圆锥曲线离心率的求法(已整理)教学文案

圆锥曲线离心率（取值范围）的求法（教师版）知识储备： 离心率：ace =；椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、离心率的求法方法一：直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C方法二：构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ D ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+，又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33 解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421bc c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B 方法三：采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

圆锥曲线离心率的求法进修目的1.控制求解椭圆.双曲线离心率及其取值规模的几类办法;2.造就学生的剖析才能.懂得才能.常识迁徙才能.解决问题的才能; 进修重难点重点：椭圆.双曲线离心率的求法;难点：经由过程回归界说,联合几何图形,树立目的函数以及不雅察图形.设参数.转化等门路肯定离心率教授教养进程：温习回想：圆锥曲线离心率的概念 一.求离心率探讨一：应用界说直接求a ,c例1．已知椭圆E 的短轴长为6,核心F 到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E 的离心率等于．演习1：在正三角形ABC 中,点D.E 分离是AB.AC 的中点,则以B.C 为核心,且过D.E 的双曲线的离心率为( )A.53B.3－1C.2＋1D.3＋1 探讨二：结构关于e 的(a,b,c 的齐次)方程 例2．已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上核心为F ,左.右极点分离为12,B B ,下极点为A ,直线2AB 与直线1B F 交于点P ,若22AP AB =,则椭圆的离心率为___________演习2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左.右核心分离是F1.F2,过F1作竖直角为30°的直线交双曲线右支于M 点,若MF2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )A.6B.3C.2D.33探讨三：以直线与圆锥曲线的地位关系为布景,设而不求肯定e 的方程例3．椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0),点F 的直线交椭圆于A.B 两点,→OA +→OB 求e?二.求离心率的规模(1.直接依据题意树立,a c 不等关系求解. 例 4.已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的半焦距为ｃ,若042<-ac b, 则双曲线的离心率规模是（ ） Ａ．521+<<e Ｂ522+<<e Ｃ．5252+<<-eＤ．223<<e2.借助平面几何干系树立,a c 不等关系求解 例5.设12F F ，分离是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左.右核心,若在直线ｘ=2a c 上消失,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值规模是（ ）A ．(02，B ．(0C ．1)2 D.1)3.应用圆锥曲线相干性质树立,a c 不等关系求解.例6.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0) ,F1是左核心,O 为坐标原点,若双曲线上消失点P,使|PO|＝|PF1|,则此双曲线的离心率的取值规模是()A ．(1,2] B ．(1,＋∞)C．(1,3) D ．[2,＋∞)4.应用数形联合树立,a c 不等关系求解 例7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右核心为F,若过点F 且竖直角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值规模是 （ ）（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞ 5.应用函数思惟求解离心率 例8.设1>a ,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值规模是A ．)2,2( B.)5,2( C.)5,2( D.)5,2(演习 3. 设A1.A2,若在椭圆上消失异于A1.A2的点P ,使得02=⋅PA PO ,个中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值规模是A. B. C.小结：求离心率的症结是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系求离心率的症结是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特点三角形.经常应用办法:1.应用曲线变量规模.圆锥曲中变量的变更规模对离心率的影响是直接的,充分应用这一点,可优化解题．2.应用直线与曲线的地位关系.依据题意找出直线与曲线相对的地位关系,列出相干元素的不等式,可敏捷解题．3.应用点与曲线的地位关系.依据某点在曲线的内部或外部,列出不等式,再求规模,是一个主要的解题门路．4.联立方程组.假如有两曲线订交,将两个方程联立,解出交点,再应用规模,列出不等式并求其解．5.三角函数的有界性.用三角常识树立等量关系,再应用三角函数的有界性,列出不等式易解．6.用根的判别式依据前提树立与ａ.ｂ.ｃ相干的一元二次方程,再用根的判别式列出不等式,可得简解7.数形结正当：解析几何和平面几何都是研讨图形性质的,只不过平面几何只限于研讨直线形和圆.是以,在题设前提中有关圆.直线的问题,或标题中结构出直线形与圆,可以应用平面几何的性质简化盘算. 演习1.如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b -=>的两极点为1A ,2A ,虚轴两头点为1B ,2B ,两核心为1F ,2F . 若认为12A A 直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分离为,,,A B C D . 则双曲线的离心率e =;2.设12,F F0)b>的两个核心,P 是C 上一点,若1PF PF +30,则C 的离心率为___. 3.如图,1,F 2C 的公共核心,B A ,分离是1C ,2C 21BF AF 2C （ ）A ．2B ．3B ．C ．23D ．264.设双曲线C ：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1订交于两个不合的点A,B. 求双曲线C 的离心率e 的取值规模。

