《高中数学圆锥曲线求离心率的方法》

如何求圆锥曲线离心率在高考中圆锥曲线的分值占总分的15%左右．高考试题和各地的模拟试题中，大凡考查解析几何的，绝大多数以圆锥曲线为背景，而圆锥曲线的离心率，是描述曲线形状的重要参数，求离心率又是一种重要的题型，本文通过列举实例，介绍一些常用的求离心率范围的方法．1．利用离心率定义e=a c直接计算．例1．设双曲线12222=-b y a x (0<a<b)的半焦距为，直线过(a ，0)、 (0，b)两点，且原点到直线的距离为c 43，求双曲线的离心率．解：由过点(a ，0)、 (0，b)得的方程：bx+ay-ab=0．由点到的距离为c 43，得22ba ab +=c 43．将b=22a c -代入，平方后整理，得16(22c a )2-1622ca+3=0,解得332=e 或e=2．因为0<a<b ，故e=a c=221a b +>2，所以应舍去332=e ．故所求离心率．点评：如果很容易由题设条件确定、，可直接用离心率定义求解．此题由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出a c的值．注意同学们解此题时一不小心易得到错误答案：e=2或332=e ．究其原因是未注意到题设条件(0<a<b)，从而离心率e>2，而332<2，故应舍去．2．利用曲线定义求离心率．第一种定义和第二种定义的灵活转换常常是打开解析几何思路的钥匙，在题目中挖掘这隐含信息有助于解题．例2． F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 2作一条直线交椭圆于P 、Q 两点，使PF 1⊥PQ ，且｜PF 1｜=｜PQ ｜，求椭圆的离心率e.解：设｜PF 1｜=t ，则｜PQ ｜=t ，｜F 1Q ｜=2t ， 由椭圆定义有：| PF 1｜+｜PF 2｜=｜QF 1｜+｜QF 2｜=2a ，∴｜PF 1｜+｜PQ ｜+｜F 1Q ｜=4a ， 即(2+2)t=4a,t=(4-22)a ，∴｜PF 2｜=2a-t=(22-2)a ，在Rt △PF 1F 2中，｜F 1F 1｜2=(2c)2，∴［(4-22)a ］2+［(22-2)a ］2=(2c)2∴(a c )2=9-62， ∴e=a c =26-．点评：一般的，涉及焦点、准线方程、离心率、圆锥曲线上的点中的三个，就要联想到圆锥曲线定义，有时甚至只要知道其中的两个，也可以联想到圆锥曲线定义．灵活巧妙地运用圆锥曲线的定义，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．3.利用数形结合求离心率.由图形的的特定形状，找出有关量的性质、特征，并把几何图形和数有机结合起来，从而求出离心率的范围．例3. 直线l 过双曲线12222=-b y a x的右焦点，斜率k=2．若l 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围．解：如图1，若k=a b ，则直线l 与双曲线的渐近线平行，从而l 与双曲线只有一个交点；若k>a b ，则l 与双曲线的两交点均在右支上， 故点评：此题若是直接求解，计算量比较大，而利用渐近线与双曲线的特性，从图中直接观察直线与渐近线，较易得出所要得出的东西．涉及直线与圆锥曲线交点问题，有时用此法也会取到意想不到的结果．4．运用均值不等式求解．例4． F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x 的两焦点，若椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率的取值范围．解：由椭圆定义知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，两边平方得：4a 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|≤2（|PF 1|2+|PF 2|2），∵∠F 1PF 2=90°，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，∴4a 2≤2（2c)2，得22≤e ＜1．点评：涉及到角度时，利用勾股定理或余弦定理，再利用不等式放缩，往往简单明了，注意放缩时等号条件是否成立．5．利用三角函数的有界性求离心率． 例5． 题目同上．解：设点P 坐标为（acos θ，bsin θ），由定义、焦半径公式及题设有：(2c)2＝(a －ccosθ)2＋(a ＋ccosθ)2 ， 化简得cos 2θ＝2222122e c ac -=-． 