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第四章 多元线性回归分析

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财经-财务会计专业计量经济学-第四章多元线性回归分析课件

财经-财务会计专业计量经济学-第四章多元线性回归分析课件

两变量回归决定系数的公式
ei2
R 2 1
i
Yi Y 2
i
调整的决定系数
R 2 1 n 1 1 R2 1 n 1
n K 1
n K 1
ei2
i
Yi Y 2
i
10
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化和误差方差估计 二、统计推断和检验 三、预测
11
一、参数估计量的标准化
13
（一）单个参数的置信区间
给定置信度要求，下面的不等式应该成立：
tk
bk k
2
XX
1 k 1,k 1
t 2
因此参数 k 置信度为 1 的置信区
间（或称区间估计）为：
bk t 2
S2
XX
1 k 1,k 1
k
bk
t 2
S2
XX
1 k 1,k 1
14
（二）参数的显著性
第4章
多元线性回归分析
1
第一节 多元线性回归模型 第二节 多元线性参数估计 第三节 参数估计量的性质 第四节 回归拟合度评价和决定系数 第五节 统计推断和预测
2
第一节 多元线性回归模型
一、模型的建立 二、模型的假设 三、多元线性回归模型的矩阵表示
3
一、模型的建立
模型形式
Y 0 1X1 K X K K 2
解释变量都是确定性的而非随机变量， 而且解释变量之间不存在线性关系
i 服从正态分布
5
第二节 多元线性回归参数估计
一、最小二乘估计 二、最小二乘估计的向量、矩阵形式 三、最大似然估计 四、投资函数模型参数估计
6
一、最小二乘估计
样本回归方程

计量经济学课程第4章(多元回归分析)

计量经济学课程第4章(多元回归分析)
Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS

N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1

2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2


2，
0
HA :

2


2 0

第四章 线性回归分析

第四章 线性回归分析
Y 0 1Z1 2 Z2 3Z3 k Zk
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,

(整理)第四章 多元线性回归模型

(整理)第四章 多元线性回归模型

第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。

但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。

当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。

本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。

一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。

为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。

将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。

定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。

第四章多元线性回归分析

第四章多元线性回归分析

21
三、离回归标准误 在简单线性回归分析中，我们知道用Sy/x可以用来 反映回归方程估测精确度，在多元线性回归分析中也同 样可用离回归标准误反映回归方程的估测精确度。
Sy/x
Q dfQ
2 ˆ ( y y )
n2
简单线性回归
S y /1, 2,m
多元线性回归方程
一、多元线性回归的数学模型 设有m个自变数，以变数为y，共有n组实际观测数据，则 可以整理为表1。假如y与x1、x2、…… xm之间存在线性关系， 则m元线性回归模型为：
y j y / x1 , x2 xm j
y j 1x1 j 2 x2 j m xmj j
1
16 b1 4 b 2 25 b 3
15
1. 先将相关数据填入表2的算阵A；
2. 计算算阵B的各数值：计算方法分两种： （1）主对角线及其以下各Bij值：
Bij Aij Bi. B. j
(2)主对角线以上各Bij值
7
在回归模型中：α为x1、x2、…xm皆取0时的y总体的
理论值；βi为在其它自变数x固定时xi对y的偏回归系数，
例如β1表示x2、x3、…xm皆保持一定时，x1每增加一个单
位对y总体的的平均效应，叫做x2、x3、…xm固定时,x1对y 的偏回归系数，其余同； y / x1 , x2 ,xm 为y依x1、x2、…xm 的条件总体平均数（简写作 y / 1, 2,m ）；εj为m元随机
依变数依两个或两个以上自变数的回归叫多元回
归或复回归（multiple regression）。
2
多元回归有多种类型（如多元线性回归、
多元非线性回归、正交多元回归等），而其中 最简单、常用、具有基础性质的是多元线性回 归分析。 多元线性回归分析的思想、方法和原理与 简单线性回归分析基本相同，但会涉及一些新 概念及更细致的分析，尤其是计算要繁杂些， 当自变数较多时可借助计算机进行计算。

第四讲多元回归分析(共72张PPT)