圆锥曲线离心率的求法学习目标1、掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法；2、培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力；学习重难点重点：椭圆、双曲线离心率的求法；难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离心率教学过程：复习回顾：圆锥曲线离心率的概念一、求离心率探究一：利用定义直接求a,c例1．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于．练习1：在正三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为( )A.53－1 ＋1 ＋1B.探究二：构造关于e的(a,b,c的齐次)方程例2．已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ，下顶点为A ，直线2AB 与直线1B F 交于点P ，若22AP AB =，则椭圆的离心率为___________练习2、双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定e 的方程 例3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，斜率为1点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与求e二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围)1、直接根据题意建立,a c 不等关系求解. 例4、已知双曲线12222=-by a x（0,0>>b a ）的半焦距为ｃ，若 042<-ac b ， 则双曲线的离心率范围是（ ）Ａ．521+<<e Ｂ522+<<e Ｃ．5252+<<-eＤ．223<<e2、借助平面几何关系建立,a c 不等关系求解例5、设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线ｘ=2a c 上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．(02，B ．(03，C ．1)2D.1)33、利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解.例6、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ，F 1是左焦点，O 为坐标原点，若双曲线上存在点P ，使|PO |＝|PF 1|，则此双曲线的离心率的取值范围是 ( )A ． (1,2]B ．(1，＋∞)C ．(1,3)D ．[2，＋∞)4、运用数形结合建立,a c 不等关系求解例7、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞5、运用函数思想求解离心率例8、设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(练习 3、 设A 1、A 2在异于A1、A 2O 为坐标原点，则椭圆的离A 、、小结：求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法:1.利用曲线变量范围。

圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题四、教学方法1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度五、教学过程1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识教案首页：圆锥曲线离心率的求法教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题教学内容：1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用教学重点与难点：1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题教学方法：1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度教学过程：1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对圆锥曲线概念及性质的理解程度，以及对离心率定义和求法的掌握情况。

根据圆锥曲线的离心率知识点总结
圆锥曲线是高等数学中的重要内容，离心率是其中一个重要的参数。

本文将对离心率相关的知识点进行总结。

定义
离心率是指一个圆锥曲线上的一点到该曲线的一个焦点的距离与该点到该曲线上的直线的距离的比值。

对于椭圆和双曲线，离心率的值在0到1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于直线，离心率为无穷大。

计算公式
对于椭圆，离心率的计算公式为：
$$
e = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
$$
其中，a为长轴长度，b为短轴长度。

对于双曲线，离心率的计算公式为：
$$
e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}
$$
同样的，a为距离双曲线两支的两个焦点的距离的一半，b为
双曲线的半轴长。

对于抛物线，离心率的值为1。

性质
椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁。

双曲线的离心率大于1，离心率越大，则双曲线的两支越“开”，曲线的形状越细长。

抛物线的离心率等于1，离心率为定值。

应用
离心率在几何、天文等领域中都有广泛应用。

其中，在行星运动、卫星轨道计算等天文领域中，离心率是一个十分重要的参数。

总之，离心率是圆锥曲线的一个重要参数，具有重要的理论和应用价值。

解题宝典圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率，其中椭圆的离心率0<e <1，双曲线的离心率e >1(抛物线的离心率e =1).圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现.熟练掌握一些求解离心率问题常用的思路，有助于提升解题的效率.本文结合例题，主要谈一谈解答圆锥曲线离心率问题的两种措施.一、运用公式法圆锥曲线的离心率公式为e =ca ，求解圆锥曲线的离心率问题，通常要用到公式e =ca.而求a 、c 及其关系式，往往要根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间关系来进行转化.在椭圆中，a 2=b 2+c 2；在双曲线中，a 2=c 2-b 2.例1.已知椭圆C 1:x 2m +2-y 2n=1和双曲线C 2:x 2m +y2n=1有相同的焦点，则椭圆C 1离心率e 的取值范围是______.解：∵椭圆C 1:x 2m +2-y 2n =1，∴a 12=m +2，b 12=-n ，c 12=m +2+n ，即e 12=c 12a 12=1+n m +2，∵双曲线C 2:x 2m +y 2n =1，∴a 22=m ，b 22=-n ，c 22=m -n ，由题意可得m +2+n =m -n ，∴n =-1，∴e 12=c 12a 12=1-1m +2，∵m >0，m +2>2，∴1m +2<12，-1m +2>-12，∴e 12=1-1m +2>12，解得e 1∵0<e 1<1，e 1<1.要求椭圆C 1离心率e 的取值范围，需根据椭圆离心率公式求得a 、c 及其关系式.于是先根据椭圆与双曲线的方程明确a 2、b 2、c 2的表达式；然后根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间的关系和离心率公式，求得e 1、e 2的表达式，通过确定m 、n 的取值范围，求得离心率的取值范围.例2.设F 1、F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左右焦点，且||F 1F 2=2c ，若椭圆上存在一点P ，使||PF 1⋅||PF 2=2c 2，则椭圆离心率的最小值为_____.解：由题意知F 1()-a,0、F 2()a,0，设P ()x 0,y 0，得||PF 1⋅||PF 2=()a +ex 0()a -ex 0=a 2-e 2x 02=2c 2，∴x 2=a 2-2c 2e 2≤a 2，即a 2-2c 2a 2=1-2e 2≤e 2，解得e 2≥13，即e∵0<e <1，e <1，∴我们首先设出P 点的坐标，根据椭圆的焦半径公式将已知条件||PF 1⋅||PF 2=2c 2转化为与a 、c 有关的等式；再根据椭圆上点的范围，建立关于a 、c 、e 的不等关系式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的不等式，通过解不等式，求得离心率的最小值.二、利用几何图形的性质我们知道圆锥曲线的离心率e =ca，其中a 为椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长，c 为椭圆和双曲线的半焦距.在解答圆锥曲线的离心率问题时，可根据椭圆和双曲线的定义、几何性质求得2a 、2c 的值，也可将椭圆的长半轴、双曲线的实半轴看作三角形、梯形的一条边，利用三角形、梯形的性质来求线段的长.例3.已知两定点A ()-1,0和B ()1,0，动点P ()x ,y 在直线l :y =x +3上移动，椭圆C 以A 、B 为焦点，且经过点42解题宝典P，则椭圆C离心率的最大值为().解：由题意可得，椭圆的半焦距为1，由椭圆的定义可知||PA+||PB=2a.而点A()-1,0关于直线l:y=x+3的对称点A'()-3,2，连接A'B，交直线l于点P，如图1所示.图1由图1可知||PA+||PB=||PA'+||PB=||A'B，而||A'B=25，则椭圆C的长半轴长的最小值为25，所以椭圆C离心率的最大值为e=ca=15故正确的答案为A.由于c=1，所以要求e=ca的最大值，需确定a的最小值.根据椭圆的定义可知||PA+||PB=2a，于是画出图形，作A关于直线l的对称点A'，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，即||PA'+||PB>||A'B，即可确定||PA+||PB取最小值的情形：A'、B、P三点共线，从而根据两点间的距离公式求得离心率的最大值.例4.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1()a>b>0与圆C2:x2+y2=b2，若椭圆上存在一点P，使由点P作圆C2的两条切线互相垂直，求椭圆C1离心率的取值范围.解：如图2，由椭圆长轴的端点作圆C2的两条切线PA、PB，设过P作圆的切线，切点为A、B，连接OA、OB、OP，图2由于PA⊥PB，所以根据圆的对称性可知∠APO=∠BPO=45°.在RtΔAPO中，PO=2PA≤a,即2b≤a，所以2b2≤a2，则2b2≤a2，由a2=b2+c2，可得a2c2，即e2≥12，解得e因为0<e<1，e<1，则椭圆C1离心率的取值范围为ëöø÷.解答本题需灵活运用圆的两个性质：圆的切线与过切点的半径成90°；对称性，以及全等三角形的性质.据此建立RtΔAPB的两条边PO、PA之间的关系，从而判断出椭圆的长半轴与焦半径之间的关系，求得椭圆离心率的取值范围.例5.已知双曲线x2a2-y2b2=1()a>0,b>0的左右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且||MF2=7||MF1，则此双曲线离心率的最大值为().A.43B.53C.2D.73解：由双曲线的定义可得，||MF2-||MF1=6||MF1=2a，因为点M在双曲线的左支上，所以||MF1=a3≥c-a，则e=ca≤43，故双曲线离心率的最大值为43，则正确答案为A.求双曲线离心率的最大值，需求ca的最大值.于是首先根据双曲线的定义建立焦半径与虚半轴长之间的关系；然后根据双曲线的性质：双曲线的左（右）支上点到右（左）焦点的距离大于c-a，建立关于a、c的关系式，进而求得双曲线离心率的最大值.总之，求解圆锥曲线的离心率问题，可从离心率公式和图形的几何性质入手，来寻找解题的思路.这就要求同学们熟练掌握圆锥曲线的定义、公式、几何性质，以灵活运用这些知识来解题.（作者单位：江苏省南通市如皋市搬经中学）43。

