22125x y ++=的圆心为C ，点1,0A 是圆内一定点，点Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A ．224412125x y -=B ．224412125x y +=C ．224412521x y -=D ．224412521x y +=8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若1F AB 的周长为8，则椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．2211612x y +=C ．2212x y +=D ．22142x y +=9．（2022·全国·高三专题练习）设12,F F 是椭圆2211224x y+=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（ ） A．6B ．C ．8D ．10．（2022·浙江·高三专题练习）已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若以12F F 为直径的圆过点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为（ ）A ．1B 1CD ．212．（2022·全国·高三专题练习）如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．()1,2C ．1(2，1)D ．()0,113．（2022·全国·高三专题练习）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）A ．221209x y +=B ．2212010x y +=C ．2212011x y +=D ．2212012x y +=14．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆22:15x y C m+=的一个焦点坐标为()2,0，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．915．（2022·全国·高三专题练习）若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ） A ．25x ＋y 2＝1B ．24x ＋y 2＝1C ．25x ＋y 2＝1或22145x y +=D ．以上答案都不正确16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ） A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=17．（2022·全国·高三专题练习）过点(－3，2)且与22194x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ）A ．2211510x y +=B ．2211015x y +=C ．221925x y +=D ．221105x y +=18．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆过点3(,4)5P -和点4(,3)5Q -，则此椭圆的标准方程是（ ）A ．22125y x +=B ．22125y x +=或22125x y +=C ．22125x y +=D ．以上都不对19．（2022·浙江·高三专题练习）已知点()3,15M 是椭圆22221x y a b +=上的一点，椭圆的长轴长是焦距的32倍，则该椭圆的方程为（ ）A ．2212520x y +=B ．22212745x y +=C ．2211810x y +=D ．2213620x y +=20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=21．（2022·上海·高三专题练习）若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为，则该椭圆的标准方程为 A ．22193y x +=B ．2213612x y += C ．2213612y x +=D ．22193x y +=22．（2022·全国·高三专题练习）一个椭圆中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，P 是椭圆上一点，且1||PF 、12||F F 、2||PF 成等差数列，则椭圆方程为( )A ．22186x y +B ．221166x y +=C ．22184x y +=D ．221164x y +=23．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆221129x y +=共焦点且过点()2,1P 的双曲线的标准方程是（ ）A ．2214x y -=B ．2212x y -=C ．22133y x -=D ．2212y x -=24．（2022·全国·高三专题练习（文））椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k +=<<--关系为（ ） A ．有相等的长轴长 B ．有相等的离心率 C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距25．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆22221x y a b+=(0)a b >> 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1245F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为 ( )A B 1 C ．1 D26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ，若∠F 1AB ＝90°，则此椭圆的离心率为（ ）A ．14B C D ．1227．（2022·全国·高三专题练习）已知F 1，F 2分别是椭圆22x a+22y b =1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为 （ ）A ．0⎛ ⎝⎦B ．1⎫⎪⎪⎣⎭C ．0⎛ ⎝⎦D ．1⎫⎪⎪⎣⎭28．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线0ax by -=与圆221:04M x y mx +-+=相切，则实数m 的值是（ ） A ．±1B ．2±C ．4±D ．8±29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知12,F F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点，椭圆上一点M 满足：12122,60MF MF F MF ∠==，则该椭圆离心率是（ ）A ．12B ．13C D 30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，113AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．716B C ．916 D ．3431．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线2216416y x -=上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．20B ．16C ．12D ．832．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为双曲线上的一点，且12122PF PF F F ==；则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．433．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B ，若120BF BF ⋅=，且124cos 5F AF ∠=，则双曲线的离心率为（ ）AB ．32CD 34．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线C ：2221y x b -=的一个焦点为()2,0-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（ ）A ．0x +=B 0y +=C ．20x y +=D ．20x y +=35．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为22149y x -=，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）A ．虚轴长为4B ．焦距为C D ．渐近线方程为230x y ±=36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的一条渐近线方程为y =，它的焦距为2，则双曲线的方程为（ ） A ．224413y x -=B ．224413y x -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=37．（2022·全国·高三专题练习）过点()3,2且与椭圆223824x y +=有相同焦点的双曲线方程为（ ） A ．22155x y -=B ．22155y x -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=38．（2022·全国·高三专题练习）已知F 是双曲线C ：2221(0,0)4x y a b b -=>>的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线与双曲线交于A .B 两点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若AB FP ，则C 的标准方程为（ ）A ．22143x y -=B ．2214x y -=C ．22147x y -=D ．22149x y -=39．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的离心率43e =，虚轴长为 ） A ．22143x y -=B ．22143x y -=或22134x y -=C ．22197x y -=D ．22197x y -=或22197y x -=40．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．21x =D 21y = 41．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线2221(0)4x y a a -=>的一个焦点到渐近线的距离为（ ） A ．2aB ．2aC ．2D ．442．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．1343．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线E ：()222103x y b b -=>的渐近线方程为y =，则E 的焦距等于（ ）AB ．2C ．D ．444．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线22:123x y C m m -=+与双曲线226x y -=有相同的焦点.则C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =45．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线C 与椭圆2215y x +=有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2215y x -=D ．2215x y -=46．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线22:14x y C m -=的一条渐近线与直线:3220l x y +-=相互垂直，则双曲线C 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．6D ．847．（2022·浙江·高三专题练习）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则该双曲线的实轴长为（ ）A B C D48．（2022·全国·高三专题练习）直线0x =是双曲线等()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线，且双曲）A ．4B ．8C ．D ．49．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为(4,0)(4,0)-、，焦点坐标为(5,0)(5,0)-、，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y -=和340x y += B ．430x y -=和430x y += C ．540x y -=和540x y +=D ．450x y -=和450x y +=50．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线22221x y a b -= ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±51．（2022·全国·高三专题练习）渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是A B ．1C D ．252．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线C ：221x my -=的一条渐近线与直线21y x =+平行，则m 的值为（ ） A ．4B ．14C ．2D ．1253．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率2e =，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）A ．12y x =B ．2y x =C ．y x =D ．y =54．（2022·全国·高三专题练习（文））设1F ，2F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =±B ．y =C ．3y x =±D ．13y x =±55．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A B C ． D ．56．（2022·河北张家口·高三期末）已知()00,M x y 是拋物线2:2(0)C y px p =>上一点，F 是C 的焦点，06y MF ==，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．957．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点(),4P m -在抛物线上，则PF 的长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．558．（2022·全国·高三专题练习）抛物线2y x =上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为（ ）A ．74⎫⎪⎪⎝⎭， B ．74⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， C ．74⎛ ⎝⎭D ．74⎛± ⎝⎭，59．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线C ：22x py =-（0p >）的焦点为F ，点M 是C 上的一点，M 到直线2y p =的距离是M 到C 的准线距离的2倍，且6MF =，则p =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1060．（2022·全国·高三专题练习）已知A （3，2），点F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（2，2）C ．(D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭61．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：y 2＝2px （p >0）上一点M （6，y ）到焦点F 的距离为8，则p ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．462．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2C y x =的焦点为()00,,F A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．863．（2022·全国·高三专题练习（理））若抛物线22x py =（0p >）上一点(),1A m 到其焦点的距离为2，则m =（ ）A ．B ．±C ．±1D ．2±64．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为（ ） A ．x 2＝－12y 或y 2＝16x B ．x 2＝12y 或y 2＝－16x C ．x 2＝9y 或y 2＝12xD ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x65．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 且倾斜角为3π的直线交C 于A ，B 两点，则弦AB 的中点到准线的距离为（ ） A ．5B ．53C ．83D ．866．（2022·江苏·高三专题练习）过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60，则||||AF BF 的值为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．5267．（2022·全国·高三专题练习）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，2p为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则||||AB CD ＝（ ）A ．16B ．4C ．83D ．5368．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线22221()00a x y a b b >-=>，被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）ABC D ．269．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 被双曲线C ：24x ﹣y 2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l 的方程（ ） A ．x +4y ﹣9=0 B ．x ﹣4y +7=0 C ．x ﹣8y +15=0 D ．x +8y ﹣17=0二、多选题70．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆22:195x y C +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．12PF F △的周长为10B ．12PF F △面积的最大值为C ．当1260PF F ∠=︒时，12PF F △D ．存在点P 使得120PF PF ⋅=71．