或由∠F 1PF 2=90°得：1cos sin cos sin -=•-+c a b c a b θθθθ，整理得b 2sin 2θ+ a 2cos 2θ-c 2=0，即(a 2-b 2)cos 2θ= c 2-b 2，cos 2θ＝2222122e c a c -=-． ∵ 0≤cos 2θ≤1，∴0≤212e -≤1，结合0＜e ＜1得22≤e ＜1为所求．点评：设圆锥曲线的参数形式，列式子比较简洁，但要注意各参数所限制的范围．6．列方程组求离心率． 例6． 题目同上．解：原题等价于以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11222222y x b y a x 有实数解，消元得b 2x 2＋a 2(c 2﹣x 2)＝a 2b 2，即(b 2﹣a 2)x 2＋a 2c 2﹣a 2b 2=0有实数根，所以Δ≥0，即c 2﹣b 2≥0，c 2﹣（a 2 ﹣c 2）≥0，可得122<≤e ．点评：若两曲线相交，联立两个方程解出交点，再利用范围，列出不等式并 求其解或由根判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解．7．运用比例性质求解离心率．在椭圆或双曲线中，若已知焦点三角形中的两个角，则可由定义、正弦定理、合分比定理推出其离心率．例7．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，如果α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，求椭圆离心率．解：由椭圆定义知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，∵||||22221PF PF ca c a c e +===由正弦定理，得|PF 1|=2Rsin β,|PF 2|=2Rsin α，|F 1F 2|=2Rsin(α+β)∴2cos2cos2cos 2sin 22cos2sin 2 sin sin )sin()sin (sin 2)sin(2||||221βαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=-⋅++⋅+=++=++=+=R R PF PF c e说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与焦点三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理．8．利用圆锥曲线中变量的变化范围求离心率．例8．已知椭圆，如果椭圆、的长轴两端点为B A b a by a x )0(12222>>=+上存在一点Q ，使0120=∠AQB ，求椭圆离心率的取值范围．解：根据椭圆的对称性，不妨设Q （x 0,y 0）在x 轴的上方，则b y ≤<00，a x y k a x y k QA QB+=-=0000, 321tan 202200-=+-=⋅+-=∠∴y a x ay k k k k AQB QB QA QA QB ①，又代入)1(22020b y a x -=①得)(322220b a ab y -=，则b b a ab ≤-<)(320222⇒ 22232c c a a ≤-,13631222<≤⇒≤-∴e e e ． 点评：此题解法实质上是分离变量．通过将离心率用曲线上一点坐标出来，借助于曲线上点的坐标范围求解离心率．涉及圆锥曲线中的不等问题要注意利用曲线上点的范围，探求离心率的范围．9．利用焦半径公式．例9．如图所示，已知梯形中，|AB|=2|CD|，点满足，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332<<λ时，求双曲线离心率的取值范围．解：∵，∴x 0=)1(2)2(+-λλc ①∴λλ+=1||||CA EA ，由焦半径公式，得：λλ+•+--=12ce a ex a ②， 将①代入②，得：2)1(2)2(cce a e a •+•--+-λλλλ+=1．∵e=a c ，∴2321+-=e λ．又∵4332≤≤λ，∴43233221≤-≤+e ，∴107≤≤λ．∴双曲线离心率取值范围为[7,10]．点评：此题的特点是：已知一个变量的范围求另一个变量的范围，先利用题设条件建立含范围变量的关系式，将变量λ和另一个变量分离e ，得到函数关系，再利用已知变量λ的范围求出变量e 的范围，解法实质是分离变量．同时，该解法巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种轻松自在的感觉，这表明善于记忆一些结果对我们的学习帮助很大．。

