12．9 一元线性回归
以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。一元线性回归问题主要分以下三个方面：
（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。
（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。
12．9．1 一元线性回归方程
1．散点图与回归直线
在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y与普通变量x之间的关系。通过试验，可得到x、y的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠（NaNO3）的溶解度试验中，测得在不同温度x（℃）下，溶解于100份水中的硝酸钠份数y的数据如下：
xi 0 4 10 15 21 29 36 61 68
yi 66．7 71．0 76．3 80．6 85．7 92．9 99．4 113．6 125．1
给出散点图并试建x与y的经验公式。
解 将每对观察值（xi，yi）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x与y之间的关系，这条直线的方程就叫做y对x的一元线性回归方程。设这条直线的方程为yˆ=a+bx
其中a、b叫做回归系数（yˆ表示直线上y的值与实际值yi不同）。
图12.11
下面是怎样确定a和b，使直线总的看来最靠近这几个点。
2．最小二乘法与回归方程
在一次试验中，取得n对数据（xi，yi），其中yi是随机变量y对应于xi的观察值。我们所要求的直线应该是使所有︱yi－yˆ︱之和最小的一条直线，其中iyˆ=a+bxi。由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a、b的值使Q=21)ˆ(iniiyy最小。利用多元函数求极值的方法求回归系数aˆ、bˆ，得xxxyLLbxbyaˆˆˆ 其中 x=niixn11，
8.2.1一元线性回归模型 教学设计
一、课时教学内容
本节的主要内容是一元线性回归模型，它是线性回归分析的核心内容，也是后续研究两变量间的相关性有关问题的基础.通过散点图直观探究分析得出的直线拟合方式不同，拟合的效果就不同，它们与实际观测值均有一定的偏差.在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程中，解决用数学方法刻画从整体上看各观测点到拟合直线的距离最小的问题，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于他们更好地理解核心概念“经验回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值.
就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽.了解最小二乘法思想，将其与各种估算方法进行比较，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又是在体会此思想的过程中促进学生对核心概念进一步理解的需要.最小二乘法思想作为本节课的核心思想，由此得以体现，而回归思想和贯穿统计学科的随机思想，也是本节课需要渗透的.
二、课时教学目标
1. 结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义
2. 了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.
3. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
三、教学重点、难点
1．教学重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法.
2．难点：回归模型与函数模型的区别，随机误差产生的原因与影响.
四、教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
问题1如何求经验回归方程？
提示：求经验回归方程的一般步骤如下：
(1)画出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系；
(2)当两变量具有线性相关关系时，求系数的最小二乘估计书"，写出经验回归方程；
(3)进行残差分析，分析模型的拟合效果，不合适时，分析错因，予以纠正.
一元线性回归方程
一元线性回归方程:当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。一元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系
一元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系，当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。经过相关分析后，在直角坐标系中将大量数据绘制成散点图，这些点不在一条直线上，但可以从中找到一条合适的直线，使各散点到这条直线的纵向距离之和最小，这条直线就是回归直线，这条直线的方程叫作直线回归方程。
注意：一元线性回归方程与函数的直线方程有区别，一元线性回归方程中的自变量X对应的是因变量Y的一个取值范围。
1. 根据提供的n对数据在 直角坐标系中作 散点图，从直观上看有无成直线分布的趋势。即两变量具有直线关系时，才能建立一元线性回归方程。
2. 依据两个变量之间的数据关系构建直线回归方程：Y=a+bx。
简单线性回归（Simple linear regression）也称为一元线性回归，是分析一个自变量（x）与因变量（y）之间线性关系的方法，它的目的是拟合出一个线性函数或公式来描述x与y之间的关系。
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析是一种用于研究变量之间相互关系的统计分析方法。它旨在在一组数据中，以一个线性方程的式子去拟合变量之间的关系。借此，分析一个独立变量（即自变量）和一个取决变量（即因变量）之间的关系，求出最合适的回归系数。一元线性回归分析可以用来发现和描述变量之间的复杂方程式，用来估计参数，以及构建预测模型。
具体而言，一元线性回归分析指的是自变量和因变量之间有线性关系的回归分析。也就是说，自变量和因变量均遵从一元线性方程，也就是y=βx+α，其中y为因变量，x为自变量，β为系数，α为常数。通过一元线性回归分析可以精确的定义出变量之间的关系，从而可以得出最佳的回归系数和常数，并估计每个参数。
一元线性回归分析用于研究很多方面，例如决策科学、经济学和政治学等领域。例如，在政治学研究中，可以使用一元线性回归分析来分析政府的软性政策是否能够促进社会发展，以及社会福利是否会影响民众的投票行为。在经济学研究中，则可以使用一元线性回归分析来检验价格是否会影响消费水平，或检验工资水平是否会影响经济增长率等。
总结而言，一元线性回归分析是一种有效的研究变量之间关系的统计分析方法，精确地检验独立变量和取决变量之间的关系，从而求得最合适的回归系数和常数，并用该回归方程式构建预测模型，为决策提供参考。