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（ ）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 的椭圆 C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 20y ±=的双曲线72．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程为221()26x y k k k+=∈--R ，则下列结论正确的是（ ） A ．当26k <<，曲线C 为椭圆B ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“6k >或2k <”是“曲线C 为双曲线”的充要条件 D．不存在实数k 使得曲线C73．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()00,M x y )在抛物线C 上，若||4MF =，则（ ）A ．03x =B ．0y =C ．||OM =D ．F 的坐标为()0,174．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为5875．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，点()4,4M 在抛物线()220y px p =>上，抛物线的焦点为F ，延长MF 与抛物线相交于点N ，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =- B ．174MN =C ．OMN 的面积为72D ．MF NF MF NF +=三、填空题76．（2022·浙江·高三专题练习）已知点()()5,0,5,0M N -，MNP △的周长是36，则MNP △的顶点P 的轨迹方程为___.77．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为________．78．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，则1||PF =________79．（2022·全国·高三专题练习）点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12F F 、是椭圆的两个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限内时，P 点的纵坐标为________．80．（2022·浙江·高三专题练习）过点，且与椭圆221259y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．81．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准方程为______．82．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆22143x y +=有相同离心率且经过点(2,的椭圆标准方程为________．83．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆方程为_____．84．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线2222x y -=有共同的渐近线，且过点M （2,-2）的双曲线方程为________.85．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =的准线为1x =-，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为___________.86．（2022·全国·高三专题练习）О为坐标原点，F 为抛物线C ∶y 2= 4x 的焦点，P 为C 上的一点，若||3PF =，则三角形POF 的面积为 _________.87．（2022·全国·高三专题练习）直线:24=-l y x 过抛物线2:2C y px =的焦点F ，与C 交于,A B 俩点，则AB =________．第35讲 圆锥曲线基础过关小题【知识点总结】一．椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （>122||a F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}+=>=>1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c注明：当=22a c 时，点的轨迹是线段；当<22a c 时，点的轨迹不存在. 二．椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质 22三、双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{}-=<<12122(02)MMF MF a a F F .注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当=122a F F 时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当=20a 时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.（3）>122a F F 时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“>122F F a ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意+=222a b c 的应用.四、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质.图形焦点坐标 -1(,0)F c ，2(,0)F c -1(0,)F c ，2(0,)F c对称性 关于x ，y 轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 -1(,0)A a ，2(,0)A a1(0,)A a ，-2(0,)A a范围 ≥x a≥y a实轴、 虚轴 实轴长为2a ，虚轴长为2b离心率==+>221(1)c b e e a a渐近线方程令-=⇒=±22220y x b y x a a b，焦点到渐近线的距离为b令-=⇒=±22220y x a y x b a b，焦点到渐近线的距离为b 点和双曲线 的位置关系 ⎧>⎪⎪-⎨=⎪⎪<⎩点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)x y y x x y a b x y ⎧>⎪⎪-⎨=⎪⎪<⎩点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)x y y x x y a b x y 共渐近线的双曲线方程λλ-=≠2222(0)y x a b λλ-=≠2222(0)y x a b弦长公式设直线与双曲线两交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，=AB k k . 则弦长=+⋅-=+⋅-≠212122111(0)AB k x x y y k k ， ()∆-=+-=21212124x x x x x x a，其中“a ”是消“y ”后关于“x ”的一元二次方程的“2x ”系数.B 1F 1 xy A 1 F 2B 2A 2 =-a y xb=a y xbF 1A 1 y xB 1 B 2 F 2 A 2 =b y xa=-b y xa通径通径（过焦点且垂直于12F F 的弦）是同支中的最短弦，其长为22b a五、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线∉()l F l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有∈F l ，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 六、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：==-==->22222,2,2,2(0)y px y px x py x py p ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）表10-3标准方程=>22(0)y px p=->22(0)y px p=>22(0)x py p=->22(0)x py p图形对称轴 x 轴y 轴顶点 原点(0,0) 焦点坐标 (,0)2p -(,0)2p (0,)2p -(0,)2p 准线方程=-2p x =2p x =-2p y =2p y 三、抛物线中常用的结论1. 点00(,)P x y 与抛物线=>22(0)y px p 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）⇔<202y px . （2）P 在抛物线上⇔=202y px . （3）P 在抛物线外⇔>202y px . 2. 焦半径抛物线上的点00(,)P x y 与焦点F 的距离称为焦半径，若=>22(0)y px p ，则焦半径=+02p PF x ，=max 2pPF.3. >(0)p p 的几何意义 p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.y xOF ly x OF ly x OF lFy xO l4. 焦点弦若AB 为抛物线=>22(0)y px p 的焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有以下结论： （1）=2124p x x .（2）=-212y y p .（3）焦点弦长公式1：=++12AB x x p ，+≥=12x x p ，当=12x x 时，焦点弦取最小值2p ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p .焦点弦长公式2：α=22sin pAB （α为直线AB 与对称轴的夹角）. （4）∆AOB 的面积公式：α∆=22sin AOBp S （α为直线AB 与对称轴的夹角）. 【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A ．22143y x +=B ．22143x y +=C ．22142x y +=D ．22142y x +=【答案】B 【详解】圆C ：(x －1)2＋y 2＝16，∴ 2a ＝4，即a ＝2．由111222c c e c a ==⇒=⇒=， 而222413b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程是：22143x y +=， 故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1，下列结论不正确的是（ ） A ．若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n ＞0，则CC ．若mn ＜0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝D ．若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线 【答案】B 【详解】对于A ，当m ＞n ＞0时，有110n m>>， 方程化为22111x y m n+=，表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，由m ＝n ＞0，方程变形为221x y n+=，B 错误； 对于C ，由mn ＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y =，故C 正确； 对于D ，当m ＝0，n ＞0时，方程变为ny 2＝1表示两条直线，故D 正确． 故选：B.例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线2y =的准线交于A 、B两点，||AB =C 的实轴长为（ ） A．B．C ．4 D ．8【答案】B 【详解】解：设等轴双曲线C 的方程为22x y λ-=．(0)λ>，①抛物线2y =，2p =p =∴2p= ∴抛物线的准线方程为=-x设等轴双曲线与抛物线的准线=-x()A y -，(B -)(0)y y ->，则|||(|)2AB y y y =--==∴=y将=-xy =22(λ--=，8λ∴=∴等轴双曲线C 的方程为228x y -=，即22188x y -=a ∴=C的实轴长为2a =故选：B ．（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则有（ ）A ．渐近线方程为y x =B ．e =C ．e =D ．渐近线方程为y =【答案】AC 【详解】双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A （a ，0），以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN ＝60°，可得A 到渐近线bx +ay ＝0的距离为：b cos30°=，=，即a c =e =且b a =，故渐近线方程为渐近线方程为y =故选：AC ．（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（ ）A ．椭圆22143x y +=的长轴长为4，短轴长为B ．离心率为23的椭圆较离心率为12的椭圆来得扁C ．椭圆22134x y +=的焦点在x 轴上且焦距为2D ．椭圆22143x y +=的离心率为12【答案】ABD 【详解】对于A ：椭圆22143x y +=中，2,a b ==，故长轴长为4，短轴长为A 正确； 对于B ：因为椭圆的离心率越大，该椭圆越扁，所以离心率为23的椭圆较离心率为12的椭圆来得扁，故B 正确；对于C ：椭圆22134x y +=的焦点在y 轴上，故C 错误；对于D ：椭圆22143x y +=中，2,1a b c ===，故离心率为12c e a ==； 故选：ABD（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则下列结论中正确的是（ ）A ．2m =B ．C C ．CD ．C 【答案】AD 【详解】1=，解得2m =或1m =-(舍去)，∴椭圆C 的方程为22132y x +=∴23a =，22b = ，即a =b =∴长轴长为2a =，短轴长2b =c e a ===. 故选：AD.（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1 C ．点P 的横坐标为±1 D．△PF 1F 2 【答案】ACD 【详解】等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确；由双曲线的方程可知F 1F 2＝所以以F 1F 2为直径的圆,圆心为()00，x 2＋y 2＝2，故B 错误； 点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上， 不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以由2200002,,x y y x ⎧+=⎨=⎩解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确；由上述分析可得△PF 1F 2的面积为112⨯=D 正确．故选：ACD.（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，且一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的方程可能为（ ） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】AD 【详解】解：椭圆22194x y +=中，c == ∴焦距12||2F F c ==双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，一条渐近线方程为20x y -=， ∴设双曲线的方程为224x y λ-=()0λ≠，即2214x y λλ-=， 当0λ>时，c 1λ=，∴双曲线的方程为2214x y -=； 当0λ<时，c 1λ=-，∴双曲线的方程为2214x y -=； 综上，双曲线的方程可能为2214x y -=或2214x y -=．故选：AD.例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交拋物线于,A B两点，若两点的横坐标之和为5，则AB =___________. 【答案】7 【详解】由抛物线方程可得2p =，则由抛物线定义可得527A B AB x x p =++=+=. 故答案为：7.例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12、F F ，若椭圆上的点P 满足2PF x ⊥轴，122PF PF =，则该椭圆的离心率为___________．【详解】设2PF m =，则1222PF PF m ==.由椭圆的定义可知：1232PF PF m a +==，所以23am =. 所以1242,33a aPF PF == 因为2PF x ⊥轴，所以12PF F △为直角三角形， 由勾股定理得：2221212PF PF F F =+，即()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即213c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以离心率c e a ==.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知P 为椭圆22194y x +=上一点，若P 到一个焦点的距离为1，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．12【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】椭圆22194y x +=的长轴长为26a =，由椭圆的定义得：1226PF PF a +==， 又因为P 到一个焦点的距离为1，即11PF =， 所以P 到另一个焦点的距离为2165PF PF =-=， 故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，椭圆上任意一点到1F ，2F 的距离之和为4，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 的长为3，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2213y x +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22132x y +=【答案】C 【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出a ，设出点F 2坐标，由给定弦长求出b 即可得解. 【详解】依题意，由椭圆定义得24a =，即2a =，令椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ，则F 2(c ，0)，直线AB ：x =c ，由22221x cx y a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2||b y a =，于是得22||3b AB a ==，则23b =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ） A．B ．6C ．4D．【答案】D 【分析】先由椭圆方程求出a =. 【详解】。