高中数学圆锥曲线离心率解法汇总
椭圆离心率求解方法主要有：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式方程，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c或b 的值，c值就是离心率
【第一讲】离心率基础
【第二讲】利用椭圆第一定义求离心率
【第三讲】焦点三角形与余弦定理
【第四讲】顶角直角三角形型
【第五讲】焦半径与第二定义
【第六讲】第三定义与中点弦
【第七讲】焦点三角形：双底角型
【第八讲】焦点三角形：双余弦定理型
【第九讲】焦点弦与定比分点
【第十讲】焦点圆
【第十一讲】椭圆与圆
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离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。

二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。

1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

圆锥曲线中离心率的求法离心率是圆锥曲线的重要性质之一，也是高考中的一个重要考点，本文对圆锥曲线的离心率的求法予以归纳，并通过例题加以说明。

一、由圆锥曲线定义结合图形性质求离心率例1. 已知是双曲线的左右焦点，双曲线恰好通过正的两边的中点，求双曲线的离心率。

解：如图，双曲线恰好通过正两边的中点，所以。

在中，，所以，由双曲线的定义知，即。

二、利用正弦定理求离心率例2. 已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且，求椭圆的离心率。

解：在中，由正弦定理得由合比定理得三、由定比分点坐标公式求离心率例3. 已知等腰梯形ABCD中，，AB∥CD，点E分有向线段AC所成的比为8：11，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。

解：建立如图所示平面直角坐标系。

因为C、D在双曲线上，且AB∥CD，所以C、D关于y轴对称。

设双曲线方程为，因可设。

因点E 分有向线段AC所成的比为8：11，所以又因C、E在双曲线上，则消去得，即点评：本题巧妙地抓住C、D关于y轴对称这一特殊关系，设出点的坐标，利用定比分点坐标公式，从而求得离心率。

四、已知直线和双曲线相交求离心率范围例4. 设双曲线C：，与直线l：相交于两个不同的点，求双曲线C的离心率e的取值范围。

分析：曲线C与l相交于两个不同的点，故方程组有两个不同的解，求出a的取值范围，进一步转化为e关于a的函数，求出双曲线C的离心率e的取值范围。

解：由曲线C与l相交于两个不同的点，故方程组有两个不同的解。

消去y整理得所以又，解得且。

所以∴且。

e的取值范围为点评：本题主要考查直线与双曲线等基本知识，以及运用解析几何的方法分析和解决问题的能力。

这类问题通常转化为方程、函数，通过方程、函数求解。

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。

本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。

每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。

方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。

对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。

这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。

方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。

当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。

当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。

这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。

方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。

通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。

这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。

方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。

通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。

这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。

方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。

通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。

这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。

方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。

圆锥曲线中离心率的求法在解析几何中，求离心率在高考中经常出现，解法较灵活，下面就介绍些常用的方法。

1、公式法：即利用ace =这一公式求离心率。

[例1]已知椭圆m y mx5522=+的离心率510=e ，求m 的值。

解：将椭圆方程化为标准方程得：1522=+my x （1）当50<<m 时，51055,5,,5222=-==-=∴==m ac e m c m b a ，可得3=m ；（2）当5>m 时，5105,5,5,222=-==-=∴==m m a c e m c b m a ，可得325=m ；3253==∴m m 或。

[例2]已知双曲线的渐近线为x y 43±=，求双曲线的离心率。

解：（1）当双曲线的焦点在X 轴上时，可得：43=a b ，从而451222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+==a b a b a ac e ； （2）当双曲线的焦点在Y 轴上时，可得：43=b a ，同理可得35=e ； ∴双曲线的离心率为4535或。

2、几何法：求与焦点三角形有关的离心率，可根据三角形的特征设一条边，再想办法求出2a,2c ，从而可得离心率。

[例3]以椭圆的右焦点2F 为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线)(11为左焦点F MF 是圆2F 的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）13- （B ）32- （C ）22（D ）23 解：如图，由题意得21F MF ∆为直角三角形，设12=MF ，则221=F F ，从而31=MF ，131322121-=+=+=∴MF MF F F e ，故选A 。