考点透视图9由题意可得，已知条件中含有a、b的关系式，根据等差中项、等比中项的定义建立关于a、b的方程组，求得a、b的值，即可运用圆锥曲线的离心率公式e=c a求得问题的答案.二、构造齐次式有些问题中只给出了关于a、b、c的关系式，或根据题意可直接求得关于a、b、c的关系式，此时可通过构造关于a、b、c的齐次式，即a、b、c的次数相同的式子，再根据椭圆中a、b、c的关系a2=c2+b2，双曲线中a、b、c的关系c2=a2+b2，将齐次式转化为关于a、c的等式，最后在其左右同时除以c2、c4等，得到关于c a的方程，解方程即可求得c a的值，从而得到圆锥曲线的离心率.例2.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的左焦点为F，右顶点为A，点B()0,-b，且FA∙AB=0，则该双曲线的离心率为______.解：根据题意画出如图1所示的图形，图1因为FA∙AB=0，所以FA⊥AB，所以Rt∆AOB∽Rt∆BOF，则||OB||OA=||OF||OB，即ba=c b，b2=ac，因为c2=a2+b2，所以c2-a2=ac，即æèöøca2-1=ca，解得ca，所以e=.解答本题主要运用了构造齐次式法，首先建立关于a、b、c的关系式：c2-a2=ac，再在其左右同时除以a2，将该关系式化为齐次式，再根据椭圆、双曲线中a、b、c的关系得到关于c a的方程，进而求得离心率的值.三、利用几何性质法圆锥曲线均为平面几何图形.在求解圆锥曲线的离心率时，可根据圆锥曲线的几何性质建立关于椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径的关系式.也可将椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径看作三角形、平行四边形、梯形的一条边，或圆中的一条弦，利用三角形、平行四边形、梯形、圆的性质来建立关于a、b、c的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例3.已知A、B是双曲线C的左、右顶点，点M在双曲线C上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求双曲线C的离心率.解：过点M作x轴的垂线，垂足为C，如图2所示.图2∵△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，∴BM=2a，∠MBC=60°，∴BC=a，MC=3a,∴点M的坐标为()2a,3a，将其代入双曲线的方程中可得()2a2a2-()3a2b2=1，①又c2=a2+b2，②由①②可得e=2.解答本题，需先明确AB为等腰三角形的底边，然后采用几何性质法，根据等腰三角形的性质和已知条件求得点M的坐标，再将其代入双曲线的方程，从而建立关于a、b、c的关系式.本文主要介绍了三种求解圆锥曲线中离心率问题的思路.从上述分析可以看出，不论运用哪一种思路解题，都需根据题意建立关于a、b、c的关系式，或求得a、c的值.因此，同学们在建立关系式时，要将其与a、b、c关联起来.（作者单位：福建省南安市五星中学）考点透视39。