第四讲多元回归分析(共72张PPT)
第四讲多元回归分析?多元线性回归分析逐步回归分析?逐步回归分析定性指标的相关分析?多对多的回归分析第一节多元线性回归分析?回归分析概论?回归分析的功能及涵义?回归分析的研究思路和步骤?回归分析的内容体系?多元线性回归模型?模型中参数的估计?回归方程以及回归系数的显著性检验?回归模型的变量子集合的选择回归变量的选择回归分析概论?回归分析的功能及涵义?回归分析是研究一个变量即应变量或多个变量对于一个或多个其他变量即解释变量的依存关系并用数学模型加以模拟目的在于根据已知的或在多次重复抽样中固定的解释变量之值估计预测因变量的总体平均值
引入或剔除变量的依据
• 依据是偏回归平方和 逐步回归分析是按照各自变量对因
变量作用显著程度大小来决定其是否引 入还是剔除。用于衡量各自变量对因变 量作用大小的量是它们对因变量的“贡 献”，即偏回归平方和。
逐步回归方程的矩阵变换计算法
计算量大，且由于某个因子的引入使变得不显著的其他因子仍然留在方程中。 “逐步引入法”（原理、局限性） 建立“最优”回归方程的方法 属于多元统计分析方法之一。 利用回归方程进行预测。 对回归方程、参数估计值进行显著性检验。 从一个因子开始，逐个引入回归方程，因子引入后概不剔除。 回归分析的研究思路和步骤 回归分析方法又称因素分析方法、经济计量模型方法。 利用回归方程进行预测。
回归模型的变量子集合的选择（回 归变量的选择）
第二节 逐步回归分析
• 逐步回归分析的原理 • 引入或剔除变量的依据 • 逐步回归方程的矩阵变换计算法 • 具体实例以及计算步骤 • 计算机软件应用举例
逐步回归分析的原理
“最优”回归方程的选择
所谓“最优”的含义：回归方程中包含所有对y影响比较显著 的变量，而不包括对y影响不显著的变量的回归方程。 必要性：用于预测、控制

第4章多元线性回归分析

第4章多元线性回归分析

4.2.1回归系数估计
结论
4.2 多元线性回归模型参数估计
结论1： OLS估计的一致性 ˆj 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 为一致估计，即
ˆ , j 0, 1, 2, , k p limn j j
结论2： OLS估计的无偏性 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 ˆj 为无偏估计： ˆ ) , j 0, 1, , k E( j j
4.9 自变量共线性 重要概念Biblioteka 4.1 多元线性回归模型设定
模型设定：
假设1（零条件均值:zero conditonal mean）
给定解释变量，误差项条件数学期望为0，即
E(u | X1 , X 2 ,, X k ) 0
Y 0 1 X1 2 X 2 k X k u
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项 4.8.2 假设条件的放松（二）—异方差 4.8.3 假设条件的放松（三）—非随机抽 样和序列相关 4.8.4 假设条件的放松（四）—内生性
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项
• 去掉假设5不影响OLS估计的一致性、无偏性和渐 近正态性。 • 不能采用t-检验来进行参数的显著性检验，也不能 用F检验进行整体模型检验。 • 大样本情况下，t统计量往往服从标准正态分布 （在原假设下）。
…
xk ( X k1 , X k 2 ,, X kn )
假设2’（样本无共线性:no colinearity）
不存在不全为零的一组数 c0 , c1,, ck使得
c0 c1x1 xk 0
4.2 多元线性回归模型参数估计

多元线性回归分析简介

多元线性回归分析简介
ˆ j 表示 j , j 0,1, , p 的估计值。
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：

多元线性回归分析

多元线性回归分析

多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。

它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。

本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。

在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。

具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。

通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。

多元线性回归分析的第一步是建立模型。

我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。

在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。

同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。

建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。

回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。

通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。

拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。

模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。

回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。

而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。

解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。

如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。

接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。

此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。

标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。

另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。

R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。

但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。

多元线性回归分析

多元线性回归分析

多元线性回归分析多元线性回归分析是一种使用多个自变量来预测因变量的统计方法。

它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。

在这篇文章中，我们将讨论多元线性回归的基本概念、假设和模型，以及如何进行参数估计、模型拟合和预测。

Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε在这个方程中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。