高三数学知识点总结大全及答案高三是学生们关键的一年，数学作为学科中的一大难点，也是让许多学生头痛的存在。

为了帮助高三学生们更好地复习和应对数学考试，本文将对高三数学知识点进行全面总结和整理，希望对大家有所帮助。

一、导数与微分1. 导数的概念：导数表示函数在某一点的变化速率，记作f'(x)或dy/dx。

2. 基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

3. 微分的概念：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的近似值与实际值之差。

二、极限与连续1. 极限的概念：极限表示函数在接近某一点时的趋势，分为左极限和右极限。

2. 基本极限公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的极限公式。

3. 连续的概念：函数在某一点的左极限、右极限和函数值均相等，则该函数在该点处连续。

三、函数与方程1. 二次函数与一次函数：包括函数的定义、图像、性质和应用。

2. 指数函数和对数函数：包括函数的定义、图像、性质和应用。

3. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、图像、性质和应用。

4. 求解一元一次方程与一元二次方程的方法。

5. 求解三角方程的方法。

四、平面几何1. 平面几何中的基本概念：点、直线、线段、角等。

2. 平面几何中的性质定理：如垂直平分线定理、角平分线定理、等腰三角形的性质等。

3. 平面几何中的相似与全等：相似三角形与全等三角形的判定方法及性质。

4. 平面向量：向量的定义、运算及性质。

五、立体几何1. 空间几何中的基本概念：点、直线、平面、三棱柱、四棱锥、棱台等。

2. 空间几何中的性质定理：如对顶角定理、底面角、对棱角等定理。

3. 空间几何中的计算：如体积、表面积等的计算公式。

六、概率与统计1. 概率的基本概念：样本空间、事件等。

2. 概率的计算：如加法原理、乘法原理、全概率公式、贝叶斯公式等。

3. 统计的基本概念：总体、样本、频率分布等。

4. 统计的分析方法：如均值、方差、标准差、相关系数等计算公式。

艺考生高三数学必考知识点高三数学必考知识点数学作为一门重要的学科，占据了高考科目中的一席之地。

对于艺考生来说，高三数学的备考至关重要，因此需要掌握一些必考的知识点。

本文将为大家详细介绍高三数学必考知识点，旨在帮助艺考生顺利备考并取得好成绩。

一、数列与数列的通项公式数列是高中数学中重要的基础概念之一。

艺考生需要了解数列的概念及相关知识，并能够求解数列的通项公式。

在高考中，常见的数列包括等差数列和等比数列。

艺考生要熟练掌握求解数列的通项公式的方法，灵活运用于实际问题的解决。

二、函数及其性质函数是解决实际问题的有力工具，在高考中占据重要地位。

艺考生需要了解函数的定义、性质以及基本的函数类型，例如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

此外，艺考生还需掌握函数的图像、性质和各种函数的特点，能够灵活应用于数学问题的解决。

三、三角函数三角函数是高三数学中的难点和重点内容之一。

艺考生需要熟练掌握三角函数的定义、性质，能够转化三角函数之间的关系，并利用三角函数解决实际问题。

需要特别注意的是，艺考生应该熟悉常用的三角函数值，并能够根据题目要求进行角度的转化。

四、平面向量平面向量是高三数学中的重点内容，也是解决几何问题的基础工具。

艺考生需要了解向量的定义、性质，能够进行向量的加减、数量积和向量积等运算，并能够应用向量解决平面几何问题。

此外，艺考生还需熟悉向量的共线、垂直以及平行等重要性质，从而能够灵活应用于题目的解答。

五、导数与微分导数与微分是高三数学中的重要内容，也是高考必考的知识点之一。

艺考生需要了解导数及微分的定义、性质，能够求解函数的导数和利用导数解决实际问题。

此外，艺考生还需熟悉导数在曲线研究中的应用，包括切线方程、极值点、拐点等内容，从而能够熟练运用导数解决各种相关问题。

六、概率与统计概率与统计是高考数学中稍显抽象但又非常重要的内容。

艺考生需要掌握基本的概率计算方法，包括事件的计算、概率的性质和基本的概率分布问题。

一集合与简易逻辑基本知识点答案1.__一定范围内某些确定的,不同的对象的全体__构成集合,_集合中的每一个对象_叫元素;2.集合的分类:__含有有限个元素的集合__叫有限集,__ 含有无限个元素的集合___叫无限集,__不含任何元素的集合__叫空集;3.集合的表示:__将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“｛｝”内,这种表示集合的方法__叫列举法,__将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这种表示集合的方法__叫描述法, ___用Venn图表示集合的方法__叫图示法;4.集合元素的3个性质:1._确定性_; 2._互异性_;3.__无序性_;5.常见的数集:6. 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫集合B的子集B; 如果A⊆B,且A≠B,那么集合A叫集合B的真子集, 如果A⊆B,且B⊆A,那么A,B 两集合相等;7. 如果集合S包含我们所要研究的各个集合,S可以看作全集, 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为A在S中的补集;8. 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B;由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的叫并集,记作A∪B;.9.含有n个元素的集合有 2n个子集.10.原命题:若p则q;逆命题为: 若q则p ;否命题为: 若﹁p则﹁q ;逆否命题为: 若﹁q则﹁p ;11.四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;四种命题中真命题或假命题的个数必为__偶数__个.12.充分条件与必要条件:⑴如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;⑵如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充分必要条件.⑶如果 p⇒q,且q⇒/p ,则p是q的充分而不必要条件;⑷如果 q⇒p,且p⇒/q ,则p是q的必要而不充分条件;⑸如果 p⇒/q,且q⇒/p ,则p是q的既不充分也不必要条件.13.14.“___∃x∈M,﹁p(x)__;“∃x∈M,p(x)”的否定为____∀x∈M,﹁p(x)____;15. “p∧q”的否定为﹁p∨﹁q ;“p∨q”的否定为﹁p∧﹁q ;二基本初等函数知识点答案1.函数的定义:__设A,B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应法则,对于集合A中的每一个元素x,集合B中都有唯一元素y和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数__, 所有输入值x组成的集合叫定义域,__所有输出值y组成的集合_叫值域.2.函数的表示方法:⑴_解析式_;⑵__列表法_;⑶__图象法__;3.__设函数y=f(x)定义域为A,区间I A,对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),就说y=f(x)在区间I上是_增函数; 对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),就说y=f(x)在区间I上是减函数;4.__ 设函数y=f(x)定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(－x)=－f(x),那么称函数y=f(x)__是奇函数;其图象特征:___关于原点对称__;如果对于任意的x∈A,都有f(－x)=f(x),那么称函数y=f(x)__叫偶函数;其图象特征:__ 关于y轴对称__;奇偶函数的定义域___关于原点对称___;5. 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任意一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么y=f(x) 叫周期函数,_T称为这个函数的周期_, 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫最小正周期.7.na ＝n m a ;na-＝nm a1＝nma1(a>0,m,n∈N*);8.对数定义:a b＝N _b=log a N __(a>0,a≠1);9.对数运算性质:⑴___log a (MN)=log a M+log a N__;⑵__ log a MN =log a M －log a N__;⑶___ log a M n=nlog a M___; 10.对数恒等式:N aNa =log ;换底公式:aNN C C a log log log =;11.指数函数,对数函数图象与性质三 导数基本知识点答案1.设函数y=f(x)在区间上(a,b)有定义,x 0∈(a,b),当x 的增量△x 无限趋近于0时,比值△x △y =00()()f x x f x x ∆∆+-无限趋近于一个常数A,则称函数f(x)在x=x 0处可导,并称该常数A 为函数y=f(x)在x=x 0处的_导数_,记作__f′(x 0)__.2.