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第四章多元线性回归分析基础

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多元线性回归分析

多元线性回归分析

简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。

它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。

这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。

在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。

我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。

最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。

多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。

这些假设包括。

1）线性。

自变量和因变量之间的关系必须是线性的。

2）无多重共线性。

自变量之间不应高度相关。

3）无自相关性。

数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。

4）同质性。

残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。

5）正态性。

残差应遵循正态分布。

6）误差的独立性。

残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。

7）没有异常值。

数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。

多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。

这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。

系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。

例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。

同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。

计量经济学课程第4章(多元回归分析)

计量经济学课程第4章(多元回归分析)
Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS

N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1

2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2


2，
0
HA :

2


2 0

第四章 线性回归分析

第四章 线性回归分析
Y 0 1Z1 2 Z2 3Z3 k Zk
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,

(整理)第四章 多元线性回归模型

(整理)第四章 多元线性回归模型

第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。

但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。

当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。

本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。

一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。

为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。

将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。

定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。

计量经济学-多元线性回归模型

计量经济学-多元线性回归模型
多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断

多元线性回归分析模型

多元线性回归分析模型

教学目标
教学重点
教学难点
Linear regression analysis Multivariate regression analysis 双语教学 decision analysis 内容、 安排 Decision rule Decision tree
教学手段、 采用多媒体教学的形式。以电子课件为主，粉笔黑板相结合为辅，使学生能够 措施 充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识,并结合启发式教学. 作业、 后记 教 学 过 程 及 教 学 设 计
§4.1 多元线性回归分析 一．问题提出 水泥凝固时放出热量问题： 某种水泥在凝固时放出的热是 y ( J / g ) 与水泥中 下列 4 种化学成分有关。
备注
x1 : 3CaO ⋅ Al 2 O3 的成分（%） x 2 : 3CaO ⋅ SiO2 的成分（%） x3 : 4CaO ⋅ Al 2 O3 ⋅ Fe3O3 的成分（%） x 4 : 2CaO ⋅ SiO2 的Байду номын сангаас分（%）
在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定的关系，一般来说，变量之间的关 系可以分为两大类，一类是确定性的关系，这种关系通常用函数来表示。例如，已知 圆的半径 r ，那么圆的面积 S 与半径 r 的关系就可用函数关系：
S = πr 2 来表示，这
时如果取定了 r 的值， S 的值就会完全确定了。另一类是非确定性关系，例如，人的 体重与身高之间的关系就是非确定性关系，一般来说，身高越高，体重越大，但是身 高相同的人体重往往是不相同的。再如，钢材的强度与钢材中含某种元素的含量，纤 维的拉伸倍数与强度，降雨量、气温、施肥量与农作物的产量等均属于这种关系。变 量之间的这种非确定性关系通常称为相关关系。 二．多元线性回归分析模型 为了研究方便，我们考虑一个变量受其他变量影响时，把这变量称为因变量，记 为 Y ，其他变量称为自变量，记为 X ，这时相关关系可记作 回归分析 就是数理统计 中研究相关关 系的一种数学 方法，它就是通 过大量的试验

第四章多元线性回归分析


21
三、离回归标准误 在简单线性回归分析中，我们知道用Sy/x可以用来 反映回归方程估测精确度，在多元线性回归分析中也同 样可用离回归标准误反映回归方程的估测精确度。
Sy/x
Q dfQ
2 ˆ ( y y )
n2
简单线性回归
S y /1, 2,m
多元线性回归方程
一、多元线性回归的数学模型 设有m个自变数，以变数为y，共有n组实际观测数据，则 可以整理为表1。假如y与x1、x2、…… xm之间存在线性关系， 则m元线性回归模型为：
y j y / x1 , x2 xm j
y j 1x1 j 2 x2 j m xmj j
1
16 b1 4 b 2 25 b 3
15
1. 先将相关数据填入表2的算阵A；
2. 计算算阵B的各数值：计算方法分两种： （1）主对角线及其以下各Bij值：
Bij Aij Bi. B. j
(2)主对角线以上各Bij值
7
在回归模型中：α为x1、x2、…xm皆取0时的y总体的
理论值；βi为在其它自变数x固定时xi对y的偏回归系数，
例如β1表示x2、x3、…xm皆保持一定时，x1每增加一个单
位对y总体的的平均效应，叫做x2、x3、…xm固定时,x1对y 的偏回归系数，其余同； y / x1 , x2 ,xm 为y依x1、x2、…xm 的条件总体平均数（简写作 y / 1, 2,m ）；εj为m元随机
依变数依两个或两个以上自变数的回归叫多元回
归或复回归（multiple regression）。
2
多元回归有多种类型（如多元线性回归、
多元非线性回归、正交多元回归等），而其中 最简单、常用、具有基础性质的是多元线性回 归分析。 多元线性回归分析的思想、方法和原理与 简单线性回归分析基本相同，但会涉及一些新 概念及更细致的分析，尤其是计算要繁杂些， 当自变数较多时可借助计算机进行计算。