教学设计：《高考二轮专题复习---由高考真题探究一类圆锥曲线离心率的求法》—昌吉市第九中学朱信芳教学内容分析本节内容在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中的离心率问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其考查内容主要是求离心率的值和范围，其求解策略一般有：利用曲线离心率定义，列方程，曲线的几何性质，题设指定条件，三角形的三边关系等。

学生学情分析知识层面：学生已经理解了圆锥曲线的离心率定义。

能力层面：已初步掌握求解圆锥曲线的离心率，具有一定的数形结合能力。

学之难：在遇到离心率的求值时不知怎样深挖条件，找寻解题思路。

教学目标分析教学目标是教学的出发点和归宿点，根据高考大纲要求和题型的地位和占比以及学生现有的知识水平，制定如下目标：1、通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。

2、通过典例的剖析和相应的对点练习应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

3、通过一道高考真题的探究，层层深挖，突破一题多解，一题多变，体会从特殊到一般的推广，通过解决一道题触类旁通会一类题，能够在解决高考题的时候注重归纳总结一些有用的的结论，如：焦渐距、顶渐距。

4、在解题过程中逐步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想，数相结合的思想以及体会类比与归纳的数学方法，培养学生直观想象、数学运算、逻异推理等数学核心素养。

教学重难点分析重点：由高考真题探究圆锥曲线离心率的一题多解求法，通过解答一道题推广到解决一类题，能通过解决双曲线问题类比解决椭圆相关题。

难点：由2道高考真题探究圆锥曲线离心率的求法，通过解答一道题推广到解决一类题，能通过解决双曲线问题类比解决椭圆相关题，从而培养了学生对问题的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力。