导数的几何意义:曲线y=f(x)上有两点:Q(x 0,f((x 0)),P(x 0+△x ,f((x 0+△x)),则割线PQ的斜率为00()()f x x f x x∆∆+-,当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时,割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率,即当△x 无限趋近于0时,k PQ ＝00()()f x x f x x∆∆+-无限趋近点Q 处切线的_斜率_,即y=f(x)在点(x 0,f((x 0))处的__导数__. 4.基本初等函数的求导公式:(C)′＝____0___;(x α)′＝__αx α－1__,(α为常数);(a x )′＝___a xlna__(a ＞0,a≠1) (log a x)′＝1log a e x＝1ln x a ,(a ＞0,a≠1);注:当a ＝e 时, (e x)′＝___ e x___,(lnx)′＝1x , (sinx)′＝__cosx __,(cosx)′＝__－sinx__; 5.导数的运算法则法则1 [u(x)±v(x)]′＝__ u ′(x)±v′(x)__; 法则2 [cu(x)]′＝___ cu′(x)____;法则3 [u(x)v(x)]′＝__u′(x)v(x)+u(x)v′(x)___;法则4 [u(x)v(x)]′＝2()()()()()u x v x u x v x v x ''-(v(x)≠0).6.用导数的符号判别函数增减性的方法:若f′(x)>0,则函数f(x)为__增函数__,若f′(x)<0,则函数f(x)为__减函数__;7.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:⑴确定函数f(x)的__定义域__;⑵求f′(x),令f′(x)＝0,解此方程,求出它在定义域内的一切_实数解__;⑶把上面的各实根按由__从小到大_的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;⑷确定f′(x)在各个小区间内的符号,根据f′(x)的__符号__判断函数f′(x)在每个相应小区间内的增减性;8.函数极值的定义:设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对0x 附近的所有点,都有f(x)<f(x 0)(或f(x)>f(x 0)),就说f(x 0)是函数f(x)的一个极__大__值(或极___小__值); ___极大值__和___极小值___统称为极值;9.求可导函数f(x)在[a,b]上的最大或最小值的一般步骤和方法:①求函数f(x)在(a,b)上的值;②将极值与区间端点的函数值f(a),f(b) 比较,确定最值.四 三角函数基本知识点答案1.与角α终边相同的角的集合__{β|β=k·360°+α,k∈Z}__;2.360°＝_2π_rad,180°＝_π_rad,1°＝180πrad≈_0.01745_rad,1rad ＝π180°≈_57.3_°;3.用弧度表示的弧长公式:__l =|α|r_,面积公式:lr S 21=. 4.三角函数定义:__平面直角坐标系中,设角α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y),它与原点的距离是r,则xy r x r y ===αααtan ,cos ,sin ; 正弦,余弦,正切在各个象限的符号:_sin α,一,二象限正,三,四负,cos α,一,四正,二,三负, tan α,一,三正,二,四负,(记忆口诀:一全,二正,三切,四余) . 5.__同角三角函数关系__公式:⑴平方关系:__ sin 2α+cos 2α=1__,⑵商数关系:αααcos sin tan =; 6.__诱导__公式:⑴sin(2kπ＋α)＝_ sin α_,cos(2kπ＋α)＝_ cos α_,tan(2kπ＋α)＝_ tan α_; ⑵sin(－α)＝__ －sin α_,cos(－α)＝___ cos α__,tan(－α)＝－tan α__;⑶sin(π－α)＝__ sin α__,cos(π－α)＝__ －cos α__,tan(π－α)＝ －tan α__;⑷sin(π＋α)＝___ －sin α__,cos(π＋α)＝__ －cos α__,tan(π＋α)＝__tan α__;⑸sin(2π－α)＝__ －sin α_,cos(2π－α)＝___ cos α__,tan(2π－α)＝__ －tan α__;⑹sin(π2－α)＝_ cos α_,cos(π2－α)＝_ sin α_; ⑺sin(π2＋α)＝_ cos α_,cos(π2＋α)＝_ －sin α_;⑻sin(3π2－α)＝－cos α,cos(3π2－α)＝－sin α_;⑼sin(3π2+α)＝_ －cos α__,cos(3π2+α)＝_ sin α_;记忆口诀:___ 奇变偶不变,符号看象限___. 7.特殊角三角函数值8.三角函数图象与性质) 10.___和差角___cos(α－β)＝__cos αcos β+sin αsin β__;cos(α＋β)＝___ cos αcos β－sin αsin β__; sin(α－β)＝___sin αcos β－cos αsin β__;sin(α＋β)＝____sin αcos β+cos αsin β___; tan(α－β)＝βαβαtan tan 1tan tan +-;tan(α＋β)＝βαβαtan tan 1tan tan -+;11. 辅角 公式:asinα＋bcosα＝ tan ),sin( 22abb a =++ϕϕα; 12. 2倍角 公式:sin2α＝ 2sinαcos α ,cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α , tan2α＝ tan 1tan 22αα-;13.__降幂(或半角)_公式: sin 2α＝122cos α－,cos 2α＝ 22cos 1 α+,tan 2α＝12 12cos cos αα+－; 14.__万能公式_公式:设t ＝tanα2,则sin ＝ 2tan 12tan2 2αα+,cosα＝221212tan tan αα+－,tanα＝22212tan tan αα－;15.用sinα,cosα表示tan α2＝ cos 1sin αα+＝1cos sin αα－; 16.正弦定理: 2R sinCc sinB b sinA a===; 17.三角形面积公式: sin 21sin 21sin 21 B ac A bc C ab S ===; 18.余弦定理:⑴a 2＝__b 2+c 2－2bccosA__, b 2＝a 2+c 2－2accosB , c 2＝a 2+b 2－2abcosC ;⑵cosA ＝ 2bc b222a c -+, 2ac a cosB 222b c -+=, 2aba cosC 222cb -+=;五 向量基本知识点答案1._长度为零的向量_叫零向量;__长度等于一个单位的向量_叫单位向量;2.向量加法运算律:⑴交换律: +=+; ⑵结合律:)()(++=++;3.向量共线定理:与共线⇔λ=;4.向量加法,减法,数乘的坐标运算法则:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),λ∈R,那么＋＝ (x 1+ x 2,y 1+y 2) ;－＝ (x 1－ x 2,y 1－y 2) ;λ＝ (λx 1,λy 1) ;5.向量坐标(x,y)与其起点A(x 1,y 1),终点B(x 2,y 2)坐标关系:_ (x 2－x 1,y 2－y 1)_;6.向量平行的坐标表示:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),a 与b 平行⇔_x 1y 2－x 2y 1=0;7.向量数量积的定义: cos | | || θ=⋅;8.向量数量积的运算律:⑴ ⋅=⋅; ⑵ ) ()() ( b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ; ⑶ )( c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅;9.向量数量积的坐标表示:已知＝(x 1,y 1),＝(x 2,y 2),则·＝_x 1x 2+y 1y 2_;10.已知＝(x,y),则2＝_x 2+y 2_; ||＝＝11.两点间距离公式12.已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),它们的夹角为θ,则其夹角公式: _cos θ_＝＝222221212121yx yx y y x x +++;13.已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ 0 =⋅b a ⇔_ x 1x 2+y 1y 2=0_六 数列基本知识点答案㈠数列1. 按一定次序排列的一列数 叫数列; 其中的每一个数 叫数列的项,数列可以看作一个定义域为 N*或其真子集{1,2,3…,n} 的函数,它的图象是 一群孤立的点 .2. 一个数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系,如果可以用一个公式来表示,这个公式 叫数列的通项公式.3. 一个数列{a n }的第n 项a n 可以用它的前几项来表示,这样的公式 叫数列的递推公式.4.数列的分类:⑴按项数分: 有穷数列 , 无穷数列 ;⑵按照项与项的大小关系分: 递增数列 , 递减数列 , 摆动数列 , 常数列 , 5.若已知数列{a n }的前n 项和S n ,则其通项a n =1112n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩ .㈡等差数列6. 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列 叫等差数列; 常数叫这个等差数列的 公差 .7. a,P,b 成等差数列,则P 叫a,b 的 等差中项.8.等差数列的通项公式 a n =a 1+(n －1)d , a n =a m +(n －m)d . 