假设1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。

2.独立性：样本数据是独立采样的。

3.多重共线性：自变量之间不存在高度相关性。

4.正态分布：误差项服从正态分布。

5.同方差性：误差项的方差是常数。

参数估计为了估计回归系数，我们使用最小二乘法来最小化残差平方和。

残差是观测值与模型估计值之间的差异。

最小二乘法的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值的残差平方和最小化。

模型拟合一旦估计出回归系数，我们可以使用它们来拟合多元线性回归模型。

拟合模型的目标是找到自变量的最佳线性组合，以预测因变量的值。

我们可以使用拟合后的模型来预测新的观测值，并评估模型的拟合程度。

预测在实际应用中，多元线性回归模型可以用于预测因变量的值。

通过给定自变量的值，我们可以使用估计的回归系数来计算因变量的预测值。

预测值可以帮助我们了解自变量对因变量的影响，并作出决策。

总结多元线性回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。

在进行多元线性回归分析时，我们需要考虑模型的假设，进行参数估计和模型拟合，并使用拟合后的模型进行预测。

通过多元线性回归分析，我们可以获得有关变量之间关系的重要见解，并为决策提供支持。

第四章 回归分析

第四章 回归分析
第四章 回归分析
•反映客观现象之间的联系的数量关系有两种,确定性关系和不 确定性关系. •确定性关系常用函数描述,不确定性关系也称为相关关系,常 用回归分析处理. •确定性关系和不确定性关系在一定条件下互相转换.
4.1 概述 •不确定性关系中作为影响因素的称自变量,用X 表示,是可以控 制的,受X 影响的响应变量称为因变量,用Y 表示,是可以观测的.
n
lxx
14
结束
于是有: 2 (x) ˆ u1 / 2 ,
Y0的1置信区间为yˆ0 ˆ u1 / 2 , yˆ0 ˆ u1 / 2
取 0.05时 : u1 / 2 1.96, Y0的1 置信区间为:
yˆ0 1.96ˆ , yˆ0 1.96ˆ yˆ0 2ˆ , yˆ0 2ˆ
yˆ0 y0
ˆ s1 ( x0 )
~
t (n 2),
其中: s1 ( x0 )
1 ( x0 x )2 ,
n
lxx
ˆ 2
S
2 E
/(n
2),
S
2 E
lyy
S
2 R
,
S
2 R
ˆ12lxx.
12
结束
P T1 t1 / 2 (n 2), 1 ,
P yˆ0 1( x0 ) y0 yˆ0 1( x0 ) 1 ,
r 2
S R2 ST2
n
ˆ12 l xx
( yi y)2
l xy l xx
2
l xx l yy
l
2 xy
,取R
l xx l yy
i 1
Lxy . Lxx Lyy
据性质4.2.5,
0
r
1,
r

多元线性回归方程

多元线性回归方程
Analyze->Regression-> Binary Logistic Dependent: ln_yesno Covariates: age, time,pathscat,pathsize, histgrad
比较有用的结果：在Variables in Equation表中的各变量的系数（B），可以写 出z=-0.86-0.331pathscat+0.415pathsize –0.023age+0.311histgrad。 根据回归模型公式Prob(event)=1/(1+e-z)，就可以计算一名年龄为60岁、 pathsize为1、histgrad为1、pathscat为1的患者，其淋巴结中发现癌细胞的 概率为1/(1+e-(-1.845))=0.136
根据回归系数表，可以写出回归模型公式中的z。然后根据回归模型公式 Prob(event) 进行预测。
4.3.3二项逻辑回归(Binary Logistic)实例
实例P255 Data11-02 ：乳腺癌患者的数据进行分析， 变量为：年龄age,患病时间time,肿瘤扩散等级 pathscat（3种）, 肿瘤大小pathsize, 肿瘤史histgrad （3种）和癌变部位的淋巴结是否含有癌细胞ln_yesno， 建立一个模型，对癌变部位的淋巴结是否含有癌细胞 ln_yesno的情况进行预测。
Ln(Y)=b0+b1 / t Ln(Y)=ln(b0)+b1t
Ln(Y)=ln(b0)+b1ln(t) Ln(1/Y-1/u)=ln(b0+ln(b1)t)
4.2.3 曲线估计(Curve Estimation)分析实例
实例P247 Data11-01 ：有关汽车数据，看mpg(每加 仑汽油行驶里程)与weight(车重)的关系