301-习题作业-第四章 多元线性回归分析

思考题4.1 为了考察城镇商品房市场的特征，有人建立了如下的模型：ii i i i Z P X Y εαααα++++=3210ln ln 其中：i Y 为第i 个城镇的商品房销售面积，i X 为该城镇居民的人均可支配收入，i P 为商品房均价，i Z 为常住人口数量。

（1）分别解释系数1α和2α的经济含义。

（2）有人认为，中国商品房市场存在严重的炒房现象，导致价格越高，商品房的销售量越火爆，你如何检验这种观点？写出你的原假设、备选假设、检验统计量和判定规则。

（3）有人认为，商品房市场存在严重泡沫，商品房的销售量已经与居民收入、人口规模严重脱节，你如何检验这种观点？写出你的原假设、备选假设、检验统计量和判定规则。

（4）如果样本中既有大城市，也有小城镇，你如何检验大小城市的商品房市场是否具有相同的特征。

4.2. 在分析变量Y 的影响因素时，学生甲建立了如下的多元回归方程： t t t t X X Y εααα+++=22110。

学生乙也在研究同样的经济问题，她只学习了一元回归模型。

为了考察在X 2不变时，X 1对Y 的影响，学生乙进行了如下的三步回归分析： t t t X Y 1210εββ++= （a ） t t t X X 22101εγγ++= （b ）t t t 3211ˆˆεελε+= （c ）其中：t t 21ˆ,ˆεε分别是回归方程（a ）、（b ）的残差项。

（1）参数1α和参数1λ有什么样的关系？解释你的理由。

（2）参数2α和参数1β是同一个参数吗？解释你的理由。

（3）回归方程（c ）为什么没有截距项？4.3. 在基于受约束和无约束回归方程的估计结果检验规线性约束时，需要建立F 检验统计量。

有同学在相关文献中看到了如下的F 检验统计量：)1,(~)1/(/)(222-----=K N q F K N R qR R F ur r ur 。

（1）说明该F 统计量的形式是如何得到的。

第04章 多元回归分析1


∑
y t2
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身 却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否 显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不 是。如何判断呢？ 与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间； （2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有 拒绝原假设，否则接受原假设。
24
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0