[例4]F 1，F 2为椭圆的左右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF ⊥1，且||||1PQ PF =，求椭圆的离心率。

解：设2,1,111===Q F PQ PF 则，a QF PQ PF 411=++ ，()261212,2212222222221=-+=+=+=+=∴a PF PF c a ，3622-==∴ace 。

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关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。

解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a ba 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。

又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。

离心率的专题复习姓名_______________________一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace=来解决。

1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ） A.43 B.32 C.21 D. 412：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C.23D2二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B 13- C.213+ D.13+变1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D.332 B. 变2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线离心率为（ ）A3 B26 C36 D33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

变1．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B为焦点，且过C 、D变2．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF1变3．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式．（一）基本问题例1．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 ． （二）数形结合例．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 . Ex1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .配套练习1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．31 B ．33C ．21 D ．23 2．已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ ） A 35 B 34 C 45 D 23 3．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A2 B22C21 D424．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A3 B 5C25D 13+ 5．设1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ ）A25 B 210C215D 5 6．已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A[]2,1 B ()2,1 C [)+∞,2 D ()+∞,2。

离心率离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率及其范围的求解是一类常见问题，也是历年高考考查的热点，难易题目皆有．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞类型一 利用几何性质【例1】【2020山东省实验中学期中】已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8【例2】【2019·广东金山中学期末】已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o，则椭圆的离心率e 的取值范围为A．(0,2B．[2C．(0,2D．,1)2【指点迷津】1.在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线.2.几何性质是解析几何的灵魂，从平面几何知识入手，寻找图形中的平行、垂直关系，以及三角形的相似，然后转化为椭圆、双曲线的元素a ，b ，c 的齐次关系式解题. 【举一反三】1. 【2020浙江金华二中期中】如图，A ，B 分别为椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，O为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．33C ．23D ．632. 【2019·宁夏银川二中月考】设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．45类型二 利用坐标运算【例3】【2020河南开封二中期末】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，P 为椭圆C上一点，且2PF x ⊥轴，点,22c c G ⎛⎫⎪⎝⎭到1F P 的距离为2c，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．22D ．32【例4】已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 2⎫⎪⎪⎣⎭ C. ⎛ ⎝⎦ D. 2⎛ ⎝⎦【指点迷津】1.例4的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解，可灵活选择.2.由于椭圆(双曲线)的元素a ，b ，c 在图形、方程中具有一定的几何意义，所以借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题. 【举一反三】1. 【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN=60°，则C 的离心率为________.2.【2020·河南洛阳新安一中月考】已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．2)C ．D ．类型三 数形结合法【例5】【2020·广西南宁二中期末】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线:2l y x =与椭圆C 交于M ，N 两点.若点A 到直线l 的距离是1，且MF NF +不超过6，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【例6】【2020·四川绵阳期末】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若112PF QF =，且123PFQ π∠=，则椭圆C 的离心率为( )A B C D 【指点迷津】求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 【举一反三】1.（2017•新课标Ⅲ，理10）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A B C D ．132.【2016·全国卷Ⅲ】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23D.34三．强化训练1.【2020天津蓟县一中期末】过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 2.【2019•新课标Ⅱ，理11】设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为( )A B C ．2D3.【2019·湖南长郡中学月考】设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D 4．【2020四川成都七中月考】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．235．【2020·凤城一中月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，O为坐标原点，若121||||2OP F F =，且212||||PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34B C ．12D ．26．【2020·黑龙江大庆二中期末】已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于,A B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．127．【2019·黑龙江省大庆中学期中】）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28．【2020·黑龙江省双鸭山一中高三期末】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =．若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．3。

高考数学中圆锥曲线的离心率求解方法与技巧【核心考点回顾】1.椭圆的定义1：平面内与两个定点1F 、2F 的距离和等于常数2a （大于21||F F ）的点的 轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距；若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=.定义2：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。