教法分析训练为主线，思维为主攻。

选题多以选高考真题为主，先布置学生预习计划讲的例题与知识点，以讲典型的例题为核心来落实学生的思维与能力的提升。

离心率离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率及其范围的求解是一类常见问题，也是历年高考考查的热点，难易题目皆有．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞类型一 利用几何性质【例1】【2020山东省实验中学期中】已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8【答案】D【解析】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=，∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则 22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+=2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++222233626833a a cc c a c a =++≥⋅+=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.，则2133e e +的最小值为8. 【例2】【2019·广东金山中学期末】已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o，则椭圆的离心率e 的取值范围为A ．2(0,]2B ．2[,1)2C ．3(0,]2D ．3[,1)2【解析】由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点，∴c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，∴2212c a ≥，∴22c e a =≥，由01e <<，∴212e ≤<，即椭圆离心率e 的取值范围为2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，故选B. 【指点迷津】1.在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线.2.几何性质是解析几何的灵魂，从平面几何知识入手，寻找图形中的平行、垂直关系，以及三角形的相似，然后转化为椭圆、双曲线的元素a ，b ，c 的齐次关系式解题. 【举一反三】1. 【2020浙江金华二中期中】如图，A ，B 分别为椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，O为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．3 C ．23D ．6 【解析】法一：设EOA θ∠=，2HOA θ∠=，则tan BO b OA a θ==，1tan 2ABak b θ=-=，结合正切的二倍角公式知2221ba ab b a=-，化简得223a b =，故6c e a ==. 法二：22AB a b =+，222a b EA +=，22222cos HA OA HAO a a b a b=⋅∠=⋅=++，22222HE HA EA a b =-=+，22OA OBOH ABa b ⋅==+，由内角平分线定理，OA EAOH EH=，代入化简得223a b =，故63c e a ==，故选D 2. 【2019·宁夏银川二中月考】设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．45【解析】如下图所示，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=o，以2260,30PF A F PA ∠=∠=o o ，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a ==，故选C.类型二 利用坐标运算【例3】【2020河南开封二中期末】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，P 为椭圆C上一点，且2PF x ⊥轴，点,22c c G ⎛⎫⎪⎝⎭到1F P 的距离为2c，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C．2D【解析】由椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点为1(0)F c -，，2(0)F c ，，P 为椭圆C 上的一点，且2PF x ⊥轴，可得12||2F F c =，由x c =，可得2b y a=±±，即有22||b PF a=，由椭圆的定义可得，21||2b PF a a =-，由已知得G 为直角12PF F △的内切圆圆心，∴212121211||||(||||||)22PF F F r F F PF PF =++g ，可得12PF F △的内切圆半径221222b ca r ca c ==+g ，即有22222()()b ac a a c =-=+，整理得2a c =，椭圆C 的离心率为12c e a ==，故选B ． 【例4】已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A.⎫⎪⎪⎣⎭ B.2⎫⎪⎪⎣⎭ C.⎛ ⎝⎦ D.2⎛ ⎝⎦【解析】思路一：考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF ∠达到最大值.所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的角90θ≥o，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF θ∠=≥o，所以22tan 1OF cOPF OPb∠==≥，即22222c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212e ≥，解得2e ≥，再由()0,1e ∈可得2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭思路二：由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=o，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：122212tan 2F PF F PF S b b ∠==V ，另一方面：121212F PF P P S F F y c y =⋅⋅=⋅V ，从而22P P b c y b y c ⋅=⇒=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2P b y b b c c =≤⇒≤，再同思路一可解得：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭思路三：12PF PF ⊥可想到120PF PF ⋅=u u u r u u u r，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程.设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -，则有()()12,,,PF c x y PF c x y =---=--u u u r u u u r，则222120PF PF x y c ⋅=+-=u u u r u u u r，即P 点一定在以O 为圆心，c 为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径r b ≥时才可有交点，所以c b ≥，同思路一可解得2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭注：本题对P 在圆上也可由12PF PF ⊥判定出P 在以12F F 为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到P 所在圆方程为222x y c +=，因为P 在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：222222222b x a y a b x y c⎧+=⎪⎨+=⎪⎩代入消去x 可得：()2222222b c y a y a b -+=，整理后可得：422422b c y b y c =⇒=，由[],y b b ∈-可得：4222b y b c b c =≤⇒≥，同思路一即可解得：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭答案：2e ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 【指点迷津】1.例4的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解，可灵活选择.2.由于椭圆(双曲线)的元素a ，b ，c 在图形、方程中具有一定的几何意义，所以借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题. 【举一反三】1. 【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN=60°，则C 的离心率为________.2.【2020·河南洛阳新安一中月考】已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．(3,2)C ．(2,3)D ．(1,2)【解析】双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=b a （x ﹣c ），与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bca）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a ＞c 2，∴22ba＞3，即b 2＞3a 2，∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ．则e=ca＞2，∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞），故选A ． 类型三 数形结合法【例5】【2020·广西南宁二中期末】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线:2l y x =与椭圆C 交于M ，N 两点.若点A 到直线l 的距离是1，且MF NF +不超过6，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．50,3⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．5,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】设椭圆C 的右焦点为'F ，连接'MF ，'NF ，由椭圆的对称性可知四边形'MFNF 是平行四边形，则2MF NF a +=，则26a ≤，即3a ≤，因为点A 到直线l 的距离是1，所以141=+，所以5b =，则椭圆C 的离心率222251c a b e a a a-===-，因为3a ≤，所以29a ≤，所以254019a <-≤，即椭圆C 的离心率20,3e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选:A.【例6】【2020·四川绵阳期末】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若112PF QF =，且123PFQ π∠=，则椭圆C 的离心率为( ) A ．22B ．23C ．32 D ．33【解析】设椭圆的右焦点2F ，连接，22,PF QF ，由01120PF Q ∠= 根据平行四边形性质得到1260F PF ∠=，设122,PF m PF m ==，由余弦定理定理得， 22214424m m c m+-=，∴23c m =，由三边关系得到02190PF F =，则121223,2,,F F c m PF m PF m ==== ∴23a m =23c = ，∴椭圆的离心率3c e a ==，故选D ．【指点迷津】求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 【举一反三】1.（2017•新课标Ⅲ，理10）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( ) A 6B 3C ．23 D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴原点到直线的距离22a a b=+，化为：223a b =，∴椭圆C 的离心率2261c b e a a ==-=，故选A ．2.【2016·全国卷Ⅲ】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23D.34【解析】（法一：数形结合法）如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a .又△OBN ∽△FBM ，所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，直线BN 的方程为x a ＋ym ＝1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法 同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎫－c ，2m ⎝⎛⎭⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎫1－ca －m －c ＝m －a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝m a －c (x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m－c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝⎛⎭⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －c a ，在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE 2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c .所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.三．强化训练1.【2020天津蓟县一中期末】过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为by x a=±，∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥，∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形，∴BOF BOA ∠=∠，由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠，∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒，∴tan 60ba=︒=即223b a =，∴双曲线的离心率为22c ae a a a====，故选C.2.【2019•新课标Ⅱ，理11】设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为( ) ABC ．2D【解析】如图，由题意，把2c x =代入222x y a +=，得PQ =再由||||PQ OF =，得c =，即222a c =，∴222c a =，解得ce a==，故选A ．3.【2019·湖南长郡中学月考】设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．72【解析】设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形，∴121,//MF PF MF PN =，设2PF m =，则2||3MF m =，∴2122a MF MF m =-=，即12,3MF a MF a ==，∵21260,60MF N F MF ︒︒∠=∴∠=，又122F F c =，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，即2222747,4c c a a =∴=，∴双曲线的离心率e 7c a ==，故选D ．4．【2020四川成都七中月考】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【解析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，21tan 2b aPAF a c ∠==+，即2220a ac c --=，即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去），故选C . 5．【2020·凤城一中月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，O为坐标原点，若121||||2OP F F =，且212||||PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．34BC ．12D．2【解析】由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF 2|=2a ，又|PF 1|•|PF 2|=a 2，可得|PF 1|=|PF 2|=a ，即P 为椭圆的短轴的端点，|OP|=b ，且|OP|=12|F 1F 2|=c ，即有，e=c aC ． 6．【2020·黑龙江大庆二中期末】已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于,A B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u rr（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） ABCD ．12【解析】设1122(,),(,),A x y B x y AB 的中点00(,)M x y ，由题意知2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，则1212220AB x x y y k a b +++⋅=，而ABb k a=，所以00220x y a b +=，所以直线OM 的方程为b y x a =-，联立()b y x ab y xc a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得,22P Pc bc x y a =-=，又因为0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以2OP OM =-u u u r u u u u v,所以点(,)bc P c a -代入椭圆的方程，得222a c =，所以2c e a ==，故选A. 7．【2019·黑龙江省大庆中学期中】）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【解析】由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角，∵ABP ∆，∴2sin aθ=，∴sin θ=，cos θ=243sin 22,cos 22155θθ===⨯-=，设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a a x a AP y AP θθ=-+=-==，故点P 的坐标为118(,)55a a -． 由点P 在双曲线上得2222118()()551a a a b -=，整理得2223b a =，∴c e a ===．选C ． 8．【2020·黑龙江省双鸭山一中高三期末】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =．若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．3【解析】取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1，∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且12OF OF =,由中位线的性质可知|AF 2|＝2a ，∵|P A |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得223250c ac a --=，即()()23250,3510e e e e --=∴-+=，则双曲线的离心率为53，故选择B .。