第四章-多元线性回归模型


Var(βˆ K )
下面推导此矩阵的计算公式.
19
由上一段的结果，我们有
ββ ( X X )1 X u
因此，E
β
β
β β
E
X X 1 X u
X X 1 X u
E X X 1 X uuX X X 1
X X 1 X EuuX X X 1
X X 1 X 2 In X X X 1
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D (X X )1 X D X (X X )1 D
(X X )1 X X (X X )1 (X X )1 X D D X (X X )1 DD
由 DX 0从而 X D 0 ，因此上式中间两项为0，我们有
Kn
Yn
(X' X)
β
X' Y
即 ( X ' X )β X 'Y
β ( X X )1 X Y
15
三、 最小二乘估计量 ˆ 的性质
我们的模型为 Y X u
估计式为 Yˆ X ˆ
1．ˆ的均值
β ( X X )1 X Y
(X X )1 X (Xβ u)
(X X )1 X Xβ (X X )1 X u
β0 ,β1,...β k
的过程中，失去了
22
4． 高斯-马尔科夫定理
对于 Y Xβ u 以及标准假设条件（1）-（4），
普通最小二乘估计量 ˆ 是最佳线性无偏估计量（BLUE）
，ˆ 具有无偏性、具有最小方差特性、具有一致性，渐近无偏 性和渐近有效性。
23
我们已在上一段中证明了无偏性，下面证明 最小方差性。证明的思路与双变量模型中类似， 只不过这里我们采用矩阵和向量的形式。
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ni i
i 1 k
ni
i1 n
i 1
i i
则模型也可以表示为
k
其中：n ni i 1
Yij i eij
第四章 多元线性回归分析
第四节 参数估计式的分布特性与检验
2 August 2020
2.单因素方差分析的检验
H0∶μ1＝μ2＝…＝μk＝μ VS H1∶μi不全相等
第二节 参数的最小二乘估计
2 August 2020
残差向量 e Y Yˆ Y Xˆ
残差平方和
n
et2 eT e (Y Xˆ)T (Y Xˆ)
t 1
Y TY ˆX TY Y T Xˆ ˆT X T Xˆ
(eT e)
ˆ
2 X
TY
2X
T
Xˆ
0
*
式*为正规方程组，包含k个方程式
E[(Rˆ R )(Rˆ R )] RE[(ˆ )(ˆ )]R R var(ˆ)R
2 u
R(
X
X
)
1
R
第四章 多元线性回归分析
第四节 参数估计式的分布特性与检验
2 August 2020
ˆ服从多元正态分布，所 以Rˆ也服从多元正态分布
可以证明
F
(Rˆ R )[R( X X )1 R](Rˆ
第四章 多元线性回归分析
第三节 最小二乘估计量的性质
2 August 2020
二、误差项方差估计
残差e可表示为:
e Y Xˆ
Y X ( X T X )1 X TY
( X U ) X ( X T X )1 X T ( X U ) X U X X ( X T X )1 X TU
2 August 2020
2.β的检验 （1）参数的整体检验问题
H0∶β2=β3=…=βk=0 H1∶存在某个βi≠0, 2≤i≤k
可以证明在H
下
0
F ESS (k 1) ~ F (k 1, n k) RSS (n k)
当F F (k 1, n k)接受H0，当F F (k 1, n k)使拒绝H0
3.最优性
var(ˆ ) E((ˆ )(ˆ )T )
因为
ˆ (XTX)1 XT U
所以
var(ˆ ) E[((XTX)1 XT U)((XTX)1 XT U) T ]
E[(XTX)1 XT UU T X (XTX)1]
(XTX)1 XT (E(UUT ))X (XTX)1
2
(X
2 u
(
X
T
X )1
2 u
DDT
2 u
(
X
T
X )1(DX )T
2 u
DX
(
X
T
X )1
2 u
(
X
T
X
)1
2 u
DDT
var(ˆ
)
2 u
DDT
第四章 多元线性回归分析
第三节 最小二乘估计量的性质
2 August 2020
上式右边第二项DDT是半正定矩阵， DDT的所有主对角线元素均大于等于0。
所以 var(ˆ )的所有主对角线元素 不大于var(ˆ * )的相应主对角线元素。 即最小二乘估计ˆ的方差最小。
第四章 多元线性回归分析
第三节 最小二乘估计量的性质
2 August 2020
var(ˆ*) E[(ˆ* E(ˆ*))(ˆ* E(ˆ*))T ]
E[(ˆ* )(ˆ* )T ]
E[((X T X )1 X TU DU )((X T X )1 X TU DU )T ]
E[((X T X )1 X TU DU )(U T X ( X T X )1 U T D)]
T
X)
1
X
T