（1）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 图形顶点),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦 点)0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦 距)0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁） 通 径22b a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）（2）常用结论：①椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=②设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 ，=||PQ 。

x O F 1F 2 PyA 2A 1B 1B 2 xO F 1 F 2 Py A 2 B 2 B 1A 12. 双曲线的定义：平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。

高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质。

椭圆的离心率：0＜e＜1；双曲线的离心率：e＞1；抛物线离心率：e=1。

下面介绍求圆锥曲线离心率的常用方法。

一、直接求出a、c，求解e在求解离心率e，椭圆中存在：a2=b2+c2双曲线中存在：c2=a2+b2这两个关系对于求解椭圆与双曲线的离心率是非常重要的。

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。

例1、过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A. B. C. D. 分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。

解：易知A（-1，0），则直线的方程为。

直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。

例2、已知椭圆C的短轴长为6，左焦点F到右端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于多少？解：二、变用公式，整体求出e椭圆与双曲线求离心率还有如下变形例3、已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。

解：由（其中k为渐近线的斜率）。

这里，则，从而选A。

三、统一定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例4、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。

由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。

四、(等量关系)利用题目中所给的几何关系或者条件得出a，b，c的关系，然后根据b2=a2-c2(椭圆)或者b2=c2-a2(双曲线)，消除b，得到关于a，c的方程，从而得到e的方程，继而解出e。

求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。

椭圆的离心率e ∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式来解决。

例１. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.B. C.D.解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D ．变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( ) A.34 B.23 C.12 D.14解：由F1、F2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C.变式练习２：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A.32B.62C.32D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=ca=32,因此选C变式练习３：点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得．则。

故选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例２. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。

由焦半径公式，即，得，解得，故选D。

变式练习１：设双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( )A.2B. 3C. 2D.233解：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式，得 aba 2+b2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2,两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0.解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b2a2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A.变式练习２：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）（A ） 3 （B ）62 （C ）63（D ）33解：如图所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b2)＝cos120°＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12， ∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B.三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例３．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

高中数学圆锥曲线的离心率求解方法作者：周艳群来源：《读与写·下旬刊》2020年第09期摘要：离心率是高中圆锥曲线部分学习的重要内容，也是教学的难点。

求解圆心率的问题也时长出现在近些年的高考题目中，无论是教师还是学生必须要提高对这类问题的重视程度。

基于此，本文将结合教学中的实际案例来分析高中数学圆锥曲线的离心率求解的主要方法。

关键词：高中数学;圆锥曲线;离心率中图分类号：G633.6;;;; 文献标识码：B;;; 文章编号：1672-1578（2020）27-0201-02离心率是圆锥曲线中的一个重要概念，它的变化将直接影响到圆锥曲线的类型和形状，以离心率作为考察内容的题目在近些年的高考中屡次出现。

因此，这部分是当前高中数学教学中的一项重点，不少学生在面对有关问题时都会觉得束手无策。

本文将结合近些年出现的各类型试题，具体分析高中数学圆锥曲线的离心率求解方法。

1.基本量法利用基本量法来求解离心率主要是指通过题目中已知的条件来求得参数a、c之间的关系，从而得到离心率e。

例1（1）已知椭圆方程x216k+y29k=1（k>0），求椭圆的离心率。

（2）设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点，如果双曲线上存在点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=|3AF2|，求双曲线的离心率。

解：（1）从题目已知可得a=44，b=3k，所以c为7k，即e=74或是e=1-b2a2=1-916=74。

（2）设|AF1|=t（t>0），则|AF1|=3t，从双曲线方程中可知a=t，2c=10t，所以c=102t，e=ca=102tt=102。

这一类型的解题方式相对来说比较简单，只要能够从题目已知中准确找到a、b、c三个基本量，就可以计算出离心率的值了。

2.定义法在涉及到圆锥曲线上的点与焦点或是准线距离一类的问题时，我们就可以尝试利用离心率的定义，e=ca或是圆锥曲线的统一定义来计算离心率。

关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。

解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a ba 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。