学霸教你学数学：圆锥曲线的离心率圆锥曲线的离心率问题，必须熟练掌握基本的关系、性质、公式：椭圆：a^2=b^2+c^2;双曲线：c^2=a^2+b^2;离心率公式：e=c/a.一、圆锥曲线离心率的计算B解析：此题考查了双曲线的离心率。

离心率的计算、离心率的范围和几何意义是圆锥曲线小题考查的重点，这道题目直接计算。

y=b/c *(x+c) y=b/a * x联立得Q的横坐标X p=ac/(c-a)y=b/c *(x+c) y=-b/a * x联立得P的横坐标X q=-ac/(c+a)PQ中点的坐标为( a^2*c/(c^2-a^2) , b*c^2/(c^2-a^2) )得到PQ的中垂线为y=-c/b(x-a^2*c/(c^2-a^2))+b*c^2/(c^2-a^2)这条直线经过点(3c,0)代入即得e=sqrt(6)/2.二、圆锥曲线离心率范围的计算这里有几个需要注意的地方：1、准线方程，(+-)a^2/c；2、圆锥曲线上的点到焦点的距离，焦点弦的弦长公式，e(x-a^2/c)(右焦点)，e(x+a^2/c)(左焦点)；3、解离心率的根本方法：零齐次化，将不等式中的未知量乘除a或c化为c/a的形式，那么不等式就变成了仅关于e的不等式，就可以解出e的范围。

解析：根据上面的注意点可以知道：|MN|=2a^2/c, 2|F1F2|=4c,根据不等式解出e的范围是[(1/2)^(1/2),1).三、运用几何关系构造离心率满足的不等式解析：中垂线很容易让我们想到线段相等，所以在这道题目中运用这个性质是一个关键。

在这张简陋的草图上我们可以看见PF2=F1F2=2c，我们又用到了准线方程x=a^2/c,所以说准线方程很重要。

这里的一个最后的难点就是如何看“在准线上存在那么一个点P”，如果存在那么一个点P，就可以构成一个以PF2为直角边的直角三角形，在直角三角形中斜边大于直角边，由此得到式a^2/c-c<2c，我们进一步来看一下边界的情况如果P是准线和x轴的交点，那么就是斜边等于直角边的状况。

学校：封开县江口中学 班级：高三（4）班 （基础班） 授课教师：冯坚忠一、教学目标（1）掌握圆锥曲线离心率求值的几种方法；（2）掌握几种常见的数学思想方法在解析几何中的应用。

二、教学重难点重点：圆锥曲线离心率的求法难点：如何根据已知条件构造关于a ,c 的齐次等式三、教学过程1、创设情境，导入新课。

（1）向学生说明离心率在近5年的全国新课标卷中的试题分布，引起学生的重视。

（2）高考中考查离心率试题主要分为两类，一类是根据一定条件求离心率的值，另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围。

今天我们先来学习第一类。

2、知识回顾复习圆锥曲线中与离心率相关的简单的几何性质。

3、例题研讨,方法陈述总结。

（1）直接法，直接求出a ,c , 求解e 。

例1.若椭圆)(12222c b a b y a x >>=+的离心率是23，则双曲线12222=-by a x 的离心率是____。

解：设椭圆的半焦距为1c ，离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，半焦距为2c 由题可得，11=2c e a =，则可设12,a c == 则22221=2-3=1b a c =- ，再由2222c a b =+ ，解得2c 则22c e a =点评：本题使用直接法，即直接利用定义，求出,a c 代入ce a=计算。

注重椭圆和双曲线中的,,a b c 三者的关系。

练习1.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率是（ ） 23.A 5.B 23.C 或25 23.D 或5(2)构造关于a 、c 的齐次式方程，解出e .例2.（2012年全国1卷） 设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点， ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）练习1.（2021年全国2卷）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，s i n 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（ A ）（A （B ）32 （C （D ）2强化训练1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____23____________ 2.若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是____53_______四、归纳小结五、作业：完成练习册285P 2，5 2287P。

圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念，掌握圆锥曲线的标准方程。

2. 掌握离心率的定义，了解离心率与圆锥曲线的关系。

3. 学会运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。

4. 能够运用离心率解决实际问题，提高解决问题的能力。

二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及标准方程2. 离心率的定义及性质3. 公式法求解圆锥曲线的离心率4. 待定系数法求解圆锥曲线的离心率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的标准方程，离心率的求解方法。