第4章多元线性回归模型

第4章多元线性回归模型
4、当误差项服从正态分布时，参数检验可 用t分布。因为对于j=1,2,…,k有
ˆ j பைடு நூலகம் j s ˆ
j
~ t Nk
ˆ ˆ ˆ 这是因为Var( )=E( -β )( -β )’，而
ˆ (xx)1 xy (xx)1 x(x ) (xx)1 x ˆ 所以 Var() E[(xx)1 x][(xx)1 x] E[(xx)1 xx(xx)1 ]
RSS R T SS
2
(Yi Y) 2 ˆ
( Y Y)
i
2
1
( Y Y)
i
i2 ˆ
2
第4章 多元线性回归模型
3、调整的R2，记
R 1
2
与R2关系
( Y Y)
i
2
i2 /( N k ) ˆ
2
/( N 1)
N 1 R 1 (1 R ) Nk
x)1 xE()x(xx)1 2 (xx)1 (x
第4章 多元线性回归模型
ˆ ) 2 (xx)1 即 Var ( 对二元线性回归模型有 x 1 x x x ) (x x x x x x (1 r
第4章 多元线性回归模型
§4.2 回归统计量 1、高斯-马尔可夫定理 在多元回归模型假设1~5成立的条件下，β ˆ 的最小二乘(LS)估计 ，也是它的最小方差 线性无偏估计。 2、当误差项服从正态分布时，最小二乘估 计也是极大似然估计。以一元为例，对应的 似然方程为：
1 1 N 1/ 2 2 ln L N ln ln(2) 2 ( yi x i) 2 2 i 1
第4章 多元线性回归模型
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C11C12 C1m SP 1y b1 C C C SP b 2y 2m 21 22 2 C m1C m 2 C mm my SP bm
13
关于求系数矩阵逆阵的方法有多种。现举一简单例示 之。有一方程组如下，试求b1、b2、b3。
得到其系数矩阵的逆矩阵为：
C11C12 C13 0.001187 0.000040 0.000403 0.000040 0.001671 0.005410 C C C C 21 22 23 0.000403 0.005410 0.089707 C 31C 32 C 33
1
16 b1 4 b 2 25 b 3
15
1. 先将相关数据填入表2的算阵A；
2. 计算算阵B的各数值：计算方法分两种： （1）主对角线及其以下各Bij值：
Bij Aij Bi. B. j
(2)主对角线以上各Bij值
7
在回归模型中：α为x1、x2、…xm皆取0时的y总体的
理论值；βi为在其它自变数x固定时xi对y的偏回归系数，
例如β1表示x2、x3、…xm皆保持一定时，x1每增加一个单
位对y总体的的平均效应，叫做x2、x3、…xm固定时,x1对y 的偏回归系数，其余同； y / x1 , x2 ,xm 为y依x1、x2、…xm 的条件总体平均数（简写作 y / 1, 2,m ）；εj为m元随机
上述方程中的a值在此无生物学意义。B1表示在胴体长
和膘厚均固定时，眼肌面积每增加1cm2，瘦肉量平均增加
0.1282kg，例如若胴体长为100cm，膘厚为3cm，则 有
ˆ 12.1617 0.1282x1 y
；同理，b2表示在眼肌面积和膘厚固
定时，胴体长每增加1cm，瘦肉量平均增加0.0617kg， b3 表示在眼肌面积和胴体长固定时，膘厚每增加1cm，瘦肉 量平均减少0.5545kg。
.4530 SP 3. SP 1 y 114 12 40.6832 SP 23 45.1511 SP 13 6.2594
SP 2 y 76.2799
SP 3 y 11.2966
18
846.2281 b1 40.6832 b2 6.2594 b3 114.4530 40.6832 b1 745.6041 b2 45.1511 b3 76.2799 6.2594 b1 45.1511 b2 13.8987 b3 11.2966
2 误差 ，仍假定遵循 N (0, y 。 / 1, 2,m )
8
二、多元线性回归方程的建立
仍采用的是“最小平方法”，即离回归平方和最小。
Q ( y j y j ) 2 最小
j 1 n
Q （y - a - b1 x1 b 2 x 2 b m x m ) 2 最小
19
将上述各偏回归系数带入回归截距公式可得：
a 14.8722 0.1282 25.7002 0.0617 94.4343 0.5545 3.4344
=7.6552，
因而得回归方程：
ˆ 7.6552 0.1282x1 0.0617x2 0.5545x3 y
我们知道，简单线性回归分析是依变数y在一个 自变数x上的回归。然而在许多实际问题中，影响依 变数的自变数往往不只是一个，而是多个。因此，在 研究工作初期，为了简化头绪，“逐个击破”，进行 一元回归分析是非常必要的，但在进一步研究时，必 须进行综合研究，即将多个和反应量（依变数y）有 关的自变数综合起来研究。
对于样本：
y j a b1x1 j b2 x2 j bm xmj e j
6
表1
多元线性回归资料整理表 自变数 x 依变数 y
组数
x1
x2
… … …
xm
1
2
x11