9.等差数列的图象是 一条直线上均匀分布的点 . 10.等差数列前n 项和公式 2)( 1n n a a n S +=, d 2)1( 1-+=n n na S n .求等差数列前n 项和的方法叫 倒序相加法 . 11.{a n }是等差数列⇔a n ＝ An+B ; {a n }是等差数列⇔S n ＝ Cn 2+Dn ;12.一个等差数列有五个基本元素: a 1,d,n,a n ,S n ,知道其中 三 个,就可以求出其它 两 个,即“知 三 求 二 ”. 13.等差数列的单调性:①d>0时,{a n }递 增 ,S n 有最 小 值; ②d<0时,{a n }递 减 ,S n 有最 大 值; ③d ＝0时,{a n } 为常数列 .14.下标和性质:等差数列{a n }中,m,n,p,q ∈N*,若m ＋n ＝p ＋q,则 a m +a n =a p +a q ;若m ＋n ＝2p,则 a m +a n =2a p .15.等差数列{a n }中,S n 是前n 项和,则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 是等差数列. 16.{a n },{b n }均为等差数列,m,k ∈R,则 {ma n +k},{ma n +kb n } 仍是等差数列.17.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,则a mb m ＝ 1212--m m TS .18.等差数列{a n }中,①若a n ＝m,a m ＝n(m≠n),则a m+n ＝ 0 ; ②若S n ＝m,S m ＝n(m≠n),则S m+n ＝ －(m+n) ;㈢等比数列19. 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列 叫等比数列; 常数叫这个等比数列的 公比 . 20. a,P,b 成等比数列,则P 叫a,b 的 叫等比中项. 21等比数列的通项公式 a n =a 1q n －1, a n =a m q n －m.22.等比数列前n 项和公式 1 1)(1,1q 11qqa a S q q a S n n n n --=--=≠或时, q=1时, S n =na 1 .求等比数列前n 项和的方法叫 错位相减法 .23.一个等比数列有五个基本元素: a 1,q,n,a n ,S n ,知道其中 三 个,就可以求出其它 两 个,即“知 三 求 二 ”.24.已知等比数列{a n }首项a 1,公比q,则其单调性: ① a 1>0,q>1或a 1<0,0<q<1 时,{a n }递增; ② a 1<0,q>1或a 1>0,0<q<1 时,{a n }递减;③ q=1 时,{a n }为常数列;④ q<0 时,{a n }为摆动数列.25.下标和性质:等比数列{a n }中,m,n,p,q ∈N*,若m ＋n ＝p ＋q,则 a m ·a n =a p ·a q ;若m ＋n ＝2p,则 a m ·a n =a p 2.26.等比数列{a n }中,S n 是前n 项和,则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 是等比数列. 27.{a n },{b n }均为等比数列,m,k ∈R,则{},{},{}nn n n nma ma ma b b ⋅仍是等比数列. 七 不等式基本知识点答案1.三个“二次型”的关系⇔ b<a ; ②传递性a>b,b>c ⇒ a>c ;③加法性质a>b, c ∈R ⇒ a+c>b+c ,a>b,c>d ⇒ a+c>b+d ;④乘法性质a>b,c>0⇒ ac>bc ,a>b,c<0⇒ ac<bc ,a>b>0,c>d>0⇒ ac>bd ; ⑤正数乘方a>b>0⇒ a n>b n; ⑥正数开方a>b>03.已知a,b∈(0,+∞),有四个数:a 2＋b 22,a+b 2,ab,21a ＋1a,用“≤”连接这几个数 2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+. 4.a>0,b>0,a,b 的乘积为定值p 时,那么当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值是的和为定值s 时,那么当且仅当 a=b 时,ab 有最 大 值是s24.5.二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)将平面分成三个部分,直线上的点满足于 Ax+By+C=0 ,直线一边为 Ax+By+C>0 ,另一边为 Ax+By+C<0 ,如何判断不等式只需取一个 不在直线上的特殊点 代入即可.6.线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:⑴根据题意设出 变量 ; ⑵找出__线性约束条件 ;⑶确定 线性目标函数 ;⑷画出 可行域 ; ⑸利用线性目标函数 画出平行直线系 ;观察函数图形,找出 最优解 ,给出答案.八 立体几何基本知识点答案㈠ 空间几何体及表面积和体积1. 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的 的几何体叫棱柱,棱柱的底面是 两个全等的平面多边形 ,且对应边 平行且相等 ,侧面都是 平行四边形 ;2. 棱柱的一个底面缩成一个点时形成 的几何体叫棱锥,棱锥的底面是 平面多边形 ,侧面是 有一个公共顶点的三角形 ;3. 棱锥被平行于底面的一个平面所截,截面和底面之间 的几何体叫棱台.4.圆柱由 矩 形绕 它的一边 旋转而成;圆锥由 直角三角形 形绕 一直角边 旋转而成;圆台由 直角梯形 形绕 垂直于底边的腰 旋转而成;球由 半圆 形绕 它的直径 旋转而成.5.直棱柱侧面积公式:S 直棱柱= ch ; 正棱锥侧面积公式:S 正棱锥= 12ch ′ ;正棱台侧面积公式:S 正棱台= 12(c+c′)h′ ;球表面积公式:S 球= 4πR 2;6.柱体体积公式:V 柱体= Sh ;锥体体积公式:V 锥体= 13Sh ;球体体积公式:V 球= 43πR 3.㈡ 点线面位置关系1.平面的基本性质及推论:⑴公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面上,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 ;⑵公理2: 如果两个平面有一个公共点,那么它还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 ;⑶公理3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 ; ①推论1: 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 ; ②推论2: 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ; ③推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面 ; 公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ;等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 ;2.空间两条直线的位置关系有: 相交,平行,异面 ,通常有两种分类方法:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧异面平行无公共点相交有公共点异面平行相交共面 . 3. 过空间任一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫异面直线所成角,其范围是 (0°,90°] .bb αββ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭6. 平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角, 叫直线和平面所成角平面垂直,就说它们所成角是90°,所以其范围是 [0°,90°] .7.平面与平面的位置关系有:___两__种:8. 从同一条直线出发的两个半平面组成的图形 叫二面角, 在二面角的棱上任取一点,过该点在两个半平面内分别作两条射线垂直于棱,则两条射线所成的角 叫二面角的平面角,其范围是 [0°,180°] . ,,b b b ββαααβ⎫⎪⊂⊂⇒⎬⎪⋂⎭a b b βγγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭九 解析几何基本知识点答案1. 对于一条与x 轴相交的直线l ,把x 轴绕交点按逆时针方向旋转到与直线l 重合时,所转过的最小正角 叫直线的倾斜角,其范围是 [0,180°) ; 已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),如果x 1≠x 2,那么2121y y k x x -=-叫直线P 1P 2的斜率,它与倾斜角α的关系是 k=tan α .2.直线方程有5种形式:① 点斜 式: y －y 1=k(x －x 1) ;② 斜截 式: y=kx+b ; ③ 两点 式:112121y y x x y y x x --=--;④ 截距 式:1x ya b+=;⑤ 一般 式: Ax ＋By ＋C ＝0 .3.已知直线l 1:y ＝k 1x ＋b 1,l 2:y ＝k 2x ＋b 2,则l 1∥l 2⇔ k 1＝k 2,且b 1≠b 2 ;l 1与l 2重合⇔ k 1＝k 2,且b 1＝b 2 ;l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2 ;l 1⊥l 2⇔ k 1·k 2=－1 ; 已知直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,则l 1∥l 2⇔111222A B C A B C =≠; l 1与l 2重合⇔111222A B C A B C ==; l 1与l 2相交⇔1122A B A B ≠;l 1⊥l 2⇔ A 1·A 2+ B 1·B 2＝0 . 