2. 难点：待定系数法求解圆锥曲线的离心率，应用实例的解决。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解圆锥曲线的概念、标准方程及离心率的定义。

2. 利用案例分析法，分析求解圆锥曲线离心率的公式法和待定系数法。

3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

4. 开展小组讨论法，培养学生的合作意识，提高学生的创新能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过复习椭圆、双曲线、抛物线的概念及标准方程，引出圆锥曲线的概念及标准方程。

2. 讲解圆锥曲线的标准方程，阐述离心率的定义及性质。

3. 讲解求解圆锥曲线离心率的公式法，并通过实例演示求解过程。

4. 讲解求解圆锥曲线离心率的待定系数法，并通过实例演示求解过程。

5. 开展练习环节，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。

6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，要求学生掌握圆锥曲线的标准方程，熟练运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线的离心率。

六、教学评价1. 评价学生对圆锥曲线概念和标准方程的理解程度。

2. 评价学生对离心率定义和性质的掌握情况。

3. 评价学生运用公式法和待定系数法求解圆锥曲线离心率的能力。

4. 评价学生在实际问题中运用离心率解决问题的能力。

七、课后作业1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固圆锥曲线标准方程和离心率的求解方法。

2. 请学生选取一个实际问题，运用离心率解决，并将解题过程和答案写成报告。

圆锥曲线中离心率的相关问题——求值、取值范围(或最值)授课时间：2018年5月4日一.近五年高考考查概况年份，类型，题号考查曲线考查题型分值2013全国1卷，理科，4 双曲线 求离心率 5分 2014全国1卷，理科，202014全国2卷，理科，20，(1) 椭圆 椭圆 根据离心率求方程求离心率 12分 5分 2015全国2卷，理科，11 双曲线 求离心率5分 2016全国2卷，理科，11 2016全国3卷，理科，11 双曲线 椭圆 求离心率 求离心率 5分 5分 2017全国1卷，理科，15 2017全国2卷，理科，9 2017全国3卷，理科，10双曲线与圆 双曲线 椭圆求离心率 求离心率 求离心率5分 5分 5分二.问题分析与策略求圆锥曲线的离心率的值、取值范围(或最值)，是解析几何中的重点、难点，它也是历年高考中考查的热点之一. 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率也同时会渗透于各类题型中。

这类问题通常有以下两类：一是根据条件利用定义直接求椭圆、双曲线的离心率；二是根据一定条件求椭圆、双曲线离心率的取值范围(或最值). 无论是哪类问题，一般都要采用以下方法与策略：一个关键：寻求建立,,a b c 之间(或其中两者)的一个等式或不等式；二个切入：从“形”入手、从“数”下手；三个方向：从圆锥曲线的定义思考、从几何图形的性质出发、从方程(或不等式)的角度落笔；四种工具：平面几何基础知识、平面向量知识、三角函数、基本(重要)不等式； 五种思想：数形结合思想、方程思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想.三.题型分类与讲解1.利用定义求离心率例1.(宁夏银川一模)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是21F F 、，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若2121F F OP =，且221a PF PF =∙，则该椭圆的离心率为（ ）43.A 23.B 22.C 21.D【变式练习1-1】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右焦点分别是21F F 、，点P 在双曲线上，且b PF PF 321=+，ab PF PF4921=∙，则该双曲线的离心率为（ ）34.A 35.B 49.C 3.D例2.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21F F 、，过点2F 的直线与椭圆交于B A 、两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） 22.A 32.-B 25.-C 36.-D【变式练习2-1】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是21F F 、，过点2F 的直线与双曲线的右支交于B A 、两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则2e =（ ）221.+A 224.-B 225.-C 223.+D【变式练习2-2】如右图所示，点C B A ,,是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，且BFC ∆是以F 为直角顶点的等腰三角形，则该双曲线的离心率是（ ） 10.A 210.B 23.C 3.D例 3.旧题新解(2016全国3卷，11题，5分)已知O 为坐标原点，F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，B A ,分别为C 的左，右顶点. P 为C 上的一点，且x PF ⊥轴. 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） 31.A 21.B 32.C 43.D2. 求离心率的取值范围例4.（1）【显性不等关系】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为o 45的直线与双曲线的左支没有公共点，则此双曲线离心率的取值范围为 .（2）【隐性不等关系】(2014湖北七市联考)已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线存在一点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围为 .例 5.设点P 是椭圆上)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一点，21F F 、分别是其左、右焦点，若o 2190=∠PF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为 .思路1：利用图形的几何特性思路2：利用基本(重要)不等式思路3：利用三角函数的有界性思路4：利用一元二次方程B 2B 1F 1y xO F 2P课后巩固练习1.21,F F 为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点，O 为原点，点P 为双曲线上一点，且a OP 3=，2211PF F F PF 、、成等比数列，则双曲线的离心率（ ） 321.A 37.B 372.C 337.D 2.改编：(2015江西八校联考，9)已知圆,02:221=++y cx x C 圆,02:222=+-y cx x C 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，0>c ，且222b a c -=. 若圆21C C ，都在椭圆内，则椭圆离心率的最大值是（ ）21.A 22.B 31.C 33.D 3.(2016湖南十校联考，11)设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的两条渐近线与直线ca x 2=分别交于B A ,两点，F 为该双曲线的右焦点. 若009060<∠<AFB ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）)2,1.(A )2,2.(B )2,1.（C ),2.[+∞D4.(2017全国卷1，15)已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点. 若o 60=∠MAN ，则C 的离心率为 .5.(1)已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为椭圆上一点，且221c PF PF =∙→→，则椭圆的离心率的取值范围为 .(2)已知)0,(),0,(21c F c F -为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点，若P 为双曲线上一点，且22121c PF PF -=∙→→，则双曲线的离心率的取值范围为 .。

