圆锥曲线离心率的求法教案

圆锥曲线离心率（取值范围）的求法（教师版）知识储备： 离心率：ace =；椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、离心率的求法方法一：直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C方法二：构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ D ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+，又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33 解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421bc c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B 方法三：采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

求离心率的教案教案标题：求离心率的教案教学目标：1. 理解离心率的概念及其在几何中的应用。

2. 掌握求解椭圆、双曲线和抛物线的离心率的方法。

3. 能够应用离心率的概念解决相关几何问题。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算器、白板、标尺、椭圆、双曲线和抛物线的示意图。

2. 学生准备：笔、纸、计算器。

教学过程：引入（5分钟）：1. 教师引导学生回顾椭圆、双曲线和抛物线的基本特征，并与圆的特征进行比较。

2. 引导学生思考椭圆、双曲线和抛物线的形状是否会随着离心率的变化而改变。

讲解（15分钟）：1. 教师向学生介绍离心率的概念，即离心率是描述椭圆、双曲线和抛物线形状的一个参数。

2. 教师通过示意图展示不同离心率的椭圆、双曲线和抛物线，并解释离心率对形状的影响。

3. 教师讲解如何计算椭圆、双曲线和抛物线的离心率，并提供相应的公式和计算步骤。

示范（15分钟）：1. 教师通过具体的例子向学生展示如何求解椭圆、双曲线和抛物线的离心率。

2. 教师引导学生观察示例中的图形特征，并与离心率的数值进行对比。

3. 教师鼓励学生在解题过程中积极思考，提出问题并进行讨论。

练习（20分钟）：1. 学生个人或小组完成一些练习题，包括求解给定椭圆、双曲线和抛物线的离心率。

2. 学生互相交流解题思路，并与教师进行讨论和解答疑惑。

3. 教师提供一些挑战性的问题，以促进学生深入思考和应用离心率的概念。

总结（5分钟）：1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调离心率在几何中的重要性。

2. 教师鼓励学生在课后继续巩固和拓展所学内容，并提供相关参考资料。

拓展活动：1. 学生可以通过使用计算机软件或在线资源进一步探索离心率的应用，例如绘制不同离心率的椭圆、双曲线和抛物线图形。

2. 学生可以选择一个实际问题，应用离心率的概念进行分析和解决，并撰写一份报告。

评估方式：1. 教师通过观察学生的课堂表现、练习题的完成情况和参与讨论的质量来评估学生的学习情况。

解析 ： ＝ ： ＝ ＝Ｉ Ｐ Ｆ ￣ Ｉ ＋ ＋
解析 ： 设 Ｐ（ ｘ ， ） ， Ｑ（ ｘ 。 ， Ｙ ） ， 弦 Ｐ Ｑ 中求得 Ｍ（
门
，
） ， 当点 Ｍ 在双 曲线 内部 时
４ ｎ ≥８ ｎ ． 由均值定 理知 ， 当且仅 当 Ｊ Ｐ Ｆ ２ Ｉ ＝ ＝ ＝ ２ ａ时取得 最 小值 ８ 仉又 ｌ Ｐ Ｆ ２ Ｉ ￣ｃ －ａ ， 所以 ２ 口 ≥￣ －ａ ， 则１ ＜ｅ ￣３ ．
中学 教学 参考
解题 方法 ｓ技巧
圆 锥 曲线 离 心 率 取 值 范 围 求 法 大 放 送
新 疆农 六师 五 家渠市 高级 中￣ （ ８ ３ １ ３ ０ ０ ） 孔建 芳
如何求解 离 心率 的取值 范 围是很 多学 生较 难掌 握 的 内容． 笔者通 过多 年 的教 学经验 认为 ， 要 解决 此类 问 题， 最重 要 的便 是充 分挖掘 题 中所 隐含 的条件 ， 构造 出 解决此 类问题 的不等式．
一
ｌ ‘
图１
号ｎ ， ｌ Ｐ Ｆ ２ １ 一 号ｎ ， 点 Ｐ在双曲线
右支上． 由图 １ 可知 ， ｌ Ｐ Ｆ １ ｌ ≥ｃ ＋ｎ ， ｌ Ｐ Ｆ ２ ｌ ￣ｃ －ａ ， 即 ｎ
＞０ ， 即ｎ ＜ ２且 口 ≠１ ， 所以 ｅ 一 一１ ＋ １
点评 ： 在 解决这 类 问题 时 ， 可 以运 用平 面几何 的性 质 来找到切入 点 ， 比如说 “ 直 角三 角形 中的两 个直 角边 总是小于斜边” 或 者“ 三 角形的 两边之 和 总是 大 于第三 条边” 等相关几何性质．
３ ８ 中学教学参考
一 １的 右 支 上 ， 则ｚ ≥ｎ ” ．
解析 ： 由题设 ｌ Ｐ Ｆ １ ｌ ＝ｄ ｌ Ｐ Ｆ ￣ Ｉ 得 一 ．

3、设双曲线 的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为_________
4、已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A、B，这条准线的相应焦点为F，如果△ABF是等边三角形，则双曲线的离心率为_________
5、双曲线 ，一直线经过A(a，0)和B（0，b）两点，若原点到直线AB的距离为 ，则双曲线的离心率是
例6、F1，F2分别是 的两个焦点，A和B是以O为圆心，以c为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，求双曲线的离心率.
通过近几年的高考题我们可以发现利用上述两种方法求解的题目层出不穷，离心率问题的求解在解析几何的学习中具有典型性，可以预计在以后的高考中这类问题依然是高考的重点.
二、求离心率的取值范围
在求解圆锥曲线离心率取值范围时，根据条件找到关于a，b，c的不等式，再利用 做进一步化简，即可得到关于离心率e的取值范围.
例6、双曲线 的左右焦点分别为F1 (－c，0)，F2 (c，0).若双曲线上存在一点P，使得 ，求该双曲线离心率e的取值范围.
反思在这种解法中寻找关于a，b，c的不等关系是解决问题的关键，我们采用运动
变化的观点观察到| PF2 | > c－a，进而使问题得以解决.按照这种思路我们也可以利用
| PF1 | > a + c进行求解.
例7、若双曲线 （a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
练习：椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为 ，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是
3.以平面几何特征为突破口
这类问题要充分注意几何关系， 将几何关系分析清楚之后， 再找关于 e 的关系式. 如