4.已知直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,则方程组⎩⎨⎧=++=++0C y B x A 0C y B x A 222111 无解 时, l 1∥l 2;方程组 有无数组解 时,l 1与l 2重合;方程组 只有一组解 时,l 1与l 2相交, 这组解 就是交点坐标. 5.坐标平面上两点间距离公式中点坐标公式22 210210⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y y y x x x .6.点P(x 0,y 0)到直线l :Ax ＋By ＋C ＝0距离公式:d =;两平行直线l 1:Ax＋By ＋C 1＝0,l 2:Ax ＋By ＋C 2＝0间距离公式d =.7.圆的标准方程: (x －a)2+(y －b)2=r 2;圆的一般方程: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2－4F>0) ; 已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),以线段AB 为直径的圆方程: (x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0 .8.已知⊙C 方程f(x,y)=0,点P(x 0,y 0),则点P 在⊙C 上⇔___f(x 0,y 0)=0___;点P 在⊙C 外⇔___ f(x 0,y 0)>0____;点P 在⊙C 内⇔__ f(x 0,y 0)<0___; 9.直线和圆的位置关系.10.圆的切线:⑴点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,则过点P 的圆的切线方程:___x 0x+y 0y=r 2___; ⑵点P(x 0,y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上,则过点P 的圆的切线方程:__(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2__;⑶点P(x 0,y 0)在圆C 外,则过点P 的圆的切线有__两_条,先设出切线的__点斜式_式方程,再利用__d=r __求出切线斜率,如果只求出一个斜率值,要注意斜率不存在时的情况. 11.直线和圆相交,⑴设圆心到直线距离为d,圆的半径为r,则直线被圆截得的弦长为＿＿＿⑵斜率为k 的直线l 与曲线相交于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则12.断圆和圆的位置关系.13.⑴经过圆C 1:f(x,y)=0,圆C 2:g(x,y)=0交点的圆系方程:___f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠－1)__;⑵经过圆C 1:f(x,y)=0,圆C 2:g(x,y)=0交点的直线(即公共弦所在直线)方程: f(x,y)－g(x,y)=0_;14.空间直角坐标系中两点间距离公式中点坐标公式 222210210210⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=z z z y y y x x x .㈡ 椭圆1椭圆的第一定义: 平面上到两个定点F 1,F 2距离之和等于定长(>|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆.注:a ＞0,当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＞ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 椭圆 ; 当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 线段F 1F 2 ; 当|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＜ |F 1F 2|＝2c 时,满足条件的轨迹是 不存在 .2.椭圆的第二定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆.3.4.双曲线的第一定义: 平面上到两个定点F1,F2距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.注:a＞0,当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＜ |F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是双曲线 ;当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＝ |F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是两条射线 ;当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＞ |F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是不存在 .5.双曲线的第二定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线.6.7.抛物线的定义: 平面上到一个定点与一条定直线距离之比等于常数1的点的轨迹是抛物线.8.抛物线的标准方程和几何性质十 复数基本知识点答案1.复数的概念及分类:⑴概念:形如a ＋bi(a,b∈R)的数叫做 复数 ,其中a 与b 分别为它的 实部 和__虚部__.⑵分类:①若a ＋bi(a,b∈R)为实数,则 b=0 ,②若a ＋bi(a,b∈R)为虚数,则 b≠0 ,③若a ＋bi (a,b∈R)为纯虚数,则 a=0,b≠0 ;⑶复数相等:若复数a ＋bi ＝c ＋di(a,b,c,d∈R)⇔ a=c 且b=d ;⑷共轭复数: a ＋bi 与c ＋di 共轭(a,b,c,d∈R)⇔__a=c 且b=－d_,z 的共轭复数记作z ;2.复数的加、减、乘、除法则:设z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di(a,b,c,d∈R),则⑴加法:z 1＋z 2＝ (a ＋c)+(b ＋d)i ;⑵减法:z 1－z 2＝ (a －c)+(b －d)i ;⑶乘法:z 1·z 2＝ (ac －bd)+(ad ＋bc)i ;⑷乘方:z n＝nzzz z ; z m ·z n ＝ z m+n ;(z m )n ＝ z mn ;(z 1·z 2)n ＝ z 1n ·z 2n;⑸除法:z 1z 2＝2222()()()()a bi a bi c di ac bd ad bc i c di c di c di c d c d ++-+-==+++-++ ;3.复数的几何意义:⑴复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 , x 轴 叫做实轴, y 轴 叫做虚轴;实轴上的点表示 实数 ,除原点外,虚轴上的点都表示 纯虚数 . ⑵复数z=a+bi 都可以由复平面中的点(a,b)表示,因而复数与复平面中的点是 一一对应__关系;⑶复平面上,两个复数z 1,z 2对应的两点Z 1,Z 2间的距离| Z 1Z 2|= |z 1－z 2| .4.复数的模:向量OZ 的模叫做复数z ＝a ＋bi(a,b∈R)的 绝对值 (或 模 ),即|z|＝|a ＋bi|1－|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|;⑵|z|2＝|z ˉ|2＝|z 2|＝|z ˉ2|＝z·z ˉ; 5.常见的结论:⑴i 的运算律:i 4n ＝ 1 , i 4n+1＝ i _, i 4n+2＝ －1 , i 4n+3＝ －i ,i n ＋i n+1＋in+2＋i n+3＝ __0 ;⑵(1＋i)2＝ 2i ;(1－i)2＝ －2i ;1＋i 1－i ＝ i ;1－i 1＋i ＝ －i .⑶设ω＝－12±32i,则ω3＝ 1 ,ω2＝ω ,1＋ω＋ω2＝ 0 .十一 算法框图、概率统计基本知识点答案1.算法是指: 对一类问题机械的,统一的求解方法 .2.算法的特点:⑴ 确定性 ;⑵ 有限性 .3.流程图是 是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形 ;word 格式文档专业资料整理算法的三种基本结构有① 顺序结构 ;② 选择结构 ;③ 循环结构 .6. 一定条件下必然发生的事件 叫必然事件,用 Ω 表示; 一定条件下不可能发生的事件 叫不可能事件,用 ○／ 表示; 在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件 叫随机事件,随机事件A 的概率记作 P(A) .7. 不可能现时发生的两个事件 叫互斥事件; 两个事件必有五个发生的互斥事件 叫对立事件; 互斥事件概率的加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B) ; 特别地,若事件A 与B 是对立事件,则其概率关系为 P(A)+P(B)=1 .8.古典概型必然满足的两个条件是:⑴ 试验中所有可能出现的基本事件有有限个 ;⑵ 每个基本事件出现的可能性相同 .9.求古典概型概率的公式为: P(A) =m n. 10.几何概型必然满足的两个条件是:⑴ 试验中所有可能出现的基本事件有无限个 ;⑵ 每个基本事件出现的可能性相同 .11.求几何概型概率的公式为: P(A) =d 的测度D 的测度.。