探索探索与与研研究究离心率是圆锥曲线的重要性质之一.圆锥曲线的离心率公式为e =ca，a 是指双曲线的实半轴长、椭圆的长半轴长，c 是指双曲线和椭圆的半焦距.由于抛物线的离心率e =1，双曲线的离心率e >1，椭圆的离心率0<e <1，所以圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率.求圆锥曲线的离心率，关键是求a 、c 的值或其比值.下面谈一谈求解圆锥曲线问题的两种思路.一、构建齐次式在求圆锥曲线的离心率时，可根据题目中所给的条件和几何关系，利用圆锥曲线的公式、定义、方程等建立含有a ,b ,c 的齐次式；再在该式的左右两边同时除以c 2，得到关于c a 或ba的方程，解该方程即可求得离心率.例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为B ，若椭圆C的中心到直线AB 的距离为F 1F 2|，求椭圆C 的离心率.解：因为直线AB 过右顶点为A ，上顶点为B ，所以直线AB 的方程为：x a +yb=1.又椭圆C 的中心到直线AB 的距离为d =||ab a 2+b 2=c ，而c 2=a 2-b 2，则||ab a 2+b2a 2-b 2，在上式的两边同除以a 2，整理可得2æèöøb a 4+3æèöøb a 2-2=0，得æèöøb a 2=12，解得e ==.利用点到直线的距离公式，建立一个关于a ,b ,c 的齐次式，就可以将问题转化为解方程问题.在求离心率的过程中，还要注意圆锥曲线离心率公式的变形式，e =椭圆）、e =双曲线）.二、利用平面几何知识当遇到一些有关焦点三角形、直线的倾斜角、点到直线的距离、两点之间的距离、线段的中点、平行线段、垂直线段等的离心率问题时，我们可以根据题意画出相应的几何图形，巧妙利用平面几何知识，如椭圆或双曲线的定义、三角形中位线的性质、点到直线的距离公式、勾股定理、正余弦定理等来建立关于双曲线的实半轴长、椭圆的长半轴长、半焦距的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例2.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为.解：因为线段PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，所以PF 2∥y 轴，从而可知PF 2⊥F 1F 2，因为∠PF 1F 2=30°，则直角三角形PF 1F 2中，||PF 1:||PF 2:||F 1F 2=2:1:3，又因为点P 在椭圆C 上，则2a =||PF 1+||PF 2,2c =||F 1F 2，所以e =c a =2c 2a =||F 1F2||PF 1+||PF 2=.由题意可知△PF 1F 2为椭圆的焦点三角形，于是以椭圆的定义为突破口，在直角三角形PF 1F 2中，利用勾股定理来建立三角形PF 1F 2三边之间的关系式，从而求得椭圆的离心率.在求与焦点三角形有关的离心率问题时，要注意离心率与焦半径之间的关系：e =c a =2c 2a =||F 1F 2||PF 1+||PF 2(椭圆)，e =c a =2c 2a =||F 1F 2||||PF 1-||PF 2（双曲线）.总之，在求解圆锥曲线的离心率时，不仅要灵活运用圆锥曲线的方程、定义、几何性质和平面几何图形的性质，还要学会运用数形结合思想、方程思想来辅助解题，这样才能有效地提升解题的效率.（作者单位：福建省柘荣县第一中学）袁晓光52。

《圆锥曲线离心率（1）》教学设计一、教学目标分析1.知识与技能：①理解圆锥曲线离心率的概念；②掌握求离心率的常用方法，能够对含有,,a b c的二次方程，变形整理出关于离心率e的方程，从而解出e的值。

2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合的数学思想方法；培养活动培养学生观察、分析、计算和归纳能力。

3.情感态度与价值观：通过对复杂计算过程的化简求值，体验科学探索与研究的不易，培养学生吃苦耐劳，细心钻研的精神。

二、教学重难点：重点：合理利用圆锥曲线的定义以及几何性质，得到关于参数a b c的关系式，从而变换出离心率e的方程。

,,难点：从含,,a b c的方程中化简变换出关于e的方程。

三、教学方法：小组合作、讲解示范法四、教学基本流程五、教学情境设计：六、板书设计：《圆锥曲线离心率（1）》学情分析学生已经对三种圆锥曲线进行了系统的学习、复习，高考经常对圆锥曲线离心率进行考察。

由于圆锥曲线对计算、数形结合、等价转化、化简变形，所以大部分高中生感觉难度较大，究其原因，学生主要有几个方面的原因:一是心理上的难关，认为圆锥曲线的题一定是难题，心生胆怯；二是知识难关，解决圆锥曲线（离心率）的常用方法不熟练；三是计算难关，解析几何最难的是复杂的计算，学生普遍的计算能力不强。

本节课主要从这三个方面帮助学生度过难关。

《圆锥曲线离心率（1）》评测练习效果分析1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是 ．学生本题做得正确率较高，主要是区间的开闭出现问题。

2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是．学生本题出错较高，主要是式子2111e ee-<<++的求解出现问题。