X
(X
T
X)
1
2
(X
T
X)
1
第四章 多元线性回归分析
第三节 最小二乘估计量的性质
2 August 2020
设ˆ *为总体参数矩阵的一个线性无偏估计，由ˆ *的线性特性
ˆ * ((X T X )1 X T D)Y ˆ DY
一般情况下D 0，因此ˆ* ˆ，只有D 0时，ˆ* ˆ。因此
第四章 多元线性回归分析
第四节 参数估计式的分布特性与检验
2 August 2020
（2）单个参数的检验问题
H0∶βi=0
H1∶βi≠0
可以证明在H 0 下
F ˆi2 ~ F (1, n k)
S 2aii
aii为矩阵( X X )1主对角线上第i个元素。
因为F (1, n k) t 2 (n k)
E[(X T X )1 X TUU T X ( X T X )1 DUU T DT
( X T X )1 X TUU T DT DUU T X ( X T X )1]
( X T X )1 X T (E(UU T ))X ( X T X )1 D(E(UU T ))DT
( X T X )1 X T (E(UU T )DT D(E(UU T ))X ( X T X )1
第四章 多元线性回归分析
第一节 模型的假定
2 August 2020
模型
Yt 1 2 X 2t 3 X 3t ...... k X kt t
矩阵形式 Y X U
其中
Y1
Y
Y2
Yk
1
2
X
1 1
X 21 X 22
k
1 X 2n
X 31 X k1
X 32
X
k
2
X 3n
多元线性回归分析
计量经济学 第四章
重点问题
2 August 2020
❖参数的最小二乘估计 ❖最小二乘估计量的性质 ❖参数估计式的分布特性与检验 ❖多重共线性
第四章 多元线性回归分析
主要内容
2 August 2020
❖第一节 模型的假定 ❖第二节 参数的最小二乘估计 ❖第三节 最小二乘估计量的性质 ❖第四节 参数估计式的分布特性与检验 ❖第五节 多重共线性 ❖第六节 预测
et2 (n k) 为修正的决定系数 yt2 (n 1)
修正的决定系数比一般决定系数更准确地反映了解释变量
对被解释变量的影响程度。因此在一般情况下，修正的确
定系数比R2应用更广泛。
R 2与R 2关系：
R 2 1 ( n 1 ) n k
et2 yt2
1 ( n 1 )(1 R 2 ) nk
2 August 2020
二、参数β的线性约束检验与置信区间
设R r
式中，R为已知的q k矩阵，r为q 1列向量，显然q k.
假设R为满秩矩阵，即(R) q。这样只要改变R与r的定义形式， 可以构造出对中参数约束的各种检验。
E(Rˆ) R
var(Rˆ) E[(Rˆ E(Rˆ))(Rˆ E(Rˆ))]
所以Vt与ut有相同的方差 u2，V
~
N
(0,
2 u
)
所以，ee为(n
k
)各均值为0，方差为
2的满足
u
独立正态分布变量的平方和。
因此
ee
2 u
nk t 1
( Vt
u
)2
~
2(n
k)
第四章 多元线性回归分析
第四节 参数估计式的分布特性与检验
2 August 2020
证明ee与ˆ的分布互相独立
cov(e, ˆ) E[(e E(e))(ˆ E(ˆ))]
X
k
n
1
U
2
kபைடு நூலகம்
第四章 多元线性回归分析
第一节 模型的假定
2 August 2020
模型假设：
(1)E(
U)
0
E(1
)
即对每个元素取期望
E(n )
(2)E(UU
T
)
2
I
n
In为n阶单位阵
(3)X为确定的矩阵
(4)U
~
N(0,
2
In
)
(5)(X) k n
第四章 多元线性回归分析
所以对单个参数进行检验时，一般用下面统计量
t ˆi ~ t(n k)
S aii 当t t 2 (n k)时接受H0，当t t 2 (n k)时拒绝H0
第四章 多元线性回归分析
第四节 参数估计式的分布特性与检验
2 August 2020
三、相关分析
记
R2
yˆt2 yt2
(Yˆt (Yt
ˆ* ˆ
E(ˆ*) E(ˆ DY )
E(ˆ) DE(Y )
DX
(Ik DX )
由无偏性，始终DX 0，而
ˆ * ((X T X )1 X T D)Y
((X T X )1 X T D)(X U )
DX ( X T X )1 X TU DU
所以
ˆ * ˆ ( X T X )1 X T U DU
E(e(ˆ ))
E[MU ((X X )1 X U )]
E[MUU X ( X X )1]
M (E(UU ))X ( X X )1
2 u
(In
X
(X
X
) 1
X
) X
(X
X
) 1
0
因此，e与ˆ的分布互相独立，
即ee与ˆ的分布互相独立
第四章 多元线性回归分析
第四节 参数估计式的分布特性与检验
的总体均值。eij为Yij与均值
Yij i eij
eij
~
N (0,
2)
cov(eij , epq ) 0
(i 1,2,