2016届艺术生高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . （3A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.（4）集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([xgfy=分解为基本函数：内函数)(xgu=与外函数)(ufy=②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

高三艺术班数学知识点汇总随着高三学业压力逐渐增大，高三艺术班的学生也需要掌握一定的数学知识点，以应对高考的挑战。

本文将对高三艺术班需要掌握的数学知识点进行汇总和总结，帮助大家更好地备考。

一、代数与函数1. 一次函数概念及其性质2. 二次函数的图像、性质和应用3. 指数函数与对数函数4. 多项式函数的图像与性质5. 三角函数的基本概念与性质6. 线性规划的基本概念和解法7. 集合与命题的基本概念二、几何与向量1. 平面几何的基本概念和性质2. 平面向量的基本概念和运算3. 平面向量的线性相关性与线性无关性4. 平面向量的数量积与向量积5. 解析几何的基本概念和性质6. 空间几何的基本概念和性质7. 空间向量的基本概念和运算三、数与数列1. 实数的基本性质和分类2. 数列的定义和基本性质3. 数列的极限与收敛性4. 数列的通项公式与递推公式5. 等差数列与等比数列的性质和求和公式6. 一些常见的数学问题的数列应用四、概率与统计1. 随机事件与概率的基本概念2. 概率的计算方法和性质3. 条件概率与独立事件4. 排列与组合的基本概念和计算方法5. 统计样本与抽样调查6. 统计图表的制作与分析7. 正态分布的基本概念和应用五、数学建模1. 数学建模的基本方法和步骤2. 选择适当的数学模型进行建模3. 运用数学方法解决实际问题4. 数据分析与结果验证5. 模型的评价与改进综上所述，高三艺术班学生需要掌握的数学知识点包括代数与函数、几何与向量、数与数列、概率与统计以及数学建模等方面。

通过系统的学习和练习，加强对这些知识点的理解和掌握，相信大家能够在高考中取得优异的成绩。

祝愿大家学业顺利，实现自己的艺术与数学双重梦想！。

高中数学基础知识扫描含答案
引言
在高中数学学习中，建立扎实的数学基础知识是非常重要的。

本文将对高中数学中一些基础知识进行扫描，包括常见的算术运算、代数方程、几何形状等内容，并附有相应的答案供参考。

算术运算
四则运算
1.计算：$5 + 3 \\times 2$
–答案：11
2.计算：$7 - (4 \\div 2)$
–答案：5
分数运算
1.计算：$\\frac{2}{3} + \\frac{1}{4}$
–答案：$\\frac{11}{12}$
2.计算：$\\frac{5}{6} - \\frac{2}{9}$
–答案：$\\frac{13}{18}$
代数方程
一元一次方程
1.解方程：2x+5=11
–答案：x=3
2.解方程：3(x−2)=7
–答案：x=3
一元二次方程
1.解方程：x2−5x+6=0
–答案：x=2,x=3
2.解方程：2x2+7x+3=0
–答案：$x = -3, x = -\\frac{1}{2}$
几何形状
三角形
1.已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边长。

–答案：5
2.已知等边三角形的一条边长为6，求周长。

–答案：18
圆
1.已知圆的半径为5，求圆的面积。

–答案：$25\\pi$
2.已知圆的周长为$10\\pi$，求圆的半径。

–答案：5
结语
通过本文的高中数学基础知识扫描，希望能够帮助读者复习和巩固相关知识，提高数学学习的效果。

持续不断地练习和总结才能在数学学科中取得更好的成绩。

学有余力，才能玩得更开心！。

专题1集合与常用逻辑测试题命题报告:1.高频考点:集合的运算以及集合的关系，集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇，逻辑用语重点考查四种命题的关系，充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。

2.考情分析:高考主要以选择题填空题形式出现，考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇，题目一般属于容易题。