x12
x21
x22
… … …
… … …
xm1
xm2
y1
y2
┇
n
┇
x1n
┇
x2n
┇
… … … xmn
┇
yn
( i=1,2, … m ；j=1,2, … n )
SP 12 SS2 SP 23
SP 1 0 0 13 0 1 0 SP 23 SS3 0 0 1
由上述关系可解得高斯乘数Cij，然后代入下式即可
bi Ci1SP 1 y Ci 2 SP 2 y Cim SP im
若用矩阵表达，即为：
依变数依两个或两个以上自变数的回归叫多元回
归或复回归（multiple regression）。
2
多元回归有多种类型（如多元线性回归、
多元非线性回归、正交多元回归等），而其中 最简单、常用、具有基础性质的是多元线性回 归分析。 多元线性回归分析的思想、方法和原理与 简单线性回归分析基本相同，但会涉及一些新 概念及更细致的分析，尤其是计算要繁杂些， 当自变数较多时可借助计算机进行计算。
3
多元回归分析的基本任务有： 1. 确定各自变数对某一依变数的各自效应，即分别计
算出任一自变数（在其它自变数保持一定时）对依变数
的效应,此效应叫偏回归系数（partial regression coefficient）。 2. 建立由各个自变数描述和预测依变数的多元回归方 程，即确定各个自变数对某一依变数的综合效应。
a y b1 x1 b2 x2 bm xm
于是可得回归方程：
ˆ a b1 x1 b2 x2 bm xm y
回归方程的另外一种表达式：
ˆ y b1 ( x1 x1 ) b2 ( x2 x2 ) bm ( xm xm ) y
10
b1 SS1 b2 SP 12 bm SP 1m SP 1y b1 SP 12 b2 SS2 bm SP 2 m SP 2y b1 SP 1m b2 SP 2 m bm SSm SP my
9
在上述正规方程组中，SSm表示自变数x的平方和， SP12、SP1m…表示两个x变数的乘积和。解上述方程组， 可得b1、b2、…bm的解。然后计算回归截距a：
由正规方程组可看出，方程组的系数矩阵是对称的。
解上述回归统计数bi的方法很多，但为了方便多元回
归分析中分析的统计程序、方便计算，一般采用先算得高 斯乘数（即系数矩阵的逆矩阵的各元素值）的方法：对于 上述方程组，若记：
SS1 SP 12 SP 1m SP SS SP 2m A 12 2 1m SP 2 m SSm SP
b1 b 2 b b m
SP 1y SP2 y B SPmy
11
则可用矩阵表示为：A×b=B
系数矩阵A的逆阵各元素即高斯乘数Cij（i、j=1，2，…m）：
C11C12 C1m C C C 21 22 2m 1 A C C m1C m 2 C mm
对54头杂种猪的实测数据，经整理，得到以下相关数据，
请建立多元线性回归方程。 1. y 14.8722
x1 25.7002 x 2 94.4343
x 3 3.4344
2. SS1 846.2281 SS2 745.6041 SS3 13.8987 SSy 70.6617
3. 对上述自变数对依变数的单独效应和综合效应进行
显著性测验。
4
4. 测定回归方程的偏离度（即计算离回归标准误）。 5. 选择对依变数有显著效应的自变数，建立最优多 元线性回归方程。 6. 评定各个自变数对于依变数影响的相对重要性， 以利于抓住关键因素，达到调整和控制依变数反映 量的目的。
5
第二节
2
3 1 2 3 1
4
10 8 4 10 0.234375 0.09375 -0.125
10
15 0.5 8 10 0.09375 0.4375 -0.250
15
30 1.25 1.25 5 -0.125 -0.250 0.200
A-1
2 3
17
例1：猪的瘦肉量是肉用型猪育种的重要指标。影响 猪瘦肉量的因素很多，如猪的眼肌面积、胴体长、膘厚等 性状。若设眼肌面积为x1（cm2）、胴体长为x2（cm）、 膘厚为x3（cm），瘦肉量为y（kg）。根据三江猪育种组
第四章
多元线性回归分析
Multiple Linear Regression Analysis
本章主要讲授内容：多元线性回归分析
的意义；多元线性回归方程的建立及其显著
性测验；对各偏回归系数的显著性测验，最 优多元线性回归方程的建立；评价各个自变 数对依变数影响的相对重要性等。
1
第一节
多元线性回归分析的意义
21
三、离回归标准误 在简单线性回归分析中，我们知道用Sy/x可以用来 反映回归方程估测精确度，在多元线性回归分析中也同 样可用离回归标准误反映回归方程的估测精确度。
Sy/x
Q dfQ
2 ˆ ( y y )
n2
简单线性回归
S y /1, 2,m
8b1 4b2 10b3 16 4b1 10b2 15b3 4 10b1 15b2 30b3 25
解得该方程的b1=1，b2=-3，b3=2。得回归方程：
ˆ a x1 3x2 2 x3 ，具体步骤及方法为： y
14
8 4 10 4 10 15 10 15 30
多元线性回归方程
一、多元线性回归的数学模型 设有m个自变数，以变数为y，共有n组实际观测数据，则 可以整理为表1。假如 j y / x1 , x2 xm j