3.重点推荐:9题，创新题，注意灵活利用所给新定义进行求解。

一．选择题（共12小题，每一题5分）1．集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】:B={（1，1），（1，2），（2，1）}；-=:．故选:C．∴B的真子集个数为32172已知集合M=，则M∩N=（）A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|1≤x＜6} C．{x|﹣3≤x＜6} D．{x|﹣2≤x≤6} 【答案】:B【解析】y=x2﹣2x﹣2的对称轴为x=1；∴y=x2﹣2x﹣2在x∈（2，4）上单调递增；∴﹣2＜y＜6；∴M={y|﹣2＜y＜6}，N={x|x≥1}；∴M∩N={x|1≤x＜6}．故选:B．3已知集合A={x|ax﹣6=0}，B={x∈N|1≤log2x＜2}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是（）A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{0，2，3}【答案】:D【解析】B={x∈N|2≤x＜4}={2，3}；∵A∪B=B；∴A⊆B；∴①若A=∅，则a=0；②若A≠∅，则；∴，或；∴a=3，或2；∴实数a所有值构成的集合为{0，2，3}．故选:D．4（2018秋•重庆期中）已知命题p:∀x∈R，x2﹣x+1＞0，命题q:若a＜b，则＞，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∨（￢q）【答案】:D【解析】命题p:∀x∈R，x2﹣x+1＞0，∵x2﹣x+1=+＞0恒成立，∴p是真命题；命题q:若a＜b，则＞，当a＜0＜b时，不满足＞，q是假命题；∴￢q是真命题，￢q是假命题，则（￢p）∨（￢q）是真命题，D正确．故选:D．5. （2018 •朝阳区期末）在△ABC中，“∠A=∠B“是“acosA=bcosB”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】:A6. （2018•抚州期末）下列有关命题的说法错误的有（）个①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0③对于命题p:∃x∈R，使得x2+x+1＜0则:￢p:∀x∈R，均有x2+x+1≥0A．0 B．1 C．2 D．3【答案】:B【解析】①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，不正确，因为两个命题中，由一个是假命题，则p∧q为假命题，所以说法错误．②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0，满足逆否命题的定义，正确；③对于命题p:∃x∈R，使得x2+x+1＜0则:￢p:∀x∈R，均有x2+x+1≥0，符号命题的否定形式，正确；所以说法错误的是1个．故选:B．7（2018•金安区校级模拟）若A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}，B={x∈R|log2x＜1}，则A∩（∁R B）中的元素有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】:B【解析】A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}={x∈Z|1≤2﹣x＜3}={x∈Z|﹣1＜x≤1}={0，1}，B={x∈R|log2x＜1}={x∈R|0＜x＜2}，则∁R B={x∈R|x≤0或x≥2}，∴A∩（∁R B）={0}，其中元素有1个．故选:B．8（2018•大观区校级模拟）已知全集U=R，集合，N={x|x2﹣2|x|≤0}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1] C．[﹣2，0）∪（1，2] D．[﹣2，0]∪[1，2]【答案】:B【解析】∵全集U=R，集合={x|x＞1}，N={x|x2﹣2|x|≤0}={x|或}={x|﹣2≤x≤2}，∴C U M={x|x≤1}，∴图中阴影部分所表示的集合为N∩（C U M）={x|﹣2≤x≤1}=[﹣2，1]．故选:B．9.设集合S n={1，2，3，…，n}，X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量是奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集，若n=3，则S n的所有偶子集的容量之和为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】:D【解析】由题意可知:当n=3时，S3={1，2，3}，所以所有的偶子集为:∅、{2}、{1，2}、{2，3}、{1，2，3}．所以S3的所有偶子集的容量之和为0+2+2+6+6=16．故选:D．10. （2018•商丘三模）下列有四种说法:①命题:“∃x∈R，x2﹣3x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣3x+1＜0”；②已知p，q为两个命题，若（￢p）∧（￢q）为假命题，则p∨q为真命题；③命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题；④数列{a n}为等差数列，则“m+n=p+q，m，n，p，q为正整数”是“a m+a n=a p+a q”的充要条件．其中正确的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】:C11.（2018•嘉兴模拟）已知函数f（x）=x2+ax+b，集合A={x|f（x）≤0}，集合，若A=B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，5] C．D．[﹣1，3]【思路分析】由题意可得b=，集合B可化为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围．【答案】:A【解析】设集合A={x∈R|f（x）≤0}={x|x2+ax+b≤0}，由f（f（x））≤，即（x2+ax+b）2+a（x2+ax+b）+b﹣≤0，②A=B≠∅，可得b=，且②为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，可得a2﹣4×≥0且a2﹣4（a+）≤0，即为，解得≤a≤5，故选:A．12.( 2018•漳州二模）“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]:A【解析】∵方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根有7个，则方程ax+axcosx﹣sinx=0也应该有7个根，由方程ax+axcosx﹣sinx=0得ax（1+cosx）﹣sinx=0，即ax•2cos2﹣2sin cos=2cos（axcos﹣sin）=0，则cos=0或axcos﹣sin=0，则x除了﹣3π，﹣π，π，3π还有三个根，由axcos﹣sin=0，得axcos=sin，即ax=tan，由图象知a≤0时满足条件，且a＞0时，有部分a是满足条件的，故“a≤0”是“关于x 的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的充分不必要条件，故选:A．（2）设命题p:“函数y=2f（x）﹣t在（﹣∞，2）上有零点”，命题q:“函数g（x）=x2+t|x ﹣2|在（0，+∞）上单调递增”；若命题“p∨q”为真命题，求实数t的取值范围．【思路分析】（1）方程f（x）=2x有两等根，通过△=0，解得b；求出函数图象的对称轴．求解a，然后求解函数的解析式．（2）求出两个命题是真命题时，t的范围，利用p∨q真，转化求解即可．【解析】:（1）∵方程f（x）=2x有两等根，即ax2+（b﹣2）x=0有两等根，∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2；∵f（x﹣1）=f（3﹣x），得，∴x=1是函数图象的对称轴．而此函数图象的对称轴是直线，∴，∴a=﹣1，故f（x）=﹣x2+2x……………………………………………（6分）（2），p真则0＜t≤2；；若q真，则，∴﹣4≤t≤0；若p∨q真，则﹣4≤t≤2．……………………………………………（12分）21. （2018春•江阴市校级期中）已知集合A={x|≤0}，B={x|x2﹣（m﹣1）x+m﹣2≤0}．（1）若A∪[a，b]=[﹣1，4]，求实数a，b满足的条件；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【思路分析】本题涉及知识点:分式不等式和含参的一元二次不等式的解法，集合的并集运算．22. （2018•南京期末）已知命题p:指数函数f（x）=（a﹣1）x在定义域上单调递减，命题q:函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R．（1）若q是真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．【思路分析】（1）若命题q是真命题，即函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R，对a 分类讨论求解；（2）求出p为真命题的a的范围，再由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q 一真一假，然后利用交、并、补集的混合运算求解．【解析】:（1）若命题q是真命题，则有:①当a=0时，定义域为（﹣∞，0），不合题意．②当a≠0时，由已知可得，解得:a＞，故所求实数a的取值范围为（，+∞）；…………6分（2）若命题p为真命题，则0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q一真一假．若p为真q为假，则，得到1＜a≤，若p为假q为真，则，得到a≥2．综上所述，a的取值范围是1＜a≤或a≥2．………………12分专题2函数测试题命题报告:3.高频考点:函数的性质（奇偶性单调性对称性周期性等），指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质，函数的零点与方程根。

高三艺术生数学知识点在高三阶段，作为艺术生的学生们需要加强对数学知识点的掌握，以应对高考数学的考试要求。

以下是一些高三艺术生需要重点复习的数学知识点。

1. 高中数学基础知识回顾在开始复习高三数学知识点之前，艺术生需要回顾和巩固高中数学的基础知识，包括数列、函数、图形的性质、三角函数、概率等内容。

2. 复数与向量复数是艺术生需要重点关注的数学知识点之一，包括复数的定义、运算法则、共轭复数以及与实数的关系。

此外，向量也是需要掌握的重要内容，涉及向量的表示方法、运算法则、数量积和向量积等。

3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的重点内容，艺术生需要重点关注函数的性质、图像与变化规律、三角函数的图像与性质。

同时，导数的概念、性质、常用函数的导数以及导数的应用也是需要掌握的内容。

4. 三角函数与解三角形艺术生需要熟悉三角函数的定义、性质、常用角的三角函数值以及三角函数的图像与变化规律。

此外，解三角形的方法、定理等也需要重点复习。

5. 数列与数学归纳法数列是高考数学中的常考点，艺术生需要熟悉数列的定义、性质、通项公式、数列的极限以及等差数列、等比数列等特殊数列的特点。

同时，数学归纳法作为证明数列等式的重要方法也需要掌握。

6. 概率与统计概率与统计是高考数学考试中的一大模块，艺术生需要掌握概率的基本概念、性质，包括事件的计算、概率的计算、条件概率以及排列组合等内容。

同时，统计学的基本概念、统计量的计算、直方图、折线图、频率分布表等图表的解读也需要重点复习。

7. 解析几何解析几何是高考数学中的难点之一，艺术生需要熟悉平面直角坐标系、曲线的方程与性质、直线与圆的相交情况、双曲线与抛物线等内容。

8. 数学证明数学证明是高考数学考试中的重要环节，艺术生需要掌握证明的基本方法与思路，包括直接证明、间接证明、递推证明、反证法等常用证明方法。

总之，高三艺术生在备战高考数学中，需要全面复习数学的基础知识，并重点关注复数与向量、函数与导数、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法、概率与统计、解析几何以及数学证明等知识点。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像在x轴上有一个零点，这个零点为（）。

A. -1B. 0C. 1D. 22. 下列各式中，正确的是（）。

A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanαtanβD. cot(α + β) = cotαcotβ3. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an为（）。

A. 25B. 28C. 31D. 344. 下列各图中，等边三角形ABC的边长为a，则其外接圆半径R为（）。

A. a/√3B. √3a/3C. √3aD. a√35. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|^2等于（）。

A. 13B. 25C. 9D. 46. 下列各函数中，单调递减的是（）。

A. y = 2x - 1B. y = -2x + 1C. y = 2x^2D. y = -2x^27. 已知直角三角形ABC中，∠A = 90°，∠B = 30°，则BC的长度为（）。

A. √3B. 2C. 1D. √28. 下列各数中，有理数是（）。

A. √2B. πC. √3D. √(-1)9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)等于（）。

A. 1B. 0C. 3D. -110. 下列各式中，恒等式是（）。

A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 + b^2 = (a - b)^2C. a^2 + b^2 = 2abD. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。

12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(-1) = _______。

2018年艺体生全套复习资料高中数学集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 。

（2）集合与元素的关系用符号⊆∈, 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N * 、 N + ；整数集 Z ；有理数集 Q 、实数集 R 。

（4）集合的表示法:列举法，描述法，符号法（数轴法，韦恩图法）注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xy z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）A ⋂B={ x| x ∈A且x ∈B} A ⋃B={ x| x ∈A 或x ∈B}； C I A={ x| x ∈ I 且x ∉A }（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A =；A B B A =；B A B A ⊆；②=A B A A ⊆B ；=A B A B ⊆A ；⇔=U B A C U A ⋃B=；⇔=φB A C U A ⋂B=U ；③=B C A C U U )(B A C U ⋃; B C A C U U ⋃)(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n 2K,(k Z ∈)；若n 为奇数，则=n 2k+1, (k Z ∈)；②若n 被3除余0，则=n 3k, (k Z ∈)；若n 被3除余1，则=n 3k+1(k Z ∈)；若n 被3除余2，则=n 3k+2(k Z ∈)；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2n -1，所有非空真子集的